Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 4. Übung

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1 FKULTÄT FÜR MTHEMTIK Pof. D. Patizio Neff Chistia Thiel Lösugsvoschlag zu de Hausaufgabe de 4. Übug ufgabe 1: 6 Pute I eiem Lad ist jede Stadt mit jede adee duch geau eie Staße vebude, wobei alle Staße Eibahstaße sid. Zeige Sie: I diesem Lad existiet eie Stadt, die vo jede adee Stadt diet duch eie Staße ode übe de Umweg geau eie Stadt übe zwei Staße eeichba ist. Hiweis: Eie Sizze hilft sichelich. be sie eicht icht als eweis. Lösug: Wi zeige u pe vollstädige Idutio übe N, dass jedes Lad mit Städte, welches die obige ediguge bezüglich de Eibahstaße efüllt, auch die Eigeschaft sichestellt, dass eie de Städte vo alle adee übe maximal eie Stadt Umweg zu eeiche ist. Fü das oete Lad de ufgabestellug ee wi zwa die zahl de Städte icht, abe ist diese ubeate zahl eie atüliche Zahl, somit wid mit dem Idutiosbeweis auch de eweis fü die ufgabe ebacht. Idutiosafag = 1: Tivial, es gibt eie adee Stadt als die eie. Idutiosvoaussetzug: Eie Mege vo Städte habe u die Eigeschaft, dass es i ih eie Stadt gibt, die vo alle adee diet ode de Umweg übe eie Stadt eeicht wede a, ode ades ausgedüct: Dass wi die Mege de Städte disjut aufteile öe i die Mege, die u ethält, eie Mege ud eie Mege. lle Städte i habe eie diete Weg ach, alle Städte i habe eie diete Weg zu eie Stadt i sost wäe sie icht übe u eie Stadt Umweg mit vebude. Situatio fü Städte: Idutiosschitt + 1: Situatio fü + 1 Städte: Fall 1 Fall.i Fall.ii s Habe wi u eie Mege vo + 1 Städte gegebe, so ee wi ei beliebiges Elemet daaus s. Di estliche Städte lasse sich ach Idutiosvoaussetzug i {}, ud aufteile. Nu gibt es etwede Fall 1 eie Staße vo s ach, da ist vo s diet zu eeiche, vo alle Städte i diet ud vo alle Städte i übe eie Umweg eie Stadt i. Somit efülle die + 1 Städte die zu beweisede Eigeschaft. Ode es gibt eie Staße vo ach s, da fühe etwede Fall.i alle Staße zwische eiem Elemete aus ud s s s 1

2 vo ach s ode Fall.ii es gibt eie Stadt i, zu de die Staße vo s hi veläuft. Im Fall.i ist s vo diet zu eeiche, vo alle Städte i diet ud vo alle Städte aus übe de Umweg eie Stadt aus. So ist s die Stadt, die vo alle adee eeicht wid. Im Fall.ii ist vo s übe de Umweg de eie Stadt i zu eeiche, vo alle Städte i diet ud vo alle Städte i übe de Umweg eie Stadt i. So ist die Stadt, die vo alle adee eeicht wid. I beide Fälle existiet somit eie Stadt, die übe maximal eie Stadt Umweg vo de adee eeicht wid ud die + 1 Städte efülle die zu beweisede Eigeschaft. ufgabe : ++4 Pute Zeige Sie: Sei N, da gilt a = 0, 0 1 b ist duch 6 teilba, c mit 0 x 1 fü {1,..., }: 1 x 1 x. Wa gilt hie auch das Gleichheitszeiche? Lösug: a Defiiee wi := 0 fü < 0 ud fü >, da gilt fü alle, N0 : = ud wi öe ohe Idutio diet auseche: = = = = = = 0 b Wi fome um = + 5 = = = Nu hat beim Teile duch etwede de Rest 0 ode 1, beim Teile duch 3 etwede de Rest 0, 1 ode. Hat beim Teile duch de Rest 0, so ist duch teilba, bei Rest 1 ist + 1 duch teilba. Hat beim Teile duch 3 de Rest 0, so ist duch 3 teilba, bei Rest 1 ist 1 duch 3 teilba, bei Rest ist + 1 duch 3 teilba. Isgesamt ist sowohl duch, als auch duch 3 teilba ud so duch 6 teilba. 6 ist außedem duch 6 teilba, so ist auch die Summe ud damit duch 6 teilba. c Wi betachte zuächst fü alle N 0 ud x 0, 1] d.h. x 0 die ussage 1 x = 1 x 1 ud 1 x > 1 x. Fü = 0 gilt die ussage de Gleichheit 1, da gilt 1 x = 1 = 1 0 = 1 x.

3 Fü = 1 gilt die ussage mit Gleichheit 1, da gilt 1 x = 1 x 1 = 1 x. Fü = gilt die ussage mit Gößegleich, da gilt 1 x = 1 x 1 1 x = 1 x 1 x + x 1 x = > 1 x 1 x = 1 x. Wi zeige u die ussage mit Gößegleich pe vollstäde Idutio übe : Idutiosafag = : Idutiosvoaussetzug: s.o. Sei N ud gelte fü dieses. Idutiosschitt + 1: Ute de Idutiosvoaussetzug gilt fü x +1 = x = 1 x 1 x +1 =0 = 1 x +1 =0 > 1 x = 1 x. x Ute de Idutiosvoaussetzug gilt fü x +1 < x = 1 x 1 x +1 IV > 1 x 1 x +1 = 1 x x +1 + x x = 1 x + +1 > 1 x. x x +1 } {{ } Somit gilt ach dem Pizip de vollstädige Idutio fü alle N ud die ussage 1 x > 1 x mit x 0, 1] fü alle {1,..., }. Lasse wi u auch x = 0 zu ud betachte u x [0, 1]: Wege de Kommutativität vo + ud i R öe wi ohe Eischäug aehme, dass usee x so sotiet sid, dass sämtliche x, die gleich Null sid, als letzte omme ; dass es also ei m {0,..., } gibt, sodass x 1,..., x m 0, 1] ud x m+1,..., x {0} sid fü m = 0 bedeutet dies x 1 = x =... = x = 0, fü m = bedeutet dies x 0 fü alle {1,..., }. Nu ist 1 x = m 1 x ud 1 x = 1 m x, 3

4 da fü x = 0 die Fatoe 1 x Eis ud die Summade x Null sid. Fü {1,..., m} gilt u ach Kostutio x 0, 1] ud somit de obige Teil des eweises. Wi wisse somit: Fü m = 0 ud fü m = 1 gilt wie obe gezeigt die Gleichheit, fü m Gößegleich. Zusammegfasst: Wi habe bewiese: Es gilt fü alle N ud x [0, 1] fü {1,..., }: 1 x 1 x. Gleichheit gilt geau da, we höchstes ei {1,..., } mit x > 0 existiet we also alle x bis auf maximal eie gleich Null sid. ufgabe 3: 6 Pute eweise Sie pe vollstädige Idutio, dass fü alle N ud x 1, x,..., x R gilt: x1 x... x x 1 + x x. Hiweis: Sie wede feststelle, dass Sie mit gewohte Idutio icht zum Efolg omme. Vesuche Sie deshalb, die ussage zuest fü alle = 1,, 4, 8, 16,..., also fü alle Zweiepoteze zu zeige. schließed zeige Sie och: Falls die ussage fü eie atüliche Zahl > 1 gilt, so gilt sie auch fü 1. Habe Sie damit die ussage fü alle N bewiese? Lösug: Wi beweise die usage pe vollstädige Idutio übe alle atüliche Zahle. Idutiosafag = 1: Idutiosafag = : tivial Wege x 1, x > 0 ud somit x 1 + x > 0 öe wi äquivalet umfome: x1 x x 1 + x 4x 1 x x 1 + x 4x 1 x x 1 + x 1 x + x 0 x 1 x 1 x + x 0 x 1 x. Idutiosvoaussetzug: Sei gegebe. Es gilt sowohl x 1 x x1+x als auch x 1 x... x x 1+x +...+x. Idutiosschitt : Ute de Gültigeit de Idutiosvoaussetzug gilt x 1... x x x = x1... x x x IV: IV: = x1... x + x x x x x x + x x. Wähle wi N so, dass = gilt, so habe wi mit dem Idutiosafag = die ussage fü = 1 gezeigt, de Idutiosschitt wid zu + 1 ud wi habe die ussage ach dem Pizip de vollstädige Idutio übe fü alle Zweiepoteze = gezeigt. Nu weite wi die usage auf alle atüliche Zahle aus: Idutiosschitt 1: Wi habe u 1 x 1... x 1 x x 1 1 x1... x 1 a x x 1 + a 1 etachte wi die Idetität 1 = = bigt. lso wähle wi a := x 1... x 1 ud ehalte zu zeige ud öe dafü ausutze. Wie habe wi u a zu wähle, damit us dies geligt?, die 1 a = a = a 1 a fü a > 0 mit sich 4

5 1 x 1... x 1 = x 1... x 1 1 x 1... x 1 IV x x x 1... x 1 was sich äquivalet zu 1 1 }{{ 1 x 1... x 1 x x 1 } = 1 umfomt. Ei beidseitiges Multipliziee mit ufgabe 4: 4+ Pute 1 a Seie, ussage. Wi beweise eie Impliatio liefet da die zu zeigede Ugleichug. diet, idem wi ute ahme de Gültigeit vo die Gültigeit vo schließe, pe Kotapositio, idem wi ute ahme de Nichtgültigeit vo die Nichtgültigeit vo schließe idiet, idem wi aehme, dass icht gilt ud ute ahme de Gültigeit vo eie Widespuch heleite. Sid zudem die ussage de Impliatio vo abhägig, öe wi fü alle atüliche Zahle och pe vollstädige Idutio beweise, idem wi die Gültigeit vo 1 1 zeige ud ute de Gültigeit de Impliatio auf die Impliatio schließe. eweise Sie zu Übug die folgede ussage fü atüliche Zahle : ugeade ugeade, idem Sie alle vie Pizipie eimal awede emeug: eie atüliche Zahl ist ugeade geau da, we es eie Dastellug = m 1 mit m N gibt! Hiweis: eweise Sie etwa die Richtug ugeade ugeade diet ud duch vollstädige Idutio ud die Richtug ugeade ugeade idiet ud duch Kotapositio seie sie totz ode geade wege de Ählicheit diese beide eweise seh päzise i Ihe usfühuge! b Ode Sie folgede lltagsagumetatioe de vie eweispizipie zu! Welche omme Ihe ehe üstlich vo ud welche wede tatsächlich so im Spachgebauch vewedet? i Es hat bestimmt die gaze Woche icht geeget, als wi im Ulaub wae. Stell di vo, es hätte geeget! Da wäe de Rase saftig gü ud die lume wüde schö blühe. Sieh u, wie sie stattdesse die Köpfe häge lasse ud wie vetocet das Gas ist! ii We wi gleich de teuee Heizessel aufe, öe wi auf Daue jede Mege Geld spae. Estes ist e effiziete als de billige Kessel ud zweites habe wi de ja viel läge. Wi espae us daduch, alle paa Jahe eie eue zu aufe. iii I de Koffe passt bestimmt alles hiei! Selbst we e scho fast voll ist ei Dig meh a ma imme och hieistopfe! iv eadette hat de Zug ewischt. Da ist sie wohl heute etwas fühe aufgestade. De we sie icht füh aufsteht, da ewischt sie auch de Zug icht. Lösug: a Wi zeige zuest die Richtug ugeade ugeade auf zwei te: Diet: Sei ugeade. Da a ma scheibe als = m 1 mit m N. Wi ehalte: = m 1 = 4m 4m + 1 = m m + 1. Nachdem m m N 0 gilt, ist also ebefalls ugeade. Vollstädige Idutio: Idutiosafag: = 1. Nachdem 1 = 1 eie ugeade Zahl ist, ist de Idutiosafag gezeigt. Idutiosvoaussetzug: Wi ehme a, dass die ussage ugeade ugeade fü ei bestimmtes N scho gilt. 5

6 Idutiosschitt: Wi müsse zeige, dass da auch die ussage + ugeade + ugeade ichtig ist. Sei also + ugeade. Daaus folgt, dass auch ugeade ist. Nach Idutiosvoaussetzug ist da auch ugeade. Es gibt also eie Dastellug = m 1 mit m N. + = IV = m = m lso ist auch + ugeade. Wi zeige jetzt die Richtug ugeade ugeade auf zwei te: Idiet: Wi setze u also voaus: ugeade. geomme, wäe da icht ugeade. Da muss abe gelte, dass geade ist eie atüliche Zahl bleibt ja sost ichts übig. Daaus folgt, dass ei m N existiet mit = m. = m = 4m = m Damit ist auch eie geade Zahl, was ei Widespuch zu Voaussetzug ugeade ist. Kotapositio: statt ugeade ugeade zu zeige, zeite wi jetzt geade geade. Wi setze u also voaus: geade. Daaus folgt, es existiet ei m N mit = m. = m = 4m = m. Damit ist also auch geade ud wi sid fetig. emeug: eim eweis duch Kotapositio wid im Gegesatz zum idiete eweis ei Widespuch hegeleitet, sode statt de ussage die ussage bewiese!!! uch we Ihe de Uteschied seh spitzfidig voommt ud das ist e zweifellos, hadet es sich doch um uteschiedliche Dastellugsfome eies eweises. b I de Reihefolge: Idiet Diet Idutio Kotapositio. Die zweite Fage lässt sich wohl u subjetiv beatwote. lle diese gumetatiosfolge öe im lltag voomme. m ugewöhlichste ist wohl die Kotapositio. Klaeweise sid die eizele gumetatioe icht logisch saube die ufgabe soll lediglich aufzeige, dass die vie eweismuste pizipiell auch i de Umgagsspache wedug fide, wegleich sie i de Mathemati päzise gehadhabt wede müsse. 6