Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 5

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1 Georg Nöldeke Herbstsemester 203 Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 5. Hinweis: Der gewinnmaximierende Preis ist im Fall konstanter Grenzkosten in der Höhe von c nach der inversen Elastizitätenregel durch die Lösung der Gleichung oder alternativ durch die Gleichung p c p = ɛ(p ) p = + /ɛ(p ) c Alternativ könnte man die Monopollösung auch aus der Formulierung als Mengensetzungsproblems erhalten. Dazu müsste man aber zunächst die Marktnachfragefunktionen invertierten, um die Preis-Absatz-Funktionen zu erhalten. Diesen Aufwand kann man sich sparen. (a) Die Preiselastizität dieser Nachfragefunktion ist konstant gleich 2, so dass der gewinnmaximierenden Preis durch p = /2 c = 2c = 4 gegeben ist. Die entsprechende Monopolmenge ist y = D(4) = 60/6 = 0; der Monopolgewinn ist π = [4 2] 0 = 20. (b) Die Bestimmung des Monopolpreises erfolgt auf die gleiche Weise wie in der vorhergehenden Teilaufgabe, nur dass die konstante Elastizität nun 3 beträgt: p = /3 c = 3 2 c = 3. Die entsprechende Monopolmenge ist y = D(p ) = 540/27 = 20. Der Gewinn ist π = [3 2] 20 = 20. (c) Die Preiselastizität dieser Nachfragefunktion ist (vgl. mit Aufgabe 3 von Aufgabenblatt ) ɛ(p) = 2p/(p + ). Also gilt für den gewinnmaximierenden Preis p c p = p + 2p 2p 2c = p + p = + 2c = 5. Die entsprechende Monopolmenge ist y = /36. Der Monopolgewinn ist π = [5 2]/36 = 3/36 = /2. 2. Hinweis: Da die Preis-Absatz-Funktion gegeben ist und die Grenzkosten nicht konstant sind, bietet es sich an, das Mengensetzungsproblem zu betrachten. Die Bedingung erster Ordnung des Mengensetzungsproblems ( Grenzerlös gleich Grenzkosten ) ist: 2 2y = 2y. Hieraus bestimmt sich die Monopolmenge als y = 3. Den Monopolpreis p = 9 erhält man durch Einsetzen der Monopolmenge in die inverse Nachfragefunktion. Der Monopolgewinn ist π = p y c(y ) = 27 3 = 4.

2 3. Der Lerner-Index ist ( )/6000 = 2/3. Handelt es sich bei 6000 um den Monopolpreis, so ist die Preiselastizität der Marktnachfrage durch 3/2 =.5 4. Der Monopolpreis kann durch die Lösung des Preissetzungsproblems max[p c τ]d(p) p bestimmt werden. (Aus Sicht des Monopolisten ist die Mengensteuer äquivalent zu einer Erhöhung seiner Grenzkosten um den Betrag τ.) Die Bedingung erster Ordnung für den Monopolpreis [p c τ]d (p ) + D(p ) = 0 liefert hier [p 5 τ] p = 0 20p = τ p = τ. so dass der Monopolpreis bei Einführung einer Mengensteuer in Höhe von τ um den Betrag τ/2 ansteigt. 5. Allfällige Fixkosten können bei der Beanwortung der Frage ignoriert werden, da sie keinen Einfluss auf die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems haben. In den folgenden Berechnungen wird daher unterstellt, dass dem Kabelfernsehanbieter keinerlei Kosten entstehen, so dass sein Gewinn mit seinem Erlös übereinstimmt. (a) Da alle Konsumenten identisch sind, kann der Kabelfernsehanbieter (wie bei der perfekten Preisdiskriminierung) die gesamte Konsumentenrente abschöpfen und dadurch den maximalen Gewinn erzielen. Hierzu ist zum einen, da die Grenzkosten gleich Null sind, p = 0 und zum anderen Z = kr 2 (0) zu setzen, wobei kr 2 (p) die Konsumentenrente ist, welche ein Kunde erzielt, der keine Grundgebühr zu zahlen hat. Es verbleibt, die Konsumentenrente kr 2 (0) zu bestimmen. Da die Nachfragefunktion eines Konsumentens durch d 2 (p) = 0 p gegeben ist, bestimmt sich die Konsumentenrente (nach der bekannten Dreiecksformel) als kr 2 (p) = (0 p) 2 /2. Insbesondere gilt kr 2 (0) = 50, so dass dieses die optimale monatliche Grundgebühr ist. Diese Grundgebühr entspricht zugleich dem Gewinn, welcher der Anbieter pro Kunde im Monat erzielt. (b) Die zusätzlichen Kunden besitzen eine geringere Zahlungsbereitschaft als die zuvor betrachteten Kunden; insbesondere ist ihre Konsumentenrente durch kr (p) = (8 p) 2 /2 Es gibt so zwei Kandidaten für die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Es könnte, erstens, optimal sein, nur die Kunden mit hoher Zahlungsbereitschaft zu bedienen. In diesem Fall sind die zuvor bestimmten Werte p = 0 und Z = 50 diejenigen, die zu dem höchsten Gewinn führen. Wenn n die Anzahl von Kunden in jeder der Gruppen bezeichnet, so ist der aus dieser Vorgehensweise resultierende Gewinn 50n. Es könnte, zweitens, optimal sein, die Grundgebühr und den Preis so zu wählen, dass alle Kunden ein Abonnement erwerben. Hier lässt sich der höchste Gewinn dadurch erzielen, dass die Grundgebühr als kr (p) festgesetzt und p als die Lösung von max [2kr (p) + p [d (p) + d 2 (p)]] n p gewählt wird. Der Ausdruck, der hier maximiert werden soll, ist nichts anderes als der Gewinn des Monopolisten, da er kr (p) + pd (p) an jedem der n Kunden der Gruppe sowie kr (p) + pd 2 (p) an jedem der n Kunden der Gruppe 2 verdient. Nun gilt: 2kr (p) + p [d (p) + d 2 (p)] = (8 p) 2 + p [8 2p], 2

3 so dass die Bedingung erster Ordnung für die optimale Wahl von p durch [ (6 2p) + 8 4p] n = 0 p = gegeben ist. Die dazugehörige Grundgebühr ist Z = kr () = Der resultierende Gewinn ist [49 + 6] n = 65n. Da 65n > 50n ist, sind die gewinnmaximierenden Werte durch p = und Z = (a) Die Monopolmenge in Land ist durch die Bedingung MR (y ) = 00 2y = 20 als y = 40 bestimmt. Der dazugehörige Monopolpreis ist p = 60. Die Monopolmenge in Land 2 ist durch die Bedingung MR 2 (y 2 ) = 80 4y 2 = 20 als y 2 = 5 bestimmt. Der dazugehörige Monopolpreis ist p 2 = 50. (b) Um diese Frage zu beantworten, ist es zunächst erforderlich, die Menge zu bestimmen, welche der Monopolist absetzt, wenn er in beiden Ländern den gleichen Preis p setzt. Diese Menge ist durch D(p) = D (p) + D 2 (p) gegeben, wobei D i (p) die bei Preis p nachgefragte Menge in Land i ist. Im relevanten Preisbereich gilt D (p) = 00 p sowie D 2 (p) = 40 p/2. (Die vorhergehenden Marktnachfragefunktionen erhält man durch Invertieren der vorgegebenen Preis-Absatz-Funktionen). Also ist die aggregierte Nachfrage in diesem Bereich durch D(p) = 40 3p/2 Die entsprechende Preis- Absatz-Funktion ist p(y) = 280/3 2y/3. Die Monopolmenge ist durch die Bedingung 280/3 4y/3 = 20 als y = 55 bestimmt. Der dazugehörige Monopolpreis ist p = 70/3. (c) Der Gewinn des Monopolisten fällt durch das Verbot der Preisdiskriminierung. Mit Preisdiskriminierung erzielt der Monopolist einen Gewinn in Höhe von 40 2 = 600 in Land ; 2 in Land 2 erzielt er einen Gewinn in Höhe von 5 30 = 450. Insgesamt beträgt sein Gewinn mit Preisdiskriminierung also 2050 = 2300/6. Ohne Preisdiskriminierung ist der Gewinn des Monopolisten 55 0/3 = 0 2 /6 = 200/6. Der Gewinn des Monopolisten fällt also um 200/6 = 300/9. Die Konsumenten in Land profitieren von dem Verbot der Preisdiskriminierung, da der Preis von 60 = 80/3 auf 70/3 fällt. Der hieraus resultierende Zugewinn an Konsumentenrente in Land beträgt 0/ (0/3) 2 /2 = 0/3 25/3 = 250/9. Die Konsumenten in Land 2 werden durch das Verbot der Preisdiskriminierung schlechter gestellt, da der Preis von 50 = 50/3 auf 70/3 steigt. Der hieraus resultierende Verlust an Konsumentenrente in Land 2 beträgt 20/3 70/6+20/3 0/6 = 20/3 80/6 = 800/9. Beachte, dass der aggregierte Handelsgewinn durch das Verbot der Preisdiskriminierung steigt, da 250/9 > 300/ /9 und somit der Zugewinn an Konsumentenrente in Land den Verlust an Produzentenrente und Konsumentenrente in Land 2 übersteigt. Zu diesem Schluss hätte man auch ohne die Berechnung von Konsumenten- und Produzentenrenten kommen können, da die aggregierte Menge in beiden Situationen 55 beträgt. Das Verbot der Preisdiskriminierung sorgt dafür dass diese (zu geringe) Gesamtmenge effizient unter den Konsumenten aufgeteilt wird und somit die höchstmöglichen aggregierten Handelsgewinne aus der Produktion dieser 55 Einheiten erzielt werden. Relevant sind hier die Preise zwischen den Monopolpreisen 50 bzw. 60, die mit Preisdiskriminierung resultieren, da nur Preise in diesem Bereich für den Monopolisten optimal sein können. 2 Der Gewinn ist hier und in den folgenden Berechnungen jeweils als Produkt von abgesetzter Menge mit dem Stckgewinn p 20 bestimmt. 3

4 7. Die Formel für die Gleichgewichtsmengen in einem Cournot-Duopol ist y = a c 3b. Hier gilt a = 20, c = 2 und b = 2. Es folgt y = 3. Die Gesamtproduktionsmenge ist also Y = 2y = 6. Setzt man diese Menge in die Preis-Absatz-Funktion ein, erhält man den Gleichgewichtspreis: p = p(y ) = = 8, so dass der Gleichgewichtspreis 8 ist. Der Stückgewinn beträgt daher p c = 8 2 = 6, so dass der Gleichgewichtsgewinn eines Unternehmens durch 6 y = 8 gegeben ist. 8. Die Formel für den Gleichgewichtspreis in einem symmetrischen Cournot-Oligopol mit n Unternehmen ist p = a + nc n +, wobei a der vertikale Achsenabschnitt der Preis-Absatz-Funktion ist und c die identischen konstanten Stückkosten der Unternehmen bezeichnet. Laut Aufgabenstellung gilt n = 5, a = 80 und p = 20. Setzt man diese Zahlenwerte in die obige Formel ein, erhält man: 20 = c 6 Die zu bestimmenden Stückkosten sind also 8. c = (a) Die Produktionsmenge eines einzelnen Unternehmens im symmetrichen Nash-Gleichgewichtes eines Cournot-Oligopols mit n Firmen ist y = n + a c. b Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung gilt hier a = 0, b = und c = 2, so dass y = 8 n +. gilt. Der Gleichgewichtsgewinn eines Unternehmens ist durch π n = [0 ny 2] y F = 64 (n + ) 2 F (b) Die Gleichgewichtsgewinne sind streng fallend in n und erfüllen π 3 = 4 3 = > 0 > π 4 = 64/25 3 = /25. Somit werden langfristig genau 3 Unternehmen in dem Markt aktiv sein. (c) Mit der gleichen Logik wie in der vorhergehenden Aufgabe folgt nun, dass 4 Unternehmen in dem Markt aktiv sein werden, da gilt. π 4 = 64/25 2 > 0 > π 5 = 64/36 2 4

5 Aggregierte Handelsgewinne ohne Subvention: In dem Cournot-Gleichge- wicht mit 3 Unternehmen werden insgesamt 6 Einheiten des Gutes zum Preis von 4 verkauft, so dass die aggregierte Konsumentenrente 36/2 = 8 beträgt. Die aggregierte Produzentenrente beträgt (unter Berücksichtigung der Marktzutrittskosten, die hier als variabel anzusehen sind) 3, so dass die aggregierten Handelsgewinne gleich 2 sind. Aggregierte Handelsgewinne mit Subvention: In dem Cournot-Gleichge- wicht mit 4 Unternehmen werden insgesamt 32/5 Einheiten des Gutes zum Preis von 8/5 verkauft, so dass die aggregierte Konsumentenrente 32 6/25 = 52/25 beträgt. Die aggregierte Produzentenrente beträgt (wieder unter Berücksichtigung der Marktzutrittskosten) 4 (64/25 2) = 56/25, so dass die Summe aus aggregierter Konsumentenrente und aggregierter Produzentenrente gleich 568/25 ist. Hiervon sind jedoch noch die Subventionszahlungen in Höhe von 4 = 00/25 abzuziehen, so dass sich ein aggregierter Handelsgewinn von 468/25 < 2 ergibt. Durch die Subventionszahlung werden also die aggregierten Handelsgewinne reduziert. Bemerke: Die Subventionierung des Markteintritts kann auch positive Effekte auf die aggregierten Handelsgewinne haben. Betrachte z.b. den Fall F = 7. Ohne Subvention tritt dann kein Unternehmen ein; die aggregierten Handelsgewinne sind Null. Wird eine Subvention in Höhe von 2 gezahlt, wird ein Unternehmen in den Markt eintreten und 4 Einheiten zum Preis von 6 verkaufen. Die resultierende aggregierte Konsumentenrente ist 8. Die Produzentenrente ist. Insgesamt entsteht also ein Handelsgewinn von = (a) Setzen alle Unternehmen den gleichen Preis, so hat jedes Unternehmen den Marktanteil /N, verkauft also an L/N Konsumenten. Der resultierende Erlös ist pl/n, die Kosten sind cl/n F, so dass der Gewinn [p c]l/n F ist. Bei freiem Marktzutritt erzielen alle aktiven Unternehmen Nullgewinne: L N L[p c] [p c] F = 0 N =. F Also werden [p c]l/f Unternehmen im Markt aktiv sein. (b) Eine Erhöhung des Preises führt zu einem Anstieg der Anzahl aktiver Unternehmen. Da bereits bei dem langfristigen Wettbewerbspreis zu viele Unternehmen im Markt aktiv sind, führt ein Anstieg von p über dieses Niveau hinaus zu einer Verringerung der aggregierten Handelsgewinne. (c) Die optimale Anzahl von aktiven Unternehmen ist t L N = 2F. Damit diese Anzahl von Unternehmen in den Markt eintritt, muss gelten. L[p c] F = t L 2F p = c + t F 2L 5