Seite 50. Einstieg. 1 a) α und γ sind Scheitelwinkel. b) α und α sind Stufenwinkel. c) β und δ sind Scheitelwinkel. d) β und δ sind Wechselwinkel.

Transkript

1 Dreieke Shüleruhseite 8 5 Dreieke uftkt Seiten 8, 9 Seite 8 Ds Rehtek knn niht mehr verformt werden, wenn mn zwei gegenüerliegende Eken mit einem 5er-Streifen verindet. Dmit ds Sehsek seine Form ehält, müssen gegenüerliegende Ekpunkte verunden werden. Es git vershiedene Möglihkeiten, zum eispiel: 5 Mn stilisiert ds Sehsek mit drei er- Streifen. Seite 9 Mn stilisiert ds Sehsek mit drei 5er- Streifen. ild : Ein Gitterträger ist durh die Querverindungen sehr stil. Im Vergleih zu einem lken sprt mn so n Mteril und Gewiht. ild : Zwishen zwei prllelen Linien knn mn in der vorderen Eke des ildes Dreieke zählen. Im vorderen Teil des ildes (etw ein Viertel des gesmten Kreises) knn mn 8 solhe Streifen zählen. Die nzhl der Dreieke in diesem Viertel knn mn uf etw 8 = shätzen. D mn nh hinten noh mindestens ein Viertel sehen knn, knn mn insgesmt die nzhl der sihtren Dreieke uf etw 00 is 500 shätzen. ild : In der untersten Eene des Hohhuses knn mn Dreieke sehen. Es git 9 Eenen. 9 = 7 Insgesmt knn mn 7 Dreieke sehen. Winkel im Shnittpunkt von Gerden Seiten 50, 5 Seite 50 Einstieg Im Shnittpunkt entstehen vier Winkel. Die gegenüerliegenden Winkel sind gleih groß. Es git lso zwei vershiedene Winkelgrößen. Im Shnittpunkt der Gerden, die zueinnder senkreht sind, entstehen nur rehte Winkel. Im nderen Shnittpunkt sind wieder nur die gegenüerliegenden Winkel gleih groß. Es kommen lso drei Winkelgrößen dzu. Ds mht insgesmt fünf vershiedene Winkelgrößen. In einem Shnittpunkt entstehen wieder rehte Winkel. Im nderen Shnittpunkt entstehen Winkel, die es shon in einem weiteren Shnittpunkt git. Es kommt lso keine neue Winkelgröße hinzu. Es leit ei fünf vershiedenen Winkelgrößen. ) und sind Sheitelwinkel. ) und sind Stufenwinkel. ) und δ sind Sheitelwinkel. d) und δ sind Wehselwinkel. Meistens git es mehrere Möglihkeiten, die Größe des fehlenden Winkels zu estimmen. In der Klmmer ist eine Möglihkeit ngegeen. = 80 0 = 50 (Neenwinkel zu = 0 ) = 0 (Sheitelwinkel zu = 0 ) δ = 50 (Sheitelwinkel zu = 50 ) = 0 (Stufenwinkel zu = 0 ) = 50 (Stufenwinkel zu = 50 ) = 0 (Sheitelwinkel zu = 0 ) δ = 50 (Sheitelwinkel zu = 50 ) Seite 5 ) und δ sind Sheitelwinkel. ) und sind Neenwinkel oder uh: und δ sind Neenwinkel. ) und sind Stufenwinkel. d) δ und sind Wehselwinkel. ) = 0 ; δ = 70 ; = 0 ; = 70 ; δ = 70 ) Mn knn δ ls Sheitelwinkel von, ls Stufenwinkel von δ oder ls Neenwinkel von erehnen. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

2 Dreieke Shüleruhseite 5 5 Seite 5, links ) = 5 (Sheitelwinkel zum gegeenen Winkel); = 5 (Stufenwinkel zum gegeenen Winkel) ) = 80 (Wehselwinkel zum gegeenen Winkel); = = 00 (Neenwinkel zum gegeenen Winkel) Winkelsumme im Dreiek Seiten 5, 5 Seite 5 Einstieg Die Winkel des Dreieks legen sih zu einem 80 -Winkel zusmmen. g g II h 5 = = 0 (Neenwinkel zum gegeenen Winkel) = 70 (Wehselwinkel zum gegeenen Winkel) = 70 (Stufenwinkel zu ) δ = 70 (Stufenwinkel zu ) ε = 0 (Stufenwinkel zu ) Seite 5, rehts g i h h k Die Winkel der gerissenen Eken ergeen zusmmen 80. ) = 5 ) = 55 = 80 5 = 5 = = 5 ) 5 + = 90 d) = 0 = = 90 = 80 0 = 70 m n g h i k m n ) Winkel messen: = 5 ; = 0 ; = 95 Üerprüfung: = 80 ) Winkel messen: = 58 ; = ; = 8 Üerprüfung: = 80 Hinweis: Durh ungenues Zeihnen und Messen knn es zu weihungen kommen. Der lu mrkierte Winkel ist Stufenwinkel zum gegeenen Winkel (d k u i) und dmit = 5. Der Winkel ist Neenwinkel zu dmit gilt: = 80 5 = 5. Der Winkel ist Wehselwinkel zu (d g u h); dmit ist = 5. Der Neenwinkel δ zum Winkel δ ist Wehselwinkel zum gegeenen Winkel (d g u h), dmit ist δ = 5. lso ist δ = 80 5 = 5. 5 Wer meint die rehten Winkel. Ist ein Winkel 90, so ist sein Neenwinkel = 90. eide Winkel sind lso gleih groß. Khled meint die Winkel 0 und 0. Denn es ist 0 = 0 und = 80. Seite 5 ) + = 8 + = 0 ; = 80 0 = 70 ) + = = 55 ; = = 5 Winkel messen: = 7 ; = ; = 7 Winkelsumme ilden: = 80 Seite 5, links = 5 ; = 80 5 = 5 ) ) ) d) e) HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

3 Dreieke Shüleruhseite ) = 80 5 = 55 + = = 95 ; = = 85 Die Lösung findet mn mithilfe eines Neenwinkels () und der Winkelsumme im Dreiek (). ) = = 0 = 80 0 = 0 + = = 50 ; = = 0 Die Lösung findet mn mithilfe zweier Neenwinkel ( und ) und der Winkelsumme im Dreiek () Winkel im links geshnittenen Dreiek: = 80 = 59 = 80 0 = 77 + = = = 80 = Winkel im rehts geshnittenen Dreiek: = 80 = 8 = = 7 + = = 9 ; = 80 9 = erehnung des Winkels im Dreiek : + = + = 05 ; = = 75 Seite 5, rehts ) erehnung von δ üer die Winkelsumme im Dreiek D: 8 + = 70 ; δ = = 0 erehnung von δ ls Neenwinkel von δ : δ = 80 0 = 70 erehnung von üer die Winkelsumme im Dreiek D: + 70 = 0 ; = 80 0 = 7 ) erehnung von ε ls Neenwinkel von ε : ε = (Stufenwinkel zum gegeenen Winkel =, d g u h) ε = 80 = 7 erehnung von mithilfe der Winkelsumme im Dreiek DE: 75 + = 8 ; = 80 8 = ) 5 O gemessene Winkel: = 0 ; = 0 ; = 0 lle Winkel des Dreieks sind gleih groß. ) lle Seiten sind gleih lng (7 m). 5 Dreiek : ; 8 ; 0 Dreiek : 0 ; ; 0 Dreiek : ; ; 90 Es git viele Möglihkeiten, die Lösung zu finden. Mn knn zum eispiel mit dem kleinsten Winkel eginnen, lso mit. Die fehlenden zwei Winkel müssen die Summe 80 = 5 hen. Es git nur eine Möglihkeit: und 90. Der Winkel 0 mit 80 0 = 50 lässt sih nur durh und 0 zu 80 ergänzen. Dmit leien nur noh die Winkel ; 0 und 8 ürig, die sih eenflls zu 80 ergänzen. ) 8,7 + 5,7 = 8, ; = 80 8, = 95, ) = 9 ; = ; = = 8 lle drei Winkel wurden ufgerundet. Ddurh ist die Winkelsumme um größer ls 80. Dreieksformen Seiten 5, 55 Seite 5 Einstieg Individuelle Lösungen Individuelle Lösungen Sortieren nh Seitenlängen: Sind lle Seiten des Dreieks untershiedlih lng oder sind zwei oder sogr drei Seiten gleih lng? Sortieren nh Winkelweiten: Sind lle Winkel spitz oder ht ds Dreiek einen rehten oder einen stumpfen Winkel? HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

4 Dreieke Shüleruhseite 5 5 Individuelle Lösungen Die Dreieke können nh den oen gennnten Eigenshften sortiert werden. Wenn die eiden kürzeren Seiten zusmmen kleiner sind ls die längste Seite. Seite 55 In den zwei Verkehrszeihen links erkennt mn je ein gleihseitiges Dreiek. Im mittleren Verkehrszeihen erkennt mn ußen ein gleihseitiges Dreiek und innen ein shwrzes und ein weißes Dreiek: Sie sind eide vershiedenseitig-rehtwinklig. Im vierten Shild entstehen durh die Digonle zwei gleihshenklig-rehtwinklige Dreieke. Im letzten Verkehrsshild entstehen durh die Digonle zwei vershiedenseitigrehtwinklige Dreieke. ) vershiedenseitig und spitzwinklig ) gleihshenklig und stumpfwinklig ) vershiedenseitig und rehtwinklig d) gleihshenklig und spitzwinklig e) vershiedenseitig und stumpfwinklig Ds Geodreiek ist ein gleihshenkligrehtwinkliges Dreiek Einteilung nh Seiten Winkeln ) vershiedenseitig rehtwinklig ) gleihshenklig spitzwinklig ) vershiedenseitig spitzwinklig d) vershiedenseitig stumpfwinklig e) gleihshenklig stumpfwinklig f) gleihseitig spitzwinklig Seite 55, links ) : vershiedenseitig-rehtwinklig D: vershiedenseitig-stumpfwinklig D: gleihshenklig-spitzwinklig ) : vershiedenseitig-rehtwinklig D: gleihshenklig-spitzwinklig DE: gleihshenklig-stumpfwinklig DE: gleihshenklig-spitzwinklig Seite 55, rehts Es sind insgesmt 0 Dreieke zu sehen. Die Dreieke und DF sind gleihshenklig-spitzwinklig. Die Dreieke D und F sind vershiedenseitig-stumpfwinklig. Die Dreieke E, DE, EF und E sind vershiedenseitig-rehtwinklig. Die Dreieke F und D sind gleihshenklig-spitzwinklig. Dreieksformen Seite 5 Seite 5, links 5 ) = 5 m; =, m; =, m = 5 ; = 5 ; = 79 Ds Dreiek ist vershiedenseitig-spitzwinklig. ) = m; =, m; =, m = 5 ; = 5 ; = 8 Ds Dreiek ist gleihshenklig-spitzwinklig. ) lle Seitenlängen sind vershieden, lle Winkel sind spitz. Ds Dreiek ist vershiedenseitigspitzwinklig. d) =, m; =, m; =,5 m = 50 ; = 70 ; = 0 Ds Dreiek ist gleihshenklig-spitzwinklig. Die Dreieke und J sind vershiedenseitig-rehtwinklig. und I sind vershiedenseitig-stumpfwinklig. und H sind gleihshenklig-spitzwinklig. D und G sind vershiedenseitig-rehtwinklig. E und F sind vershiedenseitig-rehtwinklig. : gleihshenklig-rehtwinklig : gleihseitig : vershiedenseitig-spitzwinklig D: gleihshenklig-spitzwinklig E: vershiedenseitig-rehtwinklig F: vershiedenseitig-stumpfwinklig G: gleihshenklig-stumpfwinklig 8 HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

5 Dreieke Shüleruhseite Hier hndelt es sih um ein gleihshenkliges Dreiek. Die Seiten und sind gleih lng. Mn ezeihnet sie uh ls Shenkel. Die siswinkel und sind gleih groß. Die Smmetriehse verläuft von der Spitze zur sis und steht in einem rehten Winkel zur sis. lso hndelt es sih hier um hsensmmetrie. 8 Wenn der Punkt uf der -hse liegt, erhält mn ein gleihshenkliges Dreiek. Die Winkel und sind gleih groß. Liegt links der -hse, ist >. Liegt rehts der -hse, ist <. 9 ) Ds ist flsh. Ein gleihseitiges Dreiek ist immer spitzwinklig und ht drei 0 -Winkel (denn 0 = 80 ). ) Ds ist flsh. Ein vershiedenseitiges Dreiek knn uh rehtwinklig oder stumpfwinklig sein. Zum eispiel: Seite 5, rehts 5 ) J, ein solhes Dreiek git es. eispiel: > 90 = ) Nein, ein solhes Dreiek git es niht. Ein gleihseitiges Dreiek ist immer spitzwinklig und ht drei 0 -Winkel (denn 0 = 80 ). Es knn lso keinen rehten Winkel hen. ) 7 5 ) Es git zwei Möglihkeiten: 7 5 O D E Möglihkeit: Durh hsenspiegelung n der Gerden entsteht ds gleihshenkligstumpfwinklige Dreiek D.. Möglihkeit: Durh hsenspiegelung n der Gerden entsteht ds gleihshenkligspitzwinklige Dreiek E. 7 Eigenshften des gleihseitigen Dreieks: () Die drei Seiten sind gleih lng, lso = =. () Die drei Winkel sind gleih groß, lso = =. Nh dem Winkelsummenstz gilt + + = 80. Drus folgt = 80 : = 0, lso = = = 0. () Insgesmt git es Smmetriehsen. Smmetriehsen Die Streken, die von je einer Spitze des Dreieks senkreht uf der gegenüerliegenden Dreieksseite stehen, sind ufgrund der Eigenshften in () und () Smmetriehsen des Dreieks. Es hndelt sih lso um hsensmmetrie. 8 Gilt =, so gilt uh =. (siswinkelstz) Gilt =, so gilt uh =. (Umkehrung des siswinkelstzes) O Ds Dreiek ist vershiedenseitig-rehtwinklig. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

6 Dreieke Shüleruhseite ) ) ) d) e) f) Dreiek in ) vershiedenseitig-spitzwinklig Dreiek in ) gleihshenklig-spitzwinklig Dreiek in ) vershiedenseitig-stumpfwinklig Dreiek in d) gleihshenklig-stumpfwinklig Dreiek in e) gleihseitig Dreiek in f) gleihshenklig-rehtwinklig Dreieke konstruieren Seite 57 Seite 57 Einstieg Æ Æ Dreieke us shnitten: Mn findet ein gleihseitiges Dreiek mit den Seitenlängen. Dreieke us shnitten: Es ist niht möglih, us vier shnitten ein Dreiek zu steln. Dreieke us 5 shnitten: Mn findet nur ds gleihshenklige Dreiek. Die Reihenfolge der Längen spielt dei keine Rolle. und ergeen ds gleihe Dreiek. Dreieke us 0 shnitten: Möglih sind nur zwei Dreieke. Ds Dreiek und ds Dreiek. eide sind gleihshenklig. Die Reihenfolge der Längen spielt uh hier keine Rolle (lso o z.. oder ), denn es entsteht immer ds gleihe Dreiek. us llen nderen Längenverhältnissen der shnitte lässt sih kein Dreiek steln. ) = 5m = 8m = m Zeihnungen im Mßst : ) = m ) 5 = 5m = 7m 0 = m Zeihnungen im Mßst : ) ) 5 = m 75 Dreieke konstruieren Seiten 58, 59 Seite 58 Zeihnungen im Mßst : ) 0 05 = m Zeihnung im Mßst : = 7m = m = m = 8m 0 = m 0 HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

7 Dreieke Shüleruhseite Zeihnungen im Mßst : ) SSS = 7 m ) SWS = 5 m = m = 5 m Seite 58, links 5 ) Gegeen sind zwei Seiten und der eingeshlossene Winkel: Konstruktion nh SWS ) Drei Seiten sind gegeen: Konstruktion nh SSS ) Gegeen sind eine Seite und die nliegenden Winkel: Konstruktion nh WSW d) Gegeen sind eine Seite und die nliegenden Winkel: Konstruktion nh WSW e) Gegeen sind eine Seite und die nliegenden Winkel: Konstruktion nh WSW f) Gegeen sind zwei Seiten und der Gegenwinkel der längeren Seite: Konstruktion nh SsW 5 = m Seite 58, rehts Zeihnungen im Mßst : ) 5 Zeihnungen im Mßst : ) WSW = 7 m = 5 m ) = m = m 5 5 = m Konstruiert werden:. die Seite = = m;. der Winkel = 5 ;. der Winkel = 5 ;. der Shnittpunkt der freien Shenkel von und ; 5. die Seiten und. ) SWS 0 = 7 m ) 50 5 = 7 m = 5m 05 = m Konstruiert werden:. die Seite = = m;. der Winkel = 05 ;. die Seite = = 5 m uf dem freien Shenkel von ;. die Seite. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

8 Dreieke Shüleruhseite ) SsW = 7m Zeihnungen im Mßst : ) D ds Dreiek gleihshenklig mit den Shenkeln und ist, ist = = 5 m. Konstruktion nh SSS 00 = m Konstruiert werden:. die Seite = = m;. der Winkel = 00 ;. der Kreisogen um mit Rdius = 7 m;. der Shnittpunkt des Kreisogens mit dem freien Shenkel von ; 5. die Seiten und. d) WSW 0 =,5m 80 Konstruiert werden:. die Seite = =,5 m;. der Winkel = 80 ;. der Winkel = 0 ;. der Shnittpunkt der freien Shenkel von und ; 5. die Seiten und. e) SWS = 7m 7 = 5m Konstruiert werden:. die Seite = = 5 m;. der Winkel = 7 ;. die Seite = = 7 m uf dem freien Shenkel von ;. die Seite. = 5m = m = 5m ) Die eiden siswinkel etrgen 0. Konstruktion nh WSW 0 0 = 7m ) D ds Dreiek gleihshenklig mit den Shenkeln und ist, ist = = m. Konstruktion nh SWS = m 0 = m d) Es ist + + = 80, lso ist + = = 0. D = gilt, ist = = 0 : = 5. Konstruktion nh WSW 5 50 Seite 59, links 5 = 5m Zeihnungen im Mßst : ) =,5m =,5m = 5m HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

9 Dreieke Shüleruhseite ) ) WSW = 5,5m ) d) e) 00 = m = 7m 5 = m 5 = m = m 8 Zeihnungen im Mßst : ) WSW 0 = 7m 0 Ds Dreiek ist rehtwinklig. ) WSW = = 00 0 f) = 7m 0 =,5m 0 00 = m Ds Dreiek ist gleihshenklig. ) SWS 50 = 7m = 5m 5 7 Zeihnungen im Mßst : ) SSS = m = m 80 = 5m Ds Dreiek ist gleihshenklig. d) WSW 70 = 5m ) SWS = m = 5m 0 Ds Dreiek ist gleihshenklig. (Für den Winkel gilt: = = 70 ; lso ist =.) 50 = m HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

10 Dreieke Shüleruhseite Zeihnungen im Mßst : ) Es gilt = = = m. ) Es gilt = = 0. Konstruktion nh WSW = m = m 0 0 = 8m = m ) Es gilt = = = = 8m 0 Zeihnungen im Mßst : ) SWS = m ) SWS = m = m Seite 59, rehts 7 ) Die Konstruktion us den rot mrkierten Stüken ist eine Konstruktion nh SWS, diejenige us den lu mrkierten Stüken ist eine Konstruktion nh WSW. ) Die Konstruktion us den rot mrkierten Stüken ist eine Konstruktion nh WSW, diejenige us den lu mrkierten Stüken ist eine Konstruktion nh SWS. Die eiden Konstruktionen sind ähnlih shwierig. Die ntwort, welhe mn evorzugt, ist dher individuell. 8 Zeihnungen im Mßst : ) Zunähst erehnet mn den Winkel. nshließend wird ds Dreiek nh WSW konstruiert = 50 ; = = = 7m ) Zunähst erehnet mn den Winkel. nshließend wird ds Dreiek nh WSW konstruiert. 7 + = 8 ; = 80 8 = = m Zeihnungen im Mßst : ) Es gilt = = 8 m. Konstruktion nh SSS 7 = 5m = 8m = 8m = m HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

11 Dreieke Shüleruhseite Zeihnungen im Mßst : ) ) Die Seiten und sind die Shenkel des gleihshenkligen Dreieks. = = m = 8m = m ) 55 = 7m = m ) D ds Dreiek gleihshenklig ist, sind die siswinkel und gleih groß. Es gilt: + = = 90, lso ist = = 90 : = 5. = 7m = 7m 5 5 = 7m ) 55 = 8m Zeihnungen im Mßst : Dreiek : Dreiek : = 5m 0 5,5m = 7m = 7m 55 = 7m eohtung: ) Der Kreis um mit r = 8 m shneidet den freien Shenkel des Winkels in genu einem Punkt. Somit git es genu ein Dreiek, ds die Vorgen erfüllt. ) Der Kreis um mit r = 7 m shneidet den freien Shenkel des Winkels zweiml. Somit git es zwei Dreieke, die die Vorgen erfüllen. ) Der Kreis um mit r = 5,5 m shneidet den freien Shenkel des Winkels niht. Somit git es kein Dreiek, ds die Vorgen erfüllt. 0 Zeihnungen im Mßst : ) = m 0 = 5m Die Dreieke sind niht kongruent. Ds knn mn leiht erkennen, wenn die zwei Seiten prllel liegen. Mn knn uh in eiden Dreieken die dritte Seite ( zw. ) messen und findet untershiedlihe Längen. uh die Winkel sind mit usnhme des 0 -Winkels untershiedlih. egründung: Im ersten Dreiek liegt der 0 -Winkel der gegeenen Seite gegenüer. Im zweiten Dreiek liegt er der niht gegeenen Seite gegenüer. = m HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

12 Dreieke Shüleruhseite 0 0 Dreieke konstruieren Seite 0 Seite 0, links ) Zeihnungen im Mßst : Es eignet sih der Mßst : 000 ( m in der Zeihnung entspriht 0 m in der Wirklihkeit.) Strndd,5m Eisdiele = m = 0m = 5m Die Seiten und sind zusmmen kürzer ls die Seite. Dher shneiden sih ei der SSS Konstruktion die Kreise um und niht. ) =,5m =,5m,5m 0 7,5m Die gesuhte Länge ist in der Zeihnung ungefähr,5 m lng. Ds sind in Wirklihkeit 5 m. Nik ht sih lso getäusht, die Streke ist kürzer ls 0 m. 5 Es eignet sih der Mßst : 000 ( m in der Zeihnung entspriht 0 m in der Wirklihkeit). = 9m Die Seiten und sind zusmmen so lng wie die Seite. ei der SSS-Konstruktion erühren sih die Kreise um und. Ihr gemeinsmer Punkt liegt uf der Streke. Es entsteht dher kein Dreiek. ) 0 80 = 9m Die Summe der Winkel und ist 90, lso größer ls 80. Ein solhes Dreiek git es niht. Die freien Shenkel von und shneiden sih niht. Mn knn kein Dreiek konstruieren. Ds erste Dreiek kommt mit dem zweiten Dreiek zur Dekung, wenn mn seine Seite uf die Seite des zweiten Dreieks legt. Ds dritte Dreiek kommt mit dem zweiten Dreiek zur Dekung, wenn mn es umwendet und seine Seite uf die Seite des zweiten Dreieks legt. Ds dritte Dreiek kommt mit dem ersten Dreiek zur Dekung, wenn mn seine Seite uf die Seite des ersten Dreieks legt. Die drei Dreieke sind lso kongruent (dekungsgleih). 9m,m, m in der Zeihnung entsprehen m. Der Turm des Ulmer Münsters ist ungefähr m hoh. Seite 0, rehts Es lässt sih niht immer ein Dreiek konstruieren. Zum eispiel ei den Strekenlängen m; m und 8 m oder den Strekenlängen m; 5 m und 8 m ist dies niht möglih. Regel: Ein Dreiek ergit sih nur, wenn die zwei kürzeren Streken zusmmen länger sind ls die längste Streke. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

13 Dreieke Shüleruhseite ) Je größer der nstellwinkel, desto höher reiht die Leiter. Mn fertigt eine mßstälihe Zeihnung für den nstellwinkel = 75 n. Für eine WSW-Konstruktion muss mn noh den Winkel erehnen: + = = 5 ; = 80 5 = 5 Es eignet sih der Mßst : 00. Mn stellt fest: lle möglihen Plätze liegen uf einem Hlkreis. Die ühnenknte ist der Durhmesser des Hlreises. 5 Der Stz des Thles Seite Seite Die gemessenen Winkel n den Ekpunkten, D, E, F und G sind gleih groß; sie etrgen Zeihnungen im Mßst : ) 5,8m m = m 75 5,8 m in der Zeihnung entsprehen 5,8 m in der Wirklihkeit. Die Leiter reiht miml 5,80 m hoh. ) Wenn die Leiter noh steiler steht, knn sie nh hinten umkippen. Wenn die Leiter gnz flh steht, knn sie wegrutshen. Streken gerundet uf gnze Kilometer. Oersfeld Luter: km Oersfeld Sulzthl: 5 km Oersfeld ur: km Oersfeld Ktzenh: 0 km Luter Sulzthl: km Luter ur: km Luter Ktzenh: km Sulzthl ur: km Sulzthl Ktzenh: km ur Ktzenh: km ) = 5m M = 8m M = m Zeihnung im Mßst : Seite, links M = 0m Zeihnungen im Mßst : ) = 5m 5 Der Stz des Thles Seite = m Seite M = 8m Einstieg ) Die Kreuze zeigen mehrere Möglihkeiten, den Spot zu pltzieren. ühne = m M = 0m HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

14 Dreieke Shüleruhseite Zeihnung im Mßst : M = 8m 5 Mn mrkiert den Mittelpunkt M der Streke und zeihnet einen Hlkreisogen üer. D E M F G Die Punkte is G liegen uf dem Thleskreis. Die fünf Dreieke sind somit rehtwinklig. en ht lso reht. Es eignet sih der Mßst : 00. 7,m m Lin Seite, rehts Zeihnungen im Mßst : ) ) Es gilt M = M = r (woei r Rdius des Kreises ist). Ds Dreiek M ist lso gleihshenklig. Dmit ist = 5. us der Winkelsumme im Dreiek erhält mn: ε = = 0. ) erehnung der Winkel und : Ds Dreiek M ist gleihshenklig, d M = M (ls Rdien des gleihen Kreises). Dmit ist = 5. Ds Dreiek D ht einen rehten Winkel in D, weil D uf dem Thleskreis der Streke M liegt. Dmit gilt für den Winkel in : + = = 5. D = 5 gilt, folgt drus: = 5 5 = 0. erehnung des Winkels : Ds Dreiek ht einen rehten Winkel in, weil uf dem Thleskreis der Streke liegt. Dmit ist = = 5. 5 M M S S ist der Shnittpunkt der eiden Thleskreise. Die Dreieke S und S sind rehtwinklig. Die zwei rehten Winkel in S ergänzen sih zu einem gestrekten Winkel. lso liegt S uf der Streke. uh wenn mn die Lge von verändert, leit S immer uf der Streke. EXTR: Die Umkehrung des Stzes des Thles Seite = 8m Seite ) = 0m Thleskreis = m = 0m Die Seitenlängen und und die Winkel und sind in ) gegenüer ) vertusht. M Die Punkte und kennzeihnen die eiden Leuhttürme. Wenn ds Shiff eide Leuhttürme immer unter einem rehten Winkel sieht, dnn sind die Punkte, und möglihe Stndorte des Shiffes. 8 HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

15 Dreieke Shüleruhseite 5 Wenn die Dreieke, und ei den Ekpunkten, und einen rehten Winkel hen, dnn liegen die Punkte, und (lso lle möglihen Stndorte des Shiffes) uf dem Thleskreis üer der Seite. Die Linie, uf der sih ds Shiff ewegt, ist ein Hlkreis. Genuer gesgt hndelt es sih um den Thleskreis üer der Seite. P δ δq M liegt ußerhl des Thleskreises. Nh der ufgenstellung gilt = 90. Mn etrhtet den Shnittpunkt P der Seite mit dem Thleskreis üer der Seite. Nh dem Stz des Thles gilt für ds Dreiek P: δ = 90. Es gilt uh: δ + δ = 80 (δ und δ sind Neenwinkel). Drus folgt, dss δ = 90 ist. Ds edeutet, dss ds Dreiek P zwei rehte Winkel ( und δ ) esitzt. Die Winkelsumme im Dreiek P ist lso größer ls 80. Ds ist niht möglih. Drus folgt: liegt niht ußerhl des Thleskreises. Dss niht innerhl des Thleskreises liegen. lso liegt uf dem Thleskreis. Dmit ist ewiesen, dss die Umkehrung des Stzes des Thles whr ist. Höhen Seiten, 5 Seite Einstieg Individuelle Herstellung Ds rote Dreiek ist gleihshenklig-spitzwinklig. Es wird längs der eingezeihneten Streke (Smmetriehse) zershnitten. Die zwei Teildreieke lssen sih zu einem gleihshenkligstumpfwinkligen Dreiek zusmmenlegen. Gnz genuso lässt sih ds lue Dreiek zershneiden und neu zusmmenlegen. Die Linie, n der die Teildreieke neinnder pssen, verindet eine Eke des zusmmengesetzten Dreieks mit der gegenüerliegenden Seite und steht senkreht uf dieser Seite. Seite O h h h h Zeihnung im Mßst : = m h h = m h = m lle Höhen sind gleih lng. h = h = h = 5, m h h HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

16 Dreieke Shüleruhseite Mßst : 000 ( m in der Zeihnung entspriht 000 m = 0 m in der Wirklihkeit.) h h h O Seite 5, links h = 0,m h h h 5 8,5m 70 0, m entsprehen 0 m. Der Sendemst ist etw 0 m hoh. 5 Zeihnung im Mßst : Seite 5, rehts 5 = 7m h h h = 5m = 7m Es gilt: h = h =,7 m; h =,5 m. eohtung: Ds Dreiek ist gleihshenklig mit =. Es gilt uh h = h. Zeihnung im Mßst : H O h h h h = m; h = 5, m; h = m h und h sind gleih lng, weil ds Dreiek gleihshenklig ist: Die zugehörigen Seiten und sind gleih lng ( = =,5 m). 5 ) h = 5m h = 8m = 5m h Die Höhen selst shneiden sih niht in einem Punkt, er ihre Verlängerungen shneiden sih in einem Punkt. 0 8 O h H h h HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

17 Dreieke Shüleruhseite 7 ) lle drei Höhen des Dreieks H gehen durh den Punkt. Die Höhe mit nfngspunkt H ist die verlängerte Höhe h des Dreieks. Die Höhe mit nfngspunkt ist die verlängerte Seite des Dreieks. Die Höhe mit nfngspunkt ist die verlängerte Seite des Dreieks. Zeihnung im Mßst : 7 Mittelsenkrehte. Umkreis Seiten, 7 Dmit die Lösung üersihtlih leit, werden niht lle Konstruktionsshritte drgestellt. Seite Einstieg Jeder Punkt uf der Fltlinie ist von den Punkten und gleih weit entfernt. = m = m h = 5m = 9m Der Kreis um mit Rdius r = = m shneidet die Prllele zu im stnd h = 5 m in den zwei Punkten und. Dementsprehend git es zwei Lösungen, nämlih die Dreieke und. 7 Es eignet sih der Mßst : 000 ( m in der Zeihnung entspriht 0 m in der Wirklihkeit). Konstruktion des Dreieks nh WSW (es ist = 80 0 = 0 ). nshließend zeihnet mn die Höhe h ein und misst ihre Länge. Durh die drei Fltungen entstehen drei Linien, die jeweils senkreht uf den Dreiekseiten stehen und durh die jeweilige Seitenmitte verlufen. Die drei Linien shneiden sih in einem Punkt. Seite 7 h = 7m ) ) m m 0 7,5m 7 m in der Zeihnung entsprehen 0 m in der Wirklihkeit. Die Felsnse liegt etw 0 m üer dem Ufer des Sees. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

18 Dreieke Shüleruhseite 7 7 ) und ) 8 7 m Umkreis 5 m m U m U m O m ) Die drei Mittelsenkrehten shneiden sih im Mittelpunkt U (5 ). 5 ) Umkreis M Tim (T) U m TP Peter (P) 0 m 8 m U(7,5 5,5) m O Seite 7, links m m D D m T en () m P lle drei Freunde treffen sih m Treffpunkt U. ) Jeder Junge muss 00 m weit gehen. Seite 7, rehts ) und ) rotes Dreiek : m m U lues Dreiek D: m Die Mittelsenkrehten m und m D sind prllel zueinnder. m D U D m D m 5 HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

19 Dreieke Shüleruhseite 8 9 ) grünes Dreiek E: U m m E E m E In llen Dreieken shneiden sih die Mittelsenkrehten in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt. Dieser Punkt knn innerhl des Dreieks, uf einer Dreieksseite oder ußerhl des Dreieks liegen. m m U Teller = Umkreis m ) Zuerst zeihnet mn mithilfe eines Tellers einen Kreis. Nun legt mn drei elieige Punkte uf dem Kreis fest. In diesem eispiel sind es die Punkte, und. Zusmmen ilden sie ds Dreiek. Dnn wird zu jeder Dreieksseite die dzugehörige Mittelsenkrehte eingezeihnet oder mithilfe des Zirkels konstruiert. Die drei Mittelsenkrehten m, m und m shneiden sih im Punkt U. Der Punkt U ist der Mittelpunkt dieses Kreises zw. Tellers. 5 ) Möglihe Lösung: D 5 O M E m ) Individuelle Whl der Punkte eispiellösung: Für die oen eingezeihneten Punkte, D und E gilt: = =,5 m D _ = _ D =,5 m E = E =, m Es fällt uf, dss die Entfernungen von und jeweils gleih sind. egründung für den Punkt : Die Dreieke M und M hen die Seite M gemeinsm hen die gleih lngen Seiten M und M hen ei M einen rehten Winkel. Nh SWS git es mit diesen Stüken _ nur _ ein Dreiek. Dher sind die Seiten und gleih lng. Die egründung gilt für jeden elieigen Punkt uf m. 8 Winkelhlierende. Inkreis Seiten 8, 9 Dmit die Lösung üersihtlih leit, werden niht lle Konstruktionsshritte drgestellt. Seite 8 Einstieg Jeder Punkt uf der Fltlinie ist von den Dreieksseiten und gleih weit entfernt. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

20 Dreieke Shüleruhseite 9 9 Seite 9, links ) = 0 ) = 90 w Durh die drei Fltungen entstehen drei Linien, die jeweils den dzugehörigen Winkel hlieren. Die drei Linien shneiden sih in einem Punkt. Seite 9 w ) = 0 d) δ = 80 = 0 w ) ) w w δ w δ _ = _ = ), ) und ) w w I Inkreis ), ) und ) 5 w Inkreis w I w O w ) und ) D w w δ w _ w w O w I w w HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

21 Dreieke Shüleruhseite 9 9 ) Die Winkelhlierenden shließen ein Qudrt ein. Ds gilt uh für ndere Rehteke. Sonderfll Qudrt: D δ w = w w = w δ ) gleihseitig mit = = = 0 m (SSS) I w w Inkreis Die Winkelhlierenden shneiden sih im Punkt I. Punkt I ist der Mittelpunkt. Diesen nutzt mn, um den Inkreis zu zeihnen. I w Inkreis Seite 9, rehts ) ) rehtwinklig mit = m; = 8 m; = 90 (SWS) w w w I w Inkreis S _ = ; _ = ) = 0 ; _ = 55 _ w _ _ S 5 ) und ) D w δ w w w Je zwei Winkelhlierende shneiden sih in einem Punkt. Ds eingeshlossene Vierek ist ein Drhen. ) Individuelle Lösungen Oige eohtung knn mn durh Zeihnen von weiteren smmetrishen Trpezen üerprüfen. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

22 Dreieke Shüleruhseite 9 9 Seite 70, links ) Seite 70, rehts w I w w w I w Zuerst zeihnet mn die drei Winkelhlierenden w, w und w ein. Diese shneiden sih im Punkt I. Der Rsensprenger muss m Punkt I ufgestellt werden, dnn wird eine möglihst große Rsenflähe ewässert und die Wege werden niht nss. ) Der Rsensprenger ht zu den drei Wegen immer den gleihen stnd von knpp m. 7 ) Der Goldshmied ht einen Kreis mit dem Rdius r = m gezeihnet. D der nhänger die Form eines gleihseitigen Dreieks hen soll, ht der nhänger uh drei gleih große Winkel. Dher unterteilt mn die 0 des Kreises in drei gleih große Winkel, lso 0. usgehend vom Mittelpunkt des Kreises ht mn nun uh drei Punkte uf dem Kreis. n jedem dieser drei Punkte zeihnet mn die dzugehörige Tngente. ) 0 5m w I 0m w 5m Zuerst zeihnet mn die sis mit 0 m. Dnn zeihnet mn mit dem Zirkel die Länge 5 m vom linken und rehten Ende der sis ein. Der Shnittpunkt ist die Spitze. ls nähstes zeihnet mn die Winkelhlierenden w und w ein. Der Shnittpunkt ist zugleih der Mittelpunkt I des gelen Inkreises. m oeren Ende des gelen Inkreises zeihnet mn eine Tngente. usgehend vom linken und rehten Ende der Tngente zeihnet mn die Winkelhlierenden w und w ein. Der Shnittpunkt von w und w ist zugleih der Mittelpunkt I des roten Inkreises. w 0 w 7 ), ) und ) d = 0 m; r = 5 m 8 0 w 0 Der nhänger ht die Form des gleihseitigen Dreieks. Der Inkreis des Dreieks stellt den inneren Kreis dr. ) Die gemessene Seitenlänge des nhängers eträgt ungefähr,9 m. 0 8 T w O HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

23 Dreieke Shüleruhseite 9 9 Mn zeihnet die Winkelhlierende w ein. Der Shnittpunkt T von w mit dem Kreis ist der Punkt, n dem die fehlende Seite des Dreieks den Kreis erührt. m Shnittpunkt T zeihnet mn die Tngente ein und verlängert diese is sie eide Shenkel des Dreieks shneidet. d) eide Shenkel sind. 7 m lng. Die fehlende Seite (Hpotenuse) ist. m lng. EXTR: Seitenhlierende Seite 7 Seite 7 ) Möglihe Lösung M s ) Individuelle Lösungen ) und ) 7 5 ) ( ) Seitenhlierende s s s M s M s S s M S (7 ) M Entfernung des Shwerpunkts zum Ekpunkt _ s s M (9,5 ) Entfernung des Shwerpunkts zum Seitenmittelpunkt S = 5, m SM =, m _ S =,0 m SM =,0 m _ S =, m SM =,8 m d) Die Ekpunkte,, sind doppelt soweit vom Shwerpunkt S entfernt ls die Seitenmittelpunkte M, M, M. Zeihnungen im Mßst : ) =, m; = m; s = m M s ) = m; = 5 m; s = m s M ) = 7, m; s = 8 m; = 5 M s d) =,9 m; s = 5 m; = s M Zeihnungen im Mßst : = = = 8 m w M m M s S s U m I m s w w M In einem gleihseitigen Dreiek gilt: = = und = = Drüerhinus stellt mn fest: w = s = m _ _ w = s = m w = s = m Drus folgt: Der Shwerpunkt S, der Mittelpunkt U und der Mittelpunkt I fllen in einem gleihseitigen Dreiek zusmmen. lso S = U = I. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

24 Dreieke Shüleruhseite 7 7 sistrining Seite 7 Seite 7 ) 0 = 5 ; = 80 5 = 55 ; = 5 ; δ = ) = 80 0 = 70 ) = 0 = 70 = 0 ) Dreiek Dreiek = = 0 = = 90 = 80 0 = 0 Dreiek Dreiek D = = 95 = = 0 = = 85 Dreiek E Dreiek F = = 09 = 80 5 = 5 = = 7 ) Dreiek : vershiedenseitig-rehtwinklig Dreiek : gleihseitig Dreiek : vershiedenseitig-stumpfwinklig Dreiek D: vershiedenseitig-spitzwinklig Dreiek E: gleihshenklig-rehtwinklig Dreiek F: gleihshenklig-spitzwinklig Ds Kärthen gleihshenklig-stumpfwinklig leit ürig. ) ) ) d) Ds Dreiek in ) ist gleihshenklig, d zwei Winkel gleih groß sind. 5 ) erehnen mithilfe der Winkelsumme: = 5 ; = 80 5 = 5 und sind Sheitelwinkel, lso = 5. erehnen mithilfe der Winkelsumme: = 5 ; = 80 5 = 5 ) ist Neenwinkel zum gegeenen Winkel: = 80 5 = 55 erehnen mithilfe der Winkelsumme: = 5 = 80 5 = O 7 5 O = 8 ; = 5 ; = = = 80 ) = 0 ; = 90 ; = = = 80 ) O = ; = 8 ; = = = HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

25 Dreieke Shüleruhseite Im Dreiek git es ht rehtwinklige Dreieke. So knn mn sie sstemtish finden: Dreieke mit dem Ekpunkt : F; FG; F; DF Dreieke mit dem Ekpunkt, er ohne den Ekpunkt : FD; ED Dreieke mit dem Ekpunkt, er ohne die Ekpunkte und : GF Dreieke ohne die Ekpunkte, und : DEF ) WSW 5 = m ) SWS 0 sistrining Seite 7 = m Seite 7 8 Im Dreiek git es sehs gleihshenklige Dreieke. So knn mn sie sstemtish finden: Dreieke mit dem Ekpunkt : E; DE; DF Dreieke mit dem Ekpunkt, er ohne den Ekpunkt : ED; E Dreieke mit dem Ekpunkt, er ohne die Ekpunkte und git es niht. Dreieke ohne die Ekpunkte, und : DEF 9 ) Summe der siswinkel: 50 = 00 Winkel n der Spitze: = 80 Ds Dreiek esitzt eine Smmetriehse. ) Summe der siswinkel: 0 = 0 Winkel n der Spitze: 80 0 = 0 Dieses Dreiek ist gleihseitig. Dher esitzt ds Dreiek drei Smmetriehsen. ) Summe der siswinkel: 70 = 0 Winkel n der Spitze: 80 0 = 0 Ds Dreiek esitzt eine Smmetriehse. 0 ) Summe der siswinkel: 80 0 = 0 = = 0 : = 70 ) Summe der siswinkel: 80 0 = 50 = = 50 : = 5 ) Summe der siswinkel: = 90 = = 90 : = 5 Zeihnungen im Mßst : ) SSS = m = 7m = m 5 = 5m d) WSW e) SWS = m f) SsW = 5m 0 = m = 7m = 7m Zeihnungen im Mßst : ) WSW Zuerst zeihnet mn die Seite = = 8 m. m linken Ekpunkt von liegt Punkt. Hier zeihnet mn den Winkel = 5 ein. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

26 Dreieke Shüleruhseite 7 7 m rehten Ekpunkt der Seite liegt Punkt. Hier zeihnet mn den Winkel = 5 ein. Die freien Shenkel von und shneiden sih in. Dmit erhät mn die Seiten = und = des Dreieks. Punkt ergit sih ls Shnittpunkt eider Kreisögen. usgehend von Punkt werden die Seiten = und = gezeihnet. = m = 7m 5 5 = 8m ) SWS Zuerst zeihnet mn die Seite = 5,5 m. m rehten Ekpunkt von liegt Punkt. Hier zeihnet mn den Winkel = 7 ein. Von Punkt us zeihnet mn einen Kreis mit dem Rdius r = m. Punkt ergit sih ls Shnittpunkt des Kreises mit dem freien Shenkel von. Dmit erhält mn die Seiten = und = des Dreieks. = m Die Dreieke und F sind rehtwinklig, d die Ekpunkte und F uf dem Thleskreis liegen. Die Punkte D, E und G liegen niht uf dem Thleskreis. lso sind die Dreieke D, E und G niht rehtwinklig. Konstruktion mithilfe des Thleskreises: Der Ekpunkt ergit sih ls Shnittpunkt des Thleskreises mit dem Kreis um mit Rdius = m. = m = m 7 = 5,5m ) WSW Zuerst zeihnet mn die Seite = = 7 m. m linken Ekpunkt von Seite liegt Punkt. Hier zeihnet mn den Winkel = ein. m rehten Ekpunkt von Seite liegt Punkt. Hier zeihnet mn den Winkel = 8 ein. Die freien Shenkel von und shneiden sih in. Dmit erhält mn die Seiten = und = des Dreieks. 8 = 7m d) SSS Zuerst zeihnet mn die Seite = = m. m linken Ekpunkt von Seite liegt Punkt. Um Punkt wird der Kreisogen mit Rdius = m gezeihnet. m rehten Ekpunkt von Seite liegt Punkt. Um Punkt wird der Kreisogen mit Rdius = 7 m gezeihnet. M = 8m 5 ) Ds Dreiek ht in einen rehten Winkel, d uf dem Thleskreis üer liegt = 7 ; = 80 7 = 5 ) 70 δ M Die Streken M und M sind gleih dem Rdius des Thleskreises. Ds Dreiek M ist lso gleihshenklig. Somit ist = 70. δ erehnet mn mithilfe der Winkelsumme im Dreiek M: = 0 ; δ = 80 0 = 0 us + = 90 folgt = = 0. 0 HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

27 Dreieke Shüleruhseite ) 8 h h g g u h h h ) ) m U m m Ynnik ht reht. Er knn üer Umwege dennoh den gewünshten Winkel herusfinden. Zum eispiel ist = 9. Wie groß ist? Shnellster Weg üer Wehselwinkel: und sind Wehselwinkel, lso = = 9. lterntivlösung ohne Wehselwinkel von Ynnik: und sind Sheitelwinkel, lso = = 9. und sind Stufenwinkel, lso = = 9. Ynnik knn uh ohne Wehselwinkel, er mithilfe der nderen Winkelrten, zur rihtigen Lösung kommen. 9 D w w nwenden. Nhdenken Seite 75 Seite 75 7 ) = 80 = ; = 5 (ls Wehselwinkel, d g u h); mithilfe der Winkelsumme im unteren Dreiek: 5 + = 00 = = 80 ; = 80 (Sheitelwinkel zu ) ) = 7 (ls Sheitelwinkel); δ = = 7 (ls Neenwinkel); = 7 (Stufenwinkel zu δ); mithilfe der Winkelsumme im großen Dreiek: = 0 = 80 0 = 0 I w 0 D ds Dreiek gleihshenklig ist, gilt: = = 0. mithilfe der Winkelsumme im Dreiek : = = 0 = 80 0 = 0 (Neenwinkel zu ) D ds Dreiek D gleihshenklig ist, gilt: = = 0. 0 ) Es hndelt sih um ein gleihseitiges Dreiek. ) Möglihe eshreiungen: Ds Dreiek esitzt gleih große Winkel. (Diese eshreiung ist eindeutig, denn drus ergit sih, dss lle Seiten des Dreieks gleih lng sein müssen.) Ds Dreiek esitzt gleih lnge Seiten und einen 0 -großen Winkel. (Zur Eindeutigkeit der eshreiung: Ds Dreiek ist us der ersten Eigenshft gleihshenklig.. Möglihkeit: Der ngegeene Winkel (z.. Winkel ) liegt n der Spitze. Die eiden nderen Winkeln und sind dnn ls siswinkel gleih groß. Es gilt: + + = = 80 = 0, lso ist = 0 lso ist insgesmt: = = = 0. HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

28 Dreieke Shüleruhseite Möglihkeit: Der ngegeene Winkel ist ein siswinkel. Dnn ist der ndere siswinkel uh 0 groß und ihre Summe eträgt 0. Dmit ist der Winkel n der Spitze 80 0 = 0 groß. f) SsW = 7,5m Zeihnungen im Mßst : ) SSS =,5m ) SWS = 7m = m 70 g) SsW = 7m = 7m = 5m 0 = 5m Ds Dreiek ist gleihshenklig, d =. ) WSW = 8m Ds Dreiek ist rehtwinklig, d = 80 = 90. d) WSW 5 e) SsW = 7m 75 = 7m 00 = m 0 = 7m Ds Dreiek ist gleihseitig. egründung: Ds Dreiek ist gleihshenklig, d =. und sind siswinkel, lso = = 0. = 80 0 = 0. ei einem gleihseitigen Dreiek etrgen lle Winkel 0. Lr konstruiert ds Dreiek nh WSW mit = m; = 0 und = 0. Dfür ruht sie nur ein Geodreiek. Die Konstruktion eginnt mit dem mittleren oeren Dreiek nh der Grundkonstruktion SSS und setzt sih im Uhrzeigersinn, wie in der Figur ngegeen, fort. 7 m m SSS 5 m WSW 5 5,5 m SWS SsW 7,5 m Durh die rote Teilungslinie wird ein gleihseitiges Dreiek D getrennt. Ds Restdreiek D lässt sih uf zwei vershiedene rten in zwei gleihshenklige Dreieke zerlegen. Möglihkeit : E D HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

29 Dreieke Shüleruhseite Möglihkeit : Dreiek F D Dreiek Wie die oige Zeihnung verdeutliht, stimmt seine ussge niht. Wenn zwei Dreieke in ihren Winkeln üereinstimmen, dnn können ihre Seitenlängen gleih lng sein, er sie müssen es niht. Dreiek und Dreiek hen die gleihen Winkel, er ihre Seitenlängen sind niht gleih. ei gleihen Winkeln ist die Form des Dreieks gleih, er die Seitenlängen der Dreieke können kleiner, gleih oder größer sein. D die Dreieke er die gleihe Form hen, e sitzen sie die gleihe nzhl n Smmetriehsen. nwenden. Nhdenken Seiten 7, 77 Seite 7 Zeihnungen im Mßst : ) 0 0 = 8m Zuerst zeihnet mn die Seite = = 8 m. m linken Ekpunkt von Seite liegt Punkt. Hier zeihnet mn den Winkel = 0 ein. m rehten Ekpunkt von Seite liegt Punkt. Hier zeihnet mn den Winkel = 0 ein. Die freien Shenkel von und shneiden sih m Punkt. Dmit erhält mn die Seiten = und = des Dreieks. ) ) Ds Dreiek in Teilufge ) ist vershiedenseitig-spitzwinklig. Es gilt: = = 80. Ds Dreiek in Teilufge ) ist vershiedenseitig-stumpfwinklig. Es gilt: = = 00. d) In den Dreieken werden die Winkel nh ufsteigender Größe geordnet. Es gilt lso ª ª. Es git sieen Möglihkeiten. lle Dreieke werden nh WSW mit = 8 m konstruiert. Form gleihshenkligstumpfwinklig vershiedenseitigstumpfwinklig vershiedenseitigstumpfwinklig gleihshenkligspitzwinklig gleihshenkligstumpfwinklig vershiedenseitigspitzwinklig gleihseitig 7 ) Es liegen drei Shihten üereinnder. ) etrhtet mn Konstruktionsshritt (), so stellt mn fest, dss ein eingeklpptes Dreiek _ der Gesmtflähe usmht (klppt mn die eiden Dreieke wieder uf, so pssen sehs solher Dreieke uf ds Ppier). Ds Dreiek m Shluss esteht us zwei sol- _ hen Dreieken, dmit mht es = _ der ursprünglihen Ppieroerflähe us. Dmit eträgt der nteil des Fläheninhlts des _ gleihseitigen Dreieks des Fläheninhlts des Rehteks. ) Fläheninhlt des Rehteks: = = 5; = 5 m² Fläheninhlt des Dreieks: 5 : = 8 Der Fläheninhlt des Dreieks eträgt 8 m. 8 Zeihnungen im Mßst : ) =,5m = 9m 0 = 8m 0 HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

30 Dreieke Shüleruhseite ) =,5m = 9m Zuerst zeihnet mn die Seite = =,5 m. m oeren Ende von liegt der Punkt. Hier zeihnet mn den Winkel = 90 ein. Nun zieht mn den Kreisogen um Punkt mit Rdius = 9 m. Der Kreisogen shneidet den freien Shenkel von. Dies ist der Punkt. Mn zeihnet die Streke und erhält dmit die Seiten = und = des Dreieks. 9 ) Die Lösung entspriht der Zeihnung im uh. Konstruktionsshritte:. Zeihnen der Streke = 0 m und des (gesmten) Thleskreises üer.. Der Kreis um mit Rdius m shneidet den oeren Thleskreis in D.. Zeihnen der Streken D und D.. Der Kreis um D mit Rdius m shneidet den unteren Thleskreis in. _ 5. Zeihnen der Streken und. ) Die Winkel ei und D sind rehte Winkel, weil _ sie uf dem Thleskreis mit Durhmesser liegen. Die Winkel ei und sind rehte Winkel, weil sie uf dem Thleskreis mit Durhmesser D liegen. Ein Vierek mit vier rehten Winkeln ist ein Rehtek. 0 ) () () () () (5) ) () vershiedenseitig-spitzwinklig () vershiedenseitig-rehtwinklig () gleihshenklig-stumpfwinklig () vershiedenseitig-spitzwinklig (5) vershiedenseitig-stumpfwinklig ) () längste Seite: ; kürzeste Seite: (): längste Seite: ; kürzeste Seite: (): längste Seite: ; und sind gleih lng. (): längste Seite: ; kürzeste Seite: (5): längste Seite: ; kürzeste Seite: ) Zeihnungen im Mßst : lle Dreieke werden nh SSS konstruiert. Dreiek () = 5m h Dreiek () = 7m h h = m h Dreiek () = m Dreiek () = 8m ) h h = m h = 5m = 7m h h h h = 7m = 8m = 5m h = 8m () () () () in m in m in m h in m,, 5,9, h in m,0,9,9, h in m 5,0,9, 7, HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

31 Dreieke Shüleruhseite ) eohtungen: () > > und h < h < h () > > und h < h < h () > > und h < h < h () = > und h = h < h Vermutung: Je länger die Seite ist, desto kürzer ist die zugehörige Höhe. In Dreiek () gilt = und deshl uh h = h. 7,m = Seite 77 Die gespnnten gleih lngen Seile sind zwei Durhmesser eines Kreises. Dieser Kreis ist der Thleskreis für die Ekpunkte des Viereks. Dher ht ds Vierek vier rehte Winkel und ist somit ein Rehtek.,m = Shtten m..: Es eignet sih der Mßst : 000. m : 000 = 00 m : 000 =, m 08 m : 000 = 0800 m : 000 = 0,8 m D M Es eignet sih der Mßst : 50. Ds edeutet: m in der Zeihnung entspriht 50 m in der Wirklihkeit.,m 0,8m = 8 m.0. treffen die Sonnenstrhlen unter einem Winkel von = uf den oden. n diesem Tg erreiht die Sonne uf der Nordhlkugel die höhste Mittgshöhe üer dem Horizont (Sommersonnenwende; längster Tg und kürzeste Nht). m.. treffen die Sonnenstrhlen unter einem Winkel von = 8 uf den oden. n diesem Tg erreiht die Sonne die geringste Mittgshöhe (Wintersonnenwende; kürzester Tg und längste Nht).,7m,m 5 Es eignet sih der Mßst : 000. Ds edeutet: m in der Zeihnung entspriht 000 m = 0 m in der Wirklihkeit. Konstruktion des Dreieks nh WSW mit = 80 7 = 07 (Neenwinkel) mm,8m Gemessene Länge der Leiste:,7 m,7 m 50 = 5 m Die Länge einer Leiste eträgt etw 5 m =,5 m. h = 7,8m Mn konstruiert die Dreieke in einem günstigen Mßst nh SWS und misst den Winkel. Shtten m..: Es eignet sih der Mßst : 500. m : 500 = 00 m : 500 = 7, m 8 m : 500 = 800 m : 500 =, m =,5 m HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

32 Dreieke Shüleruhseite Messen der Höhe ergit h = 7,8 m. Ds sind in Wirklihkeit 7,8 m 000 = 00 m = m. Die Höhe des Eiffelturms eträgt etw m. Dieser mithilfe der mßstälihen Zeihnung ermittelte Wert liegt nh m ehten Wert: Der Eiffelturm ist m hoh. ) Mßst : ( m in der Zeihung entspriht m = km in der Wirklihkeit) Grünwld () Niederkirhen (),8m U m m,5m m m Kirhh () Umkreis Zuerst zeihnet mn ds Dreiek mßstsgereht. Dnn zeihnet mn lle drei Mittelsenkrehten m, m und m mit Zirkel und Linel ein. Im Dreiek shneiden sih die drei Mittelsenkrehten im Punkt U. Dieser ht von den Ekpunkten, und des Dreieks die gleihe Entfernung. Punkt U ist lso der Stndort der Shutzhütte, d sie n diesem Punkt von llen drei Orten gleih weit entfernt ist. ) Die Shutzhütte ist von jedem Ort ungefähr, km weit entfernt. Konstruktionsshritte:. Zeihne ein Qudrt mit einer Seitenlänge von 0 m.. Verinde die Ekpunkte unten links und oen rehts und die Ekpunkte unten rehts und oen links. Es entstehen vier gleih große Dreieke (rot).. Konstruiere mit Zirkel und Linel lle drei Winkelhlierenden eines Dreieks. Wiederhole diesen reitsshritt für jedes der vier Dreieke.. In jedem der vier Dreieke shneiden sih die drei Winkelhlierenden im Punkt I. Der Punkt I ht in jedem Dreiek von llen Seiten dieses Dreieks denselen stnd. D es vier Dreieke (rot) git, entstehen uh vier Kreise (gel). EXTR: Zeihnen mit DGS Seiten 78, 79 Seite 78 ) Konstruktion wie eshrieen. ) P 7 Mßst : 0 I ) ) Ds Dreiek leit gleihseitig, d die Seiten des Dreieks Kreisrdien von gleih großen Kreisen sind. I I E D I F HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

33 Dreieke Shüleruhseite ) Es entstehen drei weitere Dreieke, die kongruent sind zum Dreiek. Ds große Dreiek DEF esteht lso us vier kongruenten Dreieken und ht die gleihe Form wie die kleinen Dreieke. ewegt mn einen der Ekpunkte, so verändert sih die Form des Dreieks und entsprehend uh die Form der nderen Dreieke. Die kleinen Dreieke leien zueinnder kongruent, ds große Dreiek esteht weiterhin us vier kleinen Dreieken und ht die gleihe Form wie diese. ) und ) Konstruktion wie eshrieen. ) Der Kreis geht uh durh die Ekpunkte und des Dreieks (Umkreis) und sogr durh die Shnittpunkte D, E und F. Ds leit uh so, wenn mn die Ekpunkte des Dreieks ewegt. Liegt der Rdius zwishen, m und 8 m, so git es zwei Shnittpunkte: 50 = 8m d) Dmit es genu ein Dreiek ls Lösung git, drf es nur einen _ Shnittpunkt geen. _ Dies ist der Fll für =, m oder für > 8,0 m. Die Konstruktion des Dreieks entspriht der Grundkonstruktion nh SsW. Liegt der dritte Ekpunkt innerhl des Thleskreises, so ht ds Dreiek n diesem Ekpunkt einen stumpfen Winkel (> 90 ). Liegt der dritte Ekpunkt ußerhl des Thleskreises, so ht ds Dreiek n diesem Ekpunkt einen spitzen Winkel (< 90 ). Liegt der Ekpunkt uf dem Thleskreis, so ht ds Dreiek n diesem Ekpunkt einen rehten Winkel (= 90 ). Es hndelt sih um den Stz des Thles und seine Umkehrung. 50 =, m = 8 m Seite 79 = 8 m 5 ) und ) Konstruktion wie eshrieen. ) Wenn der Rdius des Kreises genuso groß ist wie der stnd des Punktes vom freien Shenkel, dnn git es einen erührpunkt. Ds ist der Fll für r =, m: 50 = 8 m 50 = 8m = 9 m 50 = 8 m HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN:

34 Dreieke Shüleruhseite ) Konstruktion wie eshrieen. F E U D 8 Innerhl des großen Dreieks entstehen vier kleinere, zueinnder kongruente Dreieke. Sie hen die gleih Form wie ds große Dreiek. ewegt mn einen der Ekpunkte, so verändert sih die Form des großen Dreieks. Die Form der Teildreieke verändert sih entsprehend mit diese leien dei zueinnder kongruent. Die Kongruenz der Teildreieke knn mn sih mithilfe der shon gezeihneten, zu den Seiten des Dreieks prllelen Linien und der entsprehenden Wehsel- zw. Stufenwinkel klr mhen. ) Der Kreis verläuft niht nur durh den Ekpunkt, sondern uh durh die Ekpunkte und. Ist ds Dreiek spitzwinklig, so efindet sih der Kreismittelpunkt innerhl des Dreieks. Ist ds Dreiek stumpfwinklig, so efindet sih der Kreismittelpunkt ußerhl des Dreieks. ei einem rehtwinkligen Dreiek efindet sih der Kreismittelpunkt uf der längsten Seite des Dreieks, lso uf der Seite gegenüer dem rehten Winkel. 7 ) Die Winkelhlierenden shneiden sih in einem Punkt. Dieser Punkt I liegt im Inneren des Dreieks. w I w w ) Der Kreis um _ I durh den Punkt D erührt die Seiten und des Dreieks. D I w w w 8 HTUNG: Sie reiten mit der Mnuskriptfssung der Lösungen. Sie enthlten mögliherweise Fehler. Die Verkufsuflge ersheint im Jnur 08 unter der ISN: