Die Beschreibung von Signalen und Systemen kann in verschiedenen Bereichen erfolgen:

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1 1 Grundlegende Begriffe 1.1 Signale und Systeme ein Signal: ein System: ist ein Satz von Daten setzt Signale in Beziehung Darstellung: Die Beschreibung von Signalen und Systemen kann in verschiedenen Bereichen erfolgen: * im Zeitbereich * im Frequenzbereich * im Laplace-Bereich * im (zeitdiskreten) Z-Bereich 1.2 Schreib- und Sprachkonventionen x (t) : x als Funktion von t x (t = 0) : x an der Stelle t = 0 ( := Anfangswert bei t = 0) x (t ) : x für t gegen ( := stationärer Endwert) f (t) x (t) u (t) oder i (t) F (jω) X (jω) U (jω) oder I (jω) F (s) X (s) U (s) oder I (s) 1

2 1.3 Systeme: Begriffe und Einteilungen Statisches und dynamisches Systemverhalten statisches Systemverhalten: Zusammenhang zwischen x e und x a eines Systems im eingeschwungenen Zustand (= statische Kennlinie) dynamisches Systemverhalten: Zusammenhang der zeitlichen Veränderungen von x e und x a Bsp: Thermometer ϑ Umgebung ϑ Anzeige statische Kennlinie: dynamisches Verhalten: z.b. sprungförmige Veränderung der Eingangsgröße x e : 2

3 1.3.2 Ein- und Mehrgrößensysteme Eingrößensysteme: engl.: SISO (Single Input, Single Output) Mehrgrößensysteme: engl.: MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) LTI Systeme LTI :... Viele Werkzeuge der Systemtheorie setzen voraus, dass das betrachtete System sowohl linear als auch zeitinvariant ist Zeitvarianz Zeitinvariante Systeme: Zeitvariante Systeme: Die Parameter des Systems ändern sich nicht über der Zeit Die Parameter des Systems ändern sich über der Zeit Beispiel: Linearität a) Linearität: pragmatische Definition (für Eingrößensysteme und erzwungene Vorgänge): lineares Eingrößensystem: Die statische Kennlinie ist eine Gerade durch den Ursprung des Kennliniendiagramms für jedes mögliche Eingangssignal. 3

4 Nichtlineares Eingrößensystem: Die statische Kennlinie ist keine Gerade durch den Ursprung des Kennliniendiagramms für jedes mögliche Eingangssignal. Beispiele nichtlinearer Eingrößensysteme: * Kennlinien mit Sättigung / Begrenzung: * Kennlinien mit Totzohnen / Ansprechschwellen: * Kennlinien mit wechselnden Empfindlichkeiten: * Kennlinien mit Hysterese: * gespiegelte Kennlinien : * diskontinuierliche Kennlinien 4

5 b) Linearität elektrischer Elemente: Lineare elektrische Elemente: sind solche mit einem linearen Zusammenhang zwischen... und., bzw. deren Ableitungen. * Widerstand: u = R R i R * Spule: u L = L d L i dt * Kondensator: i C = C d u C dt * Diode: * Transistor: * Operationsverstärker: idealer OPV: (u a unbegrenzt) u a = Vu ue realer OPV: (u a begrenzt durch Betriebsspannungen) 5

6 Enthält ein System nur lineare Elemente, so ist das gesamte System linear. reine R, L, C Systeme sind linear (vorausgesetzt: R, L, C Werte sind konstant) Enthält ein System 1 nichtlineares Element, so ist das gesamte System nichtlinear. c) Linearität mathematischer Operatoren: * Addition: linear * Subtraktion: linear * Multiplikation: nichtlinear * Division: nichtlinear * Differentiation: linear * Integration: linear d) Linearität: korrekte Definition Ein System ist linear, wenn für beliebig wählbare x e die folgenden Prinzipien gültig sind: - das - das Umkehrschluss: Alle Systeme, für die entweder das Verstärkungsprinzip oder das Überlagerungsprinzip nicht erfüllt werden können, sind nichtlineare Systeme. Verstärkungsprinzip: (auch: Homogenitätsprinzip) (engl.: scaling property, homogeneity property) Das Verstärkungsprinzip ist erfüllt, wenn die Verstärkung eines Eingangssignals (x e ) mit einem beliebigen Faktor K eine Verstärkung des Ausgangssignals (x a ) um denselben Faktor K hervorruft. 6

7 Überlagerungsprinzip: (auch: Superpositionsprinzip) (engl.: additivity property, superposition property) Das Überlagerungsprinzip ist erfüllt, wenn mehrere gleichzeitig auf ein System wirkende Eingangssignale (x e_1, x e_2, ) die gleiche Systemantwort (x a ) erzielen, wie die Summe der Systemantworten allein aufgrund eines jeden dieser Eingangssignale. Die Eingangssignale müssen dabei beliebig wählbar sein.. Beispiel Linearitätstest mit R Netzwerk 1. Test des Verstärkungsprinzips: U e = 12 V 7

8 2. Test des Überlagerungsprinzips: x e : U e _I = 12 V U e _II = 36 V I e _III = 5 A 8

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10 1.3.4 System - Stabilität Stabilitäts-Definition: Ein System wird als stabil bezeichnet, wenn bei einem beschränkten Eingangssignal auch das Ausgangssignal beschränkt bleibt. Systeme können prinzipiell stabil sein. Systeme können prinzipiell instabil sein. Engl.: Bounded Input Bounded Output (BIBO) Systeme, die normalerweise stabil sind, können unter bestimmten Umständen instabil werden. Beispiel: Einsturz der Tacoma-Bridge 10