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1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses allein und insbesondere die Anwendung von Rechnerprogrammen gilt nicht als Lösung. c) Zugelassene Hilfsmittel: Werden für die künftigen Klausuren neu festgelegt. d) Zahlenrechnungen sind mit einer Genauigkeit von mindestens Stellen nach dem Dezimalpunkt durchzuführen. Weitere Hinweise: a) Wer mindestens 3 Punkte erreicht hat, hat bestanden. b) Weitere Infos finden Sie im Internet in dem file allginfo.ps oder allginfo.pdf im Verzeichnis Kolbe 34/. Aufgabe Punkte Ein Betrieb besitzt zwei Abfallverbrennungsanlagen, deren Abgase die Schadstoffe A, B und C enthalten. Während einer Betriebsstunde verbrennt die Anlage I 5 Tonnen Abfall und erzeugt dabei 7g Stoff A, 3g Stoff B und 4g Stoff C, Anlage II Tonnen Abfall und erzeugt dabei 4g Stoff A, 8g Stoff B und 5g Stoff C. Der Betrieb darf aus beiden Anlagen zusammen täglich 8g von Stoff A, 4g von Stoff B und g von Stoff C an die Atmosphäre abgeben. Wieviele Stunden täglich wird man die beiden Anlagen jeweils betreiben, um bei Einhaltung der Vorschriften eine möglichst große Menge Abfall zu verbrennen? Wieviele Tonnen Abfall werden dann verbrannt? Sie dürfen dabei ohne Prüfung davon ausgehen, dass die genannten Nebenbedingungen bereits eine Betriebsstundenzahl 4 implizieren. Hinweise: i) Für die graphische Lösung dieses Aufgabenteils steht Ihnen ein Millimeterpapierblatt zur Verfügung (Es kann aber auch anderes z.b. kariertes Papier benutzt werden). Bei Bedarf kann ein zweites zur Verfügung gestellt werden. ii) Als Mustergerade für die Geraden konstanter Abfallmenge ist die Gerade für die Abfallmenge von 5 Tonnen günstig. Aufgabe,Lösungsvorschlag: Bezeichnen wir mit x die tägliche Betriebszeit von Anlage I und mit y die tägliche Betriebszeit von Anlage I so erhalten wir für die tägliche Schadstoffmenge A: 7x + 4y! 8, B: 3x + 8y! 4 und C: 4x + 5y!. Für die Zeichnung ist es am günstigsten, die Grenzgeraden in Abschnittsform anzugeben: x/4 + y/7 =, x/8 + y/3 =, x/5 + y/4 =.

2 Für die verbrannte Abfallmenge erhalten wir M = 5x + y. Die Gerade mit der (vorgeschlagenen) konstanten GAbfallmenge M = 5 lautet in Abschnittsform x/ + y/5 =. Damit haben wir alle Daten für die graphische Behandlung des linearen Optimierungsproblems zur Verfügung: Der zulässige Bereich ist der von den beiden Koordinatenachsen und den Grenzgeraden eingeschlossene Bereich. (Der Schnittpunkt der ersten und zweiten Grenzgeraden z.b. gehört nicht zum zulässigen Bereich, da er oberhalb der drittten Grenzgeraden liegt.) y G x Da die vorgeschlagene Mustergerade außerhalb des zulässigen Bereiches verläuft, verschieben wir die eingezeichnete Gerade G für M = 5 so weit parallel unten, bis sie den zulässigen Bereich erreicht. Da dies eine Verschiebung in Richtung fallenden Gewinns ist, verschieben wir nur so weit wie nötig, als so weit, bis die Gerade den oder die ersten Randpunkt(e) des zulässigen Bereichs erreicht, also hier durch den Schnittpunkt der ersten und dritten Randgeraden geht. Dieser Schnittpunkt ist die optimale Lösung. Wir lesen mit Millimetergenauigkeit ab: x opt =.4, y opt =.. Anlage I soll also.4 Stunden und Anlage II. Stunden arbeiten, damit eine möglichst große Abfallmenge verbrannt wird, und zwar = 33(t). Aufgabe 9 Punkte a) Prüfen Sie, ob die nachstehenden Folgen konvergent oder bestimmt divergent sind, und

3 3 bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert: a n := n5 3n 3 n 3 6n 6, b n := 4n 6 + n 3 4n 6. b) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren: lim x x 3 + x 6x 3 3x, lim x x 6 x 3 x 9 Aufgabe, Lösungsvorschlag: a) a n := n5 3n 3 n 3 + 6n 6 = n5 3/n n 3 + 6/n /n = für n. 3 + Damit ist die Folge bestimmt divergent mit dem Grenzwert +. b n := 4n 6 + n 3 4n 6 = 4n6 + n 3 4n 6 4n6 + n 3 + 4n 6 = n3 n /n =.5 für n. Damit ist die Folge konvergent mit dem Grenzwert.5. b) Aufgabe 3 x 3 + x 6x 3x = x3 x + /x 6 3/x + 6 = 6 x x 6 lim x 3 x 9 für x. (x 3)(x + ) = lim x 3 (x 3)(x + 3) = lim x + x 3 x + 3 = = Punkte a) Bestimmen Sie alle Extremstellen der folgenden Funktion, und prüfen Sie an jeder der ermittelten Stellen, ob ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum vorliegt: g(x) := 4x 3 + 6x 36x + 6. b) Ein Monopol sieht sich einer Nachfrage N(p) = 3 p 4 gegenüber, auf die es seine Produktion genau einstellen will, d.h. die produzierte Menge ist q = N(p). Die Kostenfunktion sei und damit gilt K(q) := K(N(p)) = + 6q für q 3, + q für 3 < q N(p) für.5 p < N(p) für p <, Prüfen Sie, ob es einen Preis p gibt, für den der Gewinn g(p) := p N(p) K(N(p)) maximal wird, und bestimmen Sie gegebenenfalls diesen Preis.

4 4 Aufgabe 3, Lösungsvorschlag: a) g (x) = x + x 36 = (x + x 3) und g (x) = 4x + = (x + ) existieren auf ganz R, und g hat als einzige Nullstellen x = = 6 und x = = 5. Da nun g ( 6) = () < und g (5) = > ist, liegt bei x = 6 ein relatives Maximum und bei x = 5 ein relatives Minimum vor. b) g(p) := 3 p 3 ( + 3 p 4 ) für.5 p < ( + 8 p 4 ) für p <, g (p) := 9 p p 5 für.5 p <, 7 p 5 für < p <, Nullstellen von g (p) im Intervall.5 p < : 9 p p 5 =! 9p + 8! = p =.3 / [.5, ) 3 Nullstellen von g (p) im Intervall < p < : 9 p p 5! = 9p + 7! = p = 8 (, ) Somit ist p := 8 die einzige Nullstellen von g (p). Wir bilden dann Funktionswerte und z.t. Grenzwerte an dieser Nullstelle der Ableitung, an der Randstelle.5 und an der Nahtstelle, bei der die Ableitung mindestens nicht direkt nach den Ableitungsregeln bestimmbar ist: g(8) = =., g(.5) = g(.5+) = =.33, g() = g(+) = = 7. Außerdem müssen wir noch weitere Grenzwerte berücksichtigen: g( ) = =.33, g( ) = lim p (3 p 3 8 p 4 ) = =. Der größte dieser gesammelten Funktionswerte und Grenzwerte ist offenbar.33 und wird an der Stelle p =.5 als Funktionswert (und nicht nur als Grenzwert) angenommen und nur dort. Damit ist p =.5 der eindeutig bestimmte Preis, bei dem der Gewinn maximal wird. Aufgabe 4 6 Punkte Bei dieser Aufgabe ist mit Genauigkeit von mindestens drei Stellen nach dem Dezimalpunkt zu rechnen: Bei einem Ratensparvertrag wird ein nomineller Jahreszinssatz von 7.5% vereinbart. a) Es werden vom. Januar 5 bis zum. September am. Januar,. Mai und. September jeden Jahres jeweils Euro eingezahlt. Über welchen Betrag kann am 3.. verfügt werden, wenn die Zinsen am Ende jeden Dritteljahres gutgeschrieben werden?

5 5 b) Statt der dritteljährlichen Einzahlung und Zinsgutschrift soll am Anfang jeden Jahres ein fester Betrag R vom. Januar 5 bis zum. Januar bei jährlicher Zinsgutschrift eingezahlt werden. Wie groß muss R sein, damit am 3.. über einen Betrag von 75 Euro verfügt werden kann? Aufgabe 4, Lösungsvorschlag: a) Bei dritteljährlicher Zinsgutschrift kann man vollständig mit Dritteljahren (wobei die Dritteljahre von 5 mit eingeschlossen sind) statt mit Jahren als Zeitabschnitte rechnen: ( Zinsfaktor: q 3 := ) =.5, Zahl der Dritteljahre: 7 3 =. 3 Es wird am Anfang des Dritteljahres eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. Endkapital: K = R q 3 q 3 q 3 =.5.5 = b) (Jahres )Zinsfaktor q := + 7.5/ =.75. R = K 7(q ) q(q 7 ) = (.75 7 ) = Aufgabe 5 5 Punkte Ein Kredit in Höhe von Euro soll mit festen jährlichen Beträgen A zurückgezahlt werden, und zwar jeweils am Ende des Jahres. Der Zinssatz betrage 9%. Wie groß muss A sein, damit der Kredit nach Jahren vollständig abgezahlt ist? Wie hoch ist am Ende des ersten, wie hoch am Ende des letzten Jahres der reine Tilgungsbetrag? Aufgabe 5, Lösungsvorschlag: Es wird ein konstanter Betrag (Annuität) zurückgezahlt: A = = Tilgungsbetrag am Ende des ersten Jahres: = Restschuld am Ende des vorletzten Jahres: S 9 = =.4. Tilgungsbetrag am Ende des ersten Jahres: =.3. (Eine genauere Rechnung liefert den Betrag von Euro.4, also von der Restschuld am Ende des vorletzten Jahres.) Aufgabe 6 4 Punkte In eine Anlage, die 4 Jahre lang betrieben wird, werden 3 Euro am Anfang des ersten Jahres investiert. Es wird ein Jahreszinssatz von % zugrundegelegt. Die in den vier Jahren

6 6 erwarteten Einzahlungsüberschüsse, die jeweils am Jahresende dem Betrieb zufließen, seien alle gleich. Über welchem Wert muss der in jedem Jahr erzielte Einzahlungsüberschuss R sein, damit sich die Investion lohnt? Aufgabe 6, Lösungsvorschlag: Mit E :=-investierte Summe= 3 4 und den konstanten Einzahlungüberschüssen E k = R, k =,, 3, 4 erhalten wir für den Kapitalwert v = E + R 4 k = 3 + R k= ( ) = 3 + R 3.4 wobei wir den Diskontfaktor := q =. =.89 verwendet haben. Die Investition lohnt sich genau dann, wenn v > ist, also wenn R > 3/3.4 = ist. Aufgabe 7 4 Punkte Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Vektoren 4 a := 3, a := gegeben. und den Flächeninhalt des von a und a aufgespannten Parallelogramms. Aufgabe 7, Lösungsvorschlag: a = ( 4) = 9, a = + () + = 5. Für den Winkel ϕ(! [, π]) zwischen den Vektoren a und a gilt cosϕ = a a a a = () = 45 =.8 Damit erhalten wir: ϕ = arccos(.8) =.48 (im Bogenmaß, entspricht 85.4 ). (Bei Rechnung mit mehr als Stellen nach dem Dezimalpunkt erhält man ) a a = 4 3 = 3 () ( 4) ( 4) () 3 Damit erhalten wir für den Flächeninhalt des Parallelogramms F = a a = = 44 =. = Aufgabe 8 9 Punkte a) Bestimmen Sie die Integrale: 3 x + dx, 6x für x <, f(x) dx mit f(x) := 4x + für x.

7 7 b) Untersuchen Sie, ob das folgende uneigentliche Integral existiert, und berechnen Sie in diesem Fall seinen Wert. Aufgabe 8, Lösungsvorschlag:: x + dx. a) Da x + im Intervall [ 3, ] keine Nullstelle hat, ist der Integrand in diesem Intervall definiert und stetig, und wir erhalten: 3 x + dx = [ln x + ] 3 = ln ln =.69 f(x) dx = f(x) dx + = [ x 3] + [ x + x ] = + + = 6 f(x) dx = 6x dx + (4x + ) dx b) a + x dx = = + a für a ()+ a [ ( + x) ( + x) / /+ dx = / + ] a = / / Das uneigentliche Integral ist damit konvergent und hat den Wert. ( + a)/ /

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