Logik für Informatiker

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Logik für Informatiker"

Transkript

1 Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau sofronie@uni-koblenz.de 1

2 Letzte Vorlesung Sematik: Σ-Strukturen = (U, (f : U n U) f /n Ω, (p U m ) p/m Π ) wobei U eine Menge, genannt Universum von. Valuationen (Variablen-)Belegungen: β : X U Wert eines Terms in bzgl. β Falls t = x X: (β)(t) = β(x) Falls t = c eine Konstante: (β)(t) = c Falls t = f (t 1,...,t n ): (β)(t) = f ((β)(t 1 ),..., (β)(t n )) Wahrheitswert einer Formel in bzgl. β 2

3 Modelle, Gültigkeit, rfüllbarkeit 3

4 Gültigkeit und rfüllbarkeit Definition. F gilt in unter β:, β = F g.d.w. (β)(f) = 1 Definition. F gilt in ( ist Modell von F): = F g.d.w., β = F, für alle β : X U Definition. F ist (allgemein-) gültig: = F g.d.w. = F, für alle Σ-Str F heißt erfüllbar gdw. es und β gibt, so daß, β = F. Sonst heißt F unerfüllbar. 4

5 Folgerung und Äquivalenz Definition. F impliziert G (oder G folgt aus F), i.z. F = G gdw. für alle Σ-Str und β : X U gilt: Falls, β = F, so, β = G. Definition. F und G sind äquivalent gdw. für alle Σ-Str und β : X U gilt:, β = F genau dann, wenn, β = G. Satz. F impliziert G gdw. (F G) ist gültig Satz. F und G sind äquivalent gdw. (F G) ist gültig. rweiterung auf Formelmengen N in natürlicher Weise, z.b.: N = G gdw. für alle Σ-Str und β : X U : falls, β = F, für alle F N, so, β = G. 5

6 Gültigkeit und Unerfüllbarkeit Nachweis von Gültigkeit (und damit Folgerung oder Äquivalenz) durch Unerfüllbarkeitstest: F gültig genau dann, wenn F unerfüllbar N = F genau dann, wenn N F unerfüllbar 6

7 Universelle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Beispiel lle, die in Koblenz studieren, sind schlau Richtig: Falsch: x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) lle studieren in Koblenz und sind schlau, d.h. lle studieren in Koblenz und alle sind schlau 7

8 xistentielle Quantifizierung Faustregel ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler Verwendung von mit Beispiel s gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist Richtig: Falsch: x(studiertin(x, landau) schlau(x)) x(studiertin(x, landau) schlau(x)) s gibt jemanden, der, falls er/sie in Landau studiert, schlau ist Trivial wahr, wenn es irgendjemanden gibt, der nicht in Landau studiert 8

9 igenschaften von Quantoren Quantoren gleicher rt kommutieren x x y ist das gleiche wie y ist das gleiche wie y y x x 9

10 igenschaften von Quantoren Quantoren gleicher rt kommutieren x x y ist das gleiche wie y ist das gleiche wie y y x x Sei Σ = (Ω,Π) eine Signatur. Für alle Σ-Formeln F gilt: (1) x y F y x F (2) x y F y x F 10

11 igenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT Beispiel: x y Mutter(y, x) Jeder hat eine Mutter (richtig) y x Mutter(y, x) s gibt eine Person, die die Mutter von jedem ist (falsch) 11

12 igenschaften von Quantoren Verschiedene Quantoren kommutieren NICHT Beispiel: x y Mutter(y, x) Jeder hat eine Mutter (richtig) y x Mutter(y, x) s gibt eine Person, die die Mutter von jedem ist (falsch) Sei Σ = (Ω,Π) eine Signatur. Für alle Σ-Formeln F gilt: x y F = y x F s gibt eine Signatur Σ = (Ω,Π) und eine Formel F mit: x y F = y x F 12

13 igenschaften von Quantoren Dualität der Quantoren x... ist das gleiche wie x... ist das gleiche wie x... x... Beispiel: x mag(x, eiskrem) ist das gleiche wie x mag(x,broccoli) ist das gleiche wie x mag(x, eiskrem) x mag(x, broccoli) 13

14 igenschaften von Quantoren Dualität der Quantoren x... ist das gleiche wie x... ist das gleiche wie x... x... Beispiel: x mag(x, eiskrem) ist das gleiche wie x mag(x,broccoli) ist das gleiche wie x mag(x, eiskrem) x mag(x, broccoli) Sei Σ = (Ω,Π) eine Signatur. Für alle Σ-Formeln F gilt: (1) x F x F (2) x F x F 14

15 igenschaften von Quantoren distributiert über x(......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) 15

16 igenschaften von Quantoren distributiert über x(......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel ( x (studiert(x) arbeitet(x)) ist das gleiche wie x studiert(x)) ( x arbeitet(x)) 16

17 igenschaften von Quantoren distributiert über x(......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel ( x (studiert(x) arbeitet(x)) ist das gleiche wie x studiert(x)) ( x arbeitet(x)) Sei Σ = (Ω,Π) eine Signatur. Für alle Σ-Formeln F, G gilt: x(f G) xf xg 17

18 igenschaften von Quantoren distributiert über x(......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) 18

19 igenschaften von Quantoren distributiert über x(......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel ( x (eiskrem(x) broccoli(x)) ist das gleiche wie x eiskrem(x)) ( x broccoli(x)) 19

20 igenschaften von Quantoren distributiert über x(......) ist das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel ( x (eiskrem(x) broccoli(x)) ist das gleiche wie x eiskrem(x)) ( x broccoli(x)) Sei Σ = (Ω,Π) eine Signatur. Für alle Σ-Formeln F, G gilt: x (F G) ( x F) ( x G) 20

21 igenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x(......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) 21

22 igenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x(......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel ( x (eiskrem(x) broccoli(x)) ist NICHT das gleiche wie x eiskrem(x)) ( x broccoli(x)) 22

23 igenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x(......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel ( ( x (eiskrem(x) broccoli(x)) ist NICHT das gleiche wie x eiskrem(x)) ( x broccoli(x)) x (gerade(x) ungerade(x)) ist NICHT das gleiche wie x gerade(x)) ( x ungerade(x)) 23

24 igenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x(......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel ( ( x (eiskrem(x) broccoli(x)) ist NICHT das gleiche wie x eiskrem(x)) ( x broccoli(x)) x (gerade(x) ungerade(x)) ist NICHT das gleiche wie x gerade(x)) ( x ungerade(x)) s gibt eine Signatur Σ = (Ω,Π) und Σ-Formeln F, G mit: x(f G) xf xg 24

25 igenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x(......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) 25

26 igenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x(......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel x (gerade(x) ungerade(x)) ist NICHT das gleiche wie ( x gerade(x)) ( x ungerade(x)) 26

27 igenschaften von Quantoren distributiert NICHT über x(......) ist NICHT das gleiche wie ( x...) ( x...) Beispiel x (gerade(x) ungerade(x)) ist NICHT das gleiche wie ( x gerade(x)) ( x ungerade(x)) s gibt eine Signatur Σ = (Ω,Π) und Σ-Formeln F, G mit: x(f G) xf xg 27

28 Beispiele: Familienverhältnisse Brüder sind Geschwister x y(bruder(x,y) geschwister(x, y)) 28

29 Beispiele: Familienverhältnisse Brüder sind Geschwister x y(bruder(x,y) geschwister(x, y)) bruder ist symmetrisch x y(bruder(x,y) bruder(y,x)) 29

30 Beispiele: Familienverhältnisse Brüder sind Geschwister x y(bruder(x,y) geschwister(x, y)) bruder ist symmetrisch x y(bruder(x,y) bruder(y,x)) in Cousin ersten Grades ist das Kind eines Geschwisters eines lternteils x y(cousin1(x,y) p p s (elternteil(p, x) geschwister(p s,p) elternteil(p s,y))) 30

31 Beispiele: Familienverhältnisse Brüder sind Geschwister x y(bruder(x,y) geschwister(x, y)) bruder ist symmetrisch x y(bruder(x,y) bruder(y,x)) in Cousin ersten Grades ist das Kind eines Geschwisters eines lternteils x y(cousin1(x,y) p p s (elternteil(p, x) geschwister(p s,p) elternteil(p s,y))) Definition für Bruder, der nicht nur Halbbruder ist x ybruder(x,y) ( (x y) m v( (m = v) elternteil(m, x) elternteil(v, x) elternteil(m, y) elternteil(v, y))) 31

32 Substitutionen und Valuationen 32

33 Substitutionen und Valuationen Theorem (Substitutionslemma) Für alle Σ-Strukturen, Wertebelegungen β, Σ-Formeln F, Variablen x und Terme t gilt:, β = F[t/x] g.d.w., β[x (β)(t)] = F Beweis: Strukturelle Induktion 33

34 Strukturelle Induktion Sei p(f) eine igenschaft der Formeln in Prädikatenlogik Behauptung: Für alle Formeln F, p(f) gilt Beweis durch Strukturelle Induktion: Induktionsbasis: Zu zeigen: p(f) gilt für F {, } und für alle atomaren Formeln. Induktionsvoraussetzung: Sei F eine Formel (nicht atomar oder oder ). nnahme: p(g) gilt für alle Teilformeln G von F (mit G F) Induktionsschritt: Zu zeigen: p(f) gilt: Fall 1 F = G Fall 2 F = G 1 G 2 Fall 3 F = G 1 G 2 Fall 4 F = G 1 G 2 Fall 5 F = G 1 G 2 Fall 6 F = Fall 7 F = xg xg 34

35 Strukturelle Induktion Sei p(t) eine igenschaft der Terme in Prädikatenlogik Behauptung: Für alle Terme t, p(t) gilt Beweis durch Strukturelle Induktion: Induktionsbasis: Zu zeigen: p(t) gilt für t X und für alle Konstanten. Induktionsvoraussetzung: Sei t ein Term (nicht Variable oder Konstante). nnahme: p(s) gilt für alle Teilterme s von t (mit s t) Induktionsschritt: Zu zeigen: p(t) gilt: Fallunterschied über alle f Ω mit t = f (t 1,...,t n ). 35

36 Substitutionen und Valuationen Theorem (Substitutionslemma) Für alle Σ-Strukturen, Wertebelegungen β, Σ-Formeln F, Variablen x und Terme t gilt:, β = F[t/x] g.d.w., β[x (β)(t)] = F Beweis: Strukturelle Induktion Wir benutzen folgendes Lemma: Lemma: Für alle Σ-Strukturen, Wertebelegungen β, Variable x und Terme t i,t: (β)(t i [t/x]) = (β[x (β)(t)])(t i ) 36

37 Substitutionen und Valuationen Lemma: Für alle Σ-Strukturen, Wertebelegungen β, Variable x und Terme t i,t: (β)(t i [t/x]) = (β[x (β)(t)])(t i ) Beweis Strukturelle Induktion p(t i ) (β)(t i [t/x]) = (β[x (β)(t)])(t i ) Zu zeigen: Für alle Terme t i, p(t i ) gilt. 1. Induktionsbasis: p(t i ) gilt für t i X und für t i = c Konstante. Fall 1: t i X. Fall 1a: t i = x. Dann: t i [t/x] = t. (β)(t i [t/x]) = (β)(t) = (β[x (β)(t)])(x) = (β[x (β)(t)])(t i ). Fall 1a: t i = y, mit y x. Dann: t i [t/x] = y (β)(t i [t/x]) = (β)(y) = (β[x (β)(t)])(y) = (β[x (β)(t)])(t i ). Fall 2: t i = c, c/0 Ω (Konstante). Dann: t i [t/x] = c (β)(t i [t/x]) = (β)(c) = c = (β[x (β)(t)])(c) = (β[x (β)(t)])(t i ). 37

38 Substitutionen und Valuationen Lemma: Für alle Σ-Strukturen, Wertebelegungen β, Variable x und Terme t i,t: (β)(t i [t/x]) = (β[x (β)(t)])(t i ) Beweis (ctd.) 2. Induktionsvoraussetzung: Sei t i Term (nicht Variable oder Konstante). nnahme: p(s) gilt für alle Teilterme s von t i (mit s t i ) 3. Induktionsschritt: Zu zeigen: p(t i ) gilt, wobei t i = f (s 1,..., s n ). (β)(t i [t/x]) = (β)(f (s 1,..., s n )[t/x]) = = (β)(f (s 1 [t/x],..., s n [t/x]) = (nw. Subst.) = f ((β)(s 1 [t/x]),..., (β)(s n [t/x])) Inf.Vor. = f ((β[x (β)(t)])(s 1 ),... (β[x (β)(t)])(s n )) = (β[x (β)(t)])(f (s 1,..., s n ) = (β[x (β)(t)])(t i ) 38

Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln

Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Syntax der Prädikatenlogik: Komplexe Formeln Σ = P, F eine prädikatenlogische Signatur Var eine Menge von Variablen Definition: Menge For Σ der Formeln über Σ Logik für Informatiker, SS 06 p.10 Syntax

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 9: Prädikatenlogik schulz@eprover.org Rückblick 2 Rückblick: Vor- und Nachteile von Aussagenlogik Aussagenlogik ist deklarativ: Syntaxelemente entsprechen

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 4. Aussagenlogik Syntax und Semantik der Aussagenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der Aussagenlogik:

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 1 9.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Rückblick: Vor- und Nachteile von Aussagenlogik + Aussagenlogik

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 10 4.06.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Organisatorisches Hauptklausur: Montag, 23.07.2012, 16:00-18:00,

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 9. Prädikatenlogik Syntax und Semantik der Prädikatenlogik Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Syntax der

Mehr

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau

Logik für Informatiker. 1. Grundlegende Beweisstrategien. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Mathematisches Beweisen Mathematische ussagen - haben oft

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 0. Organisatorisches Kontakt: Viorica Sofronie-Stokkermans sofronie@uni-koblenz.de

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Logik in der Informatik Was ist Logik? 2 Logik in der Informatik Was ist Logik? Mathematisch? 3 Logik in der Informatik

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 13. Prädikatenlogik Der Satz von Herbrand Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Semantische Bäume Eine klassische

Mehr

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen

Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen. notwendig: Existenz- und Allaussagen Prädikatenlogik 1. Stufe (kurz: PL1) Aussagenlogik zu wenig ausdrucksstark für die meisten Anwendungen notwendig: Existenz- und Allaussagen Beispiel: 54 Syntax der Prädikatenlogik erster Stufe (in der

Mehr

De Morgan sche Regeln

De Morgan sche Regeln De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,

Mehr

5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz

5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz 5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz Durch Einsetzung von PL1-Formeln für die Metavariablen in AL-Gesetzen erhält man PL1-Instanzen von AL-Gesetzen. Beispiele: φ φ AL PL1-Instanzen: Pa () Pa

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 10. Prädikatenlogik Substitutionen und Unifikation Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Substitutionen Definition:

Mehr

Einführung in die Logik

Einführung in die Logik Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3

Mehr

8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem

8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8.1 Der Kompaktheitssatz Kompaktheitssatz Endlichkeitssatz Der Kompaktheitssatz ist auch unter dem Namen Endlichkeitssatz bekannt. Unter Verwendung

Mehr

Tableaukalkül für Aussagenlogik

Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. & 7. Juni 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Die ist eine Erweiterung

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014 Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Ulrich Furbach Institut für Informatik Sommersemester 2014 Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Logische und funktionale Programmierung

Logische und funktionale Programmierung Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2: Prädikatenkalkül erster Stufe Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. Oktober 2016 1/38 DIE INTERPRETATION

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (III) 17.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie

Mehr

SS April Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1. Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April :00h

SS April Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1. Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April :00h SS 2011 20. April 2011 Übungen zur Vorlesung Logik Blatt 1 Prof. Dr. Klaus Madlener Abgabe bis 27. April 2011 10:00h 1. Aufgabe: [strukturelle Induktion, Übung] Zeigen Sie mit struktureller Induktion über

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung

Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung Universität Koblenz-Landau FB 4 Informatik Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans 23.07.2012 Dipl.-Inform. Markus Bender Hauptklausur zur Vorlesung Logik für Informatiker im Sommersemester 2012 Lösung

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 1. Einführung Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Formale Logik Ziel Formalisierung und Automatisierung rationalen

Mehr

3. Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik sind das verschiedene Sätze, repräsentiert etwa durch A, B, C. Natürlich gilt nicht: A B = C

3. Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik sind das verschiedene Sätze, repräsentiert etwa durch A, B, C. Natürlich gilt nicht: A B = C 3. Prädikatenlogik 3.1 Motivation In der Aussagenlogik interessiert Struktur der Sätze nur, insofern sie durch "und", "oder", "wenn... dann", "nicht", "genau dann... wenn" entsteht. Für viele logische

Mehr

Allgemeingültige Aussagen

Allgemeingültige Aussagen Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt

Mehr

Logik-Grundlagen. Syntax der Prädikatenlogik

Logik-Grundlagen. Syntax der Prädikatenlogik Logik-Grundlagen X 1 :...: X k : ( A 1 A 2... A m B 1 B 2... B n ) Logische und funktionale Programmierung - Universität Potsdam - M. Thomas - Prädikatenlogik III.1 Syntax der Prädikatenlogik Prädikat:

Mehr

Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme. Formeln. Freie und gebundene Variablen, Aussagen. Aufgabe

Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme. Formeln. Freie und gebundene Variablen, Aussagen. Aufgabe Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme Formeln Eine Variable hat die Form x i mit i = 1, 2, 3.... Ein Prädikatensymbol hat die Form Pi k und ein Funktionssymbol hat die Form fi k mit i = 1, 2, 3...

Mehr

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie

Was ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf

Mehr

Der Sequenzenkalkül. Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik

Der Sequenzenkalkül. Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Der Sequenzenkalkül 138 Der Sequenzenkalkül Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Die ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Sie hat eine größere Ausdrucksstärke und erlaub eine feinere Differenzierung. Ferner sind Beziehungen/Relationen

Mehr

Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9.

Formale Logik. PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg. Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 9. November 2016 Weitere Begriffe Eine Zuweisung von Wahrheitswerten W bzw. F

Mehr

Ersetzbarkeitstheorem

Ersetzbarkeitstheorem Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen

Mehr

Entscheidungsverfahren für Bernays/Schönfinkelbzw. Datenlogik-Formeln

Entscheidungsverfahren für Bernays/Schönfinkelbzw. Datenlogik-Formeln Vorlesung Letz WS 2002/2003 TU München: Logikbasierte Entscheidungsverfahren Entscheidungsverfahren für Bernays/Schönfinkelbzw. Datenlogik-Formeln INHALTE Die Bernays-Schönfinkel-Klasse bzw. Datenlogik-Formeln

Mehr

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade

TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2

Mehr

3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik

3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik Deduktionssysteme der Aussagenlogik, Kap. 3: Tableaukalküle 38 3 Tableaukalküle 3.1 Klassische Aussagenlogik 3.1.1 Die Variante T1 und ein Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik Ein zweites Entscheidungsverfahren

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 6. Aussagenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Fakultät für Informatik 2. Klausur zum WS 2010/2011 Prof. Dr. Bernhard Beckert 08. April 2011 Vorname: Matrikel-Nr.: Platz: Klausur-ID: **Platz** **Id** Die Bearbeitungszeit beträgt 60 Minuten. A1 (17)

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1

Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1 Prädikatenlogik 1. Syntax und Semantik Man kann die Prädikatenlogik unter einem syntaktischen und einem semantischen Gesichtspunkt sehen. Bei der Behandlung syntaktischer Aspekte macht man sich Gedanken

Mehr

Prädikatenlogik. Quantoren. Quantoren. Quantoren. Quantoren erlauben Aussagen über Mengen von Objekten des Diskursbereichs, für die ein Prädikat gilt

Prädikatenlogik. Quantoren. Quantoren. Quantoren. Quantoren erlauben Aussagen über Mengen von Objekten des Diskursbereichs, für die ein Prädikat gilt Prädikatenlogik Aussagen wie Die Sonne scheint. die in der Aussagenlogik atomar sind, werden in der Prädikatenlogik in Terme (sonne) und Prädikate (scheint) aufgelöst und dann dargestellt als z.b. scheint(sonne)

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

Logik & Semantik 7. Vorlesung Prädikatenlogik 1. Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik: Grundbegriffe (Variablen-)Substitutionen

Logik & Semantik 7. Vorlesung Prädikatenlogik 1. Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik: Grundbegriffe (Variablen-)Substitutionen Logik & Semantik 7. Vorlesung Prädikatenlogik 1 Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik: Grundbegriffe (Variablen-)Substitutionen 1 Definition eines logischen Systems: Generelles Schema

Mehr

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.

Mehr

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik...

Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Beispiel Aussagenlogik nach Schöning: Logik... Worin besteht das Geheimnis Ihres langen Lebens? wurde ein 100-jähriger gefragt. Ich halte mich streng an die Diätregeln: Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit

Mehr

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem:

Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: Formalisierung von Sudoku Formalisieren Sie das Sudoku-Problem: 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 9 9 8 6 Verwenden Sie dazu eine atomare Formel A[n, x, y] für jedes Tripel (n,

Mehr

Unvollständigkeit der Arithmetik

Unvollständigkeit der Arithmetik Unvollständigkeit der Arithmetik Slide 1 Unvollständigkeit der Arithmetik Hans U. Simon (RUB) Email: simon@lmi.rub.de Homepage: http://www.ruhr-uni-bochum.de/lmi Unvollständigkeit der Arithmetik Slide

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem

Mehr

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken

Mehr

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische

Mehr

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4 Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)

Mehr

SS2010 BAI2-LBP Gruppe 1 Team 07 Entwurf zu Aufgabe 4. R. C. Ladiges, D. Fast 10. Juni 2010

SS2010 BAI2-LBP Gruppe 1 Team 07 Entwurf zu Aufgabe 4. R. C. Ladiges, D. Fast 10. Juni 2010 SS2010 BAI2-LBP Gruppe 1 Team 07 Entwurf zu Aufgabe 4 R. C. Ladiges, D. Fast 10. Juni 2010 Inhaltsverzeichnis 4 Aufgabe 4 3 4.1 Sich mit dem Programmpaket vertraut machen.................... 3 4.1.1 Aufgabenstellung.................................

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2016 20.04.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 7. Aussagenlogik Analytische Tableaus Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Tableaukalkül

Mehr

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik

Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Was bisher geschah: klassische Aussagenlogik Syntax Symbole und Struktur Junktoren: t, f (nullstellig), (einstellig),,,, (zweistellig) aussagenlogische Formeln AL(P) induktive Definition: IA atomare Formeln

Mehr

Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom : Grundlage von Isabelle

Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom : Grundlage von Isabelle 1 Formale Methoden der Softwaretechnik 1 Vorlesung vom 16.11.09: Grundlage von Isabelle Christoph Lüth, Lutz Schröder Universität Bremen Wintersemester 2009/10 2 Fahrplan Teil I: Grundlagen der Formalen

Mehr

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti 9. Januar 2015 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften

Mehr

4.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 4.1 Motivation. 4.2 Syntax der Prädikatenlogik. 4.3 Semantik der Prädikatenlogik

4.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 4.1 Motivation. 4.2 Syntax der Prädikatenlogik. 4.3 Semantik der Prädikatenlogik Theorie der Informatik 3. März 2014 4. Prädikatenlogik I Theorie der Informatik 4. Prädikatenlogik I 4.1 Motivation Malte Helmert Gabriele Röger 4.2 Syntax der Prädikatenlogik Universität Basel 3. März

Mehr

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen

Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen

Mehr

Aufgabe - Fortsetzung

Aufgabe - Fortsetzung Aufgabe - Fortsetzung NF: Nicht-Formel F: Formel A: Aussage x :( y : Q(x, y) R(x, y)) z :(Q(z, x) R(y, z)) y :(R(x, y) Q(x, z)) x :( P(x) P(f (a))) P(x) x : P(x) x y :((P(y) Q(x, y)) P(x)) x x : Q(x, x)

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 013/14. Oktober 013 Vorkurs Informatik WS 013/14 1/1 Vollständige Induktion Vorkurs Informatik WS 013/14 /1 Ziel

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 8. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8. Vorlesung 1 / 25 Themen

Mehr

Modelltheorie. Zunächst fixieren wir die Notation, die wir im Folgenden verwenden werden.

Modelltheorie. Zunächst fixieren wir die Notation, die wir im Folgenden verwenden werden. 1 Modelltheorie Die Modelltheorie beschäftigt sich mit der Klassifikation mathematischer Strukturen und Abbildungen mit Hilfe von logischen Formeln sowie dem Zusammenhang zwischen rein syntaktischen und

Mehr

Resolutionsalgorithmus

Resolutionsalgorithmus 112 Resolutionskalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften der Eingabeformel herleiten kann. Für den Resolutionskalkül:

Mehr

1. [Aufgabe] Welche der folgenden Aussagen sind gültige Einwände gegen das Sprichwort Alles verstehen heisst alles verzeihen?

1. [Aufgabe] Welche der folgenden Aussagen sind gültige Einwände gegen das Sprichwort Alles verstehen heisst alles verzeihen? Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung 1 1. [Aufgabe] Welche der folgenden Aussagen sind gültige Einwände gegen das Sprichwort Alles verstehen heisst alles verzeihen? a Niemand versteht

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 29.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre

Mehr

Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker

Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Musterlösung der Klausur zur Vorlesung Logik für Informatiker Bernhard Beckert Christoph Gladisch Claudia Obermaier Arbeitsgruppe Künstliche Intelligenz Fachbereich Informatik, Universität Koblenz-Landau

Mehr

mathe plus Aussagenlogik Seite 1

mathe plus Aussagenlogik Seite 1 mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet

Mehr

Logik für Informatiker Musterlösung Aufgabenblatt 8

Logik für Informatiker Musterlösung Aufgabenblatt 8 Universität Koblenz-Landau SS 06 Institut für Informatik Bernhard Beckert www.uni-koblenz.de/~beckert Claudia Obermaier www.uni-koblenz.de/~obermaie Cristoph Gladisch www.uni-koblenz.de/~gladisch Übung

Mehr

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015 Teil 3: Logik 1 Aussagenlogik Einleitung Eigenschaften Äquivalenz Folgerung Normalformen 2 Prädikatenlogik Wenn eine Karte

Mehr

Substitution. Unifikation. Komposition der Substitution. Ausführung der Substitution

Substitution. Unifikation. Komposition der Substitution. Ausführung der Substitution Substitution Unifikation Ziel eines Widerspruchsbeweis: Widerspruch ja/nein Variablenbindung im Falle eines Widerspruchs Eine Substitution θ ist eine endliche Menge der Form {v 1 /t 1 v n /t n }, wobei

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 8 31.05.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Normalformen: CNF/DNF Subsumption SAT-Problem

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski

Mehr

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I 3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I 3.3 Quantoren [ Gamut 70-74 McCawley 23-44 Chierchia 113-117 ]? Sind folgende Sätze jeweils synonym? (1) (a) Hans ist verheiratet oder nicht verheiratet. (b)

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Vorsemesterkurs Informatik

Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Vorsemesterkurs Informatik Mario Holldack WS2015/16 30. September 2015 Vorsemesterkurs Informatik 1 Einleitung 2 Aussagenlogik 3 Mengen Vorsemesterkurs Informatik > Einleitung

Mehr

Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 19.10.2004 In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft

Mehr

Vorlesung Logiksysteme

Vorlesung Logiksysteme Vorlesung Logiksysteme Teil 1 - Aussagenlogik Martin Mundhenk Univ. Jena, Institut für Informatik 15. Mai 2014 Formalien zur Vorlesung/Übung Termine: dienstags 16:15 17:45 Uhr freitags 10:15 11:45 Uhr

Mehr

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung

Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Weitere Beweistechniken und aussagenlogische Modellierung Vorlesung Logik in der Informatik, HU Berlin 2. Übungsstunde Aussagenlogische Modellierung Die Mensa versucht ständig, ihr Angebot an die Wünsche

Mehr

17 Grundbegriffe der Logik der Sprache PL

17 Grundbegriffe der Logik der Sprache PL 17 Grundbegriffe der Logik der Sprache PL Erinnerung Definition 11.1 Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch wahr, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden logischen Ausdrücke

Mehr

Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 14.12.2004

Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 14.12.2004 Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 14.12.2004 In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, wie man die einzelnen Zahlenbereiche aufbaut. Uns fehlen nur noch die reellen Zahlen (siehe

Mehr

3.2 Prädikatenlogik. WS 06/07 mod 321

3.2 Prädikatenlogik. WS 06/07 mod 321 3.2 Prädikatenlogik WS 06/07 mod 321 Prädikatenlogik umfasst Aussagenlogik mit atomaren Aussagen, Variablen, Junktoren. Zusätzliche Konzepte: A = (τ, Σ) sei die so genannte Termalgebra (mit Variablen,

Mehr

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

Theoretische Grundlagen des Software Engineering

Theoretische Grundlagen des Software Engineering Theoretische Grundlagen des Software Engineering 7: Einführung Aussagenlogik schulz@eprover.org Logisches Schließen 2 gold +1000, 1 per step, Beispiel: Jage den Wumpus Performance measure death 1000 10

Mehr

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012

Mathematische Logik. Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz. Felix Hensel. February 21, 2012 Mathematische Logik Grundlagen, Aussagenlogik, Semantische Äquivalenz Felix Hensel February 21, 2012 Dies ist im Wesentlichen eine Zusammenfassung der Abschnitte 1.1-1.3 aus Wolfgang Rautenberg s Buch

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Kapitel 11. Prädikatenlogik Quantoren und logische Axiome

Kapitel 11. Prädikatenlogik Quantoren und logische Axiome Kapitel 11 Prädikatenlogik Im Kapitel über Aussagenlogik haben wir die Eigenschaften der Booleschen Operationen untersucht. Jetzt wollen wir das als Prädikatenlogik bezeichnete System betrachten, das sich

Mehr

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle.

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle. Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien Tobias Hebel Koblenz, am 18.02.2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 3 2 Grundlagen...

Mehr

2 Ein logik-orientiertes Datenmodell

2 Ein logik-orientiertes Datenmodell 2 Ein logik-orientiertes Datenmodell In Datenbanken sind viele, gleichartig strukturierte Fakten (Aussagen) gespeichert, z.b. Anton ist ein Elternteil von Maria. Anton ist ein Elternteil von Hugo. Wilhelmine

Mehr

Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik

Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Syntax und Semantik, Normalformen, Herbrandexpansion Michael Beetz Plan-based Robot Control 1 Inhalt 7.1 Motivation 7.2 Syntax und Semantik 7.3 Normalformen 7.4

Mehr