Dominanzüberlegungen in einfachen Matrix Spielen (Reine Strategien)

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1 Dominanzüberlegungen in einfachen Matrix Spielen (Reine Strategien) Dominanzüberlegungen können beim Auffinden von Nash Gleichgewichten helfen Ein durch Dominanzüberlegungen ermitteltes Gleichgewicht ist immer auch ein Nash Gleichgewicht! Dominanzüberlegungen liefern starke Argumente für die Plausibilität eines mit dieser Methode ermittelten Nash Gleichgewichts Plausibel sind dabei folgende zwei Annahmen: Eine dominante Strategie wird sicher gespielt; eine dominierte Strategie wird sicher nicht gespielt. Die Umwandlung in ein sequentielles Spiel, d.h. Abänderung der Informationsstruktur, ändert daher nichts am Ergebnis! (I) Gleichgewicht in dominanten Strategien (=Beide Spieler haben eine dominante Strategie) Haben beide Spieler eine strikt dominante Strategie, dann gibt es genau ein Nash Gleichgewicht Nash Gleichgewicht ist eindeutig! (Bsp.: Gefangenen Dilemma) 1 s 21 s 22 s 12 ( 2, 2 ) ( 0, 0 ) (ii) Hat nur ein Spieler eine strikt dominante Strategie, der andere eine schwach dominante Strategie, dann gibt es mindestens ein Nash Gleichgewicht. Dieses Nash Gleichgewicht ist also nicht notwendigerweise eindeutig. 2 s 21 s 22 s 12 ( 2, 2 ) ( 0, 2 ) 3 s 21 s 22 s 11 ( 4, 4 ) ( 2, 4 ) s 12 ( 2, 0 ) ( 0, 2 ) (iii) Haben beide Spieler eine schwach dominante Strategie, dann gibt es mindestens zwei Nash Gleichgewichte. Diese sind nicht notwendigerweise eindeutig. 4 s 21 s 22 s 12 ( 2, 2 ) ( 2, 2 ) 5 s 21 s 22 s 11 ( 4, 4 ) ( 4, 4 ) s 12 ( 4, 4 ) ( 2, 2 ) Dipl.-Vw. Marcus Wiens/ Angewandte Spieltheorie 1

2 (II) Nur ein Spieler hat eine dominante Strategie, der andere wählt als Antwort darauf seine optimale Reaktion Ist die Strategie strikt dominant, dann gibt es genau ein Nash Gleichgewicht Nash Gleichgewicht ist eindeutig! 6 s 21 s 22 s 11 ( 4,2 ) ( 2, 0 ) s 12 ( 2, 0 ) ( 0, 2 ) (ii) Ist die Strategie schwach dominant, dann gibt es mindestens ein Nash Gleichgewicht. Dieses Nash Gleichgewicht ist also nicht notwendigerweise eindeutig 7 s 21 s 22 s 11 ( 4, 2 ) ( 2, 0 ) s 12 ( 2, 0 ) ( 2, 2 ) 8 s 21 s 22 s 11 ( 4, 0 ) ( 2, 2 ) s 12 ( 2, 2 ) ( 2, 0 ) (III) Gleichgewicht durch (iterierte) Elimination dominierter Strategien Für 2x2 Matrix Spiele sind die Fälle (II) und (III) identisch. Elimination strikt dominierter Strategien Strategien, die dieses Verfahren nicht überleben sind nicht rationalisierbar, d. h. kein rationaler Spieler wird diese Strategien wählen Geeignetes Verfahren, um den Rang einer Matrix (d. h. die Komplexität des Spiels) zu reduzieren, z. B. Reduktion einer 2x3 Matrix auf eine 2x2 Matrix, die dadurch (auch für andere Lösungsverfahren) schneller zu untersuchen ist Nur wenn ausschließlich dieses Verfahren Anwendung findet (insbesondere keine schwach dominanten oder schwach dominierten Strategien im Spiel vorliegen) und zu einem Gleichgewicht führt, dann gibt es genau ein Nash Gleichgewicht Nash Gleichgewicht ist eindeutig! 9 s 21 s 22 s 23 s 11 ( 2,1 ) ( 1, 2 ) ( 3, 0 ) s 12 ( 1, 2 ) ( 2, 1 ) ( 3, 0 ) (ii) Elimination schwach dominierter Strategien Existenz eines Nash Gleichgewichts sowie Eindeutigkeit nicht sichergestellt, insbesondere Gefahr der Elimination schwacher Nash Gleichgewichte Weiter zu beachten: Ergebnis von Reihenfolge der Elimination abhängig Dipl.-Vw. Marcus Wiens/ Angewandte Spieltheorie 2

3 Zusammenfassung: Nash Gleichgewicht und Lösungsverfahren starke Dominanz schwache Dominanz - cell by cell inspection - Reaktionsabbildungen Angenommen, es gibt ein Nash Gleichgewicht: Lässt sich das Nash Gleichgewicht mit diesem Verfahren sicher aufspüren? Angenommen, man findet mit diesem Verfahren ein Gleichgewicht: Ist es ein Nash Gleichgewicht? Angenommen, die Anwendung des Verfahrens führt zu einem Nash Gleichgewicht: Ist es eindeutig? Allgemein gilt: Die Anzahl der Nash Gleichgewichte (reine und gemischte Strategien) ist immer ungerade! Problemanalyse bei einfachen Matrix Spielen: Konfliktstruktur und Fokuspunkt (I) Interessenkonflikt - Anreizproblem; Extremform: Konstantsummenspiel (Sonderfall: Nullsummenspiel) - Häufigster Fall ist das Kooperationsproblem: Es gibt eine pareto optimale und symmetrische Auszahlungskombination plausibler Kompromiss als anvisiertes Ziel bei Konfliktbereinigung - Probleme: (a) Die Strategiekombination, die zur o. g. Auszahlungskombination führt, ist kein Nash Gleichgewicht (b) Nash Gleichgewicht ist (mindestens) eine andere pareto optimale Strategiekombination schwaches Kooperationsproblem [Beispiel: Game of Chicken ] Lösung: Korrelierte Strategien [wird nicht in Veranstaltung behandelt] oder bindende Absprachen Dipl.-Vw. Marcus Wiens/ Angewandte Spieltheorie 3

4 ... pareto dominierte Strategiekombination starkes Kooperationsproblem [Beispiel: Gefangenen Dilemma] Lösung: Nur mit Hilfe bindender Absprachen (II) Koordinationsproblem - Abstimmungsproblem mit Mindestmaß an gemeinsamen Interessen - Situation: Es gibt mindestens 2 Nash Gleichgewichte in reinen Strategien, von denen wiederum mindestens eines pareto optimal ist. - Problem: Abstimmung auf ein pareto optimales Nash Gleichgewicht kann misslingen Fall (1): Es liegt kein Interessenkonflikt vor, beide Nash Gleichgewichte sind aus Sicht beider Spieler gleichermaßen wünschenswert Lösung: Kommunikation 10 s 21 s 22 s 11 ( 1,1 ) ( 0, 0 ) s 12 ( 0, 0 ) ( 1, 1 ) Fall (2): Es liegt kein Interessenkonflikt vor, eines der Nash Gleichgewichte wird paretodominiert Lösung: Kommunikation evtl. nicht erforderlich: Pareto dominierendes Nash Gleichgewicht als endogener Fokuspunkt des Spiels 11 s 21 s 22 s 11 ( 2,2 ) ( 0, 0 ) s 12 ( 0, 0 ) ( 1, 1 ) Fall (3): Es liegt bzgl. der Nash Gleichgewichte untereinander ein Interessenkonflikt vor; primäres Ziel für beide Spieler ist gemeinsame Abstimmung, sekundäres Ziel ist die Durchsetzung der für ihn günstigeren Auszahlungskombination Lösung: Nicht nur Kommunikation sondern auch Verhandlung erwünscht oder: Bevorzugung eines Spielers als exogener Fokuspunkt des Spiels 12 s 21 s 22 s 11 ( 2,1 ) ( 0, 0 ) s 12 ( 0, 0 ) ( 1, 2 ) Dipl.-Vw. Marcus Wiens/ Angewandte Spieltheorie 4

5 Lösungen Spiel Dominante Strategie Nash GG strikt schwach (reine Strategie) 1 s 11 und s 21 (s 11, s 21 ) 2 s 11 s 21 (s 11, s 21 ) 3 s 11 s 22 (s 11, s 21 ), (s 11, s 22 ) 4 s 11 und s 21 (s 11, s 21 ), (s 12, s 22 ) 5 s 11 und s 21 (s 11, s 21 ), (s 11, s 22 ), (s 12, s 21 ) 6 s 11 (s 11, s 21 ) 7 s 11 (s 11, s 21 ), (s 12, s 22 ) 8 s 11 (s 11, s 22 ) 9 s 23 strikt dominiert durch s 21 und s 22 [NGG nur in gemischten Strategien (s 1 =½, s 2 =½)] 10 NGG: (s 11, s 21 ), (s 12, s 22 ), (s 1 =½, s 2 =½) 11 NGG: (s 11, s 21 )=Fokuspunkt, (s 12, s 22 ), (s 1 =1/3, s 2 =1/3) 12 NGG: (s 11, s 21 ), (s 12, s 22 ), (s 1 =1/3, s 2 =2/3) Dipl.-Vw. Marcus Wiens/ Angewandte Spieltheorie 5