Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU 2002

Transkript

1 Prüfung aus Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik MASCHINENBAU Ein Chemiestudent hat ein Set von 10 Gefäßen vor sich stehen, von denen vier mit Salpetersäure Stoff A), vier mit Glyzerin Stoff B) und zwei mit t-butyl-aluminium Stoff C) gefüllt sind. Es ist bekannt, dass durch das Mischen von jeweils zwei verschiedenen Substanzen eine Explosion hervorgerufen wird. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student bei zufälligem Zusammenschütten zweier der 10 Gefäße eine Explosioan verursacht? b) Eine Explosion hat stattgefunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Stoff A dabei war? Lösung: a) Man berechnet diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit: P Explosion) 1 P keineexplosion) Zu keiner Explosion kommt es dann, wenn der Student nur gleiche Stoffe miteinander vermischt also A mit A, B mit B und C mit C). D.h. also: und es ergibt sich: P keineexplosion) P Explosion) , 71 b) Hier verwendet man die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit: P StoffA Explosion) P StoffA Explosion) P Explosion) Das Gewicht einer Papierrolle stammt aus einer Normalverteilung mit µ 5 kg und kg. a) Der Hersteller möchte angeben, dass mit %-iger Wahrscheinlichkeit eine Rolle schwerer als x kg, wie groß ist x? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gesamtgewicht von 10 solcher Rollen größer als 49 kg ist?

2 c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht einer Rolle 4.9 kg übersteigt? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Rollen höchstens 2 schwerer als 4.9 sind? Lösung: Sei X das Gewicht einer Papierrolle, dann ist X N 5, ) a) Es soll gelten: P X > x) 0.9. Das heißt: x µ P X > x) 1 P X x) 1 Φ 0.9 Da 1 Φ z) Φ z) ist, folgt aus x 5 1 Φ 0.9, dass Φ x 5 ) 0.9 gilt. Aus der Tabelle der Zahlenwerte der Standardnormalverteilung liest man den Wert ab, für den obige Gleichung erfüllt ist und erhält: Φ 1.28) 0.9 Womit folgende Beziehung gelten muss: 1.28 x 5 Daraus kann man sich nun x berechnen: x b) Die Summe von N unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt mit µ N N µ und N 2 N 2. Sei G die Zufallsvariable für das Gewicht von 10 Rollen, dann ist G normalverteilt mit µ G und G G N 50, ) Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht von 10 Rollen größer als 49 kg ist: 49 µg P G > 49) 1 P G 49) 1 Φ G Φ 1 Φ ) 10 )) 1 1 Φ 10 Φ 3.16)

3 c) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht einer Rolle 4.9 kg übersteigt wird folgendermaßen berechnet: 4.9 µ P X > 4.9) 1 P X 4.9) 1 Φ 1 Φ 1 Φ 1) 1 1 Φ 1)) Φ 1) d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Rollen höchstens 2 schwerer als 4.9 sind? Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Rolle schwerer als 4.9 kg ist, wurde in c) berechnet und beträgt %. Man hat es hier also mit einer Binominalverteilung mit n 10 und p zu tun. P max. 2 Rollen schwerer als 4.9) P Genau 0 Rollen > 4.9) + P Genau 1 Rolle > 4.9) + P Genau 2 Rollen > 4.9) 10 p 0 1 p) p 1 1 p) p 2 1 p) p) p 1 1 p) p 2 1 p) Es soll die radioaktive Verschmutzung eines Wasserversorgungssystems untersucht werden. Der obere Grenzwert für natürliche Radioaktivität ist 5 Pikocurie pro Liter Wasser. Eine Stichprobe vom Umfang n ergab einen Mittelwert von x 4.51 Pikocurie und eine Standardabweichung von s 0.54 Pikocurie pro Liter. a) Bestimmen Sie ein 95% Konfidenzintervall für µ. b) Testen Sie die Hypothese H 0 : µ > 5 zum Signifikanzniveau Welche Schlüsse ziehen Sie? Lösung: Sei X das Gewicht einer Papierrolle, dann ist X N 5, ) a) Es gilt: n, x 4.51 und s Ein 95% Konfidenzintervall für µ ist gegeben durch: [ x t n 1;1 2 s n, x + t n 1;1 2 Mit t n 1;1 2 t 23; aus der Tabelle gilt: s n [ , [ ,

4 b) Es ist ein t-test beim Einstichprobenproblem durchzuführen. Der Gaußtest kann nicht angewandt werden, da die Varianz unbekannt ist und nur aus der Stichprobe geschätzt wurde. Einseitige Hypothese für µ 0 5: H 0 : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 Es kann natürlich auch H 0 : µ µ 0 gegen H 1 : µ > µ 0 getestet werden, solange die Interpretation stimmt.) Teststatistik: T x µ 0 s n Mit x 4.51, µ 0 5, s 0.54, n und 0.01 ergibt sich für die Realisation der Teststatistik: t Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn t t n 1; t 23;0.01 t 23; ist. Da t t n 1; ist, wird H 0 verworfen. 4. Um den Zusammenhang des Alters von Kastanienbäumen mit ihren Stammdurchmessern zu untersuchen werden bei 25 Kastanienbäumen das Alter in Jahren auf Grund der Jahresringe) und der Stammdurchmesser in Metern gemessen. Mit Hilfe des nachstehenden SPSS-Ausdrucks beantworten Sie folgende Fragen: a) Wie lautet der geschätzte lineare Zusammenhang zwischen Stammdurchmesser x und mittlerem) Alter y? b) Interpretieren Sie das Bestimmtheitsmaß und geben Sie eine Schätzung von 2. c) Geben Sie ein 95% Prognoseintervall für das Alter eines Baumes mit 0.8m Durchmesser und für das mittlere Alter eines Baumes mit 0.8m Durchmesser an. d) Testen Sie, ob einer der Modellparameter a oder b gleich 0 gesetzt werden kann. Lösung: a) Regressionsgerade a 0.362, b ): y x b) Der Wert R des Bestimmtheitsmaßes bedeutet, dass 77.7% der Gesamtvariabilität duch Regression erklärt werden, der Rest 23.3%) wird durch besondere Schwankungen verursacht. Insgesamt erklärt also ein linearer Zusammenhang die gemessenen Daten zeimlich gut. Schätzung für 2 abzulesen aus der ANOVA-Tabelle:

5 c) 95% Prognoseintervall für das Alter yx): [â + ˆbx s.e. Y x)) t n 2,1 /2, â + ˆbx + s.e. Y x)) t n 2,1 /2 wobei s.e. Y x)) n + x x)2 n 1)s 2 x Setzt man die Werte ein x 0.8, n 25, t 23; , x 0.583, 31, 505, 0.05, s 2 x 2561), ergibt sich: s.e. Y x)) 5, und damit das Prognoseintervall: [ , Das 95% Prognoseintervall für den Erwartungswert Ŷ x) berechnet sich nach der Formel: [ â + ˆbx ) s.e. Ŷ x) t n 2,1 /2, â + ˆbx ) + s.e. Ŷ x) t n 2,1 /2 ) wobei s.e. Ŷ x) 1 ˆ + x x)2 n n 1)s 2 x ) Setzt man auch hier die Werte ein, ergibt sich: s.e. Ŷ x) und somit das Prognoseintervall: [ , d) Die Signifikanzen für die beiden Tests finden sich in der Tabelle der Koeffizienten der Regressionsgerade. Test auf H 0 : a 0 gegen H 1 : a 0: Signifikanz p 0.9 > für alle vernünftigen ). Also kann die Hypothese a 0 nicht verworfen werden, und a kann gleich 0 gesetzt werden. Test auf H 0 : b 0: Signifikanz p 0.0 <. Also muss die Hypothese b 0 verworfen werden.