Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/26 11:37:34 hk Exp $

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1 $Id: dreiec.tex,v /04/26 11:37:34 h Exp $ 1 Dreiece 1.5 Einige spezielle Punte im Dreiec In der letzten Sitzung haben wir die Konstrution der vier speziellen Punte S m, S w, S u und S h beendet. Die Schnittpunte der Seitenhalbierenden, der Mittelsenrechten und der Höhen önnen jetzt nicht völlig beliebig zueinander liegen, es stellt sich heraus das sie immer auf einer gemeinsamen Geraden sind, der sogenannten Euler-Geraden des Dreiecs. Dies wurde 1763 von Leonard Euler entdect und scheint das erste Resultat über Dreiece zu sein das in der ntie nicht beannt war. evor wir den entsprechenden Satz beweisen, müssen wir erst einmal den Randfall eines gleichseitigen Dreiecs aus dem Weg schaffen. In einem gleichseitigen Dreiec ist nach ufgabe (9.a) stets S m = S w = S u = S h, die vier speziellen Punte fallen also alle zusammen. In nicht gleichseitigen Dreiecen ann dies nicht auftreten, und wir formulieren den Satz über die Eulergerade daher für nicht gleichseitige Dreiece. Satz 1.20 (Die Eulergerade eines Dreiecs) Sei = ein nicht gleichseitiges Dreiec. Dann sind der Schwerpunt S m von, der Umreismittelpunt S u von und der Höhenschnittpunt S h von paarweise verschieden und diese Punte liegen auf einer Geraden e, der sogenannten Eulergeraden des Dreiecs. uf dieser Geraden liegt S m zwischen S u und S h und trennt diese Punte im Verhältnis 1 : 2, d.h. es gilt S m S h = 2 S m S u. S h S m b h a S u c/2 c/2 eweis: ngenommen es wäre S u = S m. Dann stimmen die Mittelsenrechten und die Seitenhalbierenden in überein, und wir behaupten das dann bezüglich aller drei Ecen gleichschenlig und somit gleichseitig ist, im Widerspruch zu unserer nnahme. Dies ist leicht zu sehen, bezeichnen wir etwa die gemeinsame Mittelsenrechte und Seitenhalbierende über als h und wenden in den beiden rechts oben gezeigten rechtwinligen Dreiec jeweils den Satz des Pythagoras Satz 1 an, so ergibt sich a 2 = h 2 + (c/2) 2 = b 2 also a = b. Für die beiden anderen Ecen schließt man analog. 6-1

2 Dieser Widerspruch zeigt S u S m. Sei e die Verbindunsgerade von S u und S m und bezeichne S den Punt auf e so, dass S m zwischen S u und S liegt und diese Strece im Verhältnis 1 : 2 teilt, d.h. S m S = 2 S m S u, wie oben lins eingezeichnet. Dann ist zu zeigen das S der Höhenschnittpunt von ist, also auf allen drei Höhen liegt. Sei der Mittelpunt der Strece. Nach Satz 12 zerlegt S m die Strece im Verhältnis 2 : 1, also S m = 2 S m. Folglich ist S m S m S = 2 S m 2 S m S u = S m S m S u, d.h. die Seitenpaare S m, S m S und S m, S m S u in den beiden Dreiecen S m S und S m S u haben dasselbe Verhältnis. Die von diesen beiden eingeschlossenen Winel in S m S und S m S u sind ebenfalls gleich, also sind die beiden Dreiece nach dem Ähnlicheitssatz Satz 10 ähnlich. Damit sind die Winel dieser Dreiece bei beziehungsweise gleich und nach dem Stufenwinelsatz sind S und S u parallel. Nun ist S u senrecht auf, also ist auch S senrecht auf, d.h. S u ist die Höhe von auf. nalog gehen auch die Höhen auf den anderen beiden Seiten durch S, d.h. S = S h ist der Schnittpunt der Höhen von. Insbesondere ist damit S h S m, S u. Der eweis dieses Satzes liefert uns übrigens einen zweiten eweis für die Existenz des Höhenschnittpunts, zumindest in nicht gleichseitigen Dreiecen. 1.6 Einige Sätze über Kreise Im vorigen bschnitt haben wir den Inreis und den Umreis eines Dreiecs behandelt, und jetzt wollen wir noch etwa weiter auf das Zusammespiel zwischen Kreisen und Dreiecen eingehen. Wir beginnen dabei mit dem grundlegenden Satz über Kreise, den sogenannten Satz von Thales der besagt das alle Winel im Halbreis Rechte sind. Satz 1.21 (Satz von Thales) Sei ein Durchmesser eines Kreises und ein Punt auf aber nicht auf. Dann hat das Dreiec in einen rechten Winel. ψ α M β 6-2

3 eweis: ezeichne M den Mittelpunt des Kreises. Dann sind die beiden Dreiece M und M bei M gleichschenlig, also sind nach ufgabe (9.a) die Winel α und bei und in M sowie die Winel β und ψ bei und in M jeweils gleich, also = α und ψ = β. Der Winel von bei ist = + ψ = α + β und da die Winelsumme in einem Dreiec immer π ist ergibt sich Damit ist der Satz vollständig bewiesen. = π (α + β) = π, also = π 2. Der Satz von Thales beschreibt die Winel über den Durchmessern eines Kreises, und ergibt insbesondere das alle Winel über einem solchen Durchmesser gleich sind, nämlich 90. etrachtet man anstelle eines Durchmessers eine Seante des Kreises, so müssen die Winel über dieser Seante zwar nicht mehr gleich 90 sein, aber sie sind zumindest noch alle gleich. Streng genommen tritt hier noch eine leine Kompliation ein, man muss zwischen Wineln überhalb und unterhalb der Seante unterscheiden und erhält den folgenden Satz: Satz 1.22 (Perepheriewinelsatz) Seien ein Kreis mit Mittelpunt M und ein Seante in die nicht durch M geht. Weiter sei ψ der Mittelpuntswinel der Seante, d.h. der Winel des Dreiecs M bei M. M ψ Perepheriewinel über θ Perepheriewinel unter (a) Ist ein Punt auf über, also auf derselben Seite von wie M, und bezeichnet den Perepheriewinel von bei, also den Winel des Dreiecs bei, so gilt ψ = 2 und insbesondere < π/2. (b) Ist ein Punt auf unter und θ der Perepheriewinel von bei, so ist + θ = π und insbesondere θ > π/2. eweis: Wir verwenden die folgenden Figuren zum eweis: 6-3

4 α β α M δ ψ β Teil (a) θ Teil (b) (a) Die Dreiece M und M sind bei M gleichschenlig, also haben sie nach ufgabe (9.a) bei und jeweils denselben Winel α beziehungsweise bei und denselben Winel β. Weiter bezeichne den Winel von M bei M und δ den Winel von M bei M. Dann sind 2α + = 2β + δ = π. Da der Perepheriewinel in α und β zerlegt wird, ist = α + β und somit ψ = 2π δ = 2π (π 2α) (π 2β) = 2(α + β) = 2. Wegen 2 = ψ < π ist damit auch < π/2. (b) ilde die Verbindungsgerade von und M und nach (a) önnen wir annehmen das der andere Schnittpunt dieser Gerade mit ist. Nach dem Satz von Thales Satz 21 haben die Dreiece bei und bei rechte Winel. Mit ufgabe (7) angewandt auf das Vierec folgt 2π = 2 π 2 + θ + = π + θ + also + θ = π und insbesondere ist θ = π > π/2. Fassen wir den Satz von Thales und den Perepheriewinelsatz zusammen, so sind die Perepheriewinel bezüglich einer beliebigen Seante des Kreises unter und über der Seante jeweils zueinander gleich und durch Vergleich mit einem rechten Winel ann man auch sehen ob die Winel unter oder über der Seante gebildet werden. Korollar 1.23: Seien ein Kreis und eine Seante von. Dann sind alle Perepheriewinel von auf derselben Seite von einander gleich. eweis: Dies folgt aus dem Satz von Thales Satz 21 wenn ein Durchmesser von ist und aus dem Perepheriewinelsatz Satz 22 wenn ein Durchmesser von ist. 6-4

5 Wir wollen den Perepheriewinelsatz auf den Umreis eines Dreiecs anwenden. Haben wir ein Dreiec und einen weiteren Punt P, so ann es recht schwer sein zu entscheiden ob der Punt P auf dem Umreis des Dreiecs liegt, der naheliegende Weg macht es erforderlich den Schnittpunt der Mittelsenrechten und den bstand von P zu diesem Punt zu berechnen. Wir wollen hierfür jetzt ein besser handhabbares Kriterium ausarbeiten in dem zum einen der Mittelpunt des Umreises gar nicht vorommt und zum anderen auch eine bstände sondern nur Winel betrachtet werden müssen. Korollar 1.24 (haraterisierung des Umreises durch Winel) Sei = ein Dreiec mit Winel bei und bezeichne seinen Umreis. Weiter sei P ein Punt nicht auf der Geraden. Dann gelten: (a) Ist P auf derselben Seite von wie so ist P genau dann auf wenn der Winel des Dreiecs P bei P gleich ist. (b) Ist P auf der anderen Seite von wie so ist P genau dann auf wenn der Winel des Dreiecs P bei P gleich π ist. eweis: eachte das eine Seante von ist und damit gelten die Impliationen von lins nach rechts in (a) und (b) nach dem Satz von Thales Satz 21 mit = π/2 wenn ein Durchmesser von ist und nach dem Perepheriewinelsatz Satz 22 wenn ein Durchmesser von ist. Nun zeigen wir die Rücrichtungen in (a) und (b) simultan. ezeichne hierzu den Umreis des Dreiecs P. ngenommen es wäre. Wegen sin(π ) = sin haben und nach Satz 18 beide den Radius R = /(2 sin ), d.h. sind M der Mittelpunt von und M der Mittelpunt von, so muss M M gelten. R M M R ndererseits liegen M und M beide auf den beiden Kreisen vom Radius R mit Mittelpunt beziehungsweise, müssen also die beiden verschiedenen Schnittpunte dieser Kreise sein. Wie oben gezeigt liegen M und M damit auf verschiedenen Seiten von, und geht weder durch M noch durch M, d.h. ist weder ein Durchmesser von noch ein Durchmesser von. ndererseits behaupten wir jetzt das M und M 6-5

6 doch auf derselben Seite von liegen müssen. Sind wir nämlich in der Situation von (a), so sind die Winel von in und von P in P beide gleich, also liegen M und M nach dem Perepheriewinelsatz Satz 22 für < π/2 beide auf derselben Seite von wie P und und ist > π/2 so liegen M und M beide auf der anderen Seite von als und P. Im Fall (b) liegen M und M wieder nach dem Perepheriewinelsatz für < π/2 beide auf derselben Seite von wie und für > π/2 beide auf derselben Seite von wie P. Damit haben wir einen Widerspruch erhalten. Dieser Widerspruch zeigt = und insbesondere liegt P auf. Wir werden dieses Kriterium anwenden um einen der merwürdigen mit dem Dreiec verbundenen Kreise zu behandeln, den sogenannten Feuerbachreis des Dreiecs. Dieser ist leicht zu definieren. Definition 1.3 (Der Feuerbachreis eines Dreiecs) Sei ein Dreiec. Der Feuerbachreis, oder Neun-Punte-Kreis, von ist der Umreis des Mittendreiecs von, also der Kreis durch die drei Seitenmittelpunte. f * ~ * S h ~ ~ * Der Feuerbachreis wurde von Karl Feuerbach, übrigens ein Lehrer, 1822 in seiner Dissertation untersucht. Der Feuerbachreis ist zwar auch schon andernorts früher aufgetaucht, aber Feuerbach war der erste der ihn im Rahmen der Dreiecstheorie untersuchte. Der Feuerbachreis hat einige überraschende Eigenschaften von denen wir hier aber nur eine vorführen wollen, dass er nämlich durch die namensgebenden neun Punte geht, diese sind die drei Seitenmittelpunte, die drei Höhenfußpunte und die drei Mittelpunte der Verbindungsstrecen der drei Ecen zum Höhenschnittpunt S h. In der Literatur finden sie unzählige eweise für dieses Tatsache, und wir wollen hier den schönen eweis nach Darij Grinberg aus dem Jahr 2003 wiedergeben. Während Feuerbachs Zugang rechnerisch orientiert ist und mittels trigonometrischer Überlegungen die relevanten bstände bestimmt, braucht der hier vorgeführte eweis eine aufwändigen Rechnungen und arbeitet mit einigen einfachen Winelbestimmungen. 6-6

7 Satz 1.25 (Der Feuerbachreis und die neun Punte) Seien = ein Dreiec, = sein Mittendreiec, der Fußpunt der Höhe auf, der Fußpunt der Höhe auf, der Fußpunt der Höhe auf, S h der Schnittpunt der drei Höhen sowie à der Mittelpunt von S h, der Mittelpunt von S h und der Mittelpunt von S h. Dann geht der Feuerbachreis f von durch die neun Punte,,,,,, Ã,,. eweis: Dass der Feuerbachreis f durch die drei Seitenmittelpunte ist lar. Wir teilen den weiteren eweis in zwei Schritte auf, und im ersten Schritt zeigen wir das f auch durch die drei Höhenfußpunte läuft. Wir zeigen zunächt das der Höhenfußpunt auf der Seite auch auf f liegt. Da f definitionsgemäß der Umreis des Mittendreiecs ist und die Punte und auf derselben Seite von liegen, ist nach unserem eben bewiesenen Korollar 24 nur zu zeigen, dass die beiden Winel der Dreiece bei und bei gleich sind. Dies tun wir, indem wir einsehen das sie beide gleich dem Winel von bei sind. P Winel von bei * Winel von bei * Zunächst ist auch der Winel von bei und nach dem Mittenlemma Lemma 11 ist ongruent zu, also ist auch der Winel des Mittendreiecs bei gleich. Damit haben wir den Winel bei als bestimmt, und ommen nun zum Wine beim Höhenfußpunt. Wieder nach Lemma 11 ist parallel zu, also ist die Höhe auf auch senrecht auf und ist P der Schnittpunt von und, so ist nach dem Strahlensatz P = = 2, also = 2 P und P ist der Mittelpunt von, also auch P = P. etrachtung der rechtwinligen Dreiece P, P, P und P liefert mit dem Satz des Pythagoras Satz 1 = und =, d.h. die Dreiece und sind ongruent. Insbesondere ist damit auch der Winel von bei gleich. Damit sind unsere Winel bei und tatsächlich 6-7

8 beide gleich, und nach Korollar 24.(a) liegt auf dem Umreis von, also auf f. nalog sind dann auch und auf f. Der zweite eweisschritt folgt dann in der nächsten Sitzung. 6-8