:. (engl.: first harmonic frequency)

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1 5 Fourier-Reihen 5.1 Schwingungsüberlagerung 5.2 "Oberschwingungen" f 0 :. (engl.: fundamental frequency) :. (engl.: first harmonic frequency) Jede ganzzahlige (n) vielfache Frequenz von f 0 nennt man die "n-fache harmonische Schwingung" Bsp.: f = 2 f 0 : : Bsp.: f = 3 f 0 : : u.s.w. 1

2 5.3 Reelle Fourier-Reihen Jean Baptist Fourier (1807): "Jede beliebige periodische Zeitfunktion f (t) kann durch die Überlagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt werden. Die Frequenzen der harmonischen Einzel-Schwingungen sind dabei ganzzahlige Vielfache der periodischen Grundfrequenz." 2

3 Hochschule für echnik und Wirtschaft Dresden 5.4 Beispiel: Darstellung der Dreiecksfunktion aus abellen: reelle Fourier-Koeffizienten: für n = ungerade für n = gerade Überlagerung der folgenden 3 Schwingungen: ergibt eine Dreieckfunktion: 3

4 Hochschule für echnik und Wirtschaft Dresden 5.5 Beispiel: Darstellung der Rechteckfunktion aus abellen: reelle Fourier-Koeffizienten: für n = ungerade für n = gerade Überlagerung der folgenden 3 Schwingungen: Überschwingen an Ecken: ergibt eine (miserable) Rechteckfunktion: - genannt "Gibbs-Phänomen" - bei senkrechten Flanken: Überschwingen = konstant 9 % von x - wird geringer wenn Flanken nicht senkrecht sondern flacher sind 4

5 5.6 Darstellung von Standard-Funktionen Um eine beliebige periodische Zeitfunktion f (t) mittels Fourier-Reihen Überlagerung darzustellen, ist allein die Kenntnis der 3 (reellen) Fourier-Koeffizienten a 0, a n und b n notwendig. Standard-Funktionen und deren reelle Fourier-Koeffizienten: 5

6 5.7 Konvergenz Wann konvergiert eine Fouriere Reihe? D.h. wie viele erme sind nötig, um eine f (t) mittels Fourier-Reihenüberlagerung korrekt darzustellen? - bei Dreieck-Fkt: rel. flache Flanken = relativ "langsame" Signal-Veränderungen Fkt.-Synthese benötigt vor allem niedrige Frequenzen - bei Recheck-Fkt: steile Flanken = "schnelle" Signal-Veränderungen Fkt.-Synthese benötigt viele hohe Frequenzen (benötigt viele erme der Fourier-Reihe für eine Konvergenz Konvergenzkriterium: ypischerweise bricht man die Fourier-Reihe ab, wenn die Amplitude einer Harmonischen.. der Amplitude der Grundschwingung beträgt (und somit nur noch unwesentlich zur Signaldarstellung beiträgt). Für Dreiecke (schnelle Konvergenz): f max = 5 f 0 (3 erme: n = 1, 3, 5) Für Rechtecke (langsame Konvergenz): f max = 20 f 0 (11 erme: n = 1, 3, 5, 21) 6

7 5.8 Darstellung beliebiger Signalformen Fourier: "Jede beliebige periodische Zeitfunktion f (t) kann durch die Überlagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt werden." Beispiele: 7

8 5.9 Bestimmung der reellen Fourier Koeffizienten Sind die Fourier-Koeffizienten einer f (t) nicht bekannt, so können sie bestimmt werden. Allgemein gilt: 1 a0 = f ( t) dt 0 a n 2 = 0 f ( t) cos ( n ω t ) dt b n 2 = 0 f ( t) sin ( n ω t ) dt Zusätzlich gelten folgende Vereinfachungen: a) Ist f (t) eine "gerade" Funktion: dann gilt: - die Fourier-Reihe enthält nur cos-erme (b n = 0) - es genügt, nur über die halbe Periodendauer (/2) zu integrieren und das Ergebnis der Integration zu verdoppeln a n 4 = 0 2 f ( t) cos ( n ω t ) dt b) Ist f (t) eine "ungerade" Funktion:. dann gilt: - die Fourier-Reihe enthält nur sin-erme (a n = 0) - es genügt, nur über die halbe Periodendauer (/2) zu integrieren und das Ergebnis der Integration zu verdoppeln b n 4 = 0 2 f ( t) sin ( n ω t ) dt c) Besitzt f (t) Halbwellen-Symmetrie : dann gilt: - die Fourier-Reihe enthält nur ungerade harmonische erme d.h. nur ungerade n-erme (alle gerade n-erme = 0) 8

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10 5.10 Das Spektrum eines Signals (auch: Frequenz-Spektrum oder Amplituden-Spektrum) Die Aufzeichnung der Amplituden ( xˆ ) aller harmonischen Schwingungen über n,bzw. über f oder ω, nennt man das Spektrum eines Signals (oder auch ein Frequenz-Spektrum / Amplituden- Spektrum). Je geringer die Amplitude einer Harmonischen, desto weniger trägt diese Harmonische zur Signaldarstellung bei. Bsp.-1: Bsp.-2: f (t) : Rechteckimpulsfolge: 10

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12 5.11 Komplexe Fourier-Reihen Die Darstellung von Signalen mit Hilfe von komplexen Fourier-Reihen ist schlicht eine andere Form der Signaldarstellung. a) Überführung reelle Form komplexe Form reelle Form der Fourier-Reihe: Für die Überführung in die komplexe Form wird die Euler'sche-Formel benutzt: cos ( ω t) = e j ω t + e 2 j ω t sin ( ω t) = e j ω t e 2 j j ω t Mit Euler'scher Formel: Substitution aller sin- und cos-erme in der Fourier-Reihe: Nun: Klammern ausmultiplizieren: 12

13 Nun: ordnen nach Exponenten-Ordnung: Mit den C-Koeffizienten geschrieben: und zusammengefasst: Darstellung einer Fourier-Reihe in komplexer Form: mit den komplexen Fourier-Koeffizienten: C 0 und C n Vorteile: Nachteil: - es werden nur zwei Fourier-Koeffizienten benötigt: C 0 und C n - pro Frequenzanteil ist nur eine Rechenoperation notwendig komplexe Fourier-Reihen benötigen zur Signaldarstellung auch das negative Komplementär einer jeden beteiligten Frequenz. 13

14 b) negative Frequenzen Mit der Einführung der komplexen Fourier-Reihe wird das Amplitudenspektrum formal auf negative Frequenzen ausgedehnt. c) Beispiel: für Rechteckimpulsfolge mit / i = 2 komplexes Amplitudenspektrum: 14

15 d) Umrechnungen von gegebenen reellen Koeffizienten nach komplexe Koeffizienten: von gegebenen komplexen Koeffizienten nach reelle Koeffizienten: e) Bestimmung der komplexen Fourier-Koeffizienten Sind weder die reellen, noch die komplexen Fourier-Koeffizienten bekannt, so können die komplexen Fourier-Koeffizienten folgendermaßen berechnet werden (in Analogie zur Bestimmung der reellen Fourier-Koeffizienten, siehe 5.9.) : 5.12 Darstellung aperiodischer Signale als komplexe Fourier-Reihe Die vorherigen Kapitel befassten sich ausschließlich mit der Darstellung von periodischen Signalen mittels Fourier-Reihen Überlagerung. Wie viele Frequenzanteile sind nötig, um periodische Signale darzustellen? - theoretisch: viele Frequenzen - praktisch: Frequenzanteile begrenzt durch Konvergenzkriterium es wird zur Signaldarstellung eine diskrete Anzahl von Frequenzen benötigt diese Frequenzen waren ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f 0 Lassen sich auch aperiodische Signale durch eine Fourier-Reihenüberlagerung darstellen? z.b. ein einzelner Impuls? 15

16 Hochschule für echnik und Wirtschaft Dresden Beispiel: Rechteckimpulsfolge 1.) mit folgenden Einstellungen: 2.) mit folgenden Einstellungen: 3.) mit folgenden Einstellungen: Schlußfolgerung: x = 1, i = 2 s, = 4 s x = 1, i = 2 s, = 12 s x = 1, i = 2 s, = 32 s /i = 2 /i = 6 /i = 16 Steigt das Verhältnis / i, so werden mehr und mehr Frequenzen benötigt, um dieses Signal durch eine Fourier-Reihen Überlagerung darzustellen. 16

17 Im Grenzfall (d.h. nur noch ein einzelner Impuls) geht die diskrete Anzahl notwendiger Frequenzen in eine kontinuierliche Frequenz-Verteilung (eine sog. Amplituden-Dichteverteilung) über. Für die Darstellung aperiodischer Signale werden alle Frequenzen benötigt. 1 Impuls im Zeitbereich: komplexes Amplitudenspektrum (im Frequenzbereich): Zusammenfassung: Für periodische Signale ergab sich die Darstellung als Fourier-Reihe als eine diskrete Summe aller benötigten Frequenzanteile: f ( t) = + - C n e j n ω t Im Grenzfall geht diese Summe in ein Integral über: mit ω dω lim f + - j ω t ( t) = F (jω) e dω Man sagt: die diskrete Amplitudenverteilung C n geht in die Amplitudendichte F (jω) über. 17