Basiswissen 10. Klasse

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1 Basiswissen 10. Klasse 1. Berechnungen an Kreisen und Dreiecken r: Radius a: Mittelpunktswinkel As: Kreissektor b: Kreisbogen Erklärung: In einem Kreis mit Radius r legt der Mittelpunktswinkel a den Kreisbogen mit der Länge b und einen Kreissektor As fest. Wird der Mittelpunktswinkel a k-mal so groß, so werden auch die Länge von b und der Flächeninhalt von As k-mal so groß. Daraus folgt: b a!!!!! As a Zusammengefasst: b 2rπ = α 360 Bogenlänge b = 2πα 360 = απ 180 A s r 2 π = α 360 Kreissektor A S = α 360 r 2 π 1 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

2 Erklärung von Grad- und Bogenmaß: Das Verhältnis zwischen Bogenlänge b und Radius r ist für jeden Mittelpunktswinkel α konstant. Deshalb kann man mit diesem Verhältnis auch einen Winkel beschreiben. Für das Bogenmaß des Winkels α gilt: α RAD α RAD = b r Beachte: Das Bogenmaß ist immer eine reelle Zahl. α DEG Das Gradmaß des Winkels α wird als bezeichnet. Daraus folgt: α RAD π = α DEG 180 α RAD = α DEG 180 π Wichtige Winkel in Grad- und Bogenmaß: α DEG α RAD 2π 3 2 π π π 2 π 3 π 4 π 6 r: Radius a: Mittelpunktswinkel As: Kreissektor K : Kreissegment b: Kreisbogen s: Sehne Erklärung: Das Kreissegment K ist gekennzeichnet durch die grün schraffierte Fläche und wird begrenzt durch die Sehne s und den zugehörigen Kreisbogen b. Die Berechnung des Kreissegments K lautet in diesem Fall: K ' = A S A Dreieck 2 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

3 2. Sinus und Kosinus am Einheitskreis Definition Einheitskreis: Ein Einheitskreis ist ein Kreis, der einen Radius mit der Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Erklärung: sin(α ) = AP OP = AP 1 = AP cos(α ) = OA OP = OA 1 = OA Hat der Punkt P die Koordinaten P(x/y), so gilt: AP = y ; OA = x Insgesamt ergibt sich: sin(α ) = AP = y sin(α ) = y cos(α ) = OA = x cos(α ) = x Sinus Vorzeichen in Abhängigkeit von α : 3 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

4 Kosinus Vorzeichen in Abhängigkeit von α: Die Längen der waagrechten Strecken entsprechen jeweils cosa! Sinus- und Kosinuswerte: Es lassen sich die Sinus- und Kosinuswerte für jeden Winkel bestimmen, indem man den gegebenen Winkel auf einen spitzen Winkel (0 < a < 90 ) zurückführt (Supplementbeziehungen). Dabei ist aber besonders auf die Vorzeichenregelung zu achten! Wichtige Winkel: α sin(α ) cos(α ) Beispiel Sinus: sin(135 ) = sin( ) = sin(45 ) = 2 2 sin(135 ) = sin(45 ) = Basiswissen 10. Klasse David Jobst

5 Beispiel Kosinus: cos(135 ) = cos(45 ) = 2 2 Allgemein gilt: Supplementbeziehungen (für 0 < a < 90 ): sin(180 α ) = +sin(α ) cos(180 α ) = cos(α ) sin(180 + α ) = sin(α ) cos(180 + α ) = cos(α ) sin(360 α ) = sin(α ) cos(360 α ) = + cos(α ) Beachte: Der TR gibt immer nur einen möglichen Winkel an. Eventuell ist es nötig, mit Hilfe der obigen Beziehungen den zur Aufgabe passenden Winkel zu erschließen! Dabei ist auch auf die passende Einstellung am TR zu achten, d.h. für das Gradmaß DEG/D und für das Bogenmaß RAD/R! 5 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

6 3. Berechnungen an beliebigen Dreiecken Sinussatz: sin(α ) sin(β) = a b sin(α ) sin(γ ) = a c sin(β) sin(γ ) = b c Diese Verhältnisse gelten in beliebigen Dreiecken. Kennt man drei Werte eines Verhältnisses, kann man den vierten berechnen. Kosinussatz: a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(α ) b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(β) c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(γ ) 4. Sinus- und Kosinusfunktionen Die Sinuskurve ist der Graph der Funktion f : x! sin(x) (mit x "). 6 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

7 Eigenschaften Sinusfunktion: f (x) = sin(x) D = R [ ] W = 1;1 Periode p = 2π sin(x + k 2π ) = sin(x) (k!) sin( x) = sin(x) Graph der Sinusfunktion ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung Die Kosinuskurve ist der Graph der Funktion f : x! cos(x) (x "). Eigenschaften Kosinusfunktion: f (x) = cos (x) D = R [ ] W = 1;1 Periode p = 2π cos(x + k 2π ) = cos(x) cos( x) = cos(x) Graph der Kosinusfunktion ist somit achsensymmetrisch zur y-achse Erklärung: Die Sinus- und Kosinusfunktion sind periodische Funktionen, d.h. Funktionen die sich in gleichen Abständen p regelmäßig wiederholen. Somit steht p für die Periode, die in diesem Fall für die Sinus- und Kosinusfunktion p = 2π beträgt. Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinusfunktion: Verschiebt man die Kosinuskurve um Sinuskurve. cos x π 2 = sin(x) π 2 (k!) in x-richtung nach rechts, so erhält man die 7 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

8 5. Form- und Lageänderung der Sinus- und Kosinusfunktion a) Amplitudenveränderung: f (x) = a sin(x), x!, a! \ 0 { } Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in y-richtung. a bestimmt den größten Funktionswert und heißt Amplitude. Ist a negativ, so wird der Graph auch an der x-achse gespiegelt. Streckung: Stauchung: a > 1 a < 1 b) Periodenveränderung: f (x) = sin(b x), x!, b! \ 0 { } Der Faktor b bewirkt die Veränderung der Länge der Periode, d.h. die Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in x-richung mit dem Faktor 1. Ist b negativ, so wird der Graph zusätzlich an der y-achse gespiegelt. b Streckung in x-richtung: Stauchung in x-richtung: 1 b > 1 Periode: p = 1 b < 1 2π b 8 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

9 c) Verschiebung in x-richtung: f (x) = sin(x + c), x!, c! \ 0 { } Der Summand c bewirkt die Verschiebung der Sinuskurve in x-richtung, auch Phasenverschiebung genannt. Ist c > 0, dann wird die Sinuskurve in x-richtung nach links verschoben Ist c < 0, dann wird die Sinuskurve in x-richtung nach rechts verschoben d) Verschiebung in y-richtung: f (x) = sin(x) + d, x!, d! \ 0 { } Der Summand d bewirkt die Verschiebung der Sinuskurve in y-richtung nach oben (wenn d > 0) oder nach unten (wenn d < 0). Information: Es können alle vier Veränderungen in Kombination gleichzeitig auftreten. Diese vier Veränderungen treffen analog für die Kosinusfunktion zu. 9 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

10 Zusammengefasst: f (x) = a sin(b (x + c)) + d a,b,c,d \ { 0} 6. Wachstums- und Zerfallprozesse/Eigenschaften von Exponentialfunktionen Erklärung Lineares Wachstum: f (x) = a x + c (a,c R;a 1) c: Anfangswert a: konstante Zu- bzw. Abnahme a > 0 a < 0 f(x) = 1,5x + 1 f(x) = -1,5x + 3 lineare Zunahme lineare Abnahme Die Differenz aufeinanderfolgender Funktionswerte ist konstant. Erklärung Exponentielles Wachstum: f (x) = c a x (a,c R + ;a 1) c: Anfangswert a: konstanter Wachstumsfaktor 10 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

11 a > 1: Graph steigt streng 0 < a < 1: Graph fällt streng monoton monoton hier: c = 1; a = 2 hier: c = 1; a = 0,5 exponentielle Zunahme exponentielle Abnahme Der Quotient aufeinanderfolgender Funktionswerte ist konstant. Beachte: Wenn: f 1 (x) = c a x dann wird der Graph von f an der x-achse gespiegelt. Wenn: f 2 (x) = c a x 1 = c a x dann wird der Graph von f an der y-achse gespiegelt. Wenn: f 3 (x) = c a x+b ; b! dann wird der Graph von f in x-richtung verschoben. Wenn: b > 0, dann wird Gf in x-richtung um b nach links verschoben b < 0, dann wird Gf in x-richtung um b nach rechts verschoben 11 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

12 7. Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens Erklärung: Der Logarithmus von b zur Basis a ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Man schreibt für diese Zahl log a b. Zu lösen ist: a x = b für a,b R + und a 1 a und b sind bekannt. Folglich ist der Exponent x von a gesucht. Es gibt nur eine Lösung für x, nämlich: x = log a b Es gilt damit: Regeln für das Rechnen mit Logarithmen (b > 0; c > 0): log a a = 1 log a 1 = 0 1 log a a = 1 log a (a c ) = c log a (b c) = log a b + log a c log a (b :c) = log a b log a c log a (b c ) = c log a b log a u = log b u log b u z.b. log 2 15 = log 1015 log 10 2 eintippbarer Term für ältere TR! Information: Schreibweise Zehnerlogarithmen: log b = lgb 10 Hinweis: log am TR kann auch Zehnerlogarithmus bedeuten. 8. Einfache Exponentialgleichungen Erklärung: Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte als Exponent vorkommt. Es gibt im Wesentlichen drei Lösungsstrategien bei Exponentialgleichungen. (I): Die Gleichung auf die Form a x = b bringen und anschließend logarithmieren. 12 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

13 Beispiel: 4,5 2 x = 9 3 x :3 x : 4,5 2 x 3 x = 2 x 2 3 = 2 x = log x 1,71 (II): Die Gleichung wird so umgeformt, dass auf beiden Seiten ein Produkt aus Zahlen und Potenzen steht. Durch Logarithmieren, Anwenden von Logarithmusregeln und Ausklammern von x bestimmt man die Lösung. Beispiel: 4,5 2 x = 9 3 x lg(...) lg 4,5 + x lg2 = lg9 + x lg 3 x (lg2 lg 3) = lg9 lg 4,5 x = lg9 lg 4,5 lg2 lg 3 x 1,71 (III) Exponentenvergleich: Die Gleichung kann so umgeformt werden, dass auf beiden Seiten eine Potenz mit der jeweils gleichen Basis zu finden ist. Anschließend erfolgt der Exponentenvergleich. Beispiel: 16 4 x = x x = x 4 2+x = x 2 + x = 3+ 2x x = 1 13 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

14 Information: Es gibt auch Exponentialgleichungen, die nicht gelöst werden können. Beispiel: 3 x = 11 x 4 5 x 9. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 1. Wenn bei einem Zufallsexperiment zwei Ereignisse A und zugleich B eintreten, dann schreibt man: A B 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn man weiß, dass A bereits eingetreten ist, nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit. Man schreibt: P A (B) Man spricht: Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A Aufgrund der Pfadregel gilt (vgl. Baumdiagramm): Aus der Pfadregel ergibt sich: P A (B) = P(A B) P(A) für P(A) 0 P(A B) = P A (B) P(A) Baumdiagramm: Im Baumdiagramm eines zweistufigen Zufallsexperiments stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen der 2. Stufe. P A (B) B P(A B) A P(A) P A (B) B B P(A B) P(A B) P(A) P A (B) A P A (B) B P(A B) 14 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

15 Die Wahrscheinlichkeiten können auch in einer Vierfeldertafel erfasst werden: Dann müssen die bedingten Wahrscheinlichkeiten entsprechend berechnet werden. B B A P(A B) P(A B) P(A) A P(A B) P(A B) P(A) P(B) P(B) 1 Achtung in der Regel gilt: P(A B) P A (B) Aufgabenstellung genau lesen, damit klar wird, welche der beiden Wahrscheinlichkeiten gemeint ist! 10. Oberflächeninhalt und Volumen von Kugeln Für den Oberflächeninhalt O und das Volumen V einer Kugel mit Radius r gilt: O Kugel = 4π r 2 V Kugel = 4 3 π r 3 Zahl π: Die Zahl π 3,14 ( Pi ) wird als Kreiszahl bezeichnet. Es handelt sich hierbei um eine irrationale Zahl, d. h. π kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. 11. Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten Erklärung: Eine Funktion f mit f (x) = x n, wobei x R und n N ist, heißt Potenzfunktion. n ist gerade n ist ungerade D = R D = R + W = R 0 W = R Nullstelle: x = 0 Nullstelle: x = 0 15 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

16 Symmetrie: Symmetrie: achsensymmetrisch zur y-achse punktsymmetrisch zum Ursprung Steigungsverhalten: Steigungsverhalten: streng monoton fallend für x < 0 streng monoton steigend für streng monoton steigend für x > 0 x R Gemeinsame Punkte aller Gemeinsame Punkte aller Potenzfunktionen gerader Potenzfunktionen ungerader Ordnung: Ordnung: (0/0), (1/1), (-1/1) (0/0), (1/1), (-1/1) 12. Ganzrationale Funktionen Erklärung: Die Funktion D = R f (x) = a n x n + a n 1 a n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 mit n N,a n,a n 1,...,a 2,a 1,a 0 a n 0 heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades oder Polynom n-ten Grades. 16 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

17 Nullstellen: Man setzt den Funktionsterm von f gleich 0: f (x) = 0 Anschließend faktorisiert man den Funktionsterm (z.b. durch Ausklammern, binomische Formeln, Substitution, Polynomdivision,...). Ist ein Faktor eine quadratische Funktion, so ist die Mitternachtsformel (= Lösungsformel für quadratische Gleichungen) anzuwenden. Erhält man eine Nullstelle doppelt, vierfach, sechsfach,..., also in einer geraden Vielfachheit, so handelt es sich um eine doppelte, vierfache, sechsfache,... Nullstelle. Das bedeutet, der Graph von f berührt an der Nullstelle die x-achse, aber schneidet sie nicht. Somit ergibt sich kein Vorzeichenwechsel (VZW). Erhält man eine Nullstelle einfach, dreifach, fünffach,..., also in einer ungeraden Vielfachheit, so handelt es sich um eine einfache, dreifache, fünffache,... Nullstelle. Das bedeutet, der Graph von f schneidet an der Nullstelle die x-achse. Somit ergibt sich ein Vorzeichenwechsel (VZW). Vielfachheit der Nullstelle x0 gerade Vorzeichenwechsel (VZW) bei x = x0 Vielfachheit der Nullstelle x0 ungerade kein Vorzeichenwechsel (VZW) bei x = x0 Polynomdivision: Mit der Polynomdivision lassen sich die Nullstellen von Polynomen berechnen. Dazu muss aber eine Nullstelle schon vorgegeben werden oder erraten werden. Beispiel: f(x) = x 3-0,5x 2 - x + 0,5 gegebene Nullstelle x0 = -1 (x 3-0,5x 2 - x + 0,5) : (x + 1) = x 2-1,5x + 0,5 -(x 3 + x 2 ) -1,5x 2 - x -(-1,5x 2-1,5x) 0,5x +0,5 -(0,5x + 0,5) 0 Mithilfe der Mitternachtsformel lassen sich die restlichen Nullstellen des Polynoms p(x) = x 2-1,5x + 0,5 jetzt problemlos bestimmen. Vorzeichen der Funktionswerte: 1. x 3 : x = x 2 2. x 2 (x + 1) = x 3 + x 2 3. Subtraktion und nächsten Term herunterholen 4. -1,5x 2 : x = - 1,5x ,5x (x + 1) = -1,5x 2-1,5x 6. Subtraktion und nächsten Term herunterholen 7. 0,5x : x = 0,5 8. 0,5 (x + 1) = 0,5x + 0,5 9. Subtraktion und Polynomdivision gehen auf Man erstellt eine Vorzeichentabelle. Als Intervalle werden die Nullstellenabstände gewählt. Anschließend wählt man eine beliebige Zahl, die in dem vorgegebenen Intervall liegt und setzt sie jeweils in alle Faktoren einzeln ein. Anschließend erhält man Ergebnisse, bei denen nur die Vorzeichen von Interesse sind. Diese notiert man in der Tabelle und multipliziert die Vorzeichen des jeweiligen Intervalls miteinander. Ist das Ergebnis negativ (-), so verläuft der Graph von f im III. bzw. IV. Qua- 17 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

18 dranten. Ist das Ergebnis jedoch positiv (+), so verläuft der Graph von f im I. bzw. II. Quadranten. Vorzeichentabelle: Beispiel: f(x) = x 2 + 3x = x (x + 3) Faktoren von f(x) x < -3-3 < x < 0 x > 0 (x + 3) x f(x) = x (x + 3) Skizzieren des Graphen: 1. Nullstellen einzeichnen 2. Felder abstreichen 3. Graph einzeichnen Verhalten im Unendlichen: Von Bedeutung ist der Grad der Funktion. Der Grad einer Funktion wird festgelegt durch den höchsten Exponenten. Beispiel: f (x) = 1,5x 4 x 2 + 2,7x 1,5 Der höchste Exponent dieser Funktion ist 4. Somit besitzt die Funktion den Grad 4, bzw. es handelt sich um eine Funktion 4. Grades. f (x) = 1,5x 3 x 2 + 2,7x 1,5 Der höchste Exponent dieser Funktion ist 3. Somit besitzt die Funktion den Grad 3, bzw. es handelt sich um eine Funktion 3. Grades. Ist der Grad gerade, so gilt: lim x + oder lim x + f (x) = lim x f (x) = + f (x) = lim x f (x) = 18 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

19 Ist der Grad ungerade, so gilt: lim x oder lim x f (x) = und lim x + f (x) = + f (x) = + und lim x + f (x) = Beispiel einer ganzrationalen Funktion gerader Ordnung: f(x) = 0,5x 3 (x - 2,7) = 0,5x 4-1,35x 3 Nullstelle x1 = 0 ungerader Ordnung mit Vorzeichenwechsel (VZW) Nullstelle x2 = 2,7 erster Ordnung mit Vorzeichenwechsel (VZW) 19 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

20 13. Überblick über bisher behandelte Funktionen 13.1 Lineare, quadratische und Potenzfunktionen Lineare Funktion f(x) = mx + t Quadratische Funktion g(x) = ax 2 + bx + c a 0; Scheitel S (xs/ys) Beispiele f(x) = 3x - 2 g(x) = 0,5x 2-3x + 2 h(x) = x 3 Wesentliche Eigenschaften lassen sich bereits an den geplotteten Graphen ablesen. Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten h(x) = x n Dmax Symmetrie des Graphen achsensymmetrisch für m = 0 punktsymmetrisch zu jedem Punkt des Graphen achsensymmetrisch zur Geraden x = xs achsensymmetrisch zur y-achse, wenn der Exponent gerade ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Exponent ungerade ist Nullstellen genau eine Nullstelle für m 0 abhängig von der Diskriminante D = b 2-4ac keine für (D < 0) genau eine für (D = 0) zwei verschiedene für (D > 0) jeweils x = 0 Extrempunkte keine Extrempunkte für m 0 Scheitel ist Hochpunkt für a < 0, Tiefpunkt für a > 0 für gerades n ist der Scheitel ein Tiefpunkt Steigungsverhalten steigend für m > 0 fallend für m < 0 falls a > 0: steigend für x > xs fallend für x < xs umgekehrt für a < 0 falls n ungerade: steigend falls n gerade: fallend für x < 0 steigend für x > 0 Wertemenge ]- ;+ [ für m 0 [ys;+ [ für a > 0 ]- ; ys] für a < 0 (in Anlehnung an: Fokus Mathematik 10 ; Cornelsen Verlag; 1. Druck 2008; S. 152) ]- ;+ [ für n ungerade [0;+ [ für n gerade 20 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

21 13.2 Ganzrationale, einfache gebrochen-rationale, trigonometrische und Exponentialfunktionen Ganzrationale Funktionen f(x) = anx n + an-1a n a2x 2 + a1x + a0 Einfache gebrochenrationale Funktionen Trigonometrische Funktionen h(x) = a sin(bx + c) k(x) = a cos(bx + c) a 0 Exponentialfunktionen m(x) = a x mit Basis a > 0 und a 1 Beispiele f(x) = 3x 3-2x 2-5x + 1 g(x) = 2x 1 x +1 l(x) = 3 sin(1,5x + π) m (x) = 3 x Wesentliche Eigenschaften lassen sich bereits an den Graphen ablesen. Dmax \{Nullstellen des Nenners} Symmetrie des Graphen achsensymmetrisch zur y-achse, wenn alle Exponenten gerade sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle Exponenten ungerade sind und das absolute Glied a0 = 0 ist punktsymmetrisch, wenn der Zähler achsen-, der Nenner punktsymmetrisch ist (oder umgekehrt) achsensymmetrisch, wenn beide punkt- bzw. achsensymmetrisch sind unendlich viele Symmetrieachsen unendlich viele Symmetriepunkte weder achsennoch punktsymmetrisch Nullstellen maximal so viele Nullstellen wie der Grad, Berechnung der Nullstellen durch Faktorisierung Nullstellen des Zählers, falls in der Definitionsmenge enthalten unendlich viele Nullstellen keine Nullstellen Extrempunkte höchstens n - 1 unendlich viele Hochpunkte und Tiefpunkte keine Extrempunkte Steigungsverhalten des Graphen aus der Lage der Extrema ablesbar steigend für a > 1 fallend für a > 1 Wertemenge (in Anlehnung an: Fokus Mathematik 10 ; Cornelsen Verlag; 1. Druck 2008; S. 153) [-a;+a] für a > 0 [a;-a] für a < 0 ]0;+ [ 21 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

22 14. Grenzwerte Erklärung: Unter Grenzwert einer Funktion versteht man denjenigen Wert an einer bestimmten Stelle, dem sich die Funktion in der Umgebung dieser Stelle annähert. Viele Funktionen haben für x + bzw. x - keinen Grenzwert. Schreibweise: lim x + (sprich: Limes ) (sprich: Limes ) Man sagt auch: f divergiert für x + bzw. x - gegen + bzw. -. Im Beispiel strebt f(x) für x gegen + gegen +. f (x) = + lim x + f (x) = + lim lim f (x) = x lim f (x) = x + f (x) = x + Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion für beliebig groß werdende x-werte einem Wert a beliebig nahe kommen, so heißt a Grenzwert von f für x gegen +. Schreibweise: lim Analog für (sprich: Limes ) (sprich: Limes ) Man sagt auch: f konvergiert für x + bzw. x - gegen a. In diesem Beispiel wird sich der Graph der Funktion f an die Gerade mit y = 0 annähern. Diese Gerade ist dann waagrechte Asymptote von Gf. Grenzwertberechnung: Bsp. 1: x + f (x) = a lim f (x) = a x lim f (x) = lim x + x + ( 4x6 + 2x 5 x 3 + x 2 4) = 0 lim x + 4x x x x x 6 = lim x + 4x6 = 22 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

23 Bsp. 2: x 3 + x 2 lim f (x) = lim x + x + x 4 x = lim x + x x x x 3 x 3 0 = lim x + x = lim 1 4 x + x = Untersuchen und Beschreiben weiterer Funktionen und ihrer Graphen Definitionsmenge : beinhaltet alle Werte, die anstelle der Variable in den Funtkionsterm eingesetzt werden dürfen. Dabei müssen Abszissen (x-werte) ausgeschlossen werden, für die der Nenner eines Bruchs 0 wird. Abszissen, für die der Radikand einer Wurzel negativ wird, müssen ebenfalls ausgeschlossen werden. Bsp. 1: f (x) = 2x +1 D f =! \ ; 1 2 = 1 2 ;+ Bsp. 2: g(x) = 1 x 2 + 3x = 1 x (x + 3) D g =! \ { 3;0} Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: Nullstellen: f(x) = 0 x1 =...; x2 =...;... Schnittpunkte mit der x-achse: N1 (x1/0), N2 (x2/0),... Schnittpunkt mit der y-achse: (0/f(0)) Symmetrieverhalten: Gf ist achsensymmetrisch zur y-achse, falls gilt: f(-x) = f(x) Gf ist punktsymmetrisch zum Ursprung, falls gilt: f(-x) = -f(x) Verhalten im Unendlichen: Erfolgt durch die Grenzwertberechnung: lim f (x) bzw. lim f (x) x + x 23 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

24 Steigungsverhalten, Extrempunkte und Wertemenge: Können wir bis jetzt nur eingeschränkt bestimmen. Beispiel: f : x 2x G f steigt für x < 0 G f fällt für x > 0 S (0 / 3) ist Extrempunkt (hier: Hochpunkt) ] ] Wertemenge W= ; 3 24 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

25 16. Parameter verändern Funktionsgraphen Veränderung im Funktionsterm Auswirkung auf den Funktionsgraphen Beispiele g(x) = f(x) + b Verschiebung um den Wert b in y-richtung g(x) = a f(x) (a 0) Streckung um den Faktor a in y-richtung. Für a < 1 bedeutet das eine Stauchung und für a >1 eine Streckung. Für a < 0 erfolgt zusätzlich eine Spiegelung an der x-achse. g(x) = -f(x) Spiegelung an der x- Achse. g(x) = f(x + d) Verschiebung um den Wert -d in Richtung der x-achse. 25 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

26 Veränderung im Funktionsterm g(x) = f(c x) (c 0) Auswirkung auf den Funktionsgraphen Streckung um den 1 Faktor in Richtung c der x-achse und Stauchung für c > 1. Für c < 0 bedeutet das eine zusätzliche Spiegelung an der y-achse. Beispiele g(x) = f(-x) Spiegelung an der y-achse. (in Anlehnung an: Fokus Mathematik 10 ; Cornelsen Verlag; 1. Druck 2008; S. 182) 26 Basiswissen 10. Klasse David Jobst