Aufgabenkomplex 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme
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- Herta Schulze
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1 Technische Universität Chemnitz 3. Mai Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin:. Juni (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 3/) Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I., Aufgabenkomple 4 kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll! Sämtliche Aufgaben sind ohne elektronische Hilfsmittel zu lösen! sint. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve (t)= sin t im Punkt(,,π )! 6t. Gesucht ist die Kurve y= f(), die durch den Punkt (,6) geht und für die in jedem Punkt (, f()) das von den Koordinatenachsen und den Geraden = und y= f() begrenzte Rechteck viermal so groß ist wie die von den Koordinatenachsen, der Gerade = und der Kurve begrenzte Fläche. d Hinweis: Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt f(ξ)dξ=f(). d a 3. Lösen Sie die Differenzialgleichung y () y()cos=sincos! 4. Lösen Sie die inhomogenen linearen Differenzialgleichungen. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) y = y+3, b) y = y+3cos4! Verwenden Sie dabei zur Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung den Lösungsansatz in Form der rechten Seite ( Störgliedansatz )!. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen: ( ) ( ) a), b) 3 3, c)! Ermitteln Sie die Eigenwerte und ein vollständiges System orthonormierter Eigenvektoren der Matri 4! Führen Sie die Diagonalisierung der Matri mithilfe dieser Vektoren rechnerisch aus! Hinweis: Im Falle zweier linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert erhält man orthogonale Eigenvektoren zu diesem Eigenwert, indem man einen der Eigenvektoren und die zu diesem orthogonale Komponente des anderen Eigenvektors (s. z.b. Aufgabe 4b) aus Übung des. Semesters) verwendet.
2 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4 3. Mai Aufgabenkomple 4: Vektorfunktionen, Differenzialgleichungen, Eigenwertprobleme Letzter Abgabetermin:. Juni sint. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve (t)= sin t im Punkt(,,π )! 6t Aus 6t =π folgt t=±π/4, aus sint= dann t=π/4. Für dieses t ist auch sin t= erfüllt. (t) = erhält man also für t= π 4. (t)= π cost 4 sint cost 3t, ( π 4 Tangentengleichung: Tangente = ) = 8π π + u 8π
3 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4 3. Mai 3. Gesucht ist die Kurve y= f(), die durch den Punkt (,6) geht und für die in jedem Punkt (, f()) das von den Koordinatenachsen und den Geraden = und y= f() begrenzte Rechteck viermal so groß ist wie die von den Koordinatenachsen, der Gerade = und der Kurve begrenzte Fläche. d Hinweis: Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt f(ξ)dξ=f(). d a y 6 f()=4 f(ξ)dξ d d ( f())=4 d d f()+ f ()=4 f() f(ξ)dξ Zu lösen ist also die Anfangswertaufgabe f ()=3 f(), f()=6. Die Lösung der Differenzialgleichung kann durch Trennung der Veränderlichen erfolgen: d f d =3 f, d f f =3 d, ln f =3ln+lnC, f()=c3 (Sonderfall f = und Beträge wie üblich). Durch Einsetzen in die Anfangsbedingung f()=6 erhält man 8C= 6 und damit C=, so dass y= 3 die gesuchte Kurve ist.
4 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4 3. Mai 4 3. Lösen Sie die Differenzialgleichung y () y()cos=sincos! homogene Dgl.: y = ycos, dy y = cosd, lny=sin+lnc, y hom()= Ce sin (Behandlung von Division durch und Beträgen wie üblich) inhom. Dgl.: Ansatz Variation der Konstanten: y()= C()e sin, y ()= C ()e sin +C()e sin cos C e sin +Ce sin cos Ce sin cos=sincos, C = e sin sincos, C= e sin sindsin, e t t dt = e t t+ e t dt = e t (t+ )+D, C= e sin (sin+)+d, y() = (sin+) }{{} spez. Lösung inhom. Dgl. + } De{{ sin }, allg. Lösung homog. Dgl. } {{ } allg. Lösung inhomog. Dgl. D R 4. Lösen Sie die inhomogenen linearen Differenzialgleichungen. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) y = y+3, b) y = y+3cos4! Verwenden Sie dabei zur Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung den Lösungsansatz in Form der rechten Seite ( Störgliedansatz )! homogen: y = y, Ansatz: y=ce λ, λe λ = e λ, λ=, λ=, allgemeine Lösung der homogenen Dgl.: y= Ce inhomogen: a) Inhomogenität: rechte Seite : c() = 3 Ansatz: y()=a, y ()= Einsetzen in inhomogene Dgl.: = A+3, A= 3 spezielle Lösung der inhomogenen Dgl.: y= 3 allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl.: y= Ce + 3 b) Inhomogenität: rechte Seite : c() = 3 cos 4 (+ sin 4) Ansatz: y()=acos4+bsin4, y ()= 4Asin4+4Bcos4 Einsetzen in inhomogene Dgl.: 4Asin4+4Bcos4= Acos4 Bsin4+3cos4=( A+3)cos4 Bsin4 Koeffizientenvergleich: sin 4 : 4A = B B = A cos4 : 4B= A+3 8A= A+3, A= 3, B= 6 spezielle Lösung der inhomogenen Dgl.: y= 3 cos4+ 6 sin4 allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl.: y= Ce + 3 cos4+ 6 sin4
5 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4 3. Mai. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen: ( ) ( ) a), b) 3 3, c)! 3 8 a) Eigenwerte: det(a λ E) = 4 λ 3 3 λ =(4 λ)( 3 λ)+6=λ λ 6= = λ / = ± { 3 4 = Eigenvektor zu λ = 3: =, =, 3 6 =C, =C ( ) EV C b) Eigenwerte: det(a λe)= 4 λ 3 3 λ Eigenvektor zu λ = + i: i 3 i i 4 i +i i 4 +i 4 ( i)(+i)= +i Eigenvektor zu λ = : =, =3, 3 =C, =3C 3 ( ) EV D 3 =(4 λ)( 3 λ)+ 3 =λ λ + 3 =λ λ+ 3 = = λ / = ± = ± i Eigenvektor zu λ = i: + i 3 (λ 3 λ +λ 4) :(λ )=λ 4λ + 4, λ 3 λ 4λ +λ 4 4λ +4λ 4λ 4 4λ 4 + i +i 4 +i i +(+i) =, +i 4 +( i) =, =( i) i =( +i) ( ) 4 (+i)( i)= ( ) i +i EV C i EV D 8 λ c) λ 8 λ = λ(8 λ)( λ) λ ( λ) 4(8 λ) = λ(λ λ+6)+4 6λ 63+λ 3+4λ = λ 3 +λ 6λ+4 λ = λ 3 +λ λ+4= Offensichtlich ist λ = eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms. λ /3 =± { 4 4=
6 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4 3. Mai 6 EV zu EW λ = : = + 3 = EV C EV zu EW λ = : = = EV D 3 EV zu EW λ 3 = : = = EV Ẽ 3 =E 3 6. Ermitteln Sie die Eigenwerte und ein vollständiges System orthonormierter Eigenvektoren der Matri 4! Führen Sie die Diagonalisierung der Matri mithilfe dieser Vektoren rechnerisch aus! Hinweis: Im Falle zweier linear unabhängiger Eigenvektoren zu einem Eigenwert erhält man orthogonale Eigenvektoren zu diesem Eigenwert, indem man einen der Eigenvektoren und die zu diesem orthogonale Komponente des anderen Eigenvektors (s. z.b. Aufgabe 4b) aus Übung des. Semesters) verwendet. Die betrachtete Matri ist symmetrisch. Folglich sind alle Eigenwerte reell und zu jedem Eigenwert gehören linear unabhängige Eigenvektoren entsprechend seiner Vielfachheit, d.h. die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts ist gleich seiner arithmetische Vielfachheit. Ferner sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal. λ 4 λ λ =( λ)(4 λ)( λ)++ (4 λ) ( λ) 4( λ) =(4 λ+λ )( λ)+ 3+λ= λ+λ 4λ+λ λ 3 +λ = λ 3 +3λ = λ (λ 3)=, Eigenwerte: λ / = (doppelter EW), λ 3 =3 Für EW λ / = : 4 =y z, =s +t.
7 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomple 4 3. Mai Die linear unabhängigen Eigenvektoren und sind nicht orthogonal. Wir nehmen deshalb = und suchen einen dazu orthogonalen Eigenvektor in der Form = λ. Dann muss( ) λ = λ=, also λ = gelten. Damit ergibt sich = als zu orthogonaler Eigenvektor. Für EW λ 3 =3 : EV ˆ= Orthonormierte EV sind dann, zu und zu Die Matri aus diesen drei Vektoren ist orthogonal. Orthogonale Matri aus orthonormierten EV: V = V T AV= = = =
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