Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 8

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1 Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 8 Daniel Weiss 1. Dezember 29 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - inhomogener hängender Balken 1 a) Seilkräfte b) Schwerpunkt Aufgabe 2 - Drehmomente auf Balkenwaage 3 a) Unterstützungspunkt berechnen b) Gewichtskraft Aufgabe 3 - Drehmomente in abgeschlossenem System 3 Aufgabe - hängende homogene Holzplatte a) Skizze der Kräfte b) Gleichgewichtsbedingungen c) Fadenkräfte berechnen d) Fadenkräfte explizit berechnen Aufgabe 5 - Stahlseil in Schacht 7 a) Längenänderung in Luft b) Längenänderung in Wasser c) maximale Länge in Luft Aufgabe 6 - eingespannter Stahlträger 8 a) rechteckiger Querschnitt b) I-Prol Aufgabe 1 a) Die beiden Querkräfte der Seile müssen sich gegenseitig aufheben, da der Balken in Ruhe ist. 1

2 Abbildung 1: Kräfte im hängenden Balken F quer1 = F quer2 (1) F Seil1 sin(α) = F Seil2 sin(β) F Seil1 = sin(β) sin(α) F Seil2 (2) Weiterhin ist der Körper vertikal in Ruhe, also gleichen die Seile die Gewichtskraft aus. F 1 + F 2 = F G = mg (3) F Seil1 cos(α) + F Seil2 cos(β) = mg (2) sin(β) sin(α) cos(α)f Seil2 + F Seil2 cos(β) = mg mg F Seil2 = = N () sin(β) tan(α) + cos(β) (2) F Seil1 = 692N (5) b) Die Summe der Drehmomente muss in jedem Punkt sein, da sich der Drehimpuls nicht ändert. Wenn ich aber nun den Schwerpunkt als Ursprung wähle und mir die dann wirkenden Drehmomente anschaue, dann fällt das der Gravitationskraft weg, da diese im Schwerpunkt angreift. Daraus ergibt sich für die einzig verbleibenden Drehmomente (es kommt nur auf die senkrechten Komponenten an): M 1 = x 1 F 1 = x 1 F Seil1 cos(α) (6) M 2 = x 2 F 2 = x 2 F Seil2 cos(β) (7) Diese müssen sich nun gegenseitig aufheben, also im Betrag gleich sein: M 1 = M 2 x 1 F Seil1 cos(α) = x 2 F Seil2 cos(β) x 2 = F Seil1 cos(α) F Seil2 cos(β) x 1 (8) 2

3 Der Balken ist L = 1m lang. Also erhalten wir als Bedingung für die Summe von x 1 und x 2 : Einsetzen von Gleichung 8 führt zu x 1 = x 1 + x 2 = L (9) L = 2,5m (1) F Seil1 cos(α) F Seil2 cos(β) + 1 Aufgabe 2 a) Auf den Balken wirken 3 Drehmomente. Diese sind: M 1 = lm 1 (11) M 2 = (l m)m 2 (12) M 3 = (L l)m 3 (13) M 1 und M 2 wirken links von der Unterstützung, M 3 rechts davon. Da der Drehimpuls des Balkens konstant L = ist, müssen sich die Drehmomente gegenseitig aufheben. Es gilt also: M 1 + M 2 = M 3 l(m 1 + m 2 ) m m 2 = Lm 3 lm 3 l(m 1 + m 2 + m 3 ) = Lm m m 2 b) Da das Gewicht des Balkens vernachlässigt werden kann gilt: l = Lm 3 + m m m 1 + m 2 + m 3 = 6, m = 65,5cm (1) F G = (m 1 + m 2 + m 3 )g = 1,8N (15) Aufgabe 3 Wähle als Punkte a := r 1 und b := r 2. Dadurch fällt jeweils eines der Drehmomente weg (da bei a: r 1 = M 1 = und analog M 3 = bei b), was die Rechnung ein wenig verkürzt. Im Folgenden werden alle Vektoren auf 3 Dimensionen erweitert - mit der z-komponente. i) Punkt a = 3

4 M 2 = ( r 2 r 1 ) ( r 3 r 2 ) F 23 (16) M 2 = 3 m m F 23 = m F 23 (17) 12 M 3 = ( r 3 r 1 ) ( r 2 r 3 ) F 32 (18) M 2 = 3 m m F 32 = m F 32 (19) 12 Es gilt F 23 = F 32, da es sich hier nur um Kraftbeträge handelt. Man sieht sofort, dass M = M 2 + M 3 = (2) i) Punkt a = 3 Für den zweiten Punkt ist die Rechnung analog zu oben: M 1 = ( r 1 r 3 ) ( r 2 r 1 ) F 12 (21) M 1 = 3 m 3 m F 12 = m F 12 (22) 12 M 2 = ( r 2 r 3 ) ( r 1 r 2 ) F 21 (23) M 2 = m 3 m F 21 = m F 21 (2) 12 Es gilt also auch hier: M = M 1 + M 2 = (25) Aufgabe a) Skizze mit den Kräften: Siehe Abbildung 2. b) Oensichtlich muss ein Kräftegleichgewicht herrschen, da die Platte sich nicht bewegt. Da alle Seilkräfte senkrecht nach oben wirken und die Gravitationskraft senkrecht nach unten gilt: F 1 + F 2 + F 3 = F G (26) Wobei F i die Seilkräfte sind mit i = 1, 2, 3 und F G die Schwerkraft. c) Hierzu erweitern wir auf drei Dimensionen, da die Fadenkräfte senkrecht zur Ebene der Holzplatte gerichtet sind. Als ersten Schritt berechnen wir den Schwerpunkt der

5 Abbildung 2: Kräfte auf Holzplatte Holzplatte und anschlieÿend die von allen drei Fadenkräften verursachten Drehmomente bezüglich des Schwerpunktes. Diese müssen in der Summe ergeben, da der Drehimpuls der Platte konstant L = ist. Aufgrund der Symmetrie und der homogenen Dichte der Holzplatte ist der Schwerpunkt der gesamten Platte genau zwischen den beiden Schwerpunkten der beiden kongruenten Einzelplatten (siehe Markierungen auf Skizze 2). S = a a 1 3 = a 3 5 (27) 2 2 Die drei Aufhängepunkte der Seile bezüglich des Schwerpunktes sind nun: r 1 = a 3 5 (28) r 2 = a 5 1 (29) r 3 = a 1 7 (3) 5

6 Daraus ergeben sich mit M = r F die drei wirkenden Drehmomente. M 1 = a 3 5 = a 5 3 F 1 (31) F 1 M 2 = a 5 1 = a 1 5 F 2 (32) F 2 M 3 = a 1 7 = a 7 1 F 3 (33) F 3 Nun muss die Summe aller Drehmomente ergeben. Daraus entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Ein Parameter - also eine Kraft in diesem Fall - muss unabhängig gewählt werden. Da wir aber die Gravitationskraft als bekannt voraussetzen dürfen folgt aus der Gleichgewichtsbedingung in Gleichung 26 direkt: F 3 = F G F 2 F 1 (3) Mit dieser Gleichung reduziert sich unser Gleichungsystem auf 2 Gleichungen mit 2 Variablen und führt zu einer eindeutigen Lösung. { 5F 1 F 2 + 7F 3 = 3F 1 5F 2 F 3 = { 12F 1 8F 2 + 7F G = F 1 F 2 F G = (35) F 1 = F F G (36) F 2 = 1 5 F G (37) 36 F 1 = 9 2 F G (38) 3 F 3 = 7 2 F G (39) d) Setze in die Gleichungen aus Teilaufgabe c) folgenden Wert für F G ein: und erhalte für die drei Teilkräfte: F G = mg () F 1 = 9 mg =,5N (1) 2 F 2 = 1 mg = 2,N 5 (2) F 3 = 7 mg = 3,5N 2 (3) 6

7 Aufgabe 5 a) Es gilt: F = qe l () l Diese Formel gilt allerdings nur für eine gleichmäÿig auf alle Teilchen wirkende Kraft. Da das Seil aber in einem Schacht hängt, wirkt auf die Teilchen eine unterschiedliche, von der Höhe abhängige Kraft. Auf ein innitesimales Volumenelement V ganz oben wirkt die Gewichtskraft des gesamten Seils (alles hängt sozusagen an diesem kleinen Volumenelement dran). In der Mitte wirkt die Kraft M 2 g, da alle Teilchen darüber keine Kraft auf dieses kleine Volumenelement ausüben. Ganz unten wirkt dann die Kraft dm g. Das Seil wird also nicht gleichmäÿig gedehnt. Schauen wir uns also die Gewichtskraft an, die auf ein innitesimales Stück Seil wirkt: df = dm g = dl ρq g (5) wobei q die Querschnittsäche des Seiles ist und dl der Abstand vom unteren Ende. Nun betrachten wir die Längenänderung, die eine innitesimale Kraft verursacht (Hooksches Gesetz): df = qe d l l d l = df l qe Diese beiden Kräfte müssen gleich sein, da auÿer der Schwerkraft keine andere Kraft eine Längenänderung bewirken kann. Einsetzen von Gleichung 5 in Gleichung 6 liefert: d l = ρqgl dl l = qe L dl ρg E l = 1 ρg L2 2 E (6) = 15,3m (7) b) Die Rechnung ist analog zu der in Teilaufgabe a). Allerdings wirkt hier noch die Auftriebskraft des Wassers, die entgegen der Gravitationskraft wirkt. Diese Auftriebskraft drückt auf die untere Querschnittsäche des Körpers und ist somit für alle innitesimalen Volumenelemente des Seils gleich groÿ. Es wird also lediglich F um einen konstanten Faktor verkleinert. F = F Gewichtskraft F Auftrieb = ρ Stahl V g ρ Wasser V g = (ρ Stahl ρ Wasser )V g (8) Daraus ergibt sich die Gleichung für l (Gl. 7): l = 1 ρ 2 L2 Stahl ρ Wasser g = 12,3m (9) E c) Die gröÿte Kraft wirkt auf das Seil ganz oben (Begr. siehe Teil a). Wenn es reiÿt, dann zuerst dort. Ganz oben wirkt die Kraft F = mg = ρqlg (5) und σ = F q = ρqgl q = ρgl L = σ ρg = 159m (51) 7

8 Aufgabe 6 Die Formel für den Biegepfeil lautet: s = L3 3EB F (52) wobei B das Biegemoment oder auch Flächenträgheitsmoment ist. Die Herleitung dieser Formel ndet sich im Demtröder auf S Es gilt also nurmehr die Biegemomente der beiden Trägertypen zu berechnen. a) Das Biegemoment ist hier: d 2 d 2 dz bz 2 = bd3 12 Dabei wird über die Querschnittsäche integriert und z ist die Richtung der Kraft. b) B ist ja bereits in der Angabe angegeben. (53) s = L3 F = cm (5) bed3 s = L 3 E(b 1 d 3 1 b 2d 3 = 21cm (55) 2 )F 8