Boolesche Funktionen und Schaltkreise

Transkript

1 Boolesche Funktionen und Schaltkreise Die Oder-Funktion (Disjunktion) und die Und-Funktion (Konjunktion), x y x y

2 (Implikationsfunktion), ( umgekehrte Implikation) und (Xor-Funktion, exclusive or), x y x y x y

3 Berechnungen mit Konstanten x 0 = x, x 1 = 1, x 0 = 0, x 1 = x, x 0 = x, x 1 = x Assoziativität x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z, x (y z) = (x y) z Kommutativität x y = y x, x y = y x, x y = y x 3

4 Distributivität x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z) Vereinfachungsgesetze x x = x, x x = 1, x x = x, x x = 0, x x = 0, x x = 1 Absorptionsgesetze x (x y) = x, x (x y) = x demorgansche Gesetze, Negationsgesetze x y = (x y), x y = (x y), x y = x y, x = x 4

5 Ersetzen der Implikation und der Antivalenz x y = x y, x y = x y, x y = (x y) ( x y) = ( x y) (x y) 5

6 Satz Jede Booleschen Funktion läßt sich sowohl in disjunktiver Normalform (als Disjunktion von Mintermen) auch in konjunktiver Normalform (als Konjunktion von Maxtermen) darstellen. 6

7 Unformung von einer Formel F in eine äquivalente DNF Formel 1: F in eine Formel mit nur, und unformen. 2: Negationszeichen direkt vor den Variablen bringen. 3: Distributivgesetze anwenden. 7

8 Minimierung von Normalformen, Karnaugh-Veitch-Diagramme (für Formeln mit weniger als 4 oder 5 Variablen) Minterme sind im Diagram mit einem Punkt markiert. 8er, 4er, 2er und 1er Blöcke zusammenfassen (möglichst Große Blöcke). Die Blöcke dürfen sich überlappen und dürfen über die Kanten hinweg definiert werden. 8

9

10 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 10

11 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 4 x 2 x 4 11

12 x 1 x 3 x 4 x 1 x 2 x 2 x 3 x 2 x 4 12

13 x 1 x 3 x x 1 x x 2 x x 2 x

14 Ringsummennormalform Für jede Boolesche Funktionf : B n B gibt es genau einen 0-1-Vektor a = (a T1,a T2,...,a T2 n) mitt i {1,...,n} unda Ti {0,1} so dass f(x 1,...,x n ) = a T T {1,...,n} j T x j 14

15 Schaltkreise Definition: Ein Schaltkreis über einer Basis Ω von Grundfunktionen (zum Beispiel Ω = {,, }) ist ein gerichteter, azyklischer Graph. Die Eingangsknoten sind mit Variablennamen oder den Konstanten 0,1 beschriftet, während die inneren Knoten mit Elementen aus Ω beschriftet sind. 15

16 Funktionres g (x 1,...,x n ) die von einem Gatterg berechnet wird Fallsg ein Eingangsknoten ist, der mit der Variablen 0 (bzw. 1) beschriftet ist, so istres g (x 1,...,x n ) = 0 (bzw. = 1). Fallsg ein Eingangsknoten ist, der mit der Variablenx i beschriftet ist, so istres g (x 1,...,x n ) = x i. Fallsg ein innerer Knoten ist, der mitf Ω beschriftet ist, und fallsk die Stelligkeit vonf ist, so seienf 1,...,f k die an den Vorgängerknoten von g berechneten Funktionen. Dann ist res g (x 1,...,x n ) = f(f 1 (x 1,...,x n ),...,f k (x 1,...,x n )) Wir sagen, dass ein Schaltkreis S eine Boolesche Funktion f berechnet, falls es einen Knoteng ins gibt mitf = res g. 16

17 Volladdierer x s y ü ü 17

18 Schaltkreiskomplexität Die Größe eines Schaltkreises S, C(S),ist die Anzahl seiner Gatter. Die Tiefe eines Schaltkreises S, D(S) ist die Länge eines längsten Pfades im Schaltkreis. Für eine Boolesche Funktionf und eine BasisΩ C Ω (f) = min{c(s) S ist einω-schaltkreis, derf berechnet} D Ω (f) = min{d(s) S ist einω-schaltkreis, derf berechnet} 18

19 Satz SeienΩundΩ zwei vollständige Basen. Sei c = max{c Ω (g) g Ω } und seid = max{c Ω (g) g Ω}. Dann ist für alle Booleschen Funktionenf,C Ω (f) c C Ω (f) und C Ω (f) d C Ω (f). 19

20 Obere Schranken fürf : B n B Mit der DNF, GrößeO(n2 n ) und Tiefen+logn. Mit dersel Funktion, GrößeO(2 n ) und Tiefen. f x 1 sel x 2 sel x 2 sel 20

21 Obere Schranken II Satz: (Lupanov, 1958) Es gibt Konstantencundn 0, so dass für alle n-stelligen Booleschen Funktionenf undn n 0 giltc(f) c 2 n /n. 21

22 Untere Schranken Satz: (Shannon, 1949) Für jedes n gibt es n-stellige Boolesche Funktionen f, die für ihre Realisierung (mittels Nand-Gattern) mindestens 1 2 2n /n viele Gatter benötigen. AlsoC {nand} (f) 1 2 2n /n. Folgerung: Es gibt Konstantencundn 0, so dass es für jedesn n 0 eine n-stellige Boolesche Funktionf gibt mitc(f) c 2 n /n. 22

23 Perzeptrone x 1 x 2. x n w 1 w 2. t. w n y w i,t R y = 1, n i=1 x iw i t, 0, sonst 23

24 1 x 1 t x 2. x n w 1 w w n y 24

25 Definition: f : B n B ist linear separierbar falls es eine Hyperebene der Dimensionn 1gibt, die die 0 n von den 1 n vonf trennt. Die durch ein Perzeptron berechenbaren Funktionen sind genau die linear separierbaren Funktionen. 25

26 Lernen von Booleschen Funktionen Y 0 undy 1 disjunkte, und linear separierbare, Mengen von Beispielen. Wir wollen einen Gewichtsvektor w finden mit: y Y 1 yw > 0 y Y 0 yw < 0 26

27 w 0 := (0,0,...,0) Wird dem Perzeptron ein Beispiel y vorgelegt, und dieses wird falsch klassifiziert, so wird der Gewichtsvektor im nächsten Schritt wie folgt vonw t zuw t+1 geändert: w t+1 = w t +y, fallsy Y 1 undyw 0 w t y, fallsy Y 0 undyw 0 w t, sonst 27

28 Y 1 Y 0 28

29 Y 1 Y 0 29

30 Perzeptron-Konvergenztheorem Satz: Gegeben seien zwei linear separierbare Mengen von PunktenY 0,Y 1 und eine unendliche Trainingsfolge, mit der Eigenschaft, dass jedes Element ausy 0 Y 1 in der Treiningsfolge unendlich oft auftrtt. Dann erreicht das Perzeptron nach endlich vielen Lernschritten (gemäß der oben beschriebenen Lernregel) einen Gewichtsvektor, so dass das Perzeptron allen Punkten iny 0 den Wert 0, und allen Punkten iny 1 den Wert 1 zuweist. 30

31 Boolesche Funktionen, Zusammenfassung Beschreibungsmöglichkeiten: Wahrheitstafel, DNF, KNF, RSNF, Boolesche Schaltkreise über eine vollständige Basis, Perzeptrone... Wie Groß sind solche Beschreibungen? Sind sie eindeutig? Können sie minimiert werden? Wie kann man die Modelle gegenseitig simulieren? Was sind die Vorteile der verschiedenen Modelle. 31