Karlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

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1 Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius mit Mittelpunkt, K rolle ohne Gleiten in positiver Richtung die x-achse entlng Ferner bezeichne P den Punkt uf K, der nfngs uf dem Ursprung liege Skizzieren Sie zunächst die Bhnkurve, die der Punkt P beim Abrollen beschreibt Geben Sie nschließend eine Prmetrisierung dieser Kurve n und berechnen Sie die Bogenlänge des Weges, den der Punkt bei einer vollständigen Umdrehung des Kreises um den Winkel π beschreibt zur Skizze: Die Bhnkurve ist eine Zykloide Für eine Skizze siehe bspw Internet Prmetrisierung: Der Kreis {x, y R : x + y } läßt sich prmetrisieren durch x sin t x dmit erhält mn für t den Punkt : A; für beliebiges y cos t y sin t t schließt mit A den Winkel t im Uhrzeigersinn ein cos t x sin t Der Kreis K mit Mittelpunkt, läßt sich somit prmetrisieren durch y cos t Ist K um den Winkel t im Uhrzeigersinn die x-achse entlnggerollt, so ht sich der Kreismittelpunkt um verschoben bei einer vollen Umdrehung lso um den Kreisumfng π t nch rechts Folglich läßt sich die gesuchte Kurve prmetrisieren durch x t sin t, t y cos t Bogenlänge: Schreibe t t t sin t cos t t cos t + cos t + sin t cos t cos t cos t sin t t sin Additionstheorem

2 L t 4 sin t sin für t π π π t dt t sin t [ cos dt ] π cos π + cos 8 Aufgbe Berechnen Sie ds Kurvenintegrl F dx für F x, y t und s, b Berechnen Sie die Bogenlänge des Grphen der Funktion x f : [ b, b] R, fx cosh, wobei, b > F dx F t, t dt t s+, t s t,, st s t dt t s+ + st 3s dt s b Gesucht: Länge der Kurve : [ b, b] R, t t, cosh t b b L t dt t, sinh dt b b b t b t + sinh dt cosh b b b [ ] t t tb cosh dt sinh b t b b b sinh sinh sinh xy y und t t, t s mit dt b

3 Aufgbe 3 Sei f :, R stetig Bestimmen Sie für ds rottionssymmetrische Vektorfeld F : R n \{} R n, F x frx mit rx x eine Stmmfunktion Wir bestimmen zunächst mit Hilfe des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung eine Stmmfunktion h :, R der Funktion rfr: hr r r r sfs ds fs ds r s ft dt ds, wobei wir in der letzten Zeile prtiell integriert hben Definiere nun g : R n \{} R durch gx h x Dnn folgt Also ist g eine Stmmfunktion von F grd gx h x grd x x x f x x f x x F x Aufgbe 4 Sei Ω R einfch zusmmenhängend und u C Ω hrmonisch, ds heißt u u x + u y Zeigen Sie, dss es eine hrmonische Funktion v C Ω gibt mit x v y und Definiere ein C -Vektorfeld F : Ω R durch Wir berechnen y v x F y u, x u t y F yyu xxu x F,

4 wobei wir benutzt hben, dss u hrmonisch ist D Ω nch Vorussetzung einfch zusmmenhängend, folgern wir, dss F ein Grdientenfeld ist Folglich existiert eine Funktion v C Ω mit grd v F, lso mit x v, y v t y u, x u t, bzw x v y und y v x D x v, y v C Ω, gilt sogr v C Ω Weiter berechnen wir v xxv + yyv x y u + y x u Also ist uch v hrmonisch und die Behuptung ist bewiesen Aufgbe 5 Berechnen Sie jeweils ds Kurvenintegrl F dx e x i F x, y, : [, π] R xy, t cos t, sin t y ii F x, y, z z, : [, ln ] R 3, t sinh t, cosh t, sinh t x { sin x iii F x, y x + y, : [, ] R t,, t, t, t, < t b Ein Mssepunkt bewege sich unter der Wirkung des Krftfeldes F : R R, x, y xy, x + y uf dem durch die Punkte,,,,,,, und, in dieser Reihenfolge gebildeten Polygonzug Welche Arbeit F dx wird hierbei verrichtet? i Definitionsgemäß ist F dx π π F t t dt π e cos t cos t sin t sin t dt cos t e cos t sin t + sin t cos t dt [ e cos t 3 cos3 t ] π t ii Wir benutzen wieder die Definition des Kurvenintegrls: ln ln F dx cosh t cosh t F t t dt sinh t sinh t dt sinh t cosh t ln cosh t sinh t + sinh t cosh t dt ln + sinh t cosh t dt ln + [ sinh t ] ln ln + sinh ln ln + eln e ln ln + 9 3

5 iii Die Kurven : [, ] R, t t,, und : [, ] R, t, t, sind regulär mit Somit gilt: F dx F dx + F dx F t t dt + F t t dt sin t sin t dt + + t dt sin t dt + + t dt [ cos t ] + [ t + 3 t 3] cos cos b Schreibe F : F, F D R einfch zusmmenhängend ist, F C R, R gilt und die Verträglichkeitsbedingung F x, y x + y x xy F x, y uf R erfüllt ist, stellt F ein Grdientenfeld dr, dh es gibt ein Sklrfeld φ C R, R mit F φ Wegen x φx, y F x, y xy ist φx, y x y + ψy für eine stetig differenzierbre Funktion ψ : R R Aus y φx, y F x, y und y φx, y x + ψ y folgt ψ y y Dies ist beispielsweise für ψy 3 y3 erfüllt Somit ist φx, y x y + 3 y3 ein Potentil von F uf R Die Arbeit A ist gleich dem Wert des Kurvenintegrls A F dx, welches wegen F φ nur vom Anfngs- und Endpunkt von bhängt: A φ, φ, 4 3 Aufgbe 6 Die Vektorfelder F, G: R 3 R 3 sind gegeben durch y + z 3 yx z F x, y, z : y + z 3 x y + 3z yx und Gx, y, z : e z ye z + xz Überprüfen Sie jeweils, ob es sich um ein Grdientenfeld hndelt, und bestimmen Sie gegebenenflls ein zugehöriges Potentil b Berechnen Sie die Kurvenintegrle F dx und G dx, wobei die Kurve gegeben ist durch : [, ] R 3, t t, t,

6 Die Funktionen F, G sind stetig differenzierbr und uf gnz R 3 definiert D R 3 einfch zusmmenhängend ist, gilt: Es hndelt sich genu dnn um ein Grdientenfeld, wenn die Verträglichkeitsbedingung erfüllt ist Im R 3 ist dies äquivlent dzu, dss die Rottion verschwindet siehe Definition der Rottion Schreibe F : F, F, F 3 Wegen F 3 x, y, z y + 3z x, 3 F x, y, z 3z x F 3 x, y, z ist rot F Also ist F kein Grdientenfeld, dh es gibt kein C -Sklrfeld f : R 3 R mit F f Für G : G, G, G 3 hingegen gilt G 3 e z 3 G, 3 G z G 3, G G Somit ist G ein Grdientenfeld, besitzt lso ein Potentil f : R 3 R Für dieses Potentil muss x fx, y, z z gelten Integrieren bezüglich x liefert: fx, y, z z x + cy, z mit einer gewissen Funktion c : R R Die Integrtionskonstnte knn lso noch von y und z bhängen Es folgt y fx, y, z y cy, z, und dies soll e z sein Dher hben wir cy, z ye z + dz mit einer gewissen Funktion d : R R Wir wissen lso fx, y, z z x + ye z + dz, und hierus folgt z fx, y, z zx + ye z + d z Dmit dies gleich der dritten Komponente von G wird, muss d gelten Wir wählen d und hben ein Potentil von G: fx, y, z z x + ye z b Bei F rechnen wir ds Kurvenintegrl nhnd der Definition us: F dx F t t dt t t dt [ t 3 t3 + t ] 3 Bei G dgegen können wir uf ds oben bestimmte Potentil f zurückgreifen: G dx f f f,, f,,