Übungen zu Elemente der Schulgeometrie

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1 Übungen zu Elemente der Schulgeometrie k ( M, r ) { A AM r } Alterntive: k ( M, X ) Menge ller Punkte A, für die gilt: Entfernung von A und M soll konstnt r sein! AM AM d ( A, M ) [AM] [AM AM] AM Gerde durch A und M Strecke zwischen A und M Punktmenge Hlbgerde, beginnend bei A durch M Hlbgerde, beginnend bei M durch A Gerde durch A und M Bsp. [AM MA] [AM] [MA] Ein Winkel ist ein geordnetes Pr zweier Hlbgerden mit gemeinsmem Anfngspunkt! geordnet, d Reihenfolge wichtig! ( [XW, [XY ) ( W, X, Y ) ( Y, X, W ) ( X, Y, W ) W uf. Schenkel X Scheitel Y uf. Schenkel Unterscheide: ( A, B, C ) ( A, B, C ) Winkel Größe des Winkels Hlbgerden Zhl in Grd b Verschiedene Definitionen für prllel :. Zwei Gerden nennt mn prllel, wenn sie sich in keinem Punkt schneiden. b Ø. Zwei Gerden nennt mn prllel, wenn sie überll denselben Abstnd zueinnder hben. d ( A, b ) const. für lle A Є b. Zwei Gerden nennt mn prllel, wenn es c so gibt, dss (, c ) ( b, c ) 90 gemeinsmes Lot! Auf die 90 knn mn nicht verzichten, d es Ausn hmen gibt! Bsp. schneiden sich! Zu Nr. : Bewertung: - schwer nchzuweisen - Ausschluss: Gerde knn nicht zu sich selbst prllel sein! Zustz: ußer b Prllele: - Anlegen eines Linels

2 Zu Nr. : Bewertung: - schwer nchzuweisen müsste jede Stelle nchmessen! Prllele: - Verbinden des Punktes mit der Gerde - Antrgen nderer Punkte - Verbinden der Punkte Zu Nr. : Bewertung: - einfcher - liefert Konstruktion Prllele: - Lotkonstruktion - Antrgen eines 90 -Winkels - Prllele gefunden! Begriff Prllelität : Bestimmte Eigenschften: Zwei Gerden werden zueinnder in Beziehung gesetzt! > Reltion ( Beziehung). Reflexivität: ~ (Reltion) nennt mn reflexiv, wenn für lle x gilt: x ~ x x steht in Reltion zu sich selbst! Bsp. Ist jede Gerde prllel zu sich selbst? j Steht senkrecht uf sich selbst? nein Ist Teiler von? j. Symmetrie: ~ nennt mn symmetrisch, wenn us ~ b folgt: b ~ Bsp. j nein ist verwndt mit j > nein ist Vter von nein. Trnsitivität: ~ nennt mn trnsitiv, wenn us ~ b und b ~ c folgt: ~ c Bsp. j > j nein ist verwndt mit j j ( b nennt mn Teiler von b, wenn ein k Є N existiert, sodss k b) Wenn lle Eigenschften vorkommen, dnn spricht mn von einer Äquivlenzreltion! Bsp. Alle s und lle b s prllel Zusmmenfssen zu Äquivlenzklssen! nicht nötig: Messen ller möglichen Schnittwinkel! Stz: Für lle A, B, C Є k (M) gilt: ( A, C, B ) ( A, M, B ) γ α Winkel mit Scheitel M Winkel mit Scheitel uf Kreis

3 Jeder mthemtische Stz besteht us zwei Teilen: - WENN (Vorussetzung) - DANN (Folgerung) Bsp. Bsp. Fortsetzung: Stz des Pythgors: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dnn gilt für die Seiten + b c. Innenwinkelsumme im Dreieck: Wenn eine Figur ein Dreieck ist, ergibt die Summe ller Innenwinkel 80. Wenn: Punkte A, B, C uf einem Kreis um M Dnn: ( A, C, B ) ( A, M, B ) Kehrstz: Bsp. Bsp. Vertuschen von Vorussetzung und Folgerung! Beweisufbu (Schem): Stz des Pythgors: Wenn + b c, dnn ht mn ein rechtwinkliges Dreieck! Kehrstz richtig! Gleichschenkliges Dreieck: Wenn ein Dreieck gleichgroße Winkel besitzt, ist es gleichschenklig! (sogr gleichseitig) Kehrstz flsch! () - Vorussetzung - () (ein Beweisbschnitt nch dem nderen () m Ende immer in Klmmern Begründung) () (IWS-Stz, ()) (n) - Behuptung Hilfen zur Beweisfindung: ) beim Dreieck: Höhen, Mittelsenkrechte, Winkelhlbierende b) beim Viereck: Digonlen c) beim Kreis: Rdius Lösungsweg für Stz: drei gleichschenklige Dreiecke! Beweis für den Außenwinkelstz: Wenn β ein Außenwinkel des Dreiecks ABC ist, dnn gilt: β α + γ. () β ist Außenwinkel. (Vorussetzung) () β + β 80 ((), gestreckter Winkel) () α + β + γ 80 (Innenwinkelsummenstz) () β + β α + β + γ ((), ()) (5) β α + γ ((), Behuptung) Beweis für den Innenwinkelstz ( Wechselwinkel n einer Prllelenkreuzung ): Wenn α, β, γ die Innenwinkel eines Dreiecks sind, so beträgt ihre Summe 80. () α, β, γ sind Innenwinkel eines Dreiecks ABC. (Vorussetzung) () g AB (Beweisidee) () α* + γ + β* 80 ((), gestreckter Winkel) () α* α (Wechselwinkel) (5) β* β (Wechselwinkel) (6) α + β + γ 80 ((), (), (5), Behuptung)

4 . Vrinte: () α, β, γ sind Innenwinkel eines Dreiecks ABC. (Vorussetzung) () g AB (Beweisidee) () α α*; β β* ((), Wechselwinkel) () α* + γ + β* 80 ((), gestreckter Winkel) (5) α + β + γ 80 ((), (), (), Behuptung) Stz des Thles: Wenn die Strecke [AB] der Durchmesser eines Kreises ist und C k, dnn ist der Winkel ACB ein rechter Winkel. Kehrstz: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dnn ist eine Dreiecksseite der Durchmesser des Umkreises. Hus der Vierecke: Qudrt: Rute: Digonlen sind gleich lng und hlbieren sich rechtwinklig. Digonlen hlbieren sich rechtwinklig. Jedes Qudrt ist eine Rute. Jede Rute ist ein Prllelogrmm. Jede Rute ist ein Trpez. (nicht umkehrbr) (nicht umkehrbr) Unterschiedliche Forderungen n die Vierecke: Digonlen sind - gleich lng - hlbierend (zwei Möglichkeiten!) - schneiden sich in einem bestimmten Verhältnis ( : ) - schneiden sich rechtwinklig - schneiden sich gr nicht Wie viele Möglichkeiten gibt es? 5 5! 0 Möglichkeiten (eventuell) Es gibt ber uch Widersprüche!! (Bsp. hlbieren sich schneiden sich gr nicht) Körper: Würfel, Quder, Pyrmide, Kugel, Zylinder, Kegel, Prism, qudrtische Säule ( Quder mit qudrtischer Grundfläche) Knten, Seitenflächen, Umkugel, Inkugel, Mntel Anlogon des Umfngs im Dreidimensionlen:. Summe ller Kntenlängen. Flächeninhlt der Mntelfläche Mntelfläche eines Zylinders: Würfelnetz Mntelfläche

5 Kegel: Symmetrischer Kegel: Allgemeiner Kegel: Spitze befindet sich uf einem Lot zum Mittelpunkt Kreiskegel Grundfläche unbedingt kreisförmig, Spitze nicht uf Lot 5 Stz m Trpez: Wenn ein Viereck ein Trpez ist, dnn schneiden sich die Digonlen im selben Verhältnis. ' b b ' Kongruenzsätze:. SSS-Stz Wenn zwei Dreiecke in den Längen dreier Seiten übereinstimmen, dnn sind sie kongruent.. SWS-Stz Wenn zwei Dreiecke in den Längen zweier Seiten und der Größe des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen, dnn sind sie kongruent.. WSW-Stz Wenn zwei Dreiecke in der Länge einer Seite und der Größe der nliegenden Winkel übereinstimmen, dnn sind sie kongruent.. SsW-Stz Wenn zwei Dreiecke in der Länge zweier Seiten und der Größe eines Winkels, der nicht von den Seiten eingeschlossen wird, übereinstimmen und die größere der beiden Seiten dem Winkel gegenüberliegt, dnn sind sie kongruent. 5. WWW-Kongruenzstz Wenn zwei Dreiecke in der Größe dreier Winkel übereinstimmen, dnn sind sie kongruent. zwei genügen, ber die beiden Dreiecke sind ähnlich, nicht deckungsgleich! Eigenschften des Tngentenvierecks (s. Aufgbenbltt ): ) Die symmetrischen Drchenvierecke sind uf den SsW- Kongruenzstz zurückzuführen. AM AM r S MW r MZ s ( M, W, A) 90 ( A, Z, M ) W b) Beweis für + c b + d : Stz: Wenn ein Viereck einen Inkreis besitzt, dnn hben die Summen der Längen seiner Gegenseiten denselben Wert. () Ds Viereck besitzt einen Inkreis. (Vorussetzung) () AM AM (Identität) () MW MZ (Rdius) () ( M, W, A) ( A, Z, M ) (Stz über Tngenten: Rdius steht senkrecht uf der Tngente) (5) AWM ist kongruent zu AZM ((), (), (), SsW-Stz) SsW: Bedingungen erfüllt!

6 6 (6) AW AZ (ornge) ((5)) () Anlog gilt für grün, gelb und lil: AD AZ + ZD ((6)) (8) BC + AD CD + AB o. B. d. A. ( ohne Beschränkung der Allgemeinheit) ((), Behuptung) Oberfläche und Volumen der Körper: ) Oberfläche Würfel: O 6 O b + c + bc Quder: Zylinder: O r h + r r ( r + h) Kegel: O r r s r ( r s) + + (s: Länge der Mntellinie) Pyrmide: O G + M qudrtisch: Kugel: O r O + h + b) Volumen Würfel : V Quder: V b c Zylinder: V r h Kegel: V r h Pyrmide: V G h qudrtisch: V h Kugel: V r Zylinder - Die optimierte Konservendose (s. Aufgbenbltt ): ) Ausgngspunkt: V Zylinder l Problem: Oberfläche hängt b großer Mterilverbruch - minimle Höhe riesige Grund- und Deckfläche - minimler Rdius Höhe wird immer größer von der Höhe vom Rdius gesucht ist der optimle Rdius! O soll miniml sein in Abhängigkeit vom Rdius! r O( r ) + r r V r h r h O( r ) + r r h O r ( r ) r + r Ableitung O r + r. : ( r ) ' +. Ableitung : O( r ) '' r

7 O( r ) 0 ' 0 r + r + r 0 r + r 0 r r r in O O ( r ) '': Minimum! ( r ) '' Der Grph ht sein Minimum n der Stelle: r min, d. h. die Größe dieses Rdius sorgt für minimle Oberfläche! O soll miniml sein in Abhängigkeit von der Höhe! r Übungen: min in h: min min r h x x x x x ±. 5. ( x )( x ) 0 x ; x 5 x x x 5 x ± x x + 0 ( x ) 0 x m n m n. 0. m n m n + m 8. ( ) n. ( ) m n 9.. m m. ( ) ( )

8 5. ( ) b ) b) ) b): b + b b b b b b b ( ) b b b b b b b b b b b b ( ) Möglichkeiten für Qudernetze (s. Aufgbenbltt 6):

9 ; insgesmt: 5 Möglichkeiten! Spinne und Fliege uf Quder (s. Aufgbenbltt 6): Stz des Pythgors: ( 0 ) ( 8 6 ) l ( cm) + ( cm) l 96 cm + 56 cm l cm + cm + cm + cm + cm l 096 cm l cm 55, 609 cm 55, 6 cm Höhe im Tetreder: Ein Tetreder wird von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Im gleichseitigen Dreieck schneiden sich die Seitenhlbierenden im Schwerpunkt S des Dreiecks und teilen sich im Verhältnis :. Die Verbindung der Tetrederspitze und des Schwerpunkts ist ein Lot zur Grundfläche. Es gibt uch Figuren, bei denen der Schwerpunkt ußerhlb liegt. Anwendung findet dies im Sport, genuer beim Hochsprung. Beim Fosbury Flop läuft der Springer beim Anluf eine Kurve, dreht uf den letzten Schritten den Rumpf und überquert die Ltte rücklings. An dieser Stelle knn theoretisch der Schwerpunkt des Athleten bis neun Zentimeter unter der Ltte durchgehen, d der Athlet seinen Körper geeignet um die Ltte herumschmiegt. Prktisch nchgewiesen wurde ein Wert von drei Zentimetern. Zu berechnen ist nun die Länge der Höhe h des Tetreders: h Höhe des Tetreders; l Kntenlänge; s Länge der Seitenhlbierenden I. h + s l h l s 9 II. s l + l s l l l I in II h l s 9 h l l 9 h l l h l

10 Unterschiedliche Vorgehensweisen: 0 ) h h l 6 h l l h 6 l b) h Wie knn mn feststellen, ob die beiden Ergebnisse gleich sind?. Differenz ) Qudrieren:. Division. Gleichsetzen Regeln für Hilfsdreiecke: b) Ausklmmern: l l l l 6 l 6 l l 6 l l 0 9 l 6 6 l 6 l l l l l 0 0 l l l l 6 l 6 l l l Wenn Seite s oder Winkel α gesucht sind, dnn müssen s bzw. φ Teil des Hilfsdreiecks sein! - Es sollte rechtwinklig oder gleichschenklig sein! - Es sollte möglichst im Hilfsdreieck möglichst viel beknnt sein!

11 ( 0 ) ( 0 ) d cm + cm d 800 cm d 0 cm Hilfsdreieck CHE: 0 cm und h 50 cm ( CH ) + ( HE) ( EC ) d cm EC ( 5 cm) cm ( EC ) cm cm EC EC 950 cm 5 8 cm CFG 90 α FGC α GCF 90 Hilfsdreieck CIE: cos 5 cm α 5 8 cm α, 9 Trigonometrische Funktionen: r sin,9 0 cm r 8,8 cm. Tngens: Längenverhältnis von Gegenkthete zu Ankthete des Winkels. Kotngens: Längenverhältnis von Ankthete zu Gegenkthete des Winkels. Sinus: Längenverhältnis von Gegenkthete des Winkels zur Hypotenuse. Kosinus: Längenverhältnis von Ankthete des Winkels zur Hypotenuse Qudrtur des Rechtecks: s. Pythgors (Aufgbenbltt, Aufgbe ) Die drei klssischen Probleme der Mthemtik (unlösbr): ) Qudrtur des Kreises: Grund: b) Drittelung des Winkels: Mn müsste die Qudrtwurzel us konstruieren! Grund: Nur möglich mit Hilfe nderer Hilfsmittel ußer Zirkel und Linel, wie z. B. Qudrtix oder Mrkierungen uf dem Linel c) Erzeugung eines Würfels mit doppeltem Volumen: V V b V b b b b

12 Konstruktion der Zhl : ) Höhenstz / Thleskreis: h h p q h b) Pythgoräische Schnecke : + b + b c + c e 5 + e 6 g + g 8 d + d 5 f 6 + f h 8 + h 9 Wie oft psst ds Volumen bei hlber Höhe in ds volle Volumen eines Kegels? VGesmt r H r H r ' r r ' H V Hlb r H H r r H 8 VGesmt 8 Ds Volumen bei hlber Kegelhöhe psst insgesmt cht Ml in den vollen Kegel!

13 Knn mn einen Pyrmidenstumpf mit Hilfe eines Quders bestimmen? + b Mittelwert: h V V V Pyrmidenstumpf Gesmtkegel Spitze h H h h H b b h b h H V Säule + b H + b + b H H ( + b + b ) H H b b VStumpf b H H H b H b b b b b b H H H H b H H b + b b b b H H b H H b + H b b b H b + b b b H b + b b b ( b) ( + b) + b ( b) H b H b b + + H H ( ) b b b b Geht nicht!

14 Ws ist Symmetrie? Eigenschft einer Figur, dss sie durch eine Kongruenzbbildung uf sich selbst bgebildet werden knn. Drehsymmetrie bzgl. 0, 0 und 60 Achsensymmetrie bzgl. dreier Achsen Drehsymmetrie bzgl. jedem beliebigem Winkel Achsensymmetrie bzgl. des Durchmessers Verschiebungssymmetrisch Achsensymmetrisch Definitionen Kongruenzbbildungen: - Jede Abbildung, die zueinnder deckungsgleiche Figuren ufeinnder bbildet, nennt mn Kongruenzbbildung. Problem: fehlende Definition des Begriffs deckungsgleich - Eine Abbildung nennt mn Kongruenzbbildung, wenn sie eine Achsenspiegelung, Drehung, Verschiebung oder Schubspiegelung ist. Aufzählen der Arten von Kongruenzbbildungen - Jede Abbildung, die sich durch eine Hintereinnderusführung mximl dreier Achsenspiegelungen ersetzen lässt, nennt mn Kongruenzbbildung. folgt us den ersten beiden Definitionen Möndchen des Hippokrtes: F : Hlbkreis über b F : Möndchen über b F : Hlbkreis über F : Möndchen über F : Hlbkreis über c F b b 8 F 8 F c c 8 F c h F ' + F ' F + F + F F b + + c h c c h + ( b + c ) 8 c h F ' + F ' F

15 Schusterkneif des Archimedes: F : Hlbkreis über q F : Hlbkreis über p F : Hlbkreis über c F S : ornge gefärbte Fläche 5 F q q 8 F p p 8 Kreis F c p + q + h 8 8 F h h F F ( F + F ) S p + q + h q + p p + q + h q p h F S F Kreis Eine weitere mthemtische Entdeckung: : Seitenlänge des Qudrts r: Rdius der Viertelkreise d: Digonle im Qudrt F Dreieck : hlbes Qudrt + d d r d Viertelkreis F 8 F F F F grün Qudrt Dreieck Viertelkreis 8 + +