Aufgaben zur Analytischen Mechanik SS 2013 Blatt 10 - Lösungen. Aufgabe 1 Wiederholung Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte)

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1 Aufgben zur Anlytischen Mechnik SS 013 Bltt 10 - en Aufgbe 1 Wiederholung Eigenwerte und Eigenvektoren (15 Punkte Bestimmen Sie Eigenwerte λ 1 und λ sowie die Eigenvektoren v 1 und v der folgenden Mtrix: ( α β M = α, β > 0 β α Zeigen Sie, dss der Vektor r, ( ( [ ( ( ] r = v 1 [A cos λ1 t + φ 1 + B sin λ1 t + φ ]+v C cos λ t + φ 3 + D sin λ t + φ 4, die folgende Gleichung erfüllt: r = Mr (1 Eigenwerte bestimmen: α λ β β α λ β = 0 λ 1 = α + β, λ = α β ( Eigenvektoren bestimmen: ( ( β β 1 λ 1 : v β β 1 = 0 v 1 = 1 λ : ( β β β β v = 0 v = ( 1 1 (3 Zusmmenhng zwischen Eigenwerten und Eigenvektoren: Entsprechend der Definition eines Eigenvektors gilt: Mv 1, = λ 1, v 1, Drus folgt für der Vektor r: ( ( [ ( ( ] Mr = λ 1 v 1 [A cos λ1 t + φ 1 + B sin λ1 t + φ ] λ v C cos λ t + φ 3 + D sin λ t + φ 4 Die zweite zeitliche Ableitung von r ergibt sich zu: ( λ1 t + φ 1 + B sin r = λ 1 v 1 [A cos Dmit gilt: r = Mr ( λ1 t + φ ] λ v [ C cos ( ( ] λ t + φ 3 + D sin λ t + φ 4 1

2 Aufgbe Hrmonische Näherung (5 Punkte Betrchten Sie ein Teilchen, ds sich in einem Potenzil V (x, y bewegt, mit ( x ( y V = V 0 [sin cos 1 ( x π ( y ] π V 0, > 0 (1 ( Zeigen Sie, dss ds Potenzil ein Minimum bei (x,y=(π/,π ht und entwickeln Sie V um ds Minimum in eine Tylor-Reihe (bis einschließlich zweiter Ordnung. (b Nehmen Sie n, dss ds Teilchen nur leicht um seine Ruhelge usgelenkt wird. Wie luten die Bewegungsgleichungen? (c Zeigen Sie, dss mn die Bewegungsgleichungen nlog zur Drstellung in Aufgbe 1 schreiben knn. Ws ist dnn die physiklische Bedeutung der Eigenwerte der Mtrix M? ( dv = V 0 dx (π/,π dv dy (π/,π d V dx (π/,π [ sin d V (π/,π dy = V [ 0 sin d V dxdy (π/,π d V dydx (π/,π [ d V d ( V d ] dx dy V dydx ( y cos cos 1 ( y ] π (π/,π = 0 ( y sin sin 1 ( x π ] (π/,π = 0 ( x ( y ] cos (π/,π = V 0 ( x ( y cos ] (π/,π = V 0 > 0 ( y cos sin + ] 1 (π/,π ( y cos sin + ] 1 (π/,π (π/,π Minimum bei (x,y=(π/,π = 3V > 0 Tylor-Entwicklung: V = V x + 0 y + 1 (b kinetische Energie: = V 0 + V 0 ( x + y x y ( V0 x + V 0 y V 0 x y V 0 y x T = m ( ẋ + ẏ potenzielle Energie: s.o.

3 (c Bewegungsgleichungen: d δl dt δ ẋ δl δ x = m ẍ + V 0 ( x y = 0 d δl dt δ ẏ δl δ y = m ÿ + V 0 ( y x = 0 r = ( ( x V0, M = y V 0 m m V 0 V 0 m m r = Mr Die Eigenwerte der Mtrix M geben die Qudrte der Frequenzen der hrmonischen Schwingungen n. Aufgbe 3 Gekoppelte Oszilltoren (15 Punkte Drei Teilchen gleicher Msse seien über zwei Federn miteinnder verbunden. Die Federkonstnte der ersten Feder sei doppelt so großwie die der zweiten und lle drei Mssen können sich nur in einer Dimension bewegen. Bestimmen Sie nlog zu dem Beispiel, ds in der Vorlesung behndelt wurde, die Eigenfrequenzen der Schwingung. (Hinweis: Die Gleichung (k ω m(k ω m(3k ω m 4k (k ω m k (k ω m ht die Nullstellen ω = 0 und ω = 3k/m ± 3k/m (1 potenzielle Energie: V = k (x x 1 + k(x 3 x mit x i = x 0,i + x i k k 0 V = k x 1 + 3k x + k x 3 k x 1 x k x x 3 V = k 3k k 0 k k ( kinetische Energie: T = m (ẋ 1 + ẋ + ẋ 3 mit x i = x 0,i + x i m 0 0 T = m T = 0 m m ( ẋ 1 + ẋ + ẋ 3 (-15 (3 Eigenfrequenzen: k ω m k 0 k 3k ω m k 0 k k ω m = (k ω m(k ω m(3k ω m 4k (k ω m k (k ω m = 0 ω 1 = 0, ω,3 = 3k/m ± 3k/m 3

4 Aufgbe 4 Rotierender Reifen (15 Punkte Ein Teilchen der Msse m bewege sich uf einem Reifen, der mit konstnter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse entlng seines Durchmesser rotiert. Die Rottionschse soll dbei prllel zur z-achse verlufen. ( Bestimmen Sie die Lgrngefunktion und stellen Sie die Bewegungsgleichung uf. (b In welchen Punkten ist die Bewegung stbil. (Hinweis: zwei Punkte lssen sich immer finden, der dritte hängt ω b. Zur Beschreibung des Systems eignen sich Kugelkoordinten, wobei r = R = const. und φ = ω = const. ( kinetische Energie: T = m ( R θ + R ω sin(θ potenzielle Energie: V = mgrcos(θ Lgrngefunktion und Bewegungsgleichung: L = m ( R θ + R ω sin (θ + mgrcos(θ d dt δl δl δ θ δθ = mr θ + mr ω cos(θsin(θ mgrsin(θ = 0 (b Im Gleichgewicht gilt θ = 0. sin(θ [ mr ω cos(θ mgr ] = 0 θ 1 = 0, θ = π, cos(θ 3 = g g Rω, flls ω > R Aufgbe 5 Doppelpendel (0 Punkte Bestimmen Sie für kleine Auslenkungen die Normlmoden eines Doppelpendels. Gehen Sie dvon us, dss beiden Pendel gleich lng sind, ber unterschiedliche Mssen hben. Zeigen Sie, die beiden Frequenzen sich nnähern, wenn die obere Mssen deutlich kleiner ist ls die untere. Die Winkel θ 1 bzw. θ bezeichnen die Auslenkung des oberen bzw. unteren Pendel. Ds obere Pendel hbe die Msse M, ds untere die Msse m. potenzielle Energie: V = Mglcos(θ 1 mgl [cos(θ 1 + cos(θ ] kinetische Energie: T = M l θ 1 + m l ( θ 1 + θ + θ 1 θ e θ1 e θ 4

5 Kleinwinkelnäherung: cos(θ 1 θ, sin(θ θ, e θ 1 e θ 1 V = (M + mgl + M + m glθ1 + m glθ T = M + m l θ 1 + m l θ + ml θ1 θ ( (M + mgl 0 V = 0 mgl ( (M + ml ml T = ml ml (M + m(gl ω l ω ml ω ml m(gl ω l = (M + mm(gl ω l ω 4 m l 4 = 0 ω1, = [ g (m + M ± ] m(m + M lm Für m M: ω 1 ω g(m + M lm Aufgbe 6 Kettenlinie - Prinzip der kleinsten Wirkung (10 Punkte Eine Kette der Länge L sei zwischen zwei Punkten gleicher Höhe x 1 und x befestigt. ( Bestimmen Sie die potenzielle Energie der Kette. (b Für welche Kettenlinie y(x wird die potenzielle Energy miniml. Mit nderen Worten; minimieren Sie die Energie unter der Rndbedingung einer festen Kettenlänge (δ(v λl = 0. (Hinweis: Nutzen Sie Aufgbe 3e des dritten Übungsblttes. ( potenzielle Energie: V = gydm = gy m L ds = gy m L 1 + (y dx (b Kettenlinie: L = ds = 1 + (y dx V λl = (g m L y λ 1 + (y dx miniml Euler-Lgrnge: d δf dx δy δf δy = 0 with f = (g m L y λ 1 + (y 5

6 Anlog zu Aufgbe 3 bzw. 4c des dritten Übungsblttes kommt mn uf: (λ g m L yy + αy + α = 0 Diese Differentilgleichung knn mit folgendem Anstz gelöst werden: ( x x0 y(x = cosh + y 0 ( λ g m ( x L cosh x0 g m ( 1 x L y 0 cosh x0 λ g m L y ( 0 x x0 cosh g m ( ( x cosh x0 L + g m ( x x0 L sinh sinh ( x x0 + g m L = 0 + g m L = 0 λ = g m L Die Kettenlinie wird über eine Kosinus-Hyperbolicus-Funktion beschrieben, wobei die Konstnten nhnd der konkreten Rndbedingungen bestimmt werden müssen. 6