Vorlesung Waldwachstumskunde. Fingerübungen 1 Funktionale Beziehungen. Otto U. Bräker Swiss Federal Research Institute WSL, CH-8903 Birmensdorf

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1 Vorlesung Waldwachstumskunde Fingerübungen 1 Funktionale Beziehungen Otto U. Bräker Swiss Federal Research Institute WSL, CH-8903 Birmensdorf

2 Übersicht: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Kubische Funktionen Polynome Exponential- Funktionen Logarithmische Funktionen O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

3 Begriffe: Allometrische Funktion (fonction allométrique, funzione allometrica) Beziehungen (auch Abhängigkeiten) zwischen zwei verschiedenen Grössen eines Organismus. allgemeinen Form y = f (x), wobei y und x zwei verschiedene Variablen des untersuchten Organismus darstellen. Wachstumsgesetz (loi de croissance, leggi dell auxonomia) Zeitliche Entwicklung einer Grösse mit einer Funktion in der allgemeinen Form y = f (t) O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

4 Übungen: Überlegen Sie zu jedem Funktionstyp: Wo im Alltag oder in der Natur treffen Sie diese Beziehungen an? Bezeichnen Sie die abhängige und unabhängige Grössen. Wie kann diese Beziehung variieren? Welche Koeffizienten sind dabei möglich? O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

5 Lineare Funktionen y = f(x) = a * x + b 1. Ableitung: y = a (= Konstante) Theorie der linearen Gleichungen: eindeutig lösbar falls a # 0; unlösbar falls a = 0 und y # 0; unbestimmt falls a = 0 und y = 0; a*x = y --> x = y/a x = unabhängige Grösse y = abhängige Grösse O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

6 Lineare Funktionen f(t) = a * t + b f(t) = 1 * t + 0 Funktion y=f(t) f(t) =.5 * t + 5 f(t) = -1 * t f(t) = -2 * t Zeit t O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

7 Quadratische Funktionen y = f(x) = a * x 2 + b 1. Ableitung: y = 2 * x 1 Theorie der quadratischen Gleichungen: a*x 2 + b*x + c = y; Diskriminante D= b 2-4ac; a # 0 x1 = (-b + b 2-4ac) / 2a x2 = (-b - b 2-4ac) / 2a O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

8 Quadratische Funktionen f(t) = a * t 2 + b Funktion y= f(t) f(t) =.5 * t f(t) = 1 * t f(t) = -2 * t O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde Zeit t f(t) = -1 * t 2-15

9 30.00 Kubische Funktionen f(t) = a * t 3 + b 1. Ableitung: f(t) = 3a * t 2 f(t) =.5 * t Funktion y=f(t) f(t) = 1 * t f(t) = -2 * t f(t) = -1 * t Zeit t O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

10 Polynome y = f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t Ableitung: a a 2 t a 3 t a 4 t Funktion y= f(t) f(t) = *t +1*t 2 f(t) = 0-100*t +1*t 2 +1*t 3 f(t) = 0-40*t +1*t 2 f(t) = *t +1*t 2-4*t Zeit t O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

11 Exponential- Funktionen y = f(x) = a * e c*x + b 1. Ableitung: y = a * e c*x Theorie der Exponentialgleichungen: e = 2, a x = e x *ln a ; e 0 = 1; e 1 = 2,718..; e = 10; e = ; O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

12 30.00 Funktionale Beziehungen Exponential- Funktionen f(t) = a * e c*t + b f(t) =1 * e 1*t + 0 Funktion y=f(t) f(t) =1 * e.1*t + 5 f(t) =1* e -1*t + 0 f(t) = -10 * log -.1**t -30 f(t) =-2 * e 1*t Zeit t O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

13 Logarithmische Funktionen y = f(x) = a * log(c*x) + b Theorie der Logarithmen: y = a log x; a y = x; log uv = log u + log v; log u/v = log u - log v; log u n = n * log u; log m u = 1/m * log u; a log x = a log b * b log x; e = 2, log x = 10 log e * e ln x = * ln x; O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

14 30.00 Logarithmische Funktionen f(t) = a * log(c*t) + b f(t) =10 * ln(-1*t) +0 f(t) =10 * log(2*t) +10 Funktion y=f(t) f(t) =10 * log(-1*t) +0 f(t) =10 * log(t) + 0 f(t) =10 * log(.1*t) + 0 f(t) =-10* log(10*t) Zeit t O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde

15 Wie weiter? Wie weiter? Welche Typen fehlen noch? O.U.Bräker, WSL, Vorlesung Waldwachstumskunde