Hauptprüfung Abiturprüfung 2017 (ohne CAS) Baden-Württemberg

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Irmgard Becker
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1 Hauptprüfung Abiturprüfung 217 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis A2 Hilfsmittel: GTR und Merkhilfe allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz Mai 217 1

2 Aufgabe A 2.1: An einem Stausee wird der Zu- und Abfluss künstlich geregelt. Dabei wird die momentane Zuflussrate beschrieben durch die Funktion z mit π z(t) = 2 sin t ; t Die konstante Abflussrate wird beschrieben durch die Funktion a mit a(t) = 19 ; t (t in Stunden seit Beobachtungsbeginn, z(t) und a(t) in 1 3 m h ) a) Zunächst werden die ersten 24 Stunden nach Beobachtungsbeginn betrachtet. Bestimmen Sie die minimale momentane Zuflussrate. In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Stausee ab? Bestimmen Sie die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge. (4 VP) b) Zu Beobachtungsbeginn befinden sich 2 5 m³ Wasser im See. Bestimmen Sie die Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn. Begründen Sie, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden.-Zeitraum um 144 m³ zunimmt. Welchen Wert müsste die konstante Abflussrate haben, damit nach Ablauf von 14 Tagen die Wassermenge im Stausee 4 18 m³ betragen würde?` (5,5 VP) Aufgabe A 2.2: Gegeben ist die Funktion f mit 3 2 f(x) = x 9x + 24x 14. a) Der Gerade g durch den Hochpunkt H und den Tiefpunkt T des Graphen von f schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten P und Q: Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Strecke HT an der Strecke PQ. (4 VP) b) Begründen Sie, dass die Steigung des Graphen von f keine Werte kleiner als -3 annehmen kann. (2 VP) c) Der Graph von f und die Gerade h mit der Gleichung y = 2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die Gerade h. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. (2,5 VP) d) Eine Parallele zur x-.achse schneidet aus dem Graphen von f ein Kurvenstück aus, das den Tiefpunkt enthält. Die Endpunkte dieses Kurvenstücks haben den Abstand 2,5 voneinander. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Parallelen. (2 VP) 2

3 Aufgabe A 2.1 Lösungen a) Minimale momentane Zuflussrate: Gesucht ist das Minimum der Funktion z(t). GTR: Tiefpunkt vom Schaubild von z(t): T(18/5) Die minimale momentane Zuflussrate beträgt 5m³/h. Die Wassermenge im Stausee nimmt ab, wenn die Abflussratenfunktion a(t) oberhalb der Zuflussratenfunktion z(t) liegt. Bedingung: a(t) > z(t) GTR: Die Ungleichung a(t) > z(t) ist erfüllt für das Intervall 13,16 < t < 22,84. Die Wassermenge nimmt im Zeitraum zwischen ca. 13,2 und 22,8 Stunden nach Beobachtungsbeginn ab. Die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge existiert zu dem Zeitpunkt, bei dem die Differenz der Zu- und Abflussrate maximal wird. Gesucht ist also das Maximum von d(t) = z(t) a(t) GTR: Die Funktion d(t) besitzt den Hochpunkt H(6/26). Die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge beträgt 26 m³/h. 3

4 b) Wassermenge nach 12 Stunden im Stausee: 12 V= 25 + (z(t) a(t))dt 2724,8 (GTR) Die Wassermenge beträgt 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn ca m³. Zunahme der Wassermenge in den ersten 24 Stunden: 24 (z(t) a(t))dt = 144 (GTR) Die Wassermenge nimmt in den ersten 24 Stunden um 144. m³ zu. Begründung, dass dieser Wert für jedes 24-Stunden-Intervall gilt: 2π Die Zuflussratenfunktion z(t) besitzt die Periode p= = 24. π 12 Da die Abflussratenfunktion a(t) konstant ist, beeinflusst a(t) die Periode von d(t) = z(t) a(t) nicht. In 14 Tagen (also in 336 Stunden) würde die Wassermenge ohne Berücksichtigung einer Abflussrate z(t)dt = 19, also 19 m³ betragen. Die konstante Abflussrate muss so gewählt werden, dass 1 9 m³ m³ = 6 72 m³ in den 14 Tagen abfließen. Dies entspricht pro Stunde einer Abflussrate von 672 = 2 m³/h. 336 Die konstante Abflussrate müsste 2 m³/h betragen. 4

5 Aufgabe A 2.2 a) Berechnung des Hoch- und Tiefpunktes von f(x): GTR: Hochpunkt H(2/6) und Tiefpunkt T(4/2) Gleichung der Gerade g: Ansatz y= mx+ b 6 2 Steigung der Gerade: m= = 2 2 4, also gilt y= 2x+ b Einsetzen des Punktes H(2/6) in die Gerade: 6= 2 2+ b b= 1 Die Gleichung der Geraden lautet y= 2x+ 1 Schnittpunkt von g mit der y-achse: P(/1) Schnittpunkt von g mit der x-achse: Q(5/) Berechnung der Strecken: 2 2 PQ= = 125 und 2 2 HT= = 2 Prozentualer Anteil: 2,4 4% 125 = = Der Anteil der Strecke HT an der Strecke PQ beträgt 4%. 5

6 b) Steigung des Schaubildes von f wird beschrieben durch 2 f(x) = 3x 18x+ 24 Schaubild der Ableitungsfunktion mit dem GTR: Das Minimum der Ableitungsfunktion ist f(3) = 3 Somit kann die Steigung des Schaubildes von f keine Werte kleiner als -3 annehmen. c) Skizze mit GTR: Das Schaubild von f(x) und der Gerade h schneiden sich bei x = 1 und x = 4. Da das Schaubild von f(x) um die waagrechte Gerade h rotieren soll, muss das Schaubild von f(x) um 2 Einheiten nach unten verschoben werden, damit das Schaubild des verschobenen Schaubildes von g(x) = f(x) 2 um die x-achse rotiert V=π g(x) dx =π (f(x) 2) dx 65,4 1 1 Das gesuchte Volumen beträgt ca. 65,4 Volumeneinheiten. 6

Weil das Kurvenstück den Tiefpunkt enthalten soll, kommt nur die Lösung

7 d) Gemäß der Skizze muss gelten: f(x) = f(x+ 2,5) GTR: Die Lösungen sind x = 1,6 oder x = 2,44. Weil das Kurvenstück den Tiefpunkt enthalten soll, kommt nur die Lösung x= 2,44 in Frage. Das gesuchte Intervall ist [2,44 ; 4,94]. Es ist f(2,44) 5,5 =. Die Gleichung der Parallelen lautet y = 5,5. 7

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