3 Integration. viele Teilintervalle. Z (oder Z [a, b]) sei die Menge aller Zerlegungen von [a, b].

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1 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.1) ) Z = {x,...,x n } mit = x < x 1 < < x n = b heißt eine Zerlegung von [,b] in endlich viele Teilintervlle. Z (oder Z [, b]) sei die Menge ller Zerlegungen von [, b]. b) Z = mx x i x i 1 heißt Feinheit der Zerlegung.,...,n n c) R(f,Z,ξ ) = (x i 1 x i )f (ξ i ) Riemnn-Summe zu Zwischenstellen ξ i [x i 1,x i ] n d) U(f,Z ) = (x i 1 x i ) inf f (x) Untersumme x [x i 1,x i ] n e) O(f,Z ) = (x i 1 x i ) sup f (x) Obersumme x [x i 1,x i ] (3.2) ) Die Grenzwerte U(f ) = sup{u(f,z ) Z Z } bzw. O(f ) = inf{o(f,z ) Z Z } heißen Riemnnsches Unter- bzw. Oberintegrl. b) Flls U(f ) = O(f ), dnn heißt f (Riemnn)-integrierbr. Wir schreiben für ds Integrl f (x)dx = U(f ) = O(f ). (3.3) ) Sei < c < b. Dnn gilt: f über [, b] integrierbr f über [, c] integrierbr und f über [c, b] integrierbr. c Es gilt f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. c b) Ds Integrl ist liner: [αf (x) + βg(x)]dx = α f (x)dx + β g(x) dx. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 14

2 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.3) c) Ds Integrl ist monoton: f (x) g(x) in [, b] = f (x)dx g(x) dx. (3.4) Eine beschränkte Funktion f : [,b] R ist genu dnn integrierbr, wenn für lle ε > eine Zerlegung Z Z existiert mit O(f,Z ) U(f,Z ) < ε. (3.5) Sei f : [, b] R beschränkte Funktion. ) f monoton = f integrierbr. b) f stetig = f integrierbr. (3.6) Eine Menge N R heißt Nullmenge, wenn zu jedem ε > eine Folge von Intervllen ] k,b k [ mit k > b k, N ] k,b k [ und k (b k k ) ε existiert. (3.7) Seien f,g : R R. Dnn heißt f = g fst überll, wenn {x R: f (x) g(x)} eine Nullmenge ist. (3.8) Eine Funktion φ : R R heißt Treppenfunktion, wenn endlich viele disjukte Intervlle I k existieren, so dss φ(x) c k für x I k gilt. (3.9) ) Eine Funktion f : R [, ] heißt Lebesgue-integrierbr, wenn eine monoton steigende Folge von Treppenfunktionen φ k mit lim k φ k = f fst überll und R φ k (x)dx C < existiert. Dnn ist R f (x)dx = lim k R φ k (x)dx. ) Eine Funktion f : R [, ] heißt Lebesgue-integrierbr, wenn f + = mx{,f } und f = mx{, f } Lebesgue-integrierbr sind. Es ist f (x)dx = f + (x)dx R f (x)dx. R R C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 15

3 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.1) F : [,b] R heißt Stmmfunktion zu f, wenn F differenzierbr uf [,b] ist, und wenn F (x) = f (x) für x [,b] gilt. (3.11) Mittelwertstz der Integrlrechnung Sei f : [,b] R stetig. Dnn existiert ξ [,b] mit f (ξ ) = 1 b (3.11) Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Sei f : [,b] R stetig. Dnn ist F : [,b] R mit x F (x) := f (t)dt eine Stmmfunktion zu f, d.h. F = f (x). f (x)dx (3.12) Sei f : [,b] R stetig und sei F : [,b] R eine Stmmfunktion. Dnn gilt: f (t)dt = F (b) F () (3.13) Seien f,g : [,b] R stetig differenzierbr. Dnn gilt: = f (x)g (x)dx = f (x)g(x) b f (x)g(x)dx (Prtielle Integrtion). (3.14) Sei g : [,b] [c,d] stetig differenzierbr, und sei f : [c,d] R stetig. Dnn gilt: f ( g(t) ) g(b) g (t)dt = f (x) dx (Substitutionsregel). g() C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 16

4 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.12) Sei f (x) = k (x x ) k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius r. j= Dnn gilt f (x)dx = k (k + 1) (x x ) k+1 + C für x r < x < x + r. k= (3.13) Sei f : [,b] R stetig, p : [,b] R integrierbr und p(x) für x [,b]. Dnn existiert ξ [,b] mit f (x)p(x)dxx = f (ξ ) p(x)dx. (3.14) Sei f : [,b] R (n + 1)-ml stetig differenzierbr, und sei x ],b[. n f Dnn gilt f (x) = (k) (x ) (x x k! ) n + R n (x;x ) mit dem Restglied k= R n (x;x ) = 1 x (x t) n f (n+1) (t)dt. n! x (3.15) Ein rtionles Polynom R(x) = P(x) mit grd P < grd Q besitzt eine Prtilbruch-Zerlegung Q(x) n ( P(x) Q(x) = αj1 + α j2 x x j=1 j (x x j ) α ) jr j (x x j ) r j ( m β + k1 + γ k1 x β ksk + γ ksk x k=1 (x c k ) 2 + dk ( (x ck ) 2 + dk 2 ) sk ). C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 17

5 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion Uneigentliche Integrle (3.16) Sei D R und sei f : D R eine Funktion. ) f heißt lokl integrierbr, wenn f über jedes kompkte Intervll [, b] D integrierbr ist. b) Sei f über [, [ lokl integrierbr. Dnn definiere f (x)dx := lim f (x)dx b c) Sei f über R lokl integrierbr. Dnn definiere f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx d) Sei f über ], b[ lokl integrierbr. Dnn definiere c z f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx z + z z b c (3.17) Sei f : [, b] R lokl integrierbr. ) f (x)dx existiert = ε > C > : z 2 f (x)dx < ε für z 2 > z 1 > C z 1 b) Wenn f (x) dx existiert (bsolute Konvergenz), dnn existiert uch f (x)dx. c) Sei f (x) g(x) für x und sei g(x) dx konvergent, dnn ist f (x)dx konvergent. d) Gilt g(x) f (x) und g(x)dx = = f (x) dx divergent. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 18

6 Krlsruhe Institute of Technology (3.18) 3 Integrtion Rottionskörper ( ) y ) Zu einer Menge K R 3 und x R sei Q(x) = R 2 x y K der Querschnitt. z z b) Zu f : [,b] R ist K = x y [,b] R 2 y 2 + z 2 f (x) ein Rottionskörper. z c) F (x) = Q(x) bezeichnet die Querschnittsfläche, und V = K ds Volumen. (3.19) Zu einer Zerlegung Z = { = x < x 1 < < x n = b} ist die entsprechende Riemnnsumme für V. n V (Z ) = Q(x i ) (x i x i 1 ) (3.2) Hben jeweils zwei Körper K und K die gleiche Querschnittsfläche F (x) = Q(x) = Q (x), dnn sind ihre Volumen gleich (V = K = K ) (Prinzip von Cvlieri). Ds Volumen berechnet sich durch V = Q(x) dx. Für einen Rottionskörper berechnet sich die Mntelfläche durch M = π f (x) 1 + f (x) 2 dx. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 19

7 Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion Kurven (3.21) ) Eine stetige Funktion c: [,b] R n heißt Prmeterdrstellung einer Kurve. b) Wenn jede Komponente von c stetig differenzeirbr ist, heißt c eine C 1 -Kurve. c) Die Kurve heißt gltt, wenn ċ(t) für lle t [,b]. m (3.22) Zu jeder Zerlegung Z = { = t < t 1 < t m = b} sei L(Z ) = c(t i ) c(t i 1 ) die Länge des Polygonzugs c(t ),c(t 1 ),...,c(t m ). Wenn {L(Z ) Z Z [,b]} beschränkt ist, dnn heißt die Kurve rektifizierbr und L(c) = sup{l(z ) Z Z [,b]} heißt Länge der Kurve. (3.23) Jede C 1 -Kurve ist rektifizierbr, und für die Länge gilt L(c) = ċ(t) dt. (3.24) Eine Umprmeterisierung einer Kurve c: [,b] R n ist eine stetige, bijektive, monoton wchsende Funktion h : [α, β] [, b]. (3.25) Die Länge einer C 1 -Kurve ist prmeterisierungsvrint. (3.26) ) Sei c: [,b] R eine C 1 -Kurve. Dnn heißt S(t) = t ċ(τ) dt Bogenlängenfunktion. b) Wenn c eine gltte C 1 -Kurve ist, dnn ist S 1 : [,L(c)] [,b] eine Umprmeterisierung, und c(s) = c ( S 1 (s) ) heißt Prmeterisierung nch der Bogenlänge. c) κ(s) = c (s) heißt Krümmung von c. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 2

8 Krlsruhe Institute of Technology 3 Periodische Funktionen und Fourier-Reihen (3.27) ) Eine Funktion f : R heißt periodisch mit der Periode T, flls f (t + T ) = f (t) für lle t R. b) Eine Reihe der Form f (t) = 2 + ( k cos(kωt) + b k sin(kωt) ) heißt Fourier-Reihe. k=1 (3.28) Für trigonometrische Polynome gilt f N (t) = N N 2 + [ k cos(kωt) + b k sin(kωt)] = γ k exp(ikωt) k=1 k= N γ = 1 2 k, γ k = 1 2 ( e ib k ), γ k = γ k, = 2γ, k = 2Re(γ k ),b k = 2Im(γ k ) (k = 1,2,...,N). (3.29) Es gilt für ω = 2π T T { T k = l ) exp(ikωt) exp( i lωt) dt = k l T T /2 k = l b) cos(kωt) cos(lωt) dt = T k = l = k l T { T /2 k = l c) sin(kωt) sin(lωt) dt = k l T d) sin(kωt) cos(lωt) dt =. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 21

9 Krlsruhe Institute of Technology 3 Periodische Funktionen und Fourier-Reihen (3.3) Sei f : [, T ] R stückweise stetig (d.h., es existiert eine Zerlegung = t < t 1 < < t m = T, so dss f [tj 1,t j ] stetig ist). Dnn heißt F (f )(t) = ( ) 2 + k cos(kωt) + b k sin(kωt) k=1 mit k = 2 T f (t)cos(kωt)dt und b T k = 2 T f (t)sin(kωt)dt Fourierreihe zu f. T (3.31) Sei f : R R periodisch und stückweise stetig differenzierbr. Dnn gilt: F (f )(t) = 1 2 ( f (t ) + f (t + ) ). { 1 } (3.32) Sei T N = spn 2,cos(ωt),sin(ωt),...,cos(Nωt),sin(Nωt) der Vektorrum der trigonometrischen Polynome vom Grd N, und sei F N (f ) T N die Fourier-Approximtion von f. Dnn gilt f F N (f ) f g für lle g T N ( 2 bzgl. der Norm g = T T ) ( ) 1/2 2 g(t) dt. C. Wieners: Mthemtik 2 für Studierende der Fchrichtung Informtionswirtschft 22