Wir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2

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1 IV. Teilung und Teilverhältnis im Punktrum ================================================================ 4.1 Der Punktrum Wir wählen einen Punkt O des zwei- zw. dreidimensionlen euklidischen Rums ls Ursprung oder Nullpunkt. 3 c C O 2 1 Die von O usgehenden und zu den Rumpunkten,, C usw. führenden Vektorrepräsentnen O, O, OC usw. nennt mn die Ortsvektoren dieser Punkte zgl. des Ursprungs O. Mn schreit : O =, O = usw. Ergänzt mn O durch eine sis des zwei- zw. dreidimensionlen Vektorrums, dnn erhält mn ein Koordintensystem O ; 1, 2, < 3 >. Die Koordinten des Ortsvektors O = zgl. der sis 1, 2, < 3 > ezeichnet mn uch ls die Punktkoordinten des Punktes zgl. des Koordintensystems. Mn schreit O = =

2 nwendung : Jeder Vektorrepräsentnt lässt sich ls Differenzvektor der Ortsvektoren seiner Endpunkte drstellen. Es gilt : = = O eispiel : Gegeen sind die Punkte , und C3 5 1 Zeige, dss die drei Punkte uf einer Gerden liegen. Lösung : Wir zeigen h C C c 4 2 = = 6 und C = c = 3 = 1 und dmit h C O

3 4.2 Ds Teilverhältnis T t c C O Definition : Liegt ein Punkt T uf der Gerden und ist T, dnn git es ein λ R so, dss T = λ T ist. Mn nennt λ ds Teilverhältnis, in dem T die Strecke teilt und schreit λ = ( ; T) Mn unterscheidet ) innere Teilung : T liegt zwischen und, d.h. T ][ λ 0 ) äußere Teilung : T \ λ < 0 Sind, und t die Ortsvektoren der Punkte, und T, dnn folgt us der Definition t = λ ( t ) t = λ λ t Drus knn mn herleiten 1. erechnung des Ortsvektors des Teilpunktes T ei gegeenem Teilverhältnis t = λ ( + λ ) 2. erechnung des Ortsvektors des zweiten Endpunktes ei gegeenem Teilpunkt und nderem Endpunkt

4 = t + λ = t + 1 λ t 3. erechnung des Teilverhältnisses ei gegeenen, und T Es gilt : Die Punkte, und T liegen genu dnn uf einer Gerden, wenn t 1 1 = t 2 2 = t 3 3 = λ für lle i mit, 1 t 1 2 t 2 3 t i t i 1 i 3 3 λ ist dnn ds Teilverhältnis, in dem T die Strecke teilt. eispiel : Gegeen sind die Punkte (2 3 1), (2 1 5) und C( 2 4 1). ) Zeige, dss, und C uf einer Gerden liegen und erechne ds Verhältnis, in dem C die Strecke [] teilt. Gi die reltive Lge der drei Punkte uf der Gerden n. ) estimme die Koordinten des Punktes D, der die Strecke 1 im Verhältnis teilt. Lösung : 0 ) Es ist C = c = 1 und 0 C = c = 3 und dmit C = 1 d.h. 2 3 C 6 λ C = 1 3. λ C λ C C liegt ußerhl der Strecke [] und näher ei ls ei, d λ C < 0 und C = 1 3 C echte : Die estimmung des Teilverhältnisses erfolgt m esten mit der Definitionsgleichung. ) D = 3 D d = 3 d 2 d = 3

5 und dmit ist der gesuchte Punkt. d = = D 2 0 7

6 4.3 nwendungen ) Mittelpunkt einer Strecke Es ist ( ; M) = 1 und dmit ist der Ortsvektor des M m = 1 ( + ) 2 m ) Schwerpunkt eines Dreiecks C O S s c Die Seitenhlierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt S des Dreiecks und teilen sich im Verhältnis 2 : 1. lso gilt für den Orstvektor und C: s des Schwerpunkts eines Dreiecks C mit den Ecken, (M ; S) = 2 s = c c = c s = 1 3 ( + + c )

7 c) Schwerpunkt eines Tetreders D d C S s c Die Verindungslinien der Eckpunkte eines Tetreders mit dem Schwerpunkt der jeweils gegenüer liegenden Seitenfläche schneiden sich im Schwerpunkt S des Tetreders und teilen sich im Verhältnis 3 : 1.. lso gilt emerkung : s = c + d Im llgemeinen unterscheidet mn Ecken-, Knten, Flächen und Rumschwerpunkte. ei der Strecke fällt der Eckenschwerpunkt mit dem Kntenschwerpunkt, eim Dreieck mit dem Flächenschwerpunkt und eim Tetreder mit dem Rumschwerpunkt zusmmen. eispiel :

8 M 1 2 3, M und M c sind die Mittelpunkte der Seiten eines Dreiecks. estimme die Koordinten der Eckpunkte des Dreiecks. Lösung : Es ist (1) m = 1 2 ( + c ) (2) m = 1 2 ( + c ) (3) m c = 1 2 ( + ) ddiert mn diese drei Gleichungen, dnn ergit sich (4) m + m + m c = + + c 4 us (1) und (4) ergit sich = m + m c m = 5 d. h nlog ergit sich und C4 1 2 d) Hrmonische Teilung T S Definition : Die Punkte S und T teilen die Strecke hrmonisch, wenn ( ; S) = ( ; T)

9 4.4 Teilverhältnis und Projektionen Prllelprojektion z Z T y x ei der Prllelprojektion des Rumes uf eine Eene leit ds Teilverhältnis erhlten d. h. λ( ; T) = λ('' ; T') Zentrlprojektion

10 z Z T y x ei der Zentrlprojektion des Rumes uf eine Eene leit ds Teilverhältnis nicht erhlten. Sind T und S zwei Teilpunkte einer Strecke [], dnn heißt λ( ; T) λ( ; S) ds Doppelverhältnis, in dem T und S die Strecke teilen. Dieses Doppelverhältnis leit ei der Zentrlprojektion erhlten.