Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 3. Vorlesung Dr. Jochen Köhler 1

2 Inhalte der heutigen Vorlesung Ziel: Daten Modellbildung Probabilistisches Modell Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Im ersten Schritt werden wir die Daten Risiken nur beschreiben: numerisch grafisch Entscheidungsfindung Konsequenzen von Ereignissen 2

3 Inhalte der heutigen Vorlesung Überblick der beschreibenden Statistik Numerische Kennwerte Mit welchen einfachen Zahlen können Datenmengen charakterisiert werden? Grafische Darstellung von Datenmengen Wie werden Datenmengen informativ in Grafiken umgesetzt? 3

4 Ziel der beschreibenden Statistik Beschreiben von Datenmengen Körpergrösse Kennwerte Grafiken Keine Annahmen nur Beschreibung!! 4

5 Vorbemerkung Stichprobe und Grundgesamtheit Die statistischen Eigenschaften einer Grundgesamtheit werden anhand von Stichproben untersucht. Z.B.: Die Grundgesamtheit aller Studierenden, welche für Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung eingeschrieben sind, ist m = 38. Stichprobe von letzter Woche, n =

6 Vorbemerkung Stichprobe und Grundgesamtheit Die statistischen Eigenschaften einer Grundgesamtheit werden anhand von Stichproben untersucht. Z.B.: Biegezähigkeit von Büroklammern, m =. Stichprobe, n = 222 6

7 Vorbemerkung Stichprobe und Grundgesamtheit Die statistischen Eigenschaften einer Grundgesamtheit werden anhand von Stichproben untersucht. Damit die Stichprobe die Grundgesamtheit repräsentiert, müssen die Stichproben zufällig aus der Grundgesamtheit entnommen werden. 7

8 Ziel der beschreibenden Statistik Beschreiben von Datenmengen Körpergrösse Kennwerte Grafiken Keine Annahmen nur Beschreibung!! 8

9 Datenbeschreibung Zusammenfassen zu nur einem Kennwert Arithmetisches Mittel: Für einen Datensatz: n 1 x x i n i1 x x, x,..., x n 1 2 T Um eine Stichprobe nur mit Hilfe eines Kennwertes zu beschreiben, wird normalerweise der Stichproben Mittelwert verwendet. 9

10 Datenbeschreibung Einfache grafische Darstellung von Stichproben Eindimensionales Streudiagramm: Körpergrösse [cm] weiblich n = 55 männlich n =

11 Datenbeschreibung Einfache grafische Darstellung von Stichproben Eindimensionales Streudiagramm: Körpergrösse [cm] weiblich n = 55 männlich n = Guter Datenüberblick (Maximum, Minimum). Vorsicht bei diskret verteilten Daten! 11

12 Datenbeschreibung Einfache grafische Darstellung von Stichproben Eindimensionales Streudiagramm: Mittelwert Frauen = Körpergrösse [cm] weiblich n = 55 männlich n = 169 Mittelwert Männer = n 1 Der Stichprobenmittelwert x x i entspricht dem Schwerpunkt der Daten. n i1 12

13 Datenbeschreibung Einfache grafische Darstellung von Stichproben Histogramm: Einteilung der Datenreihe in Intervalle. Darstellung der Grösse der Intervalle. z.b. die Körpergrösse Intervall Anzahl 15<x <x <x <x <x 2 7 n =

14 Datenbeschreibung Einfache grafische Darstellung von Stichproben Histogramm: Intervall Anzahl 15<x <x <x <x <x 2 7 n = 224 Absolute Häufigkeit Körpergrösse [cm] n = <x 16 16<x 17 17<x 18 18<x 19 19<x

15 Datenbeschreibung Neben dem Mittelwert gibt es noch andere sog. Lageparameter: Der Median oder Zentralwert x der Stichprobe ist der mittlere Wert einer nach der Grösse geordneten Stichprobe o o o. x1 x2... x n x xn1 2 1 xn xn n ungerade n gerade Beispiele: [ ] [ ] 15

16 Datenbeschreibung Neben dem Mittelwert gibt es noch andere sog. Lageparameter: Der Median oder Zentralwert x der Stichprobe ist der mittlere Wert einer nach der Grösse geordneten Stichprobe o o o. x1 x2... x n Absolute Häufigkeit Körpergrösse [cm] n = <x 16 16<x 17 17<x 18 18<x 19 19<x Mittelwert = Median =

17 Datenbeschreibung Neben dem Stichproben Mittelwert gibt es noch andere sog. Lageparameter: Absolute Häufigkeit Der Modus oder Modalwert der Stichprobe ist der am häufigsten auftretende Wert bei kontinuierlichen Wertemengen u.a. aus Histogramm ersichtlich. Körpergrösse [cm] n = Modus 15<x 16 16<x 17 17<x 18 18<x 19 19<x Mittelwert = Median =

18 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Die Varianz der Stichprobe Die Standardabweichung der Stichprobe s 2 1 n n i1 n i 1 ( xi x ) n 1 s ( x x) i 2 2 Der Variationskoeffizient der Stichprobe (relative Streuung, COV) s x 18

19 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Varianz s n 2 1 n i1 ( xi x ) 2 2 Standardabweichung s ( x x) COV 1 n n i 1 i s x Beispiel Absolute Häufigkeit n = 224 Körpergrösse [cm] x [cm] s 66.4 [cm ] 2 2 s 8.15 [cm].46 [-] Absolute Häufigkeit n = 223 Gewicht [kg] x [kg] s [kg ] 2 2 s 1.29 [kg].147 [-] 19

20 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Der Schiefekoeffizient der Stichprobe > Mass für die Asymmetrie Beispiel 1 n n i1 ( x i s 3 x ) 3 Absolute Häufigkeit n = 223 Körpergrösse [cm] Absolute Häufigkeit n = 223 Gewicht [kg]

21 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Der Schiefekoeffizient der Stichprobe > Mass für die Asymmetrie Beispiel 1 n n i1 ( x i s 3 x ) 3 Absolute Häufigkeit n = 223 Körpergrösse [cm] Absolute Häufigkeit n = 223 Gewicht [kg] Linksschief Rechtsschief 21

22 Datenbeschreibung Streuungsparameter Streuung um den Mittelwert Kurtosis der Stichprobe: > Mass für die Spitzigkeit / Gipfligkeit Beispiel 1 n n i1 ( x i s 4 x ) 4 Absolute Häufigkeit n = 223 Körpergrösse [cm] Absolute Häufigkeit n = 223 Gewicht [kg] 22

23 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften x x, x, x,..., x n T y y, y, y,..., y n T 23

24 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Das zweidimensionale Streudiagramm 13 Körpergrösse vs. Gewicht Gewicht [kg] n= Körpergrösse [cm] 24

25 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Das zweidimensionale Streudiagramm 2 Büroklammerbiegetest AnzahlBiegungen "grosse" Klammern n = Anzahl Biegungen "kleine" Klammern 25

26 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Die Kovarianz der Stichprobe: Gewicht [kg] Körpergrösse vs. Gewicht n 1 s ( x x) ( y y) XY i i n i Körpergrösse [cm] n=224 x Körpergrösse x cm y Gewicht y kg 26

27 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Die Kovarianz der Stichprobe: n 1 s ( x x) ( y y) XY i i n i 1 Der Korrelationskoeffizient der Stichprobe: r XY 1 n n i1 ( x i x ) ( s X s Y y i y ) ist limitiert auf das Interval 1,1 27

28 Datenbeschreibung Beschreibung von paarweise beobachteten Eigenschaften Der Korrelationskoeffizient: r XY n ( xi x) ( yi y) 1 i n s s X Y Gewicht [kg] Körpergrösse vs. Gewicht x Körpergrösse x cm y Gewicht y kg 5 n= Körpergrösse [cm] 28

29 Nummerische Kennwerte Lageparameter: Arithmetisches Mittel Median Modalwert Streuungsparameter: Varianz / Standardabweichung Variationskoeffizient Andere Parameter: Schiefekoeffizient Kurtosis Schwerpunkt der Stichprobe mittlerer Wert einer Stichprobe am häufigsten vorkommender Wert Verteilung um den Mittelwert Variabilität relativ zum Mittelwert Schiefe relativ zum Mittelwert Spitzigkeit/Gipfligkeit um den Mittelwert Masse für Korrelation: Kovarianz Tendenz für paarweise beobachtete Eigenschaften Korrelationskoeffizient Normalisierter Koeffizient zwischen 1 und +1 29

30 Weitere grafische Darstellungsformen Histogramm Fortsetzung Quantil Plots TukeyBox Plots 3

31 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Beispiel: Ihre Büroklammerdaten vom letzten Mal grosse Klammern, Stichprobenumfang n = 223, Maximalwert 164, Minimalwert 4. Einteilung in 17 Intervalle; [,1); [1,2); [2,3); ; [16,17) 31

32 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Beispiel: Absolute Häufigkeit n = 223 Anzahl Biegungen der grossen Klammern 32

33 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Beispiel: Absolute Häufigkeit Aussage abhängig von der Anzahl der Intervalle! 17 Intervalle n = 223 Absolute Häufigkeit Intervalle n = 223 Anzahl Biegungen der grossen Klammern Anzahl Biegungen der grossen Klammern 33

34 Histogramm Prinzip: Aufteilung der Stichprobe in k Grössen Intervalle Auftragen der Häufigkeit je Intervall Faustregel für die Anzahl der Intervalle: k13.3log n Beispiel: Büroklammerdaten grosse Klammern, Stichprobenumfang n = 223, Wertebereich [4,164] [,2); [2,4); [4,6); ; [16,18) oder [4,24); [24,44); [44,64); ; [164,184.)? k 13.3log Intervalle 34

35 Histogramm Absolute Häufigkeit n = 223 Absolute Häufigkeit 12 9 Intervalle 9 Intervalle n = Anzahl Biegungen der grossen Klammern Anzahl Biegungen der grossen Klammern 35

36 Histogramm Die Form des Histogramms hängt ab von der Anzahl der Intervalle. der Wahl des Startpunktes. Absolute Häufigkeit n = 223 Absolute Häufigkeit n = 223 Absolute Häufigkeit n = 223 Absolute Häufigkeit n = 223 Anzahl Biegungen der grossen Klammern Anzahl Biegungen der grossen Klammern Anzahl Biegungen der grossen Klammern Anzahl Biegungen der grossen Klammern 36

37 Histogramm Bisher haben wir die absolute Häufigkeit betrachtet. Absolute Häufigkeit n = 223 Anzahl Biegungen der grossen Klammern 37

38 Histogramm Bisher haben wir die absolute Häufigkeit betrachtet. In der Regel wird die Häufigkeit relativ, also normiert betrachtet Absolute Häufigkeit n = 223 Relative Häufigkeit n = Anzahl Biegungen der grossen Klammern Anzahl Biegungen der grossen Klammern 38

39 Histogramm Eine Spielart des Histogramms ist das kumulative Häufigkeitsdiagramm. Histogramm kumulatives Häufigkeitsdiagramm.45 1 n = n = Relative Häufigkeit Kumulative relative Häufigkeit Anzahl Biegungen der grossen Klammern Anzahl Biegungen der grossen Klammern 39

40 Histogramm Eine Spielart des Histogramms ist das kumulative Häufigkeitsdiagramm. Hier kann die Intervalleinteilung beliebig klein sein! 1 n = n = Kumulative relative Häufigkeit Kumulative relative Häufigkeit Anzahl Biegungen der grossen Klammern Anzahl Biegungen der grossen Klammern 4

41 Weitere grafische Darstellungsformen HistogrammTeil II. Quantil Plots TukeyBox Plots 41

42 Quantil Plot Das Quantil ist für eine gegebene Anzahl an Beobachtungen wie folgt definiert: Das Quantil ist der Wert, der die unteren 1% der Messwerte von den oberen 1% 1% trennt. Beispiel: Das.75 Quantil wird von 1%.751% 25% der Daten überschritten. Die Quantile werden von der geordneten (sortierten) Stichprobe berechnet: o o o x1 x2... x n DerQuantilindex wird wie folgt berechnet: i ; n: Gesamt Anzahl der Beobachtungen, Rang i=1,2..., n n 1 42

43 Quantil Plot Quantil Plots werden durch Auftragen der Daten und der Quantilindizes gebildet. Anzahl Biegungen der "grossen" Klammern Quantilindex n = 223 i i n 1 xi

44 Kumulatives Häufigkeitsdiagramm Werden im Quantil Plots die Achsen vertauscht ergibt dies ein kumulatives Häufigkeitsdiagramm. n = Anzahl Biegungen der "grossen" Klammern Quantilindex Quantilindex Anzahl Biegungen der "grossen" Klammern 44

45 Kumulatives Häufigkeitsdiagramm 1.75 n = 223 oberes Quartil =.75 Quantil Quantilindex.5.25 unteres Quartil =.25 Quantil Anzahl Biegungen der "grossen" Klammern 45

46 Kumulatives Häufigkeitsdiagramm 1 n = oberes Quartil =.75 Quantil Quantilindex.5.25 grosse Klammern kleine Klammern unteres Quartil =.25 Quantil Anzahl Biegungen der Klammern 46

47 Tukey Box Plot Der Tukey Box Plot illustriert: Median untere und obere Quartilwerte unterer und oberer Nachbarschaftswert interquartile Differenz Ausreisser 47

48 Tukey Box Plot Ausreisser oberer Nachbarschaftswert grösste Beobachtung kleiner/gleich oberes Quartil * r oberes Quartil =.75 Quantil r r = interquartile Differenz Median =.5 Quantil unteres Quartil =.25 Quantil unterer Nachbarschaftswert kleinste Beobachtung grösser/gleich unteres Quartil 1.5 * r 48

49 Tukey Box Plot Büroklammern 49

50 Tukey Box Plot Büroklammern 5

51 Tukey Box Plot Körpergrösse 51

52 Tukey Box Plot Körpergrösse 52

53 Tukey Box Plot Körpergrösse 53

54 Tukey Box Plot Körpergrösse 54

55 Q Q Plots 18 Quantil Quantil Plot Büroklammernbiegeversuche Q Q plots dienen zur Darstellung und dem Vergleich von zwei Datenreihen. 6 Datenpunkte der beiden 4 Datenreihen mit 2 demselben Quantilwert werden aufgetragen. Anzahl Biegungen grosse Klammern Anzahl Biegungen kleine Klammern 55

56 Mittelwert Differenz Plot Mittelwert Differenz Plots dienen zur Darstellung und dem Vergleich von zwei Datenreihen. Das Mittel ( yi xi)/2 wird über die Differenz y aufgetragen. i x i y i -x i Differenz Mittelwert Differenz Plot Büroklammernbiegeversuche Mittelwert ( y x)/2 i i y = grosse Klammern, x = kleine Klammern 56

57 Zusammenfassung Graphische Darstellung Eindimensionales Streudiagramm Zweidimensionales Streudiagramm Histogramm Quantil Plot Tukey Box Plot Q Q Plot Mittelwert Differenz Plot Veranschaulicht den Bereich und die Verteilung von Datenreihen entlang einer Achse, und zeigt Symmetrie. Veranschaulicht den paarweisen Zusammenhang von Daten. Stellt die Verteilung von Daten über einem Bereich von Datenreihen dar, zeigt Modalwert und Symmetrie. Stellt Median, Verteilung und Symmetrie dar. Stellt Median, obere/untere Quartile, Symmetrie und Verteilung dar. Vergleicht zwei Datenreihen, relatives Bild. Vergleicht zwei Datenreihen, relatives Bild. 57

58 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 58

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