Serie 6. x 2 + y 2, 0 z 4.

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1 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 6 Serie 6. Wir betrachten drei verschiedene Flaschen in der Form eines Paraboloids P, eines Hyperboloids H und eines Kegels K. Diese sind wie folgt gegeben: P = { x, y, z R z = x + y, z }, { H = x, y, z R z = } + x + y, z 5, { K = x, y, z R z = } x + y, z. a Alle drei Flaschen haben Höhe vom Boden der Flasche aus gemessen. Welche fasst am meisten Wasser, wenn man sie bis zum Rand füllt? Wir berechnen jeweils zuerst das Volumen zwischen der Flaschenoberfläche und der xy-ebene. Beachte, dass das das Volumen unter der Flasche ist! Das Fassungsvermögen der Flasche ist dann die Differenz des Volumens des Zylinders mit dem Integrationsgebiet als Grundfläche und dem Volumen unter der Flasche. Volumen von P : Es gilt x + y. Wir müssen also die Funktion fx, y = x + y über dem Gebiet G = { x, y R x + y } integrieren. In Polarkoordinaten ergibt das das Volumen unter der Flasche: fx, y da = r r dφ dr G = = r r= r dr = = 8. Der Zylinder hat das Volumen r, also 6. Damit beträgt das Fassungsvermögen der Flasche V P = 6 8 = 8. Volumen von H: Es gilt + x + y 5 + x + y 5 x + y.

2 Figure : P aus Aufgabe Wir müssen also die Funktion fx, y = + x + y über dem Gebiet G = { x, y R x + y } integrieren. In Polarkoordinaten ergibt das das Volumen unter der Flasche: G fx, y da = = r + r dφ dr r + r dr = + r / r= = + / = 8. Der Zylinder hat das Volumen r 5, also. Damit beträgt das Fassungsvermögen der Flasche V H = 8 = 6 8 =. Volumen von K: Es gilt x + y. Wir müssen also die Funktion fx, y = x + y über dem Gebiet { G = x, y R } x + y

3 Figure : H aus Aufgabe integrieren. In Polarkoordinaten ergibt das das Volumen unter der Flasche: G fx, y da = = r r dφ dr r dr = r r= = = 8. Der Zylinder hat das Volumen r, also 6. Damit beträgt das Fassungsvermögen der Flasche V K = 6 8 = 9 8 = 6. Bemerkung: Mit der Volumenformel V = r h des Kegels kommt man direkt auf dieses Resultat. Damit fasst H am meisten Wasser, K am zweitmeisten und P am wenigsten. b Welche Höhe müssten P respektive K mindestens haben, um das Wasser der gefüllten Flasche H z 5 fassen zu können? Im Wesentlichen müssen wir das Volumen für P und K nochmals berechnen, jedoch mit den Schranken z h, wobei wir h bestimmen müssen, indem wir das Volumen gleich setzen. Die Rechnungen bleiben jedoch weitgehend identisch. Höhe von P : Es gilt x + y h.

4 Figure : K aus Aufgabe Wir müssen also die Funktion fx, y = x + y über dem Gebiet G = { x, y R x + y h } integrieren. In Polarkoordinaten ergibt das das Volumen unter der Flasche: G fx, y da = = h h = r h r= r dφ dr r dr = h. Der Zylinder hat das Volumen r h, also h. Damit beträgt das Fassungsvermögen der Flasche V P h = h h = h. Wir lösen nun noch die Gleichung h = h = h = 8.6. Höhe von K: Es gilt x + y h. Wir könnten nun analog zu P weiterrechnen, wollen nun aber die Volumenformel V = r h des Kegels direkt anwenden. Hier gilt h = r, also V K h == h. Nun bestimmen wir die Höhe direkt aus der Gleichung h = h = h =.8.

5 . a Berechnen Sie das Volumen des Körpers K, welcher von der Sphäre S = { x, y, z R x + y + z = 9 } und dem Hyperboloid eingeschlossen wird. H = { x, y, z R z x y =, z > } Figure : S blau und H rot aus Aufgabe Wir bestimmen zuerst den Schnitt von S und H. Wir setzen also H aufgelöst nach z in S ein und erhalten x + y + + x + y = 9 x + y = 8 x + y = 9. Der Schnitt ist also ein horizontaler Kreis mit Radius. Damit können wir das Volumen von K in kartesischen Koordinaten berechnen im Schritt wechseln wir auf Polarkoordinaten: 5

6 K dv = = = = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x y dz dy dx +x +y 9 x y + x + y dy dx r 9 r + r dφ dr r 9 r + r dr = 9 r / + r / = / / + 9 / + = r= b Wir betrachten ein Stück Käse, welches im ersten Oktanten liegt d.h. x >, y >, z > und von den Ebenen y = z, y =, x = begrenzt wird. Das Stück Käse könnten wir halbieren, indem wir es mit der Ebene x = schneiden. Wir möchten es jedoch mit Hilfe einer Ebene y = a, < a < halbieren. Finden Sie dieses a! Figure 5: Der Käse aus Aufgabe Zuerst berechnen wir das Volumen des ganzen Käses. Die Schranken kann man direkt aus der Aufgabenstellung ablesen: 6

7 dv = = y y dy dx dz dy dx = y y= dx = 6 dx = 6 =. Um den Käse wie angegeben zu halbieren, wählen wir für y die neuen Schranken und a und berechnen so das Volumen in Abhängigkeit von a. dv = = = = a y a y dy dx dz dy dx y a y= dx a dx = a = a. Nun können wir a mit der Gleichung a = 6 bestimmen, es folgt also a =.88.. Bestimmen Sie in der Formel fx, y, z dv x, y, z = B fx, y, z dz dy dx die durch... angedeuteten Integrationsgrenzen f"ur die folgenden Gebiete B: a B ist der durch die Fl"achen x + y = R, z =, z = H begrenzte Zylinder. 7

8 B = { x, y, z R x + y R, z H } = { x, y, z R R x R, R x y R x, z H } B fx, y, z dv x, y, z = R R x H R R x fx, y, z dz dy dx. Beachte die Reihenfolge der Integration bzgl. x und y. Die Grenzen für y hängen von x ab. Deswegen muss die Integration über x in Relation zu derjenigen über y aussen stehen. An welcher Stelle die Integration über z erfolgt, spielt keine Rolle. b B ist der durch die Fl"achen x + y = R, x + y + z =, x + y + z = begrenzte, schief abgeschnittene Zylinder. B = { x, y, z R x + y R, x + y + z } = { x, y, z R R x R, R x y R x, x + y z x + y } B fx, y, z dv x, y, z = R R x x+y R R x x+y fx, y, z dz dy dx. c B ist der durch die Fl"achen x = z, x +y = z begrenzte, schief abgeschnittene Kreiskegel. Das Gebiet B ist ein nach unten offener Kreiskegel mit Spitze im Punkt,,, welcher durch die Ebene z = x begrenzt wird siehe Bild. 8

9 Die Schnittmenge von Kegel und Ebene lässt sich bestimmen, indem man die Ebenengleichung z = x in x + y = z einsetzt: x + y = x x + y = x + x y = x x + y = ± x x + y = ± x + x. Der Ausdruck unter der Wurzel ist nichtnegativ, falls x. Ein Punkt x, y, z gehört also zum Gebiet B, falls i x, und ii x x + y x x +, und iii z oberhalb der Ebene, aber gleichzeitig unterhalb der Mantelfläche des Kegels liegt. Die Kegelgleichung nach z aufgelöst ergibt zwei en: z = ± x + y. z = + x + y beschreibt den oberen Teil der Kegelfläche und ist anhand der Geometrie für das Gebiet irrelevant. Damit ist Punkt iii äquivalent zu x z x + y, B fx, y, z dv = x x+ x x+ x +y x fx, y, z dz dy dx.. Prüfungsaufgabe 5, Winter 6. Berechnen Sie die Masse der Region, die durch x + y + z 6, y x, z definiert ist, mit der Dichtefunktion ρx, y, z = y x. 9

10 In Kugelkoordinaten ist die Masse gegeben durch M = = 5 = [ r r dr ] r sin θsin φ cos φr sin θ dθ dφ dr 5 sin φ cos φ dφ sin θ dθ [ cos φ sin φ] 5 = 6 + cosθ dθ [ θ sinθ] = Prüfungsaufgabe, D-INFK, Winter 8. Bestimmen Sie das Volumen der Eistüte, welche durch den Kegel x + y = z und die Sphäre x + y + z = beschränkt wird und oberhalb der xy-ebene steht. Wir bezeichnen die Eistüte mit K und lesen eine Parametrisierung ab: K = { x, y, z x + y + z, z, x + y z }. Um die Schnittmenge der Sphäre und des Kegels zu berechnen, setzen wir die beiden Gleichungen ineinander ein und erhalten z = x + y = z z = z = ±. Die Schnittmenge ist also ein horizontaler Kreis auf der Höhe z = mit Radius da x + y = z =.

11 Variante : Kugel-Koordinaten: x, y, z = r cos φ sin θ, r sin φ sin θ, r cos θ Auf dem Schnittkreis gilt also cos θ = und damit θ =. K dv = Variante : Zylinder-Koordinaten: ] r sin θ dθ dφ dr [ r = [ cos θ] θ= r= = + =. x, y, z = r cos φ, r sin φ, z Für den Kegel gilt folglich r = z r = z und für die Kugel r + z = r = z. Wir berechnen das Volumen des unteren Teils K und des oberen Teils K einzeln. Die Parametrisierungen sind gegeben durch K = {x, y, z z, < φ, r z}, K = {x, y, z z, < φ, r z }.

12 Es folgt K dv = = z r dr dφ dz = z dφ dz = = z z= = 8, z dz r z r= dφ dz K dv = = = z r dr dφ dz = z dφ dz = z z = 7, 8 z= r z r= dφ dz z dz = + 8 K dv = dv + dv K K = = 8 8 =. 6. Prüfungsaufgabe 5, Sommer 5. Bestimmen Sie den Schwerpunkt der homogenen Fläche rechts von der Geraden x =, welche durch den Kreis x + y = 6 begrenzt wird. Wir berechnen zuerst mit Hilfe der Substitution x = sin t die Masse m = = 6 = x dx = 6 + cos t dt = 6 = 6. 6 cos t dt [ t + sint ] 6

13 Dann gilt x S = x 6 x m = [ 6 x ] m = m 6 = 6 =. Zudem gilt aus Symmetriegründen y S = und der Schwerpunkt ist gegeben durch S =,. 7. Eine Dichtefunktion sei gegeben durch ρr, φ, θ = + r. Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Halbkugel S = { x, y, z R x + y + z 6 und z }. In Kugelkoordinaten ist die Halbkugel beschrieben durch Die Masse m wird berechnet durch m = ρx, y, z dv = x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ S r, < φ, θ. r + r = [ cos θ ] θ= = + = + r r sin θ dr dθ dφ [ ] r dr = + r 6 7 =. Berechnung der Schwerpunktskoordinaten x s, y s, z s : Die Formeln sind in kartesischen Koordinaten gegeben durch S xρx, y, z dv x s = S ρx, y, z dv = xρx, y, z dv, m S S yρx, y, z dv y s = S ρx, y, z dv = yρx, y, z dv, m S S zρx, y, z dv z s = S ρx, y, z dv = zρx, y, z dv. m S r=

14 Damit erhalten wir x s = m = [ ] sin φ m φ= }{{} = x s = y s = Symmetrie! r sin θ cos φ + r r sin θ dr dθ dφ + r r sin θ dr dθ = Bemerkung: Aus Symmetriegründen muss der Schwerpunkt auf der z-achse liegen. Die obige Berechnung für x s muss man nicht unbedingt machen. Und für die z-koordinate gilt z s = m = m r cos θ + r r sin θ dr dθ dφ cos θ sin θ dθ [ r sinθ dθ + r5 = m = m +. 5 r + r dr ] r= Die Position des Schwerpunktes ist also 9 5 x s, y s, z s =,, 7 = = m [ cos θ] θ= + 5,, 9 6 =,, Prüfungsaufgabe 9, D-MAVT, Sommer. Eine inhomogene Kugel mit Radius R und mit Massendichte r ρr = +, R wobei r der Abstand vom Mittelpunkt bezeichnet, rotiert um eine Achse durch den Mittelpunkt. a Berechnen Sie die Masse der Kugel.

15 Die Masse lässt sich als Integral vond der Dichte über das ganze Volumen berechnen. In Kugelkoordinaten ergibt dies M = = R R = = = R R R [ r = ρrr sin θ dφ dθ dr r + r r + r r + r R R R r + r dr + r5 5R R ] R r= sin θ dφ dθ dr sin θ dθ dr [ cos θ] θ= dr = 5 R. b Berechnen Sie das Trägheitsmoment bezüglich der Rotationsachse. Aus Symmetriegründen erhalten wir für jede Achse durch den Mittelpunkt dasselbe Trägheitsmoment. Wir können also für die Berechnung eine beliebige wählen. Das Trägheitsmoment bezüglich der z-achse erhält man durch integration von ρx, y, zx +y über das Volumen. In Kugelkoordinaten gilt x +y = r sin θ und wir erhalten Θ z = = R R = R = 8 R = 8 [ r 5 ρrr sin θr sin θ dφ dθ dr r + r6 sin θ dφ dθ dr r + r6 R R r + r6 dr 5 + r7 7R R ] R r= sin θ dθ dr = 5 R5 = 7 MR. 5

16 Als Zwischenrechnung verwendeten wir sin θ dθ = [ cos θ sin θ ] θ= }{{} = = cos θ sin θ dθ [ cos ] θ = =. θ= cos θ sin θ cos θ dθ 6