Zulassungsprüfung Stochastik,

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1 Zulassungsprüfung Stochastk, Wr gehen stets von enem Maßraum (, A, µ) bzw. enem Wahrschenlchketsraum (,A,P) aus. De Borel σ-algebra auf R n wrd mt B n bezechnet, das Lebesgue Maß auf R n wrd mt λ n bezechnet. Sollten Ihnen n Telaufgaben Ergebnsse fehlen, dann treffen Se ene plausble Annahme dafür. Aufgabe 1 (18 Punkte) (a) Se f : [, 1] [, ] stetg und monoton fallend. Bewesen Se f(x n )dλ(x) f(). lm [,1] (b) SeenA n A,n N paarwese dsjunkt,a : n 1A n undf : [, ) messbar. Bewesen Se fdµ fdµ. A n A n1 Aufgabe 2 (18 Punkte) En Stab der Länge 1 werde zufällg n zwe Tele zerbrochen. De Bruchstelle wrd mt ener Zufallsvarablen X U(, 1) modellert. (a) Se Y : mn(x,1 X) de Länge des kürzeren Bruchstücks. Bestmmen Se den Erwartungswert von Y. (b) Se Z de Länge des längeren Bruchstücks. Bestmmen Se P(Z z) für z ( 1 /2,1) und schleßen Se daraus, dass Z U( 1 /2,1) glt. (c) Bestmmen Se den Erwartungswert von Y Z (kürzeres durch längeres Stück). Aufgabe 3 (18 Punkte) Gegeben seen de Zufallsvarablen N : N und Θ : [,1]. Es gelte P(Θ ϑ) ϑ 2 für ϑ (,1). Für gegebenes ϑ (,1), se N NB(1,ϑ), d.h. N gegeben Θ ϑ bestzt de de bedngte Dchte f( ϑ) : N [,1) mt f(k ϑ) ϑ(1 ϑ) k. (a) Bestmmen Se de gemensame Dchte von N und Θ. (b) Bestmmen Se de bedngte Dchte von Θ gegeben N k. Hnwes: Für p,q N glt (c) Bestmmen Se E(Θ N). 1 x p (1 x) q dx p!q! (p+q +1)!. Aufgabe 4 (18 Punkte) En Bestand mt Volumen v N (z.b. Anzahl Verscherungsnehmer) wrd durch de Schadenzahl N : N und de Frequenz Z : N modellert. Dabe wrd v N Po(λv) mt λ > angenommen. 1

2 (a) Bestmmen Se E(N), E(Z), Var(N) und Var(Z). (b) Bestmmen Se de Wahrschenlchketsfunkton von Z. (c) Beobachtet werden unabhängge Realserungen von Z 1,...,Z n (Frequenzen) und Volumna v 1,...v n, nsbesondere glt also Z v Po(λv ) für dasselbe λ >. () Bestmmen Se de gemensame Wahrschenlchketsfunkton (also de gemensame Zähldchte) von (Z 1,...,Z n ). () Bestmmen Se enen Maxmum-Lkelhood-Schätzer für λ. () Gegeben seen de folgenden Beobachtungen: Σ z 2/7 1/3 3/11 1/1 1/3 1/8 v v z Bestmmen Se enen ML-Schätzwert für λ. Aufgabe 5 (18 Punkte) In der folgenden Tabelle snd Körpergröße x und Gewcht y vonenander unabhängger Personen aufgezechnet. 179, 181,4 152,5 173,5 178,4 178,6 175,6 18,8 186,2 171, 182,2 82,8 86,1 66,4 76,1 82,1 86,2 79,4 81,8 82,3 75,1 82, Es wrd für de Zufallsvarablen Y das Modell Y a+bx +ε, untersucht. De ε seen unabhängg und N(,σ 2 )-vertelt. En Statstkprogramm berechnet de folgenden Größen, de Se verwenden können: â 21,8; ˆb,58; (y ŷ ) 2 58,9 x 176,3; y 8; (x x) 2 796,7 (y y) 2 324,9; (y y)(x x) 46,3. (a) Stützen de Daten de Behauptung, dass das Gewcht von der Körpergröße abhängt? De Aussage soll zu enem Nveau von α 1 % erfolgen. (b) En Statstker telt Ihnen mt, er hätte de Daten durch Smulaton mt b,4 erzeugt. We beurtelen Se sene Behauptung zu enem Nveau von α 1 %? Kommenteren Se das Ergebns. 2

3 Lösungsvorschläge Aufgabe 1 Für x [,1) glt x n+1 x n für alle n N. Damt folgt f(x n ) f(x n+1 ), da f monoton fällt und lm f(x n ) f(), { da f stetg st. Seen g n,g : [,1] [, ), g n (x) f(x n f() falls x < 1 ), g(x). Laut x 1 Defnton glt g n g fast überall und mt dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt lm Se g n : [,1) f(x n )dλ(x) lm 1 Ak, g : [,1) [,1) g n (x)dλ(x) f()dλ(x) f(). [,1) g(x)dλ(x) 1 Ak. Es glt g n g und wegen f auch fg n fg. Damt folgt mt dem Satz von der monotonen Konvergenz fg n dµ fgdµ. lm De Behautpung folgt nun wegen fg n dµ fgdµ A f 1 Ak dµ f dµ. De letzte Glechung glt wegen g 1 A : f1 Ak dµ 1 A (x) 1 x A! k N x A k g(x) Aufgabe 2 A k f dµ 1 A (x) 1 Ak (x) 1. E(Y) 1 mn(x,1 x)dx 1/2 1 xdx+ (1 x)dx 2 1/2 1/2 xdx 1 4 Es glt Z max(x,1 X). Für z (.5,1) erhalten wr P(Z z) P(max(X,1 X) z) P(1 z X z) P(X z) P(X 1 z) z 1+z 2z 1 also de Vertelungsfunkton ener U( 1 /2,1)-vertelten Zufallsvarablen. 3

4 Zu (c) Es glt Y 1 Z und somt ( ) ( ) Y 1 Z E E Z Z 1 1 z 2 dz 2ln2 1,39. 1/2 z Aufgabe 3 De Dchte f Θ von Θ st gegeben durch f Θ (ϑ) 2ϑ 1 (,1) (ϑ). Für k N, ϑ (,1) glt f(k ϑ) f(k,ϑ) f Θ (ϑ) f(k,ϑ) 2ϑ2 (1 ϑ) k 1 (,1) (ϑ). De Wahrschenlchketsfunkton von N st gegeben durch P(N k) R f(k ϑ)dϑ 2 Damt folgt für ϑ (,1), k N 1 ϑ 2 (1 ϑ) k dϑ 4k! (k +3)!. f(ϑ N k) f(k,ϑ) P(N k) 2ϑ2 (1 ϑ) k(k +3)!. 4k! Zu (c) E(Θ N k) (k +3)! ϑf(ϑ N k)dϑ 2k! (k +3)! 3!k! 2k! (k +4)! 3 k ϑ 3 (1 ϑ) k dϑ Damt folgt E(Θ N) 3 N +4. Aufgabe 4 E(N) Var(N) λv ( ) N E(Z) E E(N) λ v v ( ) N Var(Z) Var Var(N) v v 2 λ v. (da N Po(λv)) Se k N. Zu (c) P(Z k/v) P(Zv k) e λv(λv)k. k! 4

5 Für z k v, k N glt Somt st ˆλ ˆλ n L(λ) e λv(λv ) k k! l(λ) : ln L(λ) ( λv +k ln(λv ) lnk!) n d dλ l(λ) v + 1 λ k v + 1 λ l (λ) 1 n λ 2 v z < v z l (ˆλ) ˆλ. v v Z v z ML-Schätzer. Mt den Daten ergbt sch der Schätzwert v Aufgabe 5 Zu prüfen st de Nullhypothese H : b gegen H 1 : b. De Prüfstatstk t ˆb se(ˆb) st laut Formelsammlung t n 2-vertelt, es ergbt sch ˆσ 2 se(ˆb) 1 (y ŷ ) 2 58,9 n 2 9 ˆσ 2 58,9 (x x) ,7,96 t 6, 4. H wrd verworfen, denn t > t n 2,1 α 1,833 mt n 11,α 1 %. Analog zu (a) ergbt sch mt H : b,4 t,58,4 se(ˆb) 1,987 > 1,833. Auch n desem Fall wrd verworfen. Auch wenn H zutrfft, kann es zur Ablehnung kommen (Fehler 1. Art). Be dem Sgnfkanznveau von α 1 % kann es n 1 % der Fälle ener solchen Untersuchung zur Verwerfung kommen. 5