Wachstums- und Zerfallsprozesse. Mathematische Beschreibung natürlicher Prozesse

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1 Wachstums- und Zerfallsprozesse Mathematische Beschreibung natürlicher Prozesse

2 Definition Bei Wachstumsvorgängen ändern sich eine oder mehrere Wachstumsgrößen im Verlauf eines Prozesses, die Größe selbst ist dabei von der Geschichte des Prozesses abhängig.

3 Einleitung Tagtäglich werden wir mit Wachstums- und Zerfallsprozessen konfrontiert. Die Beispiele sind vielfältig und oftmals sehr komplex. Beispiele für Wachstums- und Zerfallsvorgänge sind: - Wachstum und Verfall biologischer Systeme, Pflanzen, Tiere, Menschen - Größe von Populationen (Ausbreitung und Aussterben) - Wertverfall und Wertsteigerung, - Zu- und Abnahme von Vermögen - Ausbreitung von Gerüchten - Wissenszuwachs, Vergessensrate - Kettenbriefe, Schneeballsysteme - radioaktiver Zerfall

4 Einteilung Unterscheidung nach der Art des Wachstums diskretes Wachstum: Die Wachstumsgröße ändert sich sprunghaft. z.b. Zunahme des Geldvermögens in der Sparbüchse, sie verändert sich mindestens in Centstufen sprunghaft, Zwischenwerte existieren nicht. stetiges Wachstum: Die Wachstumsgröße ändert sich kontinuierlich. z.b. Ausbreitung eines Ölteppichs auf der Meeresoberfläche, er breitet sich fliessend und nicht sprunghaft aus.

5 Einteilung Unterscheidung nach den Randbedingungen unbeschränktes Wachstum: Die Wachstumsgröße kann beliebig groß oder klein werden. beschränktes Wachstum: Die Wachstumsgröße ist begrenzt und kann ein Maximum nicht überschreiten und ein Minimum nicht unterschreiten.

6 Beispiele Einfache Beispiele für Wachstumsprozesse können leicht konstruiert werden und sind einfach zu beschreiben. Josefspfennig (nach Dirk Müller) Josef hat bei der Geburt Jesu einen Euro cent bei der Sparkasse von Judäa zu einem Zinssatz von 5% eingezahlt. Das Sparbuch wurde 2012 gefunden und die Zinsen nachgetragen. Der Finder hebt das Geld ab und kauft sich dafür Gold zum Preis von 45 pro Gramm. Wie groß ist der (würfelförmige) Goldklumpen? Wie viel Geld hätte man bis 2012 insgesamt angespart, wenn Josef die Zinsen am Jahresende immer wieder abgehoben hätte und unter der Matratze versteckt hätte?

7 Startkapital k 0 =0,01, Jahreszins5 k 0 =0,01 k 1 =0,01 5 0,01 =0,01 1,05=0, k 2 =0,0105 1,05=0, k 3 =0, ,05=0, k 4 =0, ,05=0, k 5 = k 2012 =? Im Ergebnis entsteht eine Folge von Zahlen, wobei das Kapital für ein Jahr jeweils aus dem Kapital des Vorjahres berechnet wird. Allgemein gilt: k n 1 =k n 1,05,k 0 =0,01, n N Eine solche Rechenvorschrift zur Erzeugung einer Zahlenfolge nennt man rekursive Bildungsvorschrift. Dabei wird ein Glied der Zahlenfolge aus den Werten der Vorgänger berechnet. (recurrere, lat zurücklaufen)

8 Startkapital k 0 =0,01, Jahreszins5 k 0 =0,01 k 1 =0,01 5 0,01 =0,01 1,05=0, k 2 =0,0105 1,05=0,01 1,05 1,05=0,01 1,05 2 k 3 =0,01 1,05 2 1,05=0,01 1,05 3 k 4 =0,01 1,05 3 1,05=0,01 1,05 4 k 5 =0,01 1, k 2012 =0,01 1, Im Ergebnis entsteht eine Folge von Zahlen, wobei das Kapital für ein Jahr jeweils unabhängig von den Werten aus den anderen Jahren berechnet wird. Allgemein gilt: k n =0,01 1,05 n, n N Eine solche Rechenvorschrift zur Erzeugung einer Zahlenfolge nennt man explizite Bildungsvorschrift. Dabei wird ein Glied der Zahlenfolge unabhängig von den anderen Gliedern berechnet. (exlicatio, lat ausdrücklich)

9 Nach Gutschrift aller Zinsen beträgt das Guthaben also: k 2012 =0,01 1, =4, Bei einem Goldpreis von 45 / g kannman also 4, / g =9, g Gold davon kaufen. DaGoldpreis eine Dichte von19 g hat,ergibt sicheingoldvolumen von 3 cm 9, =5, cm 3. 19g/cm 3 Wenn es sichdabei um einwürfelvolumen handelt,dannhat dieser eine Kantenlänge von: 3 5, cm 3 =3, cm 3, m =3,7 10 7km = km!!!!

10 Wenn Josef die Zinsen von 0,0005 jedes Jahr abhebt und den Cent auf dem Konto lässt, dann hat er nach 2012 Jahren ein Guthaben von: k 2012 =0, ,0005 =1,016 Welche Schlussfolgerungen ziehen wir aus diesen Ergebnissen? Ein Geldsystem, das auf Zinseszins basiert, erzwingt ein grenzenloses Wachstum der Geldmenge. Diese steigt letztendlich soweit an, dass kein realer Gegenwert zur Geldmenge mehr existiert und Zinsen nicht mehr erwirtschaftet werden können. Das Geldsystem hat also eine begrenzte Lebensdauer. Es muss zu einem Kollaps oder Reset kommen. -Inflation -Währungsreform -Vermögensvernichtung (Enteignung)

11 Aufgabe1: Ein Kapital von 7500 wird mit einem Zinssatz von 3,5% jährlich verzinst. Es werden keine weiteren Beträge eingezahlt oder abgehoben. a) Um welche Art von Wachstum handelt es sich? b) Berechnen Sie das Kapitalwachstum für die nächsten 10Jahre! c) Nach wie vielen Jahren steigt das Kapital über an? a) Das Wachstum ist diskret und unbegrenzt. b) Genau wie beim Problem des Josefspfennig haben wir zwei unterschiedliche Möglichkeiten der Lösung. rekursive Bildungsvorschrift explizite Bildungsvorschrift k 0 =7500,k n 1 =1,035 k n,n N k n =7500 1,035 n,n N Für viele Prozesse kann man die rekursive Bildungsvorschrift leichter finden, für viele Prozesse existieren auch keine expliziten Bildungsvorschriften. Die rekursive Bildungsvorschrift ist jedoch rechenintensiver. Tk, Zahlenfolgenmenü

12 Als Ergebnis entsteht eine Folge von Zahlen, die die Entwicklung des Kapitals beschreibt. k 0 =7500 k 1 = = k 2 = = k 3 =k k 2= k 4 =k k 3 = k 5 = k 6 = k 7 = k 8 = k 9 = k 10 =

13 Rekursion: Das Wachstum beginnt mit dem Startwert k 0 =7500. Für die folgenden Jahre sind immer wieder die selben Rechenschritte nötig um aus dem Kapital des Vorgangsjahres das Kapital des Folgejahres zu berechnen. Es gilt: k n 1 =k n k n=k n 0,035 k n k n 1 =1,035 k n k n 1 Kapital des Folgejahres k n Kapital des Vorgängerjahres n Index 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

14 Rekursion mit CAS

15 Rekursion mit CAS Der Classpad bietet mehrere Möglichkeiten, um die Aufgabe zu lösen. Konstantenautomatik im Main-Menü Tabellenkalkulation Zahlenfolgenmenü (Finanzmathematik)

16 Rekursion im Main-Menü - Konstantenautomatik 1. Eingabe des Startwertes 2. Eingabe des Rekursionsterms unter Verwendung von Ans 3. Durch fortgesetztes EXE werden die Kapitalvermögen der Folgejahre berechnet

17 Rekursion mit der Tabellenkalkulation 1. Eingabe des Startwertes in Feld A1 2. Eingabe des Rekursionsterms in Feld A2 mit =A1*1, Term in weitere Felder kopieren.

18 Zahlenfolgen-Menü 1. Im Hauptfenster kann die Rekursionsformel und der Startwert festgelegt werden 2. Im Menüpunkt kann der Startwert 0 und Endwert 10 festgelegt werden. 3. Durch den Button wird die Berechnung der Zahlenfolge vom 0-ten bis zum 10-ten Glied gestartet

19 Aufgabe 2.1 Herr Müller nimmt bei einer Bank einen Verbraucherkredit über zu einem Zinssatz von jährlich 4,5% auf. Diesen möchte er in Raten von 3000 jährlich zurückzahlen. a) Berechne die Laufzeit des Kredites! b) Wie viel hat Herr Müller insgesamt an die Bank zurückgezahlt?

20 Lösung 2.1 Rekursionsformel a 0 =30000 a 1 =a a Die neue Kreditsumme a 1 setzt sich aus der Kreditsumme a 0, den zu zahlenden Zinsen, abzüglich der Rate von 3000Euro zusammen. Die Rekursion ergibt sich also zu: a n 1 =a a a n 1 =1,045 a n 3000 a 0 =30000 Als Startwert wählen wir 0 und als enigermaßen sinnvollen Endwert 100Jahre. a n 1 =1,045 a n 3000, a 0 =30000, n=0,1,2, N

21 Lösung 2.1 Die Formel wird eingegeben und der erste negative Kontostand ermittelt. Die Laufzeit beträgt 14 Jahre. Insgesamt wurden zurückgezahlt: S 3000 = S 3000 =

22 Aufgabe 2.2 Frau Meier kann zur Rückzahlung des selben Kredits nur 2000 an Raten jährlich aufbringen. Berechne ebenfalls die Laufzeit und die Gesamtrückzahlungssumme.

23 Lösung 2.2 In der Rekursionsformel muss nur der Wert für die Rate angepasst werden. Der Kredit läuft nun 26Jahre und Die zurückgezahlte Gesamtsumme beträgt S 2000 = S 2000 =

24 Aufgabe 2.3 Untersuche, wie die Ratenhöhe und die Gesamtrückzahlungssumme bei sonst gleichen Kreditbedingungen miteinander zusammenhängen. Verändere dazu die Höhe der Rate und trage die Ergebinsse in eine Wertetabelle ein. a) Fertige ein Diagramm an, dass die Abhängigkeit der Gesamtrückzahlungssumme von der Ratenhöhe zeigt. b) Interpretiere das Diagramm und beschreibe dabei den Zusammenhang möglichst genau!

25 Lösung 2.3 Nach dem vorhergehenden Schema können nun weitere Ratenhöhen verwendet werden, um die Abhängigkeit der Rückzahlungssumme von der Höhe der Rate zu verdeutlichen. Ausgewählt werden weitere Raten in Höhe von 4500, 4000, 3500, 2500,

26 Lösung 2.3 Rate 4500 Laufzeit 9 Jahre Rückzahlungssumme S 4500 = S 4500 =

27 Lösung 2.3 Rate 4000 Laufzeit 10Jahre Rückzahlungssumme S 4000 = S 4000 =

28 Lösung 2.3 Rate 3500 Laufzeit 12Jahre Rückzahlungssumme S 3500 = S 3500 =

29 Lösung 2.3 Rate 2500 Laufzeit 18Jahre Rückzahlungssumme S 2500 = S 2500 =

30 Lösung 2.3 Rate 1500 Laufzeit 53Jahre Rückzahlungssumme S 1500 = S 1500 =

31 Lösung 2.3 Rate 1000 Laufzeit unendlich Da die Rate von 1000 nicht einmal die fälligen Zinsen von 1350 decken würde, hätte der Kunde nach 100Jahren zurückgezahlt und eine Restschuld von Die Rate muss also höher als 1350 sein. (IWF EL)

32 Lösung 2.3 Damit ergibt sich die folgende Aufstellung: S 1500 = S 2000 = S 2500 = S 3000 = S 3500 = S 4000 = S 4500 =

33 Aufgabe 3

34 Lösungen zur HA

35 Lösungen zur HA 2. Der Wachstumsprozess ist stetig und begrenzt. Der Zusammenhang scheint linear zu sein und kann deshalb nicht für alle Zeiten gelten, da er begrenzt sein muss. Die Sinnhaftigkeit von Prognosen außerhalb der Zeitspanne von muss also geprüft werden und ist zumindest zweifelhaft. Der Zusammenhang kann nicht mit einer Zahlenfolge (rekursiv oder explizit) dargestellt werden, da diese nur diskrete Werte liefert. Mit einer Funktion kann der Zusammenhang sehr gut dargestellt werden, z.b.: K=f t =0.8 t 265 ; DB={t R ;60 t 95} K=f t =0.8 t 1255 ; DB={t R ;1960 t 1995}

36 3. Zeit t in Jahren seit vorgegebene CO 2 - Konzentrationen K in ppm berechnete CO 2 -Konzentration aus der Funktionsgleichung Abweichung Die gefundene Funktionsgleichung beschreibt das Anwachsen der CO 2 -Konzentration scheinbar sehr gut. 4. K= f t =0.8 t 265 K 85 =0, =333 Die Funktionsgleichung ergibt für das Jahr 1985 eine CO 2 - Konzentration von 333ppm. 5. K t = =0,8 t 265 solve t=65 Die Funktionsgleichung ergibt für das Jahr 1965 eine CO 2 - Konzentration von 317ppm.

37 6. Die CO 2 -Konzentration steigt um 0,8ppm pro Jahr an. (Anstieg m der linearen Funktion) 7. K t = =0,8 t 265 solve t=231,25 Die Funktionsgleichung ergibt für das Jahr 2131 eine CO 2 - Konzentration von 450ppm = : K 50 =0, = = : K 106 =0, =349,8 Die aus der Funktionsgleichung berechneten Werte weichen sehr stark von den wahren Messwerten ab, sie sind in beiden Fällen zu klein. Der gefundene Zusammenhang gilt, wenn überhaupt, nur innerhalb der Grenzen des Datenmaterials, also für den Zeitraum von 1960 bis 1995 und ist für Prognosen über diesen Zeitraum hinaus ungeeignet. Das Ergebnis aus Aussage 7 hat keinerlei Aussagekraft.

38 Schlussfolgerungen Diskretes Wachstum kann durch Zahlenfolgen sehr gut beschrieben werden. Die Bildungsvorschrift kann dabei rekursiv oder explizit sein. Stetiges Wachstum kann nur durch Funktionen vollständig beschrieben werden, Zahlenfolgen sind ungeeignet. Die Bildungsvorschrift ist dann eine Funktionsgleichung f(x). Für Prognosen muss sichergestellt sein, dass die Beschreibung des Wachstumsprozesses auch für den Prognosebereich gültig ist. Die Prognose ist oftmals mit einer Unsicherheit verbunden, die abzuschätzen ist (Trefferwahrscheinlichkeit, Schwankungsbereich).