Kapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

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1 Kapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 6.1 Funktionen von mehreren Variablen Eine Abbildung f : D R, D R n, ordnet jedem n-tupel x = (x 1, x 2,...,x n ) D (eindeutig) eine reelle Zahl f(x) zu. Wir sprechen von einer Funktion in n Variablen. Geometrische Interpretation für n = 2: Eine Funktion von zwei Variablen kann als Fläche im (dreidimensionalen) Raum dargestellt werden. Jedem Punkt (x, y) D R 2 wird eindeutig durch Mathematik I WiSe 2005/

2 z = f(x,y) eine Höhe z im Raum zugeordnet. Werden die Punkte in der (x, y)-ebene verbunden, bei denen f den gleichen Funktionswert c = f(x, y) hat, so ergeben sich die Höhenlinien der Funktion f. So wie der Graph einer Funktion f : R R eine Teilmenge von R 2 ist, so ist der Graph einer Funktion f : R 2 R eine Teilmenge von R 3 (die man sich noch ganz gut vorstellen kann). Sie können sich dies als Gebirge veranschaulichen. Höhenlinien (in unserem Sinne) entsprechen dann auch wirklich den Höhenlinien auf Landkarten. Diese Veranschaulichung ist insbesondere hilfreich, wenn Sie sich Ableitungen von Funktionen in 2 Variablen vorstellen wollen. Dazu werden wir bald kommen. Zunächst einige Beispiele. Beispiel 6.1 (1) f(x, y) = x 2 + 6xy y 2 Mathematik I WiSe 2005/

3 x y 0.5 Mathematik I WiSe 2005/

4 (2) f(x, y) = x 2 + 3y x y 1 2 Mathematik I WiSe 2005/

5 (3) f(x, y) = x 2 + y y 1 0 x Mathematik I WiSe 2005/

6 (4) Die Gleichung f(x,y) = ax + by beschreibt eine Ebene im R 3. Wir können alle Ebenen im R 3, die nicht parallel zur z-achse verlaufen, so darstellen. (5) Funktionen der Form heißen linear. f(x 1,...,x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n + b Beispiel 6.2 In der Ökonomie treten fast nur Funktionen in Abhängigkeit von mehreren Variablen auf. Es gibt kaum eine ökonomische Größe, die nur von einer Inputvariablen abhängt. Wenn beispielsweise C den Wert des gesamten Konsums in einer Volkswirtschaft bezeichnet, so hängt dieser sicherlich von den Preisen p i der verschiedenen Konsumgüter sowie den Einkommen y i der an der Volkswirtschaft beteiligten Haushalte ab, also C = C(p 1,...,p n,y 1,...,y m ), Mathematik I WiSe 2005/

7 wenn es m Haushalte und n Konsumgüter gibt. Untersuchungen haben gezeigt, dass sich der Wert des in England nachgefragten Bieres durch die Funktion beschreiben läßt, wobei b(x 1, x 2,x 3, x 4 ) = 1, 058 x 0,136 1 x 0,727 2 x 0,914 3 x 0,816 4 x 1 x 2 x 3 x 4 Durchschnittseinkommen Bierpreis Preisindex (gemittelt über alle Waren) Stärke des Bieres bezeichnet. Dieses nicht ganz ernstgemeinte Beispiel ist von einem Funktionstyp, Mathematik I WiSe 2005/

8 der in der Ökonomie häufig auftritt: heißen Cobb-Douglas Funktionen. F(x 1,...,x n ) = Ax a 1 1 xa 2 2 xa n n Allgemeiner werden für D R n auch Funktionen f : D R m betrachtet, die jedem x = (x 1,x 2,...,x n ) D einen Vektor f(x) = (y 1, y 2,...,y m ) R m zuordnen. Mit f i : D R, x f i (x) = y i, i = 1,...,m Mathematik I WiSe 2005/

9 kann die Funktion f auch geschrieben werden als f(x) = (f 1 (x),...,f m (x)) d.h. f ist aus den Koordinatenfunktionen f i, i = 1,...,m, zusammengesetzt. Ist beispielsweise A = (a i,j ) i=1,...,n;j=1,...m R (n,m) und b 1. R n, so ist f : R m R n, f(x) = A x + b (6.1) eine solche Funktion. Die f i s sind hier die Skalarprodukte der i ten Zeile von A mit x plus dem i ten Eintrag von b, also b n f i (x 1,...,x n ) = a i,1 x 1 + a i,2 x a i,m x m + b i Mathematik I WiSe 2005/

10 Abbildungen wie in (6.1) heißen linear. Stetigkeit wird für Funktionen in mehreren Variablen analog zum 1-dimensionalen Fall definiert. Zunächst müssen wir den Abstandsbegriff einführen: Mathematik I WiSe 2005/

11 Für x = (x 1,...,x n ) R n heißt x = n x i2 = x,x i=1 der Betrag (oder Länge oder Norm) von x. Der Abstand der Vektoren x und y = (y 1,...,y n ) R n ist dann definiert als d(x,y) = x y = n (x i y i ) 2 i=1 Mathematik I WiSe 2005/

12 Wenn wir nun den Begriff der Stetigkeit für Abbildungen in mehreren Variablen einführen wollen, so benötigen wir Mengen, die die Rolle der sogenanten ǫ- Umgebungen (x 0 ǫ, x 0 + ǫ) eines Punktes x 0 übernehmen: Mathematik I WiSe 2005/

13 Für x R n, ǫ > 0 heißt U ǫ (x) = {y R n : x y < ǫ} ǫ-umgebung von x. Der Punkt x heißt innerer Punkt von D R n, wenn D eine ǫ-umgebung von x enthält (für ein geeignetes ǫ > 0). Wir bezeichnen die Menge der inneren Punkte von D mit D o. Ist D = D o, dann heißt D offen. Insbesondere ist die Menge R n offen. Wir können nun die Definition von Stetigkeit einfach auf Abbildungen R n R m übertragen: Mathematik I WiSe 2005/

14 Sei D R n und f : D R m eine Funktion. Dann heißt f stetig in x 0 D, wenn folgendes gilt: Zu jedem ǫ > 0 gibt es ein δ > 0, so dass f(u δ (x 0 ) D) U ǫ (f(x 0 )). (6.2) Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in allen Punkten aus D stetig ist. Für m = 1, d.h. f : D R, ist also f stetig in x 0 D, wenn gilt: Zu jedem ǫ > 0 gibt es ein δ > 0, so dass f(x) f(x 0 ) < ǫ für alle x D mit x x 0 < δ. Mathematik I WiSe 2005/

15 Wenn x 0 im Innern von D liegt, dann ist es in (6.2) nicht nötig, die δ-umgebung mit D zu schneiden: Wir können δ einfach so klein wählen, dass U δ (x 0 ) D gilt. Beispiel 6.3 Lineare Abbildungen sind stetig. Wir können uns Stetigkeit wieder anschaulich so ähnlich vorstellen wie im Fall von Funktionen in einer Variable: Wenn der Graph der Funktion, also im Fall von Abbildungen R 2 R das durch f definierte Gebirge keine Sprünge hat, so ist die Funktion stetig. Etwas präziser: Kleine Änderungen in den Variablen x 1,...,x n bewirken nur kleine Änderungen des Funktionswertes f(x 1,...,x n ). Wir haben im Fall von Abbildungen in nur einer Variablen recht ausführlich diskutiert, dass man aus stetigen Abbildungen durch einfache Zusammensetzungen wieder stetige Abbildungen erhält. Das gilt auch für Abbildungen in mehreren Variablen: Mathematik I WiSe 2005/

16 Abbildungen in n Variablen, die man aus stetigen Abbildungen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Hintereinanderausführung ( ) stetiger Abbildungen erhält, sind überall dort stetig, wo sie definiert sind. Mathematik I WiSe 2005/

17 6.2 Partielle Ableitungen und Gradient Wir betrachten in diesem Abschnitt Abbildungen f : D R, wobei D R n. Sei D R n, f : D R, a = (a 1,...,a n ) D o. Falls der Grenzwert lim h 0 f(a 1,..., a i 1, a i + h, a i+1,..., a n ) f(a) existiert, dann heißt er die partielle Ableitung (1. Ordnung) der Funktion f nach x i an der Stelle a = (a 1,...,a n ) und wird mit f x i (a) oder auch mit f xi (a) bezeichnet. h Ist f eine Funktion in den Variablen x 1,...,x n, dann wird f partiell nach x i Mathematik I WiSe 2005/

18 differenziert, indem alle Variablen x k x i fest gehalten werden, und f als Funktion einer einzigen Variablen x i angesehen und nach dieser Variablen x i differenziert wird. Beispiel 6.4 (1) f(x, y) = x 3 + y 3 : f x = 3x2, f y = 3y2 (2) f(x, y) = x 3 + 3x 2 y + xy 2 + 6y 3 : f x = 3x2 + 6xy + y 2, f y = 3x2 + 2xy + 18y 2 Mathematik I WiSe 2005/

19 (3) f(x, y) = ax 2 + by 2 : f x = ax ax2 + by 2, f y = by ax2 + by 2 (4) f(x, y) = ax + by: f x = a, f y = b Mathematik I WiSe 2005/

20 Ist die Funktion f : D R, D R n, im Punkt a D o partiell differenzierbar nach allen Variablen, dann heißt der Vektor (gradf)(a) = (f x1 (a), f x2 (a),,f xn (a)) der Gradient von f im Punkt a. Statt (gradf)(a) schreibt man manchmal auch ( f)(a). Der Gradient (gradf)(a) zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs im Punkt a; der Vektor (gradf)(a) zeigt in die Richtung des steilsten Abstiegs. Der Gradient ist eine Abbildung R n R n, denn jedem Punkt a R n wird ein Vektor von n partiellen Ableitungen zugeordnet. Mathematik I WiSe 2005/

21 Beispiel 6.5 Wir betrachten die Funktion f(x, y) = sin(x) cos(y) Der Gradient ist Der Graph von f ist gradf(x, y) = ( ) cos(x) cos(y). sin(x) sin(y) Mathematik I WiSe 2005/

22 y x 1 2 Mathematik I WiSe 2005/

23 Wir betrachten nun den Punkt mit den Koordinaten x = 0, 5, y = 0, 5, also f(x, y) 0, 42. Der Gradient an dieser Stelle ist (gradf)(0, 5;0, 5) (0, 77; 0,23). Im Fall der eindimensionalen Differenzialrechnung haben wir die Ableitung als die Steigung der Tangente im Punkt (x 0, f(x 0 )) interpretieren können. Die Gleichung der Tangente war t(x) = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ). Wir können hier so etwas ähnliches machen, wenn wir, im Fall n = 2, Gerade durch Ebene ersetzen. Die Gleichung t(x, y) = f x (a)(x a 1 ) + f y (a)(y a 2 ) + f(a) beschreibt die Tangentialebene in a = (a 1,a 2 ) an den Graph der Funktion Mathematik I WiSe 2005/

24 f : R 2 R. Anders gesagt, es gelingt uns, die Funktion in der Nähe von a durch eine lineare Funktion zu approximieren. Das geht dann auch für größere n: Sei f : R n R. Die lineare Funktion t(x 1,...,x n ) = n f xi (a)(x i a i ) + f(a) i=1 ist die beste lineare Approximation von f im Punkt a. Die Fläche, die durch t beschrieben wird, nennt man eine Hyperebene. Beispiel 6.6 Wir setzen Beispiel 6.5 fort: Hier ist die Ebenengleichung der Tangentialebene in a = (0, 5; 0,5), also die beste lineare Approximation in a, t(x, y) = 0, 77 (x 0, 5) 0, 23 (y 0, 5) + 0,42 = 0, 77 x 0, 23 y + 0, 15 Mathematik I WiSe 2005/

25 Das folgende Bild soll dies verdeutlichen: x y 1 2 Wir fragen uns nun, ob es einen Zusammenhang gibt zwischen Differenzierbakeit Mathematik I WiSe 2005/

26 und Stetigkeit. Im Fall n = 1 muss jede differenzierbare Funktion stetig sein. Man kann im Fall n > 1 aber Beispiele konstruieren, wo alle partiellen Ableitungen existieren, die Funktion aber nicht stetig ist. Wir benötigen hier, dass die partiellen Ableitungen (die ja selber Abbildungen R n R sind), stetig sind: Sei D R n offen und f : D R stetig partiell differenzierbar nach allen Variablen. Dann ist f stetig. Manchmal passiert es, dass wir eine Abbildung g : R R n (gegeben durch die Koordinatenfunktionen g 1,...,g n ) mit einer Abbildung f : R n R verketten wollen. Das Ergebnis ist dann eine Abbildung f g : R R. Den Zusammenhang zwischen den Ableitungen der g i, dem Gradienten von f sowie der Ableitung von f g stellt der folgende Satz her: Mathematik I WiSe 2005/

27 Kettenregel im mehrdimensionalen Fall Sei f : R n R eine stetig partiell differenzierbare Funktion in x 1,...,x n. Es seien g i : R R, t g i (t), i = 1,...,n stetig differenzierbar, und es sei x = (g 1 (t),...,g n (t)). Dann ist auch die zusammengesetzte Funktion stetig differenzierbar, und es gilt z : R R, z(t) = f(g 1 (t),...,g n (t)) = f(x) dz dt = f x1 (x) dg 1 dt + f x 2 (x) dg 2 dt f x n (x) dg n dt Mathematik I WiSe 2005/

28 Wir können das auch schreiben dz dt = (f x 1 (x),...,f xn (x)) Beispiel 6.7 Einem Konsumenten möge der Besitz von x Einheiten eines Gutes G 1 und y Einheiten eines Gutes G 2 den Nutzen (was auch immer das sein soll) N(x, y) verschaffen. Man nennt dann N(x, y)/ x und N(x, y)/ y jeweils den Grenznutzen des Gutes G 1 und G 2, wenn man x Einheiten von Gut G 1 und y Einheiten von Gut G 2 besitzt. Das ist also die änderung des Nutzens bei einer kleinen Änderung von x (bzw. y). In der Regel gibt es verschiedene Kombinationen von x und y, die denselben Nutzen N 0 haben. Wir nehmen dg 1 dt.. dg n dt Mathematik I WiSe 2005/

29 an, dass für alle (x, y) mit y = i(x) gilt: N(x, y) = N 0. Man nennt i die Indifferenzfunktion und den zugehörigen Graphen die Indifferenzkurve. Wir nehmen an, dass i(x) differenzierbar ist. Wir erhalten N 0 = N(x, i(x)). Diese Funktion ist konstant, also erhalten wir beim Ableiten nach x auf der linken Seite 0, auf der rechten Seite mit der Kettenregel N(x, y) x dx dx + N(x, y) y also für einen gegebenen Punkt x 0,y 0 = i(x 0 ) di dx, di dx (x 0) = ( N(x, y)/ x)(x 0, y 0 ) ( N(x, y)/ y)(x 0,y 0 ). Mathematik I WiSe 2005/

30 Interessant ist hier, dass wir i(x) gar nicht kennen müssen, um die Ableitung di/dx auszurechnen! Bisher wurden nur Änderungen der Funktion f in Richtung der Koordinatenachsen betrachtet. Jetzt wollen wir Änderungen der Funktion f in einer beliebigen Richtung r betrachten. Mathematik I WiSe 2005/

31 Sei D R n, f eine in a D o stetig partiell differenzierbare Funktion, und sei r = (r 1, r 2,...,r n ) eine Richtung mit r = 1. Dann heißt gradf(a),r = f x1 (a) r f xn (a) r n die Richtungsableitung der Funktion f in Richtung f r an der Stelle a. Sie wird auch mit r (a) bezeichnet. Die Richtungsableitung ist die gewöhnliche Ableitung der Funktion g(t) := Mathematik I WiSe 2005/

32 f(a + tr). Ist r = e i, so gilt f (a) = f (a). e i x i Wir wollen nun versuchen, den Begriff der Monotonie auf Abbildungen mit mehreren Variablen zu übertragen. Dazu nennen wir einen Vektor r = (r 1,...,r n ) 0 positiv, wenn für alle seine Komponenten r i 0 gilt. Wir nennen eine Richtung r eine Abstiegsrichtung von f : D R in a D, falls g(t) := f(a + tr) monoton fallend ist. Dabei ist D eine offene Menge und g ist natürlich nur für hinreichend kleine t erklärt, für die nämlich a + tr D gilt. Ist g monoton wachsend, heißt r Anstiegsrichtung. Wir nennen f in D monoton wachsend, wenn alle positiven Vektoren Anstiegsrichtungen sind. Entsprechend ist monoton Mathematik I WiSe 2005/

33 fallend definiert. Ist g jeweils streng monoton wachsend, so nennen wir auch f streng monoton wachsend. Es sei f nach allen Variablen partiell differenzierbar. Dann gilt mit den obigen Bezeichnungen: f ist monoton wachsend in D (gradf)(x) ist positiv für alle x D f ist monoton fallend in D (gradf)(x) ist positiv für alle x D Mathematik I WiSe 2005/

34 Beispiel 6.8 Wir betrachten die Funktion f(x 1, x 2,x 3 ) = x 1 e x 2 x 2 3. Die partiellen Ableitungen sind f x1 (x 1, x 2,x 3 ) = e x 2 f x2 (x 1, x 2,x 3 ) = x 1 e x 2 f x3 (x 1, x 2,x 3 ) = 2x 3 Die Funktion f ist monoton wachsend für x 1 0, x 2 R, x 3 0 und wegen f x1 (x 1,x 2, x 3 ) > 0 ist die Funktion nirgends monoton fallend. Mathematik I WiSe 2005/

35 6.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Ist f eine Funktion in den Variablen x 1,...,x n, dann sind auch die partiellen Ableitungen 1. Ordnung von f Funktionen von x 1,...,x n. Wir können diese Funktionen nun wieder partiell differenzieren (soweit die Grenzwerte existieren) und erhalten damit die Ableitungen höherer Ordnung. Wenn wir erst nach x i und dann nach x j differenzieren schreiben wir 2 f x j x i oder f xi x j Beispiel 6.9 f(x, y) = x 3 + 3x 2 y 3xy 2 21x + y 3 3y Mathematik I WiSe 2005/

36 Dann ist f x = 3x2 + 6xy 3y 2 21 f y = 3x 2 6xy + 3y 2 3 Mathematik I WiSe 2005/

37 sowie 2 f y x 2 f x y 2 f x 2 2 f y 2 = 6x 6y = 6x 6y = 6x + 6y = 6x + 6y Dass in diesem Beispiel die beiden partiellen Ableitungen f xy übereinstimmen, ist kein Zufall, wie der folgende Satz zeigt: und f yx Mathematik I WiSe 2005/

38 Satz 6.1 (Schwarz) Sei f : D R, D R n, zweimal stetig partiell differenzierbar. Dann gilt für alle i, j: 2 f = 2 f x i x j x j x i Wir wollen den Gradienten (also die erste Ableitung) benutzen, um notwendige Kriterien für die Existenz lokaler Extrema anzugeben. Wie im Fall von Funktionen, die nur von einer Variablen abhängen, brauchen wir für ein genaueres Studium auch die 2. Ableitungen. Das, was hier bei uns die zweite Ableitung wird, ist eine Matrix: Bedenken Sie, dass die erste Ableitung einer Funktion R n R bereits eine Abbildung R n R n ist (der Gradient ist ein Vektor). Die zweite Ableitung wird noch eine Stufe komplizierter, sie ist die sogenannte Hesse-Matrix: Mathematik I WiSe 2005/

39 Sei f : D R, D R n, zweimal partiell differenzierbar. Dann heißt die Matrix H f (x) = f x1 x 1 (x) f x1 x 2 (x) f x1 x n (x) f x2 x 1 (x) f x2 x 2 (x)..... f x2 x n (x). f xn x 1 (x) f xn x 2 (x) f xn x n (x) die Hesse-Matrix der Funktion f an der Stelle x = (x 1, x 2,...,x n ) D. Sind die zweiten partiellen Ableitungen stetig, dann ist die Hesse-Matrix nach dem Satz von Schwarz symmetrisch. Mathematik I WiSe 2005/

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