KAPITEL 7. Connectivity

Transkript

1 KAPITEL 7 Connectivity

2 Inhalt Einführung Grundlegenden Theoreme - wir fügen wichtige Theoreme, Lemmata und Korollare ein, die uns später besser helfen würden den Inhalt des Kapitels zu verstehen. Minimale Schnitte ( minimum cuts )

3 Inhalt Cactus Repräsentation aller minimalen Schnitten Flow-Based Connectivity Algorithms Knotenzusammenhangsalgorithmen, Even und Tarjan Algorithmus und Kantenzusammenhangsalgorithmen u.a. Non - flow - based Algorithmen Grundlegende Algorithmen für Komponenten

4 Einführung Wir werden uns mit Algorithmen beschäftigen, die - k Knotenzusammenhang (bzw. k-k Kantenzusammenhang) ein gegebenen Graph überprüft. - der Knotenzusammenhang (bzw. der Kantenzusammenhang) ein gegebenen Graph berechnet. - die maximale k - zusammenhängende Komponente ein gegebenen Graph berechnet.

5 Einführung Sei G=(V,E) ein ungerichteten Graph und seien s und t zwei verschiedene Knoten von G. Zwei Pfade p1 und p2 von s nach t heißen Kantendisjunkt,falls sie keine Kanten gemeinsam haben. G heißt k-fach kantenzusammenhängend ( k-edge-connected ),falls es für jedes Paar ( s, t ) verschiedene Knoten von G mindestens k kantendisjunkte Pfade von s nach t gibt. Der Kantenzusammenhang von G ist das maximale k für das k-fach kantenzusammenhängend. (G):=max{k:G ist k-fach kantenzusammenhängend} λ

6 Einführung Sei G=(V,E) ein ungerichteter Graph und weiter seien s und t zwei verschiedene Knoten von G. Zwei Pfade p1 und p2 heißen Knotendisjunkt, falls sie außer dem Startknoten s und Endknoten t keinen Knoten gemeinsam haben. G heißt k- fach knotenzusammenhängend( ( k-k connected ), falls es für jedes Paar ( s, t ) verschiedene Knoten von G mindestens k knotendijunkte Pfade von s nach t gibt. k(g):=max{k:g ist k-k fach zusammenhängend}

7 Einführung Für zwei Knoten s und t in einem ungerichteten Graph G = (V,E) heißt eine Menge F E s - t - trennende Kantenmenge, falls in G\F G F kein Pfad von s nach t existiert. Für zwei Knoten s und t in einem ungerichteten Graph heißt eine Menge T (V\{s,t( {s,t}) eine s-t-trennendetrennende Knotenmenge, falls in G\T G T kein Pfad von s nach t existiert.

8 Einführung

9 Grundlegende Theoremen Theorem.7.1.2:(Menger,1927). - Knotenversion: Für zwei nicht benachbarte Knoten s und t in einem ungerichteten Graphen G ist die maximale Anzahl Knotendisjunkte Pfade von s nach t gleich der minimalen Größe einer s-s t- trennenden Knotenmenge. - Kantenversion: Die maximale Anzahl kantendisjunkte Pfade von s nach t ist gleich der minimalen Größe einer s-t-s trennenden Kantenmenge. Aus dem Satz von Menger lassen sich die folgende weitere Theoreme ableiten:

10 Grundlegende Theoremen Theorem.7.1.5:(Whitney,1932) Ein ungerichteter Graph G mit mindestens k+1 Knoten ist genau dann k - fach knotenzusammenhängend,, wenn jede trennende Knotenmenge in G mindestens k Knoten enthält. Theorem.7.1.6: Ein ungerichteter Graph G ist genau dann k - fach kantenzusammenhängend,, wenn jede trennende Kantenmenge in G mindestens k Kanten enthält.

11 Grundlegende Theoremen Die folgende Theorem von Lovasz stellt die Wechselbeziehung zwischen die maximale Anzahl gerichtete kantendisjunkte Pfade und ein- und aus - Grad eines Knoten dar. Theorem (Lovasz,1973): Sei v V ein Knoten von Graph G = (V,E). Falls λ G (v, w) λg (w, v) für alle Knoten w V,dann d+ d (v) = d- d (v). Als direkte Folgerung liefert diese Theorem den Beweis für den Kotzig s Theorem.

12 Grundlegende Theoremen Theorem (Kotzig s Theorem): Für ein gerichtete Graph G, λ G ( v, w) ist gleich λg( ( w, v) für alle v, w V, dann und nur dann,wenn den Graph pseudo- symmetrisch ist, d.h. die in- degree ( ein- Grad ) ist gleich out- degree (aus- Grad) für alle Knoten d+ d (v) = d- d (v).

13 Einführung zu minimalen Schnitt (minimum cut) w( X,Y ) bezeichnet in einem ungerichteten gewichteten Graphen die Summe der Gewichten von den Kanten mit einem Endpunkt in jeder zwei disjunkten Knotenmengen X und Y. Definition Ein minimalen Schnitt ist so ein Schnitt S, sodass für alle andere Schnitte T gilt: w( S,V\S S ) w( T,V\T T ). Das Algorithmus, das alle minimalen Schnitte berechnet, soll diese Schnitte abbilden. Das Problem ist alle minimale Schnitte abzulegen ohne viel Raum zu verbrauchen.

14 Einführung zu minimalen Schnitt (minimum cut) Ein Vorschlag wurde 1976 von Dinitz gemacht. Er hat die so genannte Datenstruktur Cactus präsentiert, die alle minimalen Schnitte auf einen ungerichteten Graph abbildet. Mit Hilfe einem Cactus können wir die Größe des Schnittes linear berechnen. Karzanov und Timofeev haben die erste Algorithmus für das Konstruieren von ein Cactus für ungewichteten ungerichteten Graphen entworfen. Das Algorithmus hat zwei Teile.

15 Einführung zu minimalen Schnitt (minimum cut) 1.Teil: findet Folgerung aus alle minimale Schnitte 2.Teil: konstruiert den Kaktus aus diese Folgerung. Der Algorithmus funktioniert mit gewichteten Graphen solange alle Gewichte positiv sind. Ein ungewichtete Graph kann in einem gewichteten Graph abgebildet werden, sodass alle Kanten Gewicht 1 zugeteilt wird.

16 Minimale Schnitte in ungerichteten Graphen Definition Paar ( S1 S, S2 S ) heißt kreuzende Schnitt ( crossing cut ), wenn S1 S, S2S zwei minimalen Schnitte sind und keine von der Mengen S1 S2,, S1 S \ S2,S2 \ S1, S1 S2 leer ist.

17 Minimale Schnitte in ungerichteten Graphen Definition Eine Kreispartition ist eine Partition von V in k 3 disjunkte Mengen V1,VV,V2,...,Vk,sodass 1. w( Vi, Vj ) = { λ/ 2 : i-j i j = 1 mod k und 0: sonst 2. Wenn S ein minimale Schnitt ist, dann a. S oder S ist echte Teilmenge von einige Vi,, oder b. Der minimale Schnitt ist die Vereinigung einiger Mengen von den Kreispartition ( circular partition).

18 Minimale Schnitte in ungerichteten Graphen Zwei Kreispartitionen P:={U1 Uk Uk} } und Q:={V1 Vl} sind passend (compatible( compatible), wenn es eindeutige r und s gibt, sodass für alle i r :Ui Vs und für alle j s : Vj Ur

19 Cactus Repräsentation von alle Eine Menge S heißt laminar - S1 und S2S sind disjunkt, oder - S1 S2,oder - S2 S1 minimale Schnitte laminar,, wenn für S1,S S,S2 S : Jede laminare Menge S kann als Baum dargestellt werden. Jeder Knoten stellt eine Menge in S dar ; die Blätter stellen die Mengen dar, die keine andere Mengen aus S enthalten. Der Vater eines Knoten, der eine Menge T darstellt, stellt die kleinste Obermenge von T. Diese Konstruktion endet mit eine Menge von Bäume,genannt Wald. Fügt man ein extra Knoten r zu dem Wald ein und schließt alle Wurzeln von den Bäumen eines Waldes mit eine Kante zu den neuen Knoten r ein, bekommt man ein Wurzel von einem größeren Baum. Daher stellen die Knoten von einen Baum alle Mengen von S dar und die Wurzeln stellen die gesamte grundlegende Menge. Das ist die Vereinigung alle Elemente S S.. Wenn diese Vereinigung n Elemente hat, dann kann so ein Baum höchstens n Blätter haben und daher höchstens 2n-1 Knoten.

20 Cactus Repräsentation von alle minimale Schnitte Zunächst betrachten wir G=(V,E) ohne Kreispartitionen. Da alle minimale Schnitte von G laminar sind, kann das mit ein Baum TGT wie folgt dargestellt werden: - Betrachte die kleinste Knotenmenge von jeder minimalen Schnitt. - Bezeichne diese Menge von Mengen mit Λ - Wenn die Knotenmengen eines minimalen Schnittes gleiche Größe haben, nimm eine davon. - Repräsentiere jede Menge von Λ mit einem einzelnen Knoten.

21 Cactus Repräsentation von alle minimale Schnitte Zwei Knoten, entsprechend minimalen Schnitte A und B, sind in G verbunden mit eine Kante, wenn A B und es gibt keinen anderen minimalen Schnitt C,sodass A C B. Also die Wurzeln des Waldes stellen minimale Schnitten in Λdar, die in keine anderen minimalen Schnitt enthalten sind. Schließe alle Wurzeln eines Waldes mit eine Kante zu eine einzelne extra Knoten,die wir als Wurzel des Baumes definieren. Beim entfernen einer Kante in den Baum trennt sich ein Unterbaum von den Rest des Baumes.

22 Cactus Repräsentation von alle minimale Schnitte Für jeder minimale Schnitt S von G sind die Knoten von S abgebildet zu einige Knoten X, sodass es eine Kante gibt, bei denen Entfernen,trennt sich der Knoten X von den Rest des Baumes. Umgekehrt: Beim Entfernen eine Kante aus TGT trennen sich die Knoten des Baumes an zwei Teile, sodass die Menge alle Knoten die in eine Teil abgebildet sind, ein minimale Schnitt ist. Wenn G keine Kreispartition hat, ist der Baum TGT der Cactus CG für G.Die Anzahl der Knoten des Cactus ist 2 V - 1. Beachte ein Graph G = ( V,E ),der nur eine Kreispartition V1,...,Vk hat.

23 Cactus Repräsentation von alle minimale Schnitte Circular partition cuts können durch ein Kreis mit n Knoten repräsentiert werden. Für 1 i k, die Knoten jeder Teil Vi sind mit einen Knoten NiN des Kreises dargestellt, sodass zwei Teile Vi und Vi+1V mit zwei benachbarte Knoten dargestellt sind. Wir können der Baum T(Vi,E) konstruieren für alle minimalen Schnitte die Untermengen von Vi mit Restriktion, dass nur die Knoten von Vi in diese Baum abgebildet sind. Der Wurzel von T(Vi,E) entspricht genau die Menge Vi.Man verbindet den Knoten Ni des Kreises mit den Wurzel von T(Vi,E) für alle 1 i k. Dieses Kreis verbunden mit alle Bäume ist der Cactus CG für G.

24 Cactus Repräsentation von alle minimale Schnitte Die Anzahl der Knoten ist gleich die Summe aller Knoten in die Bäume T(Vi,E) mit 1 i k. Daher kommt die Anzahl der Knoten des Cactus 2 V -1. Betrachte der Graph G = ( V,E ) mit Kreispartitionen P1,...,Pz.Nehme.Nehme alle Kreispartitionen als Menge von Mengen. Die Knoten jeder Menge F F P1... Pz sind abgebildet in einen Knoten und zwei Knoten sind zusammenhängend, wenn für F1F und F2 F : w( F1,FF,F2 ) > 0. Jeder Kreispartition erstellt ein Kreis in CG C.Da alle Kreispartitionen paarweise passend sind, sind die Kreise zusammengebunden mit Kanten, die zu keinem Kreis gehören.

25 Cactus Repräsentation von alle minimale Schnitte

26 Flow-Based Connectivity Algorithms Die meisten Algorithmen für die Berechnung der Knoten / Kantenzusammenhang basieren an die Berechnung von (maximum flow ) maximale Fluss durch abgeleitete Netzwerk. Definition Ein Netzwerk wird ein Einheitskapazität Netzwerk genannt ( oder Netzwerk ),wenn der Kapazität 1 für alle Kanten ist. Ein Einheitskapazität Netzwerk ist von Typ 1,wenn es keine parallele Kanten hat, oder von Typ 2,wenn für jeder Knoten v( v s, v t ) und der Eingangsgrad d-(v) ) oder der Ausganggrad d+(v) ) nur 1 ist.

27 Flow-Based Connectivity Algorithms Lemma Für ein unit capacity Network kann der Maximum Fluss in Ο( 3/2 m ) berechnet (mit der Dinitz s Algorithmus ) 2.Für ein unit capacity Network von Typ 1 - Ο 2/3 ( n m) 3.Für ein unit capacity Network von Typ 2 - Ο ( n 1/2 m)

28 Flow-Based Connectivity Algorithms Der Grundlage von alle flow-based Zusammenhangsalgorithmen ist ein Unterprogramm, die der Zusammenhang zwischen zwei eindeutige Knoten s und t berechnet. Methode von Even für Berechnung kg( ( s, t ): Gegeben seien ein Graph G = ( V,E ),n Knoten und m Kanten, abgeleitet zu ein gerichtete Graph G = ( V, E ) mit V = 2n und E = 2m + n durch austauschen jeder Knoten v V mit zwei v, v V, verbunden mit eine Kante ev = (v, v ) V. Fig.7.9.

29 Flow-Based Connectivity Algorithms k( s, t ) ist berechnet als Maximum flow in von Quelle s zu Senke t mit unit capacities für alle Kanten. Jedes Paar v, v V repräsentiert ein Knoten v V die innere Kante ( v, v ),die einzige Kante entstammend aus v und gehend in v,da Netzwerk G von Typ 2 ist. Even und Tarjan Algorithmus Laufzeit : Ο ( 2) n m G

30 Flow-Based Connectivity Algorithms

31 Flow-Based Connectivity Algorithms Der folgende Algorithmus : - Berechnet den Spannbaum eines gegebenen Graphen - Wählt ein beliebige innere Knoten v von den Baum und berechnet die lokale Zusammenhang λ( v, w) zu jeder anderen Knoten w, der kein Blatt ist. - Das Minimum von diese Werte zusammen mit δ (G) ergibt genau λ (G). Algorithmus 15 berechnet ein Spannbaum T von G, sodass L und R einiger minimale trennende Kantenmenge sind und enthalten mindestens ein Blatt von T und mindestens ein inneren Knoten.

32 Flow-Based Connectivity Algorithms Lemma Annahme : λ (G) < δ (G).Wenn T ein Spannbaum von G ist, dann alle Komponente von G - S enthalten mindestens ein Knoten, der kein Blatt von T ist. (Knoten von T, die keine Blätter sind, formen ein λ - covering ).

33 Flow-Based Connectivity Algorithms

34 Flow-Based Connectivity Algorithms Die Berechnung des Kantenzusammenhang basiert auf den Maximalenfluss Algorithmus,der den lokalen Kantenzusammenhang λ G( ( s, t ) berechnet.man ersetzt einfach alle ungerichteten Kanten durch Paare,antiparallele gerichteten Kanten mit Kapazität 1 und berechnet der Maximalenfluss von der Quelle s zu der Senke t. Da das Netzwerk von Typ 1 ist, die Berechnung ist auf Grund des Lemma mit Komplexität 3/2 2/3 O ( m, n m ) von (G).

35 Flow-Based Connectivity Algorithms Ein trivialen Algorithmus für die Berechnung von λ (G) könnte einfach des Minimum von den lokalen Kantenzusammenhang für alle Paare von Knoten ausrechnen. Dieses Algorithmus würde nn ( 1)/2 Aufrufe des Maximumfluss Unterprogramm machen. Wir können leicht der Algorithmuskomplexität verbessern, wenn wir nur die Zusammenhang λ G( ( s, t ) für ein einzelnen Knoten s und alle anderen Knoten t beachten.

36 Flow-Based Connectivity Algorithms Da ein von den Knoten t V\ V {s} durch beliebige minimalen Kantenschnitt von s getrennt sein muss, λ (G) entspricht das Minimum von alle diese Werte. Die Anzahl den Aufrufen von MaxFlow ist dadurch reduziert auf n-1. n Die gesamte Zeitkomplexität ist 2 / 3 1 / 2 O ( n m. m i n { n, m } ) Der oben erwähnte Algorithmus funktioniert, wenn die ganze Knotenmenge durch eine Untermenge ersetz wird, die zwei Knoten enthält,die durch einige minimalen Kantenschnitt getrennt sind. Das folgende versucht die Größe diese Knotenmenge zu reduzieren.

37 Flow-Based Connectivity Algorithms Sei S ein minimalen Kantenschnitt eines Graphen G=(V,E) und seien L,R V ein Partition einer Knotenmenge, sodass L und R durch s getrennt sind. Lemma Wenn λ( G) < σ ( G),dann enthält jeder Komponente von G-S G S mehr als σ(g) Knoten, das heißt L > σ (G) und R > σ (G).

38 Flow-Based Connectivity Algorithms λ (G) (kantenzusammenhang( kantenzusammenhang) ) ist dann berechnet mit diesem Algorithmus: λ Laufzeit : O ( m n )

39 Non flow - based Algorithmen Wir betrachten jetzt Zusammenhangsalgorithmen, die nicht auf Netzwerkflusstechniken basiert sind Der minimalen Schnittalgorithmus von Stoer und Wagner Jede Phase des Algorithmus ist sehr ähnlich zu den minimalen Spannbaumalgorithmus und Dijkstra s und kürzeste Pfade Berechnung. Die äquivalente Laufzeit O( m + n log n ) pro Phase hat eine gesamte Komplexität von O( nm +n²logn ).

40 Non flow - based Algorithmen

41 Non flow - based Algorithmen

42 Non flow - based Algorithmen Randomisierte Algorithmen (randomized( randomized): - für viele Probleme die einzigen bzw. die schnellsten verfügbaren effizienten Lösungsmethoden. - Monte-Carlo Algorithmen liefern Näherungslösungen für viele Probleme. Die praktische Durchführung eines solchen Algorithmus basiert auf dem Einsatz von Zufallszahlen. - Las Vegas Algorithmen liefern immer exakte Ergebnisse. Die Laufzeit ist aber zufällig.

43 Non flow - based Algorithmen - Linial, Lovasz, Wigderson : - Monte-Carlo Algorithmus : ( ) Laufzeit : Ο n nk 2.5 mit Fehler Wahrscheinlichkeit < 1/n. - Las Vegas Algorithmus : Laufzeit : ( n 2.5 nk 3.5 ) Ο +

44 Grundlegende Algorithmen für Komponenten - biconnected components( ( 2-zusammenhängende 2 Komponenten) - strongly connected components( ( stark zusammenhängende Komponenten) - triconnectivity components(3-zusammenhängende Komponenten) Komponente (ungerichteten Graphen): ein maximalen Teilgraph, in dem jeder Knoten von jedem anderem Knoten aus erreichbar ist. Ein Knoten a in G heißt Artikulationsknoten, wenn {a} eine trennende Knotenmenge in einer Zusammenhangskomponente von G ist.

45 Grundlegende Algorithmen für Komponenten biconnected components Eine Komponente eines ungerichteten Graphen ist 2-fachzusammenhängend, wenn jeder Knoten von jedem anderen Knoten auf zwei unterschiedliche Pfade erreichbar ist. Frage: Welche Knoten einer Netzwerk immer zusammenhängend bleiben, in der Fall, dass ein beliebigen Knoten ausfällt. Die Berechnung von biconnected components einen Graphen werden Blöcke genannt.

46 Grundlegende Algorithmen für Komponenten Die Blöcke von G=(V,E) kann man durch eine modifizierte Tiefensuche berechnen(1972,tarjan).eine Tiefensuche besucht von einem Startknoten s V aus alle anderen Knoten nach den folgenden Regeln, wobei die Kanten von G in Baumkanten (die am Ende einen Spannbaum von G, sog. DFS-Baum ergeben) und Rückwärtskanten eingeteilt werden. - num := preorder Reihenfolge ( Nummerierung) - Rückwertskante keine Baumkante, gerichtet von eine Knote mit größere num nach eine Knote mit kleinere num.

47 Grundlegende Algorithmen für Komponenten - low[v] = minimale Präordernummer num[w] eines Knotens w, der von v aus über 0 Baumkanten abwärts, evtl. gefolgt von einer einzigen Rückwärtskante, erreicht werden kann. Am Anfang ist s die aktuelle Knoten und als besucht markiert. Falls der aktuelle Knoten v ein unbesuchten Nachbarknoten w hat, so wird die Tiefensuche bei w fortgesetzt, d.h. w wird als besucht markiert und ist nun der aktuelle Knoten. Die Kante(v,w) ist eine Baumkante und v der Vater von w in DFS-Baum.

48 Grundlegende Algorithmen für Komponenten Falls der aktuelle Knoten v keine unbesuchten Nachbarn hat, so wird der Vater von v zum aktuellen Knoten. Falls v keinen Vater hat, so muss v =s gelten und die Tiefensuche ist beendet. Die Tiefensuche wird als rekursive Prozedur implementiert, die beim aktuellen Knoten einmal über alle Nachbarkanten läuft und dabei für jede Kante zu einem unbesuchtem Knoten einen rekursiven Aufruf macht. Die Berechnung von low - Werte geschieht einfach durch Ausnutzung der folgenden Tatsache : low[v] =min ({num[v] } { low[w] wobei w ist Kind von v in DFS-Baum} {num[w] {v, w} ist Rückwärtskante})

49 Grundlegende Algorithmen für Komponenten

50 Grundlegende Algorithmen für Komponenten strongly connected conponents Eine starke zusammenhängende Komponente eines gerichteten Graphen ist ein maximaler Teilgraph in dem jeder Knoten von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist. - Berechnung mittels modifizierte Tiefensuche

51 Grundlegende Algorithmen für Komponenten 1.Nummeriere alle Knoten des Graphen in preorder Reihenfolge einer Tiefensuche. 2.Bilde den inversen inversen Graphen durch umkehren der Orientierung aller Kanten. 3.Ermittle aller spannende Bäume des inversen Graphen durch Tiefensuche in den Reihenfolge der Nummerierung der Knoten. Die Knoten jedes spannenden Baumes bilden gemeinsam mit den sie verbindenden Kanten des ursprünglichen Graphen die stark zusammenhängenden Komponenten. Die Kanten, die während den Tiefsuche überprüft sind, sind wie folgt eingeteilt :

52 Grundlegende Algorithmen für Komponenten 1. Alle Kanten, die zu nicht markierte Knoten leiten, heißen Baumkanten( tree edges - Die gehören zu den DFS Wald). 2. Die Kanten, die zu eine Knoten w leiten, der schon in den vorherige Schritt markiert wurde, gliedern sich in die folgende Klassen : - Wenn num [w] > num [v], nennt man Vorwärtskante. - Einerseits, wenn w ein Urahn von v in den selben DFS- Baum ist, heißt e Rückwärtskante. - Andererseits ist kreuzende Kante (cross edge )

53 Grundlegende Algorithmen für Komponenten

54 Grundlegende Algorithmen für Komponenten Zwei Knoten v, w sind in den selben starken Komponenten, wenn es ein direkte Pfade von w nach v und von v nach w gibt. Das induziert äquivalente Relation als Partition einer Knotenmenge (bei biconected components ist die Knotenmenge partitioniert,, da die Knoten können zu mehreren Komponenten gehören.

55 Grundlegende Algorithmen für Komponenten triconnectivity components Definition Sei G=( V, E ) ein 2-zusammenhängende 2 (multi-) ) Graph. Zwei Knoten a, b V heißen Separationspaar von G, wenn den induzierten Teilgraph an den Knoten V\{a,b} } nicht zusammenhängend ist. Das Paar (a, b) zerlegt den Kanten von G in äquivalenten Klassen E1,.. E,..,Ek, (Separationsklassen). Zwei Kanten gehören zu den selben Klasse, wenn beide an den selben Pfad p liegen,der weder a noch b,als inneren Knoten enthält. Das Paar (a, b) ist Separationspaar, wenn es wenigstens zwei Separationsklassen gibt. Außer diese spezial Fällen:

56 Grundlegende Algorithmen für Komponenten - Es gibt genau zwei Separationsklassen und einer davon entsteht aus eine einzige Kante. - Wenn genau drei Separationsklassen gibt, die alle aus eine einzelne Kante entstehen. Definition l Sei (a, b) Separationspaar von G und seien die Äquivalentklassen E1,, E,,k geteilt an zwei Gruppen E`= k i= und E = Ei, wobei jede Gruppe wenigstens zwei U i=+ l 1 Kanten enthält. Die zwei Graphen G`=(V(E` e), E` e) und U U G``=(V(E`` e), E`` e), wobei e= (a, b) eine virtuale Kante ist, heißen Splitgraphen von G. Wenn der Splitoperation rekursiv ist, dann ergeben e sich die Splitkomponenten von G. U U U 1 Ei

57 Grundlegende Algorithmen für Komponenten Es gibt drei Typen Splitkomponenten : - triple bonds Dreifachbindungen ( 3 Kanten zwischen 2 Knoten) - triangles - Dreiecken (Zyklen der Länge 3) - triconnected simple graphs Die drei-fach zusammenhängende Komponenten werden aus die Splitkomponenten berechnet durch mischen der triple bonds so viel wie möglich zu multiple bonds und durch mischen der driangles zu polygons (Vieleck). Laufzeit : O( V + E ).