Ritz-Galerkin-Verfahren Courant Element

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1 Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element Moritz Scherrmann LMU München Zillertal am Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 1/15

2 Erinnerung Sei R n beschränktes ebiet, f C 0 () und X = H 1 (). Die Lösung u der Poissongleichung zu Nullrandwerten finden wir durch das Minimieren des Funktionals I (v) = 1 v, v f (v) 2 über X. Sei u ist schwache Lösung I (u) = inf v X I (v). Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 2/15

3 Ritz-alerkin-Verfahren Idee: Wähle endlichdimensionalen Teilraum X h X. Löse das Variationsproblem, ein u h X h zu finden, so dass I (u h ) = inf I (v h ). v h X h Offensichtlich gilt I (u) I (u h ). Abbildung: Boris rigorjewitsch aljorkin Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 3/15

4 Ritz-alerkin-Verfahren Sei f H 1 (). Nun gilt: u h X h ist die eindeutige diskrete Lösung, sodass I (u h ) = inf I (v h ) gilt, und v h X h u h, ϕ h = f (ϕ h ) ϕ h X h. (1) Beweis: Analog zu Beweis in Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen. Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 4/15

5 Ritz-alerkin-Verfahren Nun ist aber u h, ϕ h = f (ϕ h ) ϕ h X h ein lineares leichungssystem zur Bestimmung von u h X h! Da X h endlich dimensional ist, wissen wir: Sei u = (u 1,..., u N ). N N ψ 1,..., ψ N X n : X n = span {ψ 1,..., ψ N } u h (x) = N j=1 u jψ j (x), x. Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 5/15

6 Ritz-alerkin-Verfahren (1) u h, ψ i = f (ψ i ) (i = 1,..., N) Stelle u h als Linearkombination der Basisfunktionen dar: N u j ψ j, ψ i = f (ψ i ) (i = 1,..., N) j=1 Definiere Steifigkeitsmatrix: S ij = ψ j, ψ i (i, j = 1,..., N) und f = (f 1,..., f N ), f i = f (ψ i ) (i = 1,.., N), so folgt: (1) Su = f Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 6/15

7 Steifigkeitsmatrix Die Steifigkeitsmatrix S ist symmetrisch und positiv definit. Beweis: Symmetrie ist klar. Sei ξ R n. Setze v h (x) = N j=1 ξ jψ j (x) und wir erhalten Sξ, ξ = N S ij ξ j ξ i = i,j=1 v h 2 1 cp 2 vh 2. Offensichtlich ist der letzte Ausdruck nicht negativ und gleich Null genau dann, wenn v h = 0 ist. ξ = 0 S ist positiv definit. Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 7/15

8 Ergebnis ψ 1, ψ 1... ψ 1, ψ N S :=..... ψ N, ψ 1... ψ N, ψ N S positiv definit S invertierbar Su = f u = S 1 f Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 8/15

9 Lemma von Céa Sei f H 1 () und X h H 1 () ein endlichdimensionaler Teilraum. Ist u H 1 () die kontinuierliche und u h X h die diskrete Lösung des Variationsproblems, so gilt: (u u h ) L 2 () = inf ϕ h X h (u ϕ h ) L 2 (). Beweis: Wir wissen: Für u h X h, u H 1 () gilt : u h, ϕ h = f (ϕ h ) ϕ h X h (1) u, ϕ = f (ϕ) ϕ H 1 () (2) Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 9/15

10 Fortführung des Beweises Setze ϕ h X h in (2) ein. Die Differenz davon mit (1) ergibt: (u u h ), ϕ h = 0 Nun folgt weiter für jedes ϕ h X h : ϕ h X h (u u h ) 2 L 2 () = (u u h ), u (u u h ), u h = (u u h ), (u ϕ h ) (u u h ) L 2 () (u ϕ h ) L 2 () Daraus folgt schließlich: (u u h ) L 2 () (u ϕ h ) L 2 () ϕ h X h Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 10/15

11 Vorbereitungen zum Courant Element Baryzentrische Koordinaten: Sei T ein s-dimensionales Simplex mit den Eckpunkten a 0,..., a s. Als baryzentrische Koordinaten λ 0,.., λ s eines Punktes x T bezeichnet man die Lösung des linearen leichungssystems s s λ j a j = x, λ j = 1 j=0 Raum der k dimensionalen Polynome: Es sei der Raum der Polynome mit rad kleiner oder gleich k N 0 gegeben durch: P k = p : Rn R p(x) = j=0 k c α x α, c α R. α =0 Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 11/15

12 Vorbereitungen zum Courant Element Wir wissen: x i = n j=0 a jiλ j, x i = x i (λ), λ = (λ 0,..., λ n ), also gilt: p(x) = k c α α =0 i=1 j=0 n n ( a ji λ j ) α i p P k. 1 = n j=0 λ j p ist Polynom vom rad k ohne konstanten Term in den n + 1 Variablen λ 0,..., λ n : p(x(λ)) = p(λ) = k d β λ β β =1 Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 12/15

13 Lineares Element(Courant Element) 1.Sei T ein n-dimensionales Simplex. Dann ist durch Vorgabe von p(a j ) für j = 1,.., n ein p P 1 (T ) eindeutig bestimmt. Für jedes p P 1 (T ) hat man die Darstellung p(x) = p(λ) = n p(a j )λ j. 2. Ist R n zulässig trianguliert und sind a j (j = 1,.., m) die Ecken der Triangulierung T, so ist durch Vorgabe von u h (a j ) (j = 1,.., m) eindeutig eine Funktion u h X h, { } X h = u h C 0 () u h T P 1 (T ), T T H 1 (), bestimmt. Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 13/15 j=0

14 Lineares Element(Courant Element) 3.Eine Basis von X h ist durch die Funktionen ψ j X h, ψ j (a k ) = δ jk (j, k = 1,..., m) gegeben. Diese Basis nennt man Knotenbasis. Abbildung: Basisfunktionen(blau) und eine Linearkombination(rot) Abbildung: Eine stückweise lineare Funktion in zwei Dimensionen Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 14/15

15 Beweis Es gilt: p(λ) = n d j λ j = p(x(λ)), da β = 1. j=0 Sei {e 0,..., e n } kanonische Basis des R n+1. Dann gilt: x(e k ) = a k (k = 0,..., n). p(a k ) = p(x(e k )) = p(e k ) = n d j δ jk = d k Seien T 1, T 2 T, T 1 T 2 = S (S ist (n k)-dimensionaler Seitensimplex) u h S P 1 (S) durch die Werte in den Ecken von S eindeutig bestimmt. X h H 1 () Moritz Scherrmann Ritz-alerkin-Verfahren Courant Element 15/15 j=0