Modulprüfung in Technischer Mechanik am 16. August Festigkeitslehre. Aufgaben

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Anna Fuhrmann
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1 Modulrüfung in Technischer Mechanik am 6. August 206 Aufgaben Name: Vorname: Matr.-Nr.: Fachrichtung: Hinweise: Bitte schreiben Sie deutlich lesbar. Zeichnungen müssen sauber und übersichtlich sein. Die Benutung roter und grüner Farbstifte ist nicht ugelassen. Aufgaben werden nur beurteilt, wenn sie auf den ausgegebenen Blättern gelöst sind. Eventuell abgegebene Formelsammlungen werden als nicht vorhanden betrachtet. Trennen Sie die Aufgabenblätter nicht auf. Bei den Aufgaben muss eindeutig der Lösungsweg erkennbar sein. Ein Ergebnis ohne Lösungsweg wird nicht bewertet. Sollten für eine Aufgabe mehrere widersrüchliche Lösungen angegeben sein, so wird keine bewertet. Streichen Sie deshalb falsche Rechenschritte oder Zeichnungen durch. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Aufgabe Punkte Korrektor (Eintrag erfolgt durch Institut)

2 6. August 206. Aufgabe (ca. 22 % der Gesamtunktahl) q 0 EI EI 2 L L Einauswei BalkenmitdenBiegesteifigkeiten EI undei 2 usammengesettes Tragwerk wird durch eine Linienlast q 0 beansrucht. a) Ermitteln Sie die Durchbiegung w() bw. w( ) durch Integration der Biegelinie. Verwenden Sie hiefür die vorgegebenen Koordinatenssteme. b) Skiieren Sie qualitativ die Biegelinie des gesamten Balkens. c) Das Sstem wird durch konstruktive Maßnahmen wie unten dargestellt verändert. Geben Sie die Rand- und Übergangsbedingungen entsrechend dem vorgegebenen Koordinatensstem an. q 0 EI EI 2 L L Gegeben: L, q 0, EI, EI 2.

3 6. August 206. Aufgabe a) Freischnitt: q 0 A I L II L B M( ) Momentenverlauf Bereich II: - M( ) 0 q 0 L M( ) = q 0 L 2 q 0L 2 2 q 0 2 L L DGL der Biegelinie: Bereich I: ω I() = 0 ω I () = C ω I () = C +C 2 Bereich II: EI 2 ω II ( ) = M( ) = 2 q 0 2 q 0 L + 2 q 0L 2 EI 2 ω II ( ) = 6 q 0 3 q 0 2 L 2 +q 0 2 L2 +C 3 EI 2 ω II ( ) = 24 q q 0L q ol 2 2 +C 3 +C 4 Randbedingungen: ω I = 0 ω L = ω R ω II = 0 ω II = 0 ω I ( = 0) = 0 C 2 = 0 ω I ( = L) = ω II ( = L) ω II ( = 0) = 0 C 4 = 0 ω II ( = 0) = 0 C 3 = 0 Aus ω I ( = L) = ω II ( = L) folgt C L = ( 24 q 0L 4 6 q 0L q ol 4 ) EI 2 = q 0L 3 8EI 2

4 Ergebnis: ω I () = ω II ( ) = q 0 L 3 8EI 2 q 0 2EI 2 ( L L2 2 ) b) Biegelinie: c) Rand- und Übergangsbedingungen bei geändertem Sstem: ω I ( = 0) = 0 ω L ( = L) = ω R ( = L) ω L ( = L) = ω R( = L) ω II ( = L) = 0

5 6. August Aufgabe (ca. 22 % der Gesamtunktahl) Sstem Querschnitt bei A a q L F 2L A t B C a Der dargestellte Kragarm ist in A eingesannt und wird durch eine Streckenlast q in negativer -Richtung sowie eine Einellast F in negativer -Richtung belastet. a) Bestimmen Sie die Schnittgrößen an der Einsannstelle A. b) Bestimmen Sie die Schubsannungen an der Einsannstelle in den Punkten B und C. Hinweis: Der Querschnitt darf als dünnwandig betrachtet werden (t << a). Gegeben: L = 2m, a = 80mm, t = 5mm, q = 00 N m, F = 400N.

6 6. August Aufgabe a) Schnittgrößen an der Einsannstelle A: mit R = 00 N 2m = 00N m 2 Fi = 0 : N F = 0 Q R F N Q N = 400N Fi = 0 : R Q = 0 Q = 00N Fi = 0 : Q = 0 M A i = 0 : M T R 2 3 L = 0 R F M M t M M T = Nm M A i = 0 : M +FL = 0 M = 800Nm M A i = 0 : M R 2L = 0 M = 400Nm b) Schubsannung infolge Querkräfte: mit folgt τ Q = Q S I b() S = A s = A s A 2 s2 = (80mm 40mm) 20mm (70mm 35mm) 35 2 mm = 225m 3 I = 2 [a a3 (a 2t)(a 2t) 3 ] mm b() = 2t = 42500mm 4 = 0mm

7 τ Q = Schubsannung infolge Torsion: 00N 225mm mm 4 0mm = 0,496 N mm 2 - Dünnwändiger Querschnitt.Bredtsche Formel ulässig τ T = M T 2A m t min mit A m A m = (a 2t 2 )2 = (80mm 5mm) 2 = 5625mm 2 t min = 5mm τ T = N 0mm mm 2 5mm = 2,370 N mm 2 Suerosition: τ Q τ T τ B = τ B = τ Q +τ T τ C = τ Q τ T τ C τ B = 0,496 N mm 2,370 N 2 mm = 2,596 N 2 mm 2 τ C = 0,496 N mm +2,370 N 2 mm = N 2 mm 2

8 6. August Aufgabe (ca. 22 % der Gesamtunktahl) 5H ȳ F F A2 A S A3 3H A L 2H A4 A5 H 2.4H H 2.4H Der dargestellte Kragarm ist in A eingesannt und wird durch eine eentrisch angreifende Einelkraft F belastet. Der Querschnitt des Kragarms lässt sich in ein großes Rechteck (A), in wei Dreiecke (A2,A3) und in wei kleine Rechtecke (A4,A5) erlegen. a) Bestimmen Sie die Schwerunktskoordinaten des Schwerunktes S im gegebenen ȳ - Koordinatensstem. b) Bestimmen Sie die Flächenträgheitsmomente I, I und I beüglich des Schwerunktes S. c) Bestimmen Sie die Geradengleichung der Nullsannungslinie und skiieren Sie diese. Gegeben: L, F, H.

9 6. August Aufgabe a) Schwerunktkoordinaten der -Achse: aus Smmetrie: s = 2,5H Schwerunktkoordinaten der -Achse: i A i i A i i ,4 5,5 3,2 5 2,4 5,5 3,2 6,8 [H 2 ] 50,4 [H 3 ] Daraus folgt: s = Ai i Ai = 3H b) Flächenträgheitsmomente, 6H,7H 2H 2,5H Flächenträgheitsmoment I I = I +I 2,3 +I 4,5 = [ (2 3 3)2 + 4,8 3 +4,8(3 0,5) 2 ]H 4 2 = 75,4H 4 Flächenträgheitsmoment I I = I +I 2 2+I 4 2 = [ ( (7 6 )2 )+2( 2,43 +2,4,7 2 )]H 4 2 = 26,76H 4 Flächenträgheitsmoment I aus Smmetrie: I = 0 c) Geradengleichung der Nullsannungslinie mit N = F, M = 3FH, M = 2,5FH sowie σ = N A + M I M I! = 0

10 ergibt sich F 6,8H + 3FH 2,5FH 2 75,4H4 + 26,76H 4 = 0 =,49 2,4 bw. = 0,62 0,46 Skie: = 0 S = 0

11 6. August Aufgabe (ca. 20 % der Gesamtunktahl) A q 0 EI 2L EA B 2L EI 4L C Das dargestellte Tragwerk wird durch eine gleichmäßige Streckenlast q 0 belastet. a) Bestimmen Sie die Dehnsteifigkeit EA so, dass im Punkt C keine Lagerreaktion entsteht. b) Skiieren Sie für diesen Fall den Momentenverlauf. c) Bestimmen Sie für den Fall EA die Lagerreaktion in C. Gegeben: L, q 0, EI.

12 Werte der Integrale s 0 P() K()d K() s a s b s P() k k k k k k 2 a b a+b= k S k s ks 2 ks 2 ks 2 (k +k 2 )s 2 ks 2 3 ks 2 ks 3 ks 6 ks 6 (k +2k 2 )s 6 k(+a)s 3 ks 2 ks 6 ks 3 ks 6 (2k +k 2 )s 6 k(+b)s 3 ks 2 k 2 ( + 2 )s k 6 ( +2 2 )s k 6 (2 + 2 )s [ 6 (2k +k 2 ) (k +2k 2 )]s [ k 6 [ ( + b)+ 2 (+a)]s k 3 ( + 2 )s s/2 s/2 2 ks 4 ks 4 ks 4 (k +k 2 )s k 2b (3 4a2 )s 5 2 ks c s c+d= d s 2 ks k 6 (+c)s k 6 (+d)s 6 [k ( + d) + k 2 (+c)]s k 6bc (2c c2 a 2 )s für c a k 3 (+cd)s S 2 3 ks 3 ks 3 ks 3 (k +k 2 )s k 3 (+ab)s 8 5 ks S 2 3 ks 4 ks 5 2 ks 2 (5k +3k 2 )s k 2 (5 a a2 )s 7 5 ks S 2 3 ks 5 2 ks 4 ks 2 (3k +5k 2 )s k 2 (5 b b2 )s 7 5 ks S 3 ks 2 ks 4 ks 2 (3k +k 2 )s k 2 (+b+b2 )s 5 ks S 3 ks 4 ks 2 ks 2 (k +3k 2 )s k 2 (+a+a2 )s 5 ks S = Scheitel einer quadratischen Parabel

13 6. August Aufgabe a) Schnittgrößenverläufe: M 0 : N 0 : q 0 (2L) M : N : q 0 L + 4L 3 Koeln liefert: α 0 = 2L EI 3 ql2 2 2L 4L EA ql 3 = 4 ql 4 3 EI 6qL2 EA α = ( 2L EI + 4L EI ) 3 (4L)2 + 2L EA 32 = 32 L3 EI +8 L EA Für die Komatibilität gilt α 0 +Xα! = 0 Mit der Forderung X! = 0 α 0! = 0 folgt die Dehnsteifigkeit u b) siehe M 0 und N 0 4qL 4 3 EI 6qL2 EA = 0 EA = 9 EI 2 L 2 c) Die Lagerreaktion für EA folgt mit α 0 = 4 ql 4 und α 3 EI = 32 L3 u EI X = α 0 α = 24 ql

14 6. August Aufgabe (ca. 4 % der Gesamtunktahl) Trägerteil 2 b F ȳ 800mm s h r t Trägerteil 800mm Das skiierte Tragwerk in L-förmiger Anordnung aus wei warmgewalten I-Trägern nach DIN 025 T2 (breite I-Träger, Kureichen IPB40, siehe Tabelle) wird in der dargestellten Weise mit einer Kraft F = 45kN belastet. a) Berechnen Sie die Lagerreaktionen. b) Berechnen Sie die Maimalwerte der Schnittgrößen (Biegemoment M b, Querkraft Q und Normalkraft N) und skiieren Sie diese. c) Für die weitere Bemessung ist der Einfluss der Schubsannungen infolge Querkraft u vernachlässigen. Berechnen Sie den Normalsannungsverlauf und skiieren Sie diesen. Benuten Sie für das Widerstandsmoment und die Querschnittsfläche des I-Profils die Angaben aus der nachfolgenden Tabelle. Das E-Modul der beiden Trägerteile beträgt MPa. d) Erbringen Sie anschließend den Festigkeitsnachweis für das skiierte Tragwerk. Die ulässige Vergleichssannung beträgt σ v,ul = 40.9 N/mm 2. Hinweise: Für die Berechnung ist der Steifigkeitssrung im Übergangsbereich der beiden Tragwerksteile u vernachlässigen.

Seite 3 DIN 025-2:995- Tabelle : Breite I-Träger mit arallelen Flanschflächen, IPB-Reihe)Maße in Millimeter Maße für Für die Biegeachse i) Kureiciien*) Quer schnitt Masse Mantel fläche - - 5 ) h b j'

15 Seite 3 DIN 025-2:995- Tabelle : Breite I-Träger mit arallelen Flanschflächen, IPB-Reihe)Maße in Millimeter Maße für Für die Biegeachse i) Kureiciien*) Quer schnitt Masse Mantel fläche ) h b j' t n 4 W ' ' w v i IPB cm^ kg/m m^/m cm'' cm cm cm'' cm cm cm cm ,0 20,4 0, ,9 4, ,5 2,53 52, 8, ,5 2 34,0 26,7 0, , ,9 3,06 82,6 0, ,0 33,7 0, , ,5 3, , ,3 42,6 0, , III 4, , , ,3 5,2, , , , , 6,3, , , , , ,0 7,5, , , , ,2, , , , , ,0, , , , , , , , , , , , , ,5 20, , , , , , , , , , ,5 22, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8 *) In EURONORM lautet das Kureichen für breite I-Träger dieser Reihe HE... B, wobei die Kennahl die gleiche ist wie im DIN-Kureichen,. B. HE 300 B entsricht IPB 300. ^)/= Flächenmoment 2. Grades, W = Widerstandsmoment, ; = Trägheitshalbmesser, jeweils beogen auf die ugehörige Biege achse. 2)= statisches Moment des halben Querschnittes 3)s^ = S^ = Abstand der Druck- und Zugmittelunkte Die Querschnitte, Massen, Mantelflächen und statischen Werte sind aus den in der Tabelle angegebenen Maßen errechnet.

16 6. August Aufgabe a) Für die Gleichgewichtsbedingungen gilt: M A A F A 800 Fi = 0 : A = 0 Fi = 0 : A = F A = 45kN M B = 0 : M A +F 800mm = 0 M A = 36kNm 800 [ mm ] b) Schnittkraftverläufe N Q M t + 45kN 45kN 36kNm

17 c) IPB40 : I = 50cm 4, W = 26cm 3, 43cm 2 mit σ ni = N A + M b W b Teil Teil2 2 Teil : σ n = N A + F W b = 0+ 45kN mm 3 σ n ( = 0) = 0 ; σ n ( = 800mm) = 66, 6 Teil 2: ,3 N mm 2 66, 6 N mm 2 σ n2 = N A + M b W b = 45kN 4300mm kNmm mm 3 = 77,3 N mm 2 d) Nennsannungskonet: Festigkeitsnachweis: σ v = (σ b +σ d ) 2 +3τ 2 t = 77,3 N mm 2 σ v σ v,ul 77,3 N mm 2 > 40,9 N mm 2 Festigkeit nicht gewährleistet

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