Lineare Abbildung des Einheitskreises

Transkript

1 Linere Abbildung des Einheitskreises Peter Stender Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

2 Mtrix und Dynmik m Kreis Fälle, bei denen B nicht uf der berechneten Prbel liegt. b 2 = 1 ± 2 2 b 1 2 verschiedene reelle Eigenwerte: Dynmik: C trifft D vier Ml in 2 Richtungen. Zwei Eigenvektoren (bis uf Vielfche). Algebrische und geometrische Vielfcheit Eins. Jordnform: Digonlmtrix. Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

3 Mtrix und Dynmik m Kreis Fälle, bei denen B nicht uf der berechneten Prbel liegt. b 2 = 1 ± 2 2 b 1 2 verschiedene reelle Eigenwerte: Dynmik: C trifft D vier Ml in 2 Richtungen. Zwei Eigenvektoren (bis uf Vielfche). Algebrische und geometrische Vielfcheit Eins. Jordnform: Digonlmtrix. 2 Komplexe Eigenwerte: Dynmik: C trifft D nie (nur im Komplexen) Keine reellen Eigenvektoren. Komplexe ( Eigenwerte λe ±iα ) λ cos(α) λ sin(α) Reelle Jordnform: Drehstreckmtrix λ sin(α) λ cos(α) Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

4 Mtrix und Dynmik m Kreis Fälle, bei denen B uf der berechneten Prbel liegt. b 2 = 1 ± 2 2 b 1 1 reeller Eigenwert mit lgebrischer Vielfcheit Zwei. Eigenwert ht geometrische Vielfchheit Eins Dynmik: C berührt D zwei Ml in einer Richtung. Einer liegt immer vorn. Ein Eigenvektor ( (bis) uf Vielfche). λ 0 Jordnform:. 1 λ Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

5 Mtrix und Dynmik m Kreis Fälle, bei denen B uf der berechneten Prbel liegt. b 2 = 1 ± 2 2 b 1 1 reeller Eigenwert mit lgebrischer Vielfcheit Zwei. Eigenwert ht geometrische Vielfchheit Eins Dynmik: C berührt D zwei Ml in einer Richtung. Einer liegt immer vorn. Ein Eigenvektor ( (bis) uf Vielfche). λ 0 Jordnform:. 1 λ Eigenwert ht geometrische Vielfchheit Zwei Dynmik: C trifft D immer In jede Richtung im R 2 gibt ( es Eigenvektoren. ) ( ) λ 0 1 b Jordnform: Digonlmtrix = 1 0 λ 2 b 2 Tritt uf, wenn A uf der x-achse und B uf dem Scheitel der Prbel liegt. Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

6 Kreise und Ellipsen Wir hben einen Kreis und Ellipsen im Vektorrum R 2 betrchtet. Ws benötigt mn dfür eigentlich? Ein Kreis ist die Menge ller Punkte, die von einem usgezeichneten Punkt denselben Abstnd (Rdius r) ht. Für die Definition eines Kreises benötigen wir lso mindestens ds Konzept der Norm im Vektorrum. Eine Ellipse ht zwei Huptchsen, die senkrecht ufeinnder stehen. Für die Betrchtung von Ellipsen benötigt mn lso ds Konzept orthogonl, lso ein Sklrprodukt. D ein Sklrprodukt eine Norm induziert, ist ds für beide Situtionen hinreichend. Unsere Betrchtungen gelten lso für einen euklidischen Vektorrum. Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

7 Kreis In dem euklidischen Vektorrum R 2 mit Stndrdsklrprodukt knn ein Kreis mit dem Rdius r > 0 um den Koordintenursprung uf unterschiedliche Weise drgestellt werden: { } K r = (x, y) : x 2 + y 2 = r 2, x, y R { K r = #»x : #» x 2 = r 2, #» x R 2} K r = {(r cos(t), r sin(t)) : t [0, 2π[} Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

8 Ellipse In dem euklidischen Vektorrum R 2 mit Stndrdsklrprodukt knn eine Ellipse mit den Hlbchsen (Längen: b > 0) uf unterschiedliche Weise drgestellt werden, wobei die größere Hlbchse entlng der x-achse des Koordintensystems verläuft, die ndere entlng der y-achse: Eine Ellipse ist der geometrische Ort ller Punkte P der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten F 1 und F 2 gleich einer gegebenen Konstnte ist. { } E = (x, y) : x2 2 + y2 = 1, x, y R b2 E = {( cos(t), b sin(t)) : t [0, 2π[} Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

9 Ellipse Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

10 Ellipse b Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

11 Ellipse b Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

12 Ellipse b F 2 F 1 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

13 Ellipse b F 2 F 1 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

14 Ellipse b F 2 (e, 0) e F 1 (e, 0) Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

15 Ellipse b F 2 (e, 0) e F 1 (e, 0) e 2 + b 2 = 2 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

16 Ellipse (x, y) b F 2 (e, 0) e F 1 (e, 0) e 2 + b 2 = 2 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

17 Ellipse (x, y) b F 2 (e, 0) e F 1 (e, 0) e 2 + b 2 = 2 (x e) 2 + y 2 + (x + e) 2 + y 2 = 2 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

18 Ellipse (x, y) b F 2 (e, 0) e F 1 (e, 0) e 2 + b 2 = 2 (x e) 2 + y 2 + (x + e) 2 + y 2 = 2 Zwei ml qudrieren und geeignet umformen liefert dnn x 2 + y2 = 1 2 b 2 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

19 Ellipse Ausführlich hingeschrieben... (x e) 2 + y 2 + (x + e) 2 + y 2 = 2 2 (x e) 2 + y 2 (x + e) 2 + y 2 + 2y 2 + 2x 2 + 2e 2 = 4 2 x 2 2ex + e 2 + y 2 x 2 + 2ex + e 2 + y 2 = 2 2 y 2 x 2 e 2 y 4 + 2x 2 y 2 + 2e 2 y 2 + x 4 2e 2 x 2 + e 4 = y 4 + 2x 2 y 2 + 2e 2 y y 2 + 2e 2 x x 2 + e e x y 2 + 4e 2 x x e = 0 2 y 2 + ( 2 b 2 )x 2 2 x 2 2 ( 2 b 2 ) + 4 = 0 2 y 2 + b 2 x 2 = 2 b 2 x y2 b 2 = 1 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

20 Ellipse { } k r = (x, y) : x2 2 + y2 = 1, x, y R b2 k r = {( cos(t), b sin(t)) : t [0, 1π[} Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

21 Ellipse { } k r = (x, y) : x2 2 + y2 = 1, x, y R b2 k r = {( cos(t), b sin(t)) : t [0, 1π[} ( cos(t)) (b sin(t))2 b 2 = 1 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

22 Ellipse { } k r = (x, y) : x2 2 + y2 = 1, x, y R b2 k r = {( cos(t), b sin(t)) : t [0, 1π[} ( cos(t)) (b sin(t))2 b 2 = 1 cos(t) 2 + sin(t) 2 = 1 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

23 Ellipse { } k r = (x, y) : x2 2 + y2 = 1, x, y R b2 k r = {( cos(t), b sin(t)) : t [0, 1π[} ( cos(t)) (b sin(t))2 b 2 = 1 cos(t) 2 + sin(t) 2 = 1 Rückrichtung fehlt jeweils! Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

24 Ellipse ls Qudrik Qudriken im R 2 sind die Lösungen qudrtischer Gleichungen: q 1 x 2 + 2q 2 xy + q 3 y 2 + l 1 x + l 2 y + c = 0 (x, y) R 2 Qudriken: Ellipsen, Hyperbeln und Prbeln (sowie Gerden und Punkte). Für die für uns interessnte Ellipsen c = 1 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

25 Ellipse ls Qudrik Qudriken im R 2 sind die Lösungen qudrtischer Gleichungen: q 1 x 2 + 2q 2 xy + q 3 y 2 + l 1 x + l 2 y + c = 0 (x, y) R 2 Qudriken: Ellipsen, Hyperbeln und Prbeln (sowie Gerden und Punkte). Für die für uns interessnte Ellipsen c = 1 l 1 = l 2 = 0 führt dzu, dss der Mittelpunkt der Ellipse im Koordintenursprung liegt. Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

26 Ellipse ls Qudrik Qudriken im R 2 sind die Lösungen qudrtischer Gleichungen: q 1 x 2 + 2q 2 xy + q 3 y 2 + l 1 x + l 2 y + c = 0 (x, y) R 2 Qudriken: Ellipsen, Hyperbeln und Prbeln (sowie Gerden und Punkte). Für die für uns interessnte Ellipsen c = 1 l 1 = l 2 = 0 führt dzu, dss der Mittelpunkt der Ellipse im Koordintenursprung liegt. q 1 x 2 + 2q 2 xy + q 3 y 2 = 1 knn mn schreiben ls ( ) #» x T M #» q1 q x = (x, y) 2 q 2 q 3 ( ) x = 1 y Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

27 Ellipse ls Qudrik Qudriken im R 2 sind die Lösungen qudrtischer Gleichungen: q 1 x 2 + 2q 2 xy + q 3 y 2 + l 1 x + l 2 y + c = 0 (x, y) R 2 Qudriken: Ellipsen, Hyperbeln und Prbeln (sowie Gerden und Punkte). Für die für uns interessnte Ellipsen c = 1 l 1 = l 2 = 0 führt dzu, dss der Mittelpunkt der Ellipse im Koordintenursprung liegt. q 1 x 2 + 2q 2 xy + q 3 y 2 = 1 knn mn schreiben ls ( ) #» x T M #» q1 q x = (x, y) 2 q 2 q 3 ( ) x = 1 y Mit einer positiv definiten symmetrischen Mtrix M. Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

28 Ellipse ls Qudrik Qudriken im R 2 sind die Lösungen qudrtischer Gleichungen: q 1 x 2 + 2q 2 xy + q 3 y 2 + l 1 x + l 2 y + c = 0 (x, y) R 2 Qudriken: Ellipsen, Hyperbeln und Prbeln (sowie Gerden und Punkte). Für die für uns interessnte Ellipsen c = 1 l 1 = l 2 = 0 führt dzu, dss der Mittelpunkt der Ellipse im Koordintenursprung liegt. q 1 x 2 + 2q 2 xy + q 3 y 2 = 1 knn mn schreiben ls ( ) #» x T M #» q1 q x = (x, y) 2 q 2 q 3 ( ) x = 1 =< x, Mx >=< x, x > y M Mit einer positiv definiten symmetrischen Mtrix M. Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

29 Ellipse ls Bild des Kreises Nun knn mn einsehen, dss ds Bild des Einheitskreises unter einer invertierbren Mtrix A eine Ellipse ergibt: A x = y x = A 1 y < x, x >= 1 < A 1 y, A 1 y >= 1 < y, ( A 1) T A 1 y >= 1 ( ) < y, AA T 1 y >= 1 ( ) Wähle M = AA T 1, positiv definit nch Stz us L.A., dnn genügen die Bildpunkte offensichtlich der Definition einer Ellipse. Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

30 Ellipse - Scheitelpunkte p(t) = A A = ( #» #» b ) = ( ) x b x y ( ) cos(t) = #» cos(t) + #» b sin(t) mit t [0, 2π[ sin(t) Suche die Huptchse - dort ist die Tngente senkrecht zur Ortsvektor. b y p (t) = #» sin(t) + #» b cos(t) Senkrecht heißt, ds Sklrprodukt muss Null sein: ( #» #» ) ( cos(t) + b sin(t) #» sin(t) + #» ) b cos(t) = 0 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

31 Ellipse - Scheitelpunkte ( #» #» ) ( cos(t) + b sin(t) #» sin(t) + #» ) b cos(t) = 0 #» #» ( b cos(t) 2 sin(t) 2) ( #»b + 2 #» 2) sin(t) cos(t) = 0 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

32 Ellipse - Scheitelpunkte ( #» #» ) ( cos(t) + b sin(t) #» sin(t) + #» ) b cos(t) = 0 #» #» ( b cos(t) 2 sin(t) 2) ( #»b + 2 #» 2) sin(t) cos(t) = 0 #» #» b (cos(2t)) + ( #»b 2 #» 2) sin(2t) 2 = 0 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

33 Ellipse - Scheitelpunkte ( #» #» ) ( cos(t) + b sin(t) #» sin(t) + #» ) b cos(t) = 0 #» #» ( b cos(t) 2 sin(t) 2) ( #»b + 2 #» 2) sin(t) cos(t) = 0 #» #» b (cos(2t)) + ( #»b 2 #» 2) sin(2t) 2 = 0 2 #» #» b #» 2 #» b = sin(2t) = tn 2t 2 cos(2t) Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

34 Ellipse - Scheitelpunkte ( #» #» ) ( cos(t) + b sin(t) #» sin(t) + #» ) b cos(t) = 0 #» #» ( b cos(t) 2 sin(t) 2) ( #»b + 2 #» 2) sin(t) cos(t) = 0 #» #» b (cos(2t)) + ( #»b 2 #» 2) sin(2t) 2 = 0 2 #» #» b #» 2 #» b = sin(2t) = tn 2t 2 cos(2t) Die Lösungen dieser Gleichung in t sind die Prmeter des Kreises, zu dem die Ellipse ihre Scheitelpunkte erreicht! tn 2t ist periodisch mit Periode π 2, ds heißt, die Ortsvektoren des Kreises zu denen die Ellipse zwei ufeinnderfolgende Scheitelpunkte erreicht, stehen senkrecht ufeinender! Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14

35 Koordintensysteme Seien V, W euklidische Vektorräume und F eine Abbildung von V nch W. F bildet die Einheitskugel von V uf einen Ellipsoiden E in W b. Wähle in W eine Orthonormlbsis, die in Richtung der Huptchsen von E zeigen (ggfs. ergänzen). Wähle in V die Urbilder dieser Einheitsvektoren ls Orthonormlbsis. Dnn ht F die drstellende Mtrix Σ = σ σ r wobei die σ i die Längen der Huptchsen von E sind... Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises / 14