Mathematik und Nanotechnologie: Warum werden Computer immer kleiner?

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1 1 Mathematik und Nanotechnologie: Warum werden Computer immer kleiner? Ansgar Jüngel Institut für Analysis und Scientific Computing (einige Bilder sind aus urheberrechtlichen Gründen entfernt) Einleitung Drift-Diffusionsgleichungen Numerische Beispiele

2 Einleitung 2 Einsatz von Computern Kommunikation Haushalt Medizin Audio/Video Transport Wirtschaft

3 Einleitung 3 1 Computer Vom Computer zum Halbleiter 3 Computerschaltung 2 Prozessorplatine 4 Transistor

4 Einleitung Geschichte der Intel-Prozessoren KHz, 2250 Transistoren, Kanallänge: 10µm (1µm= 10 6 m) MHz, Transistoren, Kanallänge: 1,5µm Pentium 1 66 MHz, Transistoren, Kanallänge: 0,35µm Core Duo 3 GHz, Transistoren, Kanallänge: 45nm

5 Einleitung 5 Entwicklung der Transistorzahl

6 Einleitung 6 Entwicklung der Kanallänge

7 Introduction 7 Herausforderungen im Schaltkreisdesign Zukünftiger Prozessor (2010): Transistorzahl > Kanallänge < 45 nm hochintegrierte Schaltkreise: Leistungsdichte > 100W/cm 2 Hauptprobleme: sinkende Spannung Rauschen steigende Frequenzen Mehrskalenproblem steigende Designvielfalt schnelle und akkurate Simulationen notwendig steigende Leistungsdichte parasitäre Effekte (Wärme, hot spots )

8 Einleitung 8 Funktionsweise eines MOSFET-Transistors (MOSFET = Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor) Source Gate Drain Elektronen 70 Nanometer Bulk Kanallänge: 70 Nanometer Elektronenfluß von Source zu Drain Stromfluß gesteuert vom elektrischen Potential am Gate Elektronen fließen von nach +

9 Drift-Diffusionsgleichungen 9 Mathematische Modellierung Variablen: Ortsvariable x Anzahl der Elektronen: Elektronendichte n(x) 0 Stromfluß: Teilchenstromdichte J(x) elektrisches Potential V (x): gegebene Funktion Eindimensionale Gleichungen: stationäre Stromdichte konstant: J = 0 Stromdichte = Diffusionsstrom + Driftstrom: J = J diff + J drift Frage: Wie lauten Diffusions- und Driftstrom?

10 Drift-Diffusionsgleichungen 10 Herleitung von Diffusions- und Driftstrom n < 0 J diff = n n V > 0 + J > 0 V J drift = nv J = J diff + J drift = n + nv

11 Drift-Diffusionsgleichungen 11 Differentialgleichungen: J = 0, J = n +nv n +(nv ) = 0, x (0,1) Randbedingungen: n(0) = 1, n(1) = 1 lineares Randwertproblem zweiter Ordnung (V gegeben) kann explizit gelöst werden ( VL Diff.gleichungen) Lösung des Randwertproblems: n(x) = e V (x) V (0) J x 0 e V (x) V (y) dy, x [0,1] Bestimmung des Stromes J: setze x = 1 in obige Formel ein 1 = e V (1) V (0) J J = (e V (1) V (0) 1) 1 0 e V (1) V (y) dy ( 1 0 e V (1) V (y) dy ) 1

12 Drift-Diffusionsgleichungen 12 Lösung des Randwertproblems: n(x) = e V (x) V (0) J J = (e V (1) V (0) 1) x 0 e V (x) V (y) dy, x [0,1] ( 1 0 e V (1) V (y) dy ) 1 Probe (Randbedingungen): n(0) = e V (0) V (0) = 1 n(1) = e V (1) V (0) J Randbedingungen sind erfüllt 1 0 e V (1) V (y) dy = 1

13 Drift-Diffusionsgleichungen 13 Lösung des Randwertproblems: n(x) = e V (x) V (0) J Rechenregel: d x f(x)g(y)dy = dx 0 Probe (Differentialgleichung): x n (x) = e V (x) V (0) V (x) J = V (x) V (x) Je ( e V (x) V (0) J 0 x 0 x 0 e V (x) V (y) dy, f (x)g(y)dy + f(x)g(x) x 0 e V (x) V (y) V (x)dy ) e V (x) V (y) dy = n(x)v (x) J n + nv = J Differentialgleichung erfüllt V (x) J

14 Drift-Diffusionsgleichungen 14 Strom: J = (e V (1) V (0) 1) Von Interesse ist die Relation ( 1 0 e V (1) V (y) dy ) 1 angelegte Spannung U := V (1) V (0) zum Strom J Beispiel: V (x) = x (linear anwachsende Spannung) ( 1 1 J = (e U 1) e dy) U(1 y) = (e U 1) = (e U 1) 0 ( 1 U (1 eu )) 1 = U Strom wächst linear mit angelegter Spannung Widerstand R = U I = U J = 1 konstant ( [ 1 U eu(1 y) ] ) 1 1 0

15 Drift-Diffusionsgleichungen 15 Spannungsverlauf V (x) = x ergibt J = U (linear) Realistischerer Zusammenhang: 1.4 x drain current [A] drain voltage [V] Spannung V: (fast) lineare Verstärkung Spannung > 0.6 V: Sättigung

16 Drift-Diffusionsgleichungen 16 Verfeinerung der Modellierung elektrisches Potential ist nicht gegeben, sondern hängt von Elektronendichte ab (Elektronen erzeugen Potential) Modellierung mit Poisson-Gleichung: V = n, x (0, 1), V (0) = 0, V (1) = U Poisson-Drift-Diffusions-Gleichungen: J = 0, J = n + nv, V = n, x (0,1) n(0) = 1, n(1) = 1, V (0) = 0, V (1) = U nichtlineares Randwertproblem wegen Produkt nv keine explizite Lösung numerische Lösung

17 Drift-Diffusionsgleichungen 17 Numerische Methode: Finite Differenzen Idee: ersetze Differentialquotient durch Differenzenquotient y y(x + x) y(x) (x) x y (x) y (x + x) y (x) x y(x + x) y(x) y(x) y(x x) ( x) 2 ( x) 2 y(x + x) 2y(x) + y(x x) = ( x) 2 Bequemere Schreibweise: x i = x, x i±1 = x ± x y (x i ) y i+1 y i x, y (x i ) y i+1 2y i + y i 1 ( x) 2

18 Drift-Diffusionsgleichungen 18 Numerische Methode: Finite Differenzen Kontinuierliche Gleichungen: J = 0, J = n + nv, V = n Approximierte Gleichungen: 0 = J i J i 1 x J i = n i+1 n i x + n i+1 + n i 2 V i+1 V i x n i = V i+1 2V i + V i 1 ( x) 2 Löse diskretes Problem ( VL Numerische Mathematik) und erhalte Approximationen n i, V i von n(x i ) und V (x i )

19 Numerische Beispiele 19 Source Gate Drain MOS-Transistor in 2D Elektronen 70 Nanometer Bulk Elektronendichte Elektronentemperatur

20 Numerische Beispiele 20 MES-Transistor in 3D (MES = metal-semiconductor) Geschlossener Zustand Offener Zustand

21 Numerische Beispiele 21 Gate-all-around MES-Transistor in 3D Drain n + 0.1µm n + Source 0.24µm Gate n 0.6µm Geometrie Temperatur Thermische Energie Stromdichte

22 Numerische Beispiele 22 Quanteneffekte in der Physik charakteristische Längen < 100 nm Quanteneffekte Quantenmechanik: Elektronen interpretiert als Wellen Elektronen können durch Wände tunneln Beispiel: hochpräzise Mikroskopaufnahmen von Molekülen

23 Numerische Beispiele 23 Quanteneffekte in Halbleiterbauteilen Ziele: Speicherung von einzelnen Elektronen (quantum dots) ultraschnelle Bauteile und Quantencomputer

24 Numerische Beispiele 24 Quantentransistor Prinzip: Steuere Elektronenstrom durch Veränderung des Potentials in T-Stück Transistor ist entweder offen oder geschlossen

25 Numerische Beispiele 25 Quantentransistor in 2D: geschlossener Zustand

26 Numerische Beispiele 26 Quantentransistor in 2D: offener Zustand

27 Numerische Beispiele 27 Quantentransistor in 3D

28 Zusammenfassung 28 Zusammenfassung: Modellierung von Halbleiterbauteilen mit Diff.gleichungen Analyse der Differentialgleichungen Numerische Lösung der Differentialgleichungen Ziele in der Mathematik: Herleitung der Modelle Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen Bestimmung einer präzisen Approximation der Gleichungen Effiziente numerische Lösung der Gleichungen Benötigte Mathematik: (Gewöhnliche und Partielle) Differentialgleichungen Numerische Mathematik Funktionalanalysis