Wir erinnern zunächst an die verschiedenen Arten von Funktionen, die uns bisher begegnet sind: V : r 0 3 V ( r) 0 3

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1 3 1. Mathematische Grundlagen Zur Vorbereitung fassen wir in diesem ersten Kapitel die wichtigsten mathematischen Konzepte zusammen, mit denen wir in der Elektrodynamik immer wieder umgehen werden Vektorfelder Wir erinnern zunächst an die verschiedenen Arten von unktionen, die uns bisher begegnet sind: unktionen einer Variablen f(x). Skalare unktionen mehrerer Variablen (x 1, x 2,..., x n ), z.b. die Lagrange- oder Hamilton-unktionen der Mechanik. Vektorwertige unktionen einer Variablen, z.b. die Bahnkurve r(t) = (x(t), y(t), z(t)) eines Teilchens, seine Geschwindigkeit r oder Beschleunigung r. Vektorfelder, also vektorwertige unktionen des Ortes r: mit Komponenten V = (V x, V y, V z ). V : r 0 3 V ( r) 0 3 Vektorfelder sind die zentralen mathematischen Objekte in der Elektrodynamik. Anschaulich stelle man sich vor, dass an jedem Punkt des Raumes ein Vektorpfeil angeheftet wird. Bei differenzierbaren Vektorfeldern kann man sich die Pfeile durch eldlinien verbunden denken (Abb. 1) Ableitungen von Vektorfeldern Wir fragen jetzt, wie sich die räumliche Veränderung eines Vektorfeldes quantifizieren lässt. Die drei partiellen Ableitungen der drei Komponenten V x, V y, V z des Vektorfeldes bilden zunächst eine 3 3-Matrix, die alle Informationen über die Veränderung von V enthält. In der Anwendung kommen diese partiellen Ableitungen aber meist in bestimmten Kombinationen vor, die wir im folgenden darstellen. Ein nützliches Instrument ist dabei der Nabla-Operator ( = x, y, ), z der als Vektor der partiellen Ableitungen auf skalare unktionen und Vektorfelder angewandt wird. Dabei entstehen die folgenden Differentialoperationen: Die elder sind in der Elektrodynamik i.a. auch unktionen der Zeit, diese Abhängigkeit wird aber in diesem Kapitel unterdrückt. Zum Ursprung dieses Namens s.

2 4 Abbildung 1. Vektorfeld und eldlinien. Abbildung 2. Gradientenfeld (links) einer radialsymmetrischen unktion (rechts). Der Gradient steht senkrecht auf den lächen konstanten s. die in diesem all Kugelschalen sind. Die unktion ist monoton fallend, entsprechend zeigt der Gradient in Richtung des Ursprungs Gradient. Die Anwendung von auf eine skalare unktion ( r) des Ortes ergibt das Vektorfeld ( ( r) = x, y, ) grad. z Das Vektorfeld steht senkrecht auf den lächen, auf denen konstant ist, und zeigt in die Richtung, in der am stärksten zunimmt (Abb. 2 und 3). Als Beispiel betrachten wir ( r) = r 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 2 r.

3 5 Abbildung 3. Wie Abb. 2 mit einer monoton steigenden radialsymmetrischen unktion. Der Gradient zeigt vom Ursprung nach außen. Die lächen konstanten s sind Kugelschalen, und zeigt radial nach aussen (Abb. 3) Divergenz. Skalare Multiplikation von mit einem Vektorfeld ergibt die skalare unktion V ( r) = V x x + V y y + V z div V. Die Divergenz V heisst auch Quellstärke des Vektorfeldes und beschreibt das Auseinanderlaufen (für V > 0) bzw. Zusammenlaufen (für V < 0) der eldlinien. Als Beispiel betrachten wir V ( r) = a r V = 3a, d.h. die Divergenz ist positiv für a > 0, negativ für a < Rotation. Nun bilden wir das Vektorprodukt von mit einem Vektorfeld V. Dadurch ensteht das Vektorfeld ( V Vz ( r) = y V y z, V x z V z x, V y x V ) x rotv y, die Rotation oder Wirbelstärke von V. Ein einfaches Beispiel für ein Vektorfeld mit (konstanter) Rotation ist V = ( y, x, 0) V = (0, 0, 2) = 2 e z. (1.1)

4 6 Abbildung 4. Links: Illustration eines radialsymmetrischen Vektorfelds, dessen Betrag mit zunehmendem Radius abnimmt. Je nach funktionaler orm des Abfalls ist die Divergenz positiv oder negativ. Im Spezialfall des Coulomb-eldes V r r ist 3 die Divergenz außerhalb des Ursprungs identisch Null [Gleichung (1.14)]. Nach dem Satz von Gauß bedeutet das, daß für jedes Teilvolumen (z.b. den gelb eingezeichneten Kasten) der einlaufende luß des Vektorfeldes gleich dem auslaufenden luß ist. Rechts: Illustration des Vektorfeldes (1.1) Höhere Ableitungen. Der -Operator kann auch mehrfach angewandt werden. Dabei ist stets darauf zu achten, ob die auftretenden Grössen Skalare oder Vektoren (oder weder noch) sind. Wir diskutieren die wichtigsten Beispiele: ür eine skalare unktion können wir die Divergenz des Gradienten bilden, ( = x, y, ) = 2 z x y z 2 2. (1.2) 2 ist der Laplace-Operator, der in der Literatur auch oft mit bezeichnet wird. Andererseits gilt (wie Sie in den Übungen nachrechnen) für jede unktion die Beziehung und für jedes Vektorfeld V 0 (1.3) ( V ) 0. (1.4) Unter schwachen Zusatzvoraussetzungen lassen sich die Beziehungen (1.3) und (1.4) im folgenden Sinne umkehren: V = 0 skalare unktion sodass V = (1.5) V = 0 Vektorfeld W sodass V = W (1.6) Hier heisst 0 dass die unktion identisch, also überall, verschwindet.

5 7 Abbildung 5. Links: Illustration des Wegintegrals über ein Vektorfeld (rot). An jedem Punkt des Weges r(s) wird das Vektorfeld skalar multipliziert mit dem Tangentialvektor τ. Rechts: Illustration des lusses eines Vektorfeldes durch eine läche. An jedem Punkt der läche wird das Vektorfeld skalar multipliziert mit dem Normalenvektor n Integralsätze Die Integralsätze der Vektoranalysis verallgemeinern gewissermassen den undamentalsatz der Differential- und Integralrechnung b a dx df dx = f(b) f(a) (1.7) von unktionen f(x) auf Vektorfelder. Es treten in diesem Zusammenhang drei Arten von Integralen auf: (i) Wegintegral eines Vektorfeldes (Abb. 5 links). Wir betrachten einen durch die Bogenlänge s parametrisierten Weg C = { r(s) : s 1 s s 2 } zwischen den Punkten r(s 1 ) und r(s 2 ). Das Wegintegral eines Vektorfeldes V entlang dieses Weges ist definiert durch d l V s2 ds d r C ds V s2 ( r(s)) = ds τ(s) V ( r(s)). (1.8) s 1 s 1 Es gilt somit d l = τds, wobei der Tangentialvektor τ aus Kapitel A.2. bekannt ist. ür geschlossene Wege mit r(s 1 ) = r(s 2 ) schreiben wir auch C d l V. (ii) luss eines Vektorfeldes durch eine läche (Abb. 5 rechts). Wir betrachten eine zweidimensionale läche, die von den eldlinien des Vektorfeldes V durchstossen wird. Die läche wird zerlegt in infinitesimale lächenelemente df = ndf, die

6 ihren vektoriellen Charakter von dem an jedem Punkt der läche definierten Normalenvektor n beziehen. Dann ist der luss von V durch definiert durch df V df n V. (1.9) ür geschlossene lächen (z.b. die Oberfläche einer Kugel) schreiben wir wieder d f V. (iii) Das Volumenintegral einer skalaren unktion über ein Volumen V schreiben wir schliesslich in der orm d 3 r ( r), mit dem Volumenelement d 3 r. Damit lassen sich die drei Integralsätze formulieren: V Gradientenfelder. ür Gradientenfelder sind Wegintegrale wegunabhängig, d.h. es gilt für jeden Weg C zwischen zwei Punkten r(s 1 ) und r(s 2 ) d l = ( r(s 2 )) ( r(s 1 )). (1.10) C Die Ähnlichkeit zum undamentalsatz (1.7) sollte offensichtlich sein. In beiden ällen wird ein eindimensionales Integral auf die Differenz einer unktion an zwei Punkten, also letztlich auf nulldimensionale Objekte reduziert. ür geschlossene Wege gilt entsprechend d l = 0. (1.11) C Satz von Stokes. Wir betrachten eine endliche läche. Deren Rand ist ein geschlossener Weg, den wir mit bezeichnen. Dann gilt für jedes Vektorfeld V df ( V ) = d l V. (1.12) Hier wird ein zweidimensionales Integral über eine Ableitung von V eindimensionales Integral über V selbst reduziert. 8 auf ein Satz von Gauss. Wir betrachten ein beschränktes Volumen V. Dessen Rand ist eine geschlossene läche, die wir mit V bezeichnen. Dann gilt für jedes Vektorfeld d 3 r V = df V, (1.13) V V d.h. ein dreidimensionales Integral über eine Ableitung von V wird auf ein zweidimensionales Integral über V selbst reduziert.