Abbildung 1: Versuchsanordnung

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1 7.4.1 ****** 1 Motivation Dieses Experiment verdeutlicht das Kirchhoffsche Gesetz auf äusserst anschauliche Weise. Es wird die Wärmestrahlung eines mit kochend heissem Wasser gefüllten Würfels gemessen, der vier unterschiedliche senkrechte Oberflächen aufweist. 2 Experiment Abbildung 1: Versuchsanordnung Ein Hohlwürfel mit vier unterschiedlichen Seitenflächen wird mit kochend heissem Wasser gefüllt (siehe Abb. 1). Die Wärmestrahlung wird mit einer hochempfindlichen Thermosäule gemessen, die auf einer aktiven Fläche von 2 2 mm Thermoelemente enthält, welche bei Erwärmung eine elektrische Spannung erzeugen, die auf einem Prokischreiber angezeigt wird. Man misst einige Sekunden lang die Abstrahlung und dreht dann den Würfel 90 um seine senkrechte Symmetrieachse zur nächste Oberfläche. Es gilt: A + R = 1 (1) 1

2 A weiss Cr glanz schwarz Al matt weiss Cr glanz schwarz t Abbildung 2: Gemessener Absorptionsgrad A verschiedener Oberflächen. Dabei bedeuten A den Absorptionsgrad 1 und R den Reflexionsgrad; beide Grössen sind dimensionslos. Das Kirchhoffsche Gesetz lautet (siehe auch Gl. (32): E tot s (T ) = AσT 4, (2) wobei Es tot die über alle Wellenlänge integrierte und bei der Temperatur T abgestrahlte Leistung und σ die Stefan-Boltzmann-Konstante bedeuten. Für einen Schwarzen Strahler gilt A = 1 und R = 0 (3) Tabelle 1: Oberflächen des Würfels Nr. Art A R Nr. Art A R 1 schwarz weiss Al, matt Cr, poliert wird auch mit ε bezeichnet 2

3 Man stellt mit Erstaunen fest, dass die mattierte Alumininium- und auch die weisse Oberfläche im Wärmestrahlungsbereich sich beinahe wie ein schwarzer Körper verhalten! 3 Theorie 3.1 Wärmestrahlung Die meisten Körper sind für uns sichtbar, weil an ihnen das Licht reflektiert wird. Wir bemerken: Bei genügend hohen Temperaturen leuchten Körper von selbst: sie glühen. Man spricht dabei von Wärmestrahlung. Bei kurzem Aufenthalt in der Nähe von glühenden Körpern bemerkt man, dass auch ein nicht geringer Anteil der Strahlung als infrarote Strahlung emittiert wird. Jeder Körper emittiert nicht nur Wärmestrahlung, sondern er absorbiert sie auch aus seiner Umgebung. Wenn der Körper wärmer als seine Umgebung ist, so emittiert er mehr Strahlung als er absorbiert. Deshalb kühlt er sich ab. Wenn der Körper kälter als seine Umgebung ist, so absorbiert er mehr Strahlung als er emittiert. Deshalb erwärmt er sich. Die Temperatur des Körpers ändert sich, bis er mit seiner Umgebung ein thermisches Gleichgewicht erreicht. Darunter versteht man den Zustand, bei dem die Absorption und die Emission der Wärmestrahlung gleich gross sind. 3.2 Eigenschaften der Wärmestrahlung Das Spektrum der Wärmestrahlung eines Festkörpers ist kontinuierlich und hängt stark von der Temperatur des Körpers ab. Die Strahlungsintensität (Energie pro Fläche und Zeit) hängt auch vom Material, von der Form und im allgemeinen von den Eigenschaften seiner Oberfläche ab. 3.3 Gesetze der Wärmestrahlung Emissions- und Absorptionsvermögen Bei der Wärmestrahlung handelt es sich um elektromagnetische Wellen, die sich im Vakuum und in (mehr oder weniger) transparenten Medien fortpflanzen. Zwischen Wellenlänge λ und Frequenz ν gilt damit die folgende Beziehung 2 : λν = c (4) Für die Beschreibung der Wärmestrahlung verwendet man Energiedichten, man bezieht also die emittierte Energie auf andere physikalische Grössen, die für die Emission wichtig sind: 2 Meist können wir die Tatsache, dass der Brechungsindex n nicht exakt gleich 1 ist, vernachlässigen. 3

4 Das spektrale Emissionsvermögen E M,ν (ν, T ) (Einheit W/(m 2 Hz)) ist eine 4-fach differentielle Grösse. Sie gibt die von der Fläche da (2 Freiheitsgrade!) eines beliebigen Körpers (Material M) in der Zeit dt im Frequenzbereich dν in den Halbraum (also in den Raumwinkel Ω = 2π sr) ausgestrahlte Energie d 4 W an 3 : E M,ν (ν, T ) d4 W da dt dν d 4 W = E M,ν (ν, T ) da dt dν (6) Das totale Emissionsvermögen EM tot (T ) ist eine 3-fach differentielle Grösse (Einheit W/m 2 ), die man aus dem spektralen Emissionsvermögen durch Integration über alle Frequenzen erhält: E tot M (T ) d3 W da dt = 0 (5) E M,ν (ν, T ) dν (7) Das (dimensionslose) spektrale Absorptionsvermögen A M (ν, T ) gibt das Verhältnis von absorbierter zu eingestrahlter Energie eines Körpers aus dem Material M bei der Frequenz ν und der Oberflächentemperatur T wieder. Aus dieser Definition folgt 0 A M (ν, T ) 1 (8) Offensichtlich erhält man die gesamte von einem Körper mit der Oberfläche A im Zeitintervall t abgestrahlte Energie durch die Integration über die Oberfläche des Körpers und über die Zeit: W = t 0 A d 3 W da dt (9) da dt Ein Körper wird in der Physik als schwarz bezeichnet, falls für alle Frequenzen ν gilt: A M (ν, T ) = 1 (10) Über das Gesetz von Kirchhoff (siehe Gl. 31) hängt auch das Spektrum der emittierten Wärmestrahlung nur von der Temperatur des Strahlers ab. Dieser ideale Strahler kann im Labor näherungsweise durch einen Hohlraum mit einem kleinen Loch verwirklicht werden. Die Wände des Hohlraums werden auf gleicher Temperatur gehalten (Siehe Abb. 3). (In guter Näherung ist auch die Sonne ein schwarzer Körper: Jeder einfallende Lichtstrahl wird absorbiert.) 3 Zur besseren Unterscheidung vom Emissionsvermögen werden wir in diesem Abschnitt die Energie mit W bezeichnen. 4

5 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS V Wärmestrahlung Hohlraum der Temperatur T Abbildung 6.1: Hohlraumstrahlung. Abbildung 3: Hohlraumstrahlung Strahlungsgesetz von Rayleigh-Jeans Historisch war das Spektrum der Wärmestrahlung ein Rätsel der Physik. Ende des 19. Jahrhunderts suchte man eine Herleitung aus Grundprinzipien, die die experimentelle Spektralverteilung der Wärmestrahlung erklärt. Eine klassische Herleitung, die ursprüngllich auf Lord Rayleigh 4 zurückging und später durch Jeans 5 modifiziert wurde, lieferte das sogenannte Strahlungsgesetz von Rayleigh-Jeans: E s,λ (λ, T ) = 2πc kt Rayleigh-Jeans, (11) λ4 wobei k eine neue Konstante, die Boltzmannkonstante ist. T ist die Temperatur. Wir bemerken, dass die Einheit der Boltzmannkonstante gleich [ ] λ4 E s,λ (λ, T ) m 4 [k] = = 2πcT J s m 3 m s K = ist. D.h., die Einheit der Konstante ist eine Energie geteilt durch eine Temperatur. Mit Hilfe dieser Konstanten kann daher eine Temperatur T in eine Grösse mit der Einheit Energie umgewandelt werden. Die Rayleigh-Jeans-Formel enthielt ein grosses Problem, das als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet wird. Tatsächlich hängt die vorausgesagte spektrale Ausstrahlung vom Inversen der vierten Potenz der Wellenlänge ab. Obwohl die Formel in guter Übereinstimmung ist mit den J K (12) 4 John William Strutt Lord Rayleigh ( ) 5 Sir James Hopwood Jeans ( ) 5

6 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS V E s,λ MW m 2 µm Rayleigh-Jeans T = 6000 K Planck λ/µm Abbildung Abbildung 4: Spektrales 6.1: Spektrales Emissionsvermögen Emissionsvermögen des Schwarzen deskörpers Schwarzen nachkörpers Rayleigh-Jeans nach und nach Planck. Rayleigh-Jeans und nach Planck. experimentellen Resultaten bei Wellenlängen, die grösser als ungefähr nm sind, geht die vorausgesagte Austrahlung nach Unendlich für abnehmende Wellenlängen, d.h., für die hohen Frequenzen. Deshalb wird das Problem als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet. Siehe Abb Plancksche Strahlungsformel Max Planck 6 (siehe Abb. 5) konnte zunächst empirisch die richtige Formel für die Strahlung des Schwarzen Körpers finden. Nur wenig später fand er auch mithilfe der statistischen Mechanik von Ludwig Boltzmann die theoretische Herleitung für sein Strahlungsgesetz. Plancksche Strahlungsformel: Das spektrale Emissionsvermögen eines schwarzen Körpers beträgt: E s,ν (ν, T ) = 2π h c 2 ν 3 e hν kt 1 Planck (13) Wie lautet nun dieses Gesetz, wenn wir statt nach E s,ν (ν, T ) nach der Verteilung E s,λ (λ, T ) bezüglich der Wellenlänge λ fragen? Bei einer Dichteverteilung genügt es nicht, einfach jedes in der Formel auftretende ν durch c/λ zu ersetzen, wovon man sich schon durch eine einfache Dimensionsüberlegung überzeugen kann: Die Einheit von E λ s (λ, T ) ist nämlich statt W/(m 2 Hz). [E s,λ (λ, T )] = W m 3 (14) 6 Max Planck ( ) 6

7 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS V Abbildung 6.1: Max Planck. Abbildung 5: Max Planck. Wir erhalten die richtige Beziehung durch Erweiterung der Gl. 13: E s,λ (λ, T ) d4 W da dt dλ = d4 W da dt dν dν dλ Eν s (ν, T ) dν dλ (15) Da die abgestrahlte Energie stets positiv oder null ist, muss man hier den Absolutbetrag der Ableitung dν/dλ verwenden. Aus der folgenden Gleichung ersieht man nämlich, dass eine Zunahme der Frequenz einer Abnahme der Wellenlänge entspricht, was ohne das Betragszeichen in Gl. 15 bei einer Abstrahlung in der Frequenzdarstellung zu einer Zustrahlung in der Wellenlängendarstellung führen würde! Aus folgt Siehe Abbn. 4 und 6. E s,λ (λ, T ) = dν dλ = c λ 2 (16) 2π hc2 λ 5 1 e hc λkt 1 Mit dem Planckschen Strahlungsgesetz beginnt die moderne Physik. Es tritt eine neue Konstante, das Plancksche Wirkungsquantum auf: (17) h = 6, J s := h 2π = 1, J s = 6, ev s (18) 7

8 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS V E s,λ MW m 2 µm 6000 T/K = λ/µm Abbildung Abbildung 6: Spektrales 6.1: Spektrales Emissionsvermögen Emissionsvermögen des Schwarzen des Schwarzen Körpers nach Körpers Planck und fürnach verschiedene Temperaturen Planck für verschiedene T. Temperaturen T. Das Plancksche Strahlungsgesetz kann nicht aus der klassischen Physik abgeleitet werden; man benötigt dazu die Tatsache, dass das Licht und die Wärmestrahlung, überhaupt alle elektromagnetischen Wellen auch Teilchencharakter haben. Diese Lichtquanten oder Photonen sind durch die folgenden Grössen charakterisiert: Ihre Masse ist verschwindend klein 7. m γ = 0 (19) Energie W γ, Frequenz ν und Wellenlänge λ sind wie folgt verknüpft: W γ = p γ c = h ν = ω = hc λ (20) Die Photonen sind stabil (im Vakuum), tragen keine elektrische Ladung (q γ < e), haben aber einen Eigendrehimpuls oder Spin von (1 ) Das Wiensche Verschiebungsgesetz Man beobachtet experimentell, dass die Wellenlänge λ max, für die die Spektralverteilungsfunktion ein Maximum hat, mit steigender Temperatur abnimmt. Wien 8 zeigte, dass das Produkt λ max T eine Konstante ist. Man misst: λ max T = µm K (21) 7 Die heute bekannte Grenze beträgt: m γ c 2 < ev. 8 Wilhelm Wien ( ) 8

9 Tabelle 2: Oberflächentemperatur und Wellenlänge im Maximum der Strahlungsemission für einige Sterne Stern λ max /nm Farbe T /K Sonne: 500 (Gelb) Sirius: 240 (Blauweiss) Beteigeuze: 850 (Rot) Diese Beziehung wird als Wiensches Verschiebungsgesetz bezeichnet. Es sagt voraus, dass die Wellenlänge des Maximums zum Inversen der Temperatur proportional ist. Dieses Maximum der Ausstrahlung folgt aus der Forderung de s,λ (λ, T ) dλ λ max = := 0 (22) µm K T Beispiel: Welche Temperatur besitzen die Oberflächen von Sternen? Der grösste Teil der Strahlung, die ein Stern emittiert, ist in einem ungefähren thermischen Gleichgewicht mit den heissen Gasen aus den äusseren Schichten des Sterns. Daher kann die Wärmestrahlung (d.h., das Sternenlicht) als Hohlraumstrahlung betrachtet werden. Man misst experimentell die Wellenlängen, für die die Spektralverteilungsfunktion ein Maximum annimmt (siehe Tabelle 2). Die Sterne erscheinen nicht so farbig, weil die Farbempfindlichkeit unserer Augen in der Dämmerung nur gering ist ( Nachts sind alle Katzen grau ). Die Temperaturen haben wir mithilfe des Wienschen Verschiebungsgesetz erhalten, z. B.: T = (23) µm K K (24) µm Mit 5800 K besitzt die Sonnenoberfläche ungefähr die Temperatur, für die der grösste Teil der Wärmestrahlung im sichtbaren Bereich liegt. Dies lässt vermuten, dass sich unsere Augen während der Evolution mit ihrer Empfindlichkeit den Wellenlängen angepasst hat, die in der Sonnenstrahlung mit der höchsten Intensität emittiert werden Gesetz von Stefan-Boltzmann Gesetz von Stefan 9 -Boltzmann 10 : Die Gesamtabstrahlung eines schwarzen Körpers erhalten wir durch Integration des spektralen Emissionsvermögens über alle Frequenzen (oder Wellenlängen): E tot s (T ) = 0 E s,ν (ν, T ) dν = σ T 4 (25) 9 Josef Stefan ( ) 10 Ludwig Boltzmann ( ) 9

10 mit σ = π2 k c 2 = 5, W m 2 K 4 (26) Beispiel: Wir berechnen die von einem nackten Menschen in einen Raum mit einer Temperatur von 20 C abgestrahlte Wärmeleistung. Die Haut wird als ein (idealer) schwarzer Strahler betrachtet, hat eine Fläche von 1,4 m 2 und eine Temperatur von 33 C (sie ist etwas niedriger als die Körpertemperatur): T = 306 K und T 0 = 293 K (27) Damit ist S netto = σ ( T 4 T0 4 ) ( ) = 1 5, W { m 2 K 4 (306 K) 4 (293 K) 4} 80 W/m 2 (28) Für die gesamte von der Oberfläche abgestrahlte Leistung P erhalten wir demnach: P netto = 1,4 m 2 80 W 110 W (29) m2 Diese Leistung entspricht einer abgestrahlten Energie pro Tag von: E = 110 J s s 9,6 MJ (30) oder 2300 kcal pro Tag. Das ist eine recht grosse Energieabgabe. In der Praxis vermindern wir diesen grossen Energieverlust mit unserer Kleidung! Gesetz von Kirchhoff Das Kirchhoffsche Gesetz verknüpft das Emissionsvermögen und das Absorptionsvermögen eines beliebigen Körpers mit der Ausstrahlung des Schwarzen Körpers: E M,ν (ν, T ) A M,ν (ν, T ) = E s(ν, T ) (31) Die Wärmestrahlung realer Körper ist stets kleiner als die des Hohlraumstrahlers (d.h., des schwarzen Körpers) und wird empirisch so ausgedrückt: E tot s (T ) := S(T ) = εσt 4, (32) wobei ε eine dimensionslose Konstante ist, die als der Emissionsgrad des Körpers bezeichnet wird. Für den idealisierten Fall ist ε = 1 (Strahlung schwarzer Körper), und für die realen Körper ist er immer kleiner als eins und oft temperaturabhängig. Der Emissionsgrad kann nicht berechnet werden, sondern wird für vorgegebene Körper gemessen. Die Nettowärmestrahlung eines Körpers mit der Temperatur T ist bei der Umgebungstemperatur T 0 gleich 10

11 S netto = S emittiert S absorbiert = εσt 4 εσt0 4 = εσ ( T 4 T0 4 ) (33) Abbildung 7 zeigt noch eine Übersicht über das gesamte Spektrum der elektromagnetischen Wellen. Bemerkung: Der Emissionsgrad hängt vom Material ab. Reale Materialen emittieren und absorbieren weniger als der idealisierte Hohlraum. Diese Eigenschaft wird mit Hilfe des Emissionsgrads parametrisiert. Man kann z.b. den Schnee erwähnen. Der Schnee besitzt einen kleinen Emissionsgrad. Damit schmilzt der Schnee in den Bergen langsam, obwohl die Sonne sehr hell sein kann. Er reflektiert die Strahlung sehr gut. Dies erklärt, warum man in den Bergen leicht bräunt: Der Schnee wirkt als ein Spiegel und reflektiert das Licht in alle Richtungen. 11

12 338 Physik, FS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich) λ/m ν/hz E/eV 1 fm pm nm µm mm m km 1 Mm 1 ZHz 1 EHz 1 PHz 1 THz 1 GHz MHz 1 khz 1 GeV 1 MeV 1 kev ev mev µev nev pev Abbildung 10.41: Abbildung Das elektromagnetische 7: Das elektromagnetische Spektrum in Spektrum. Funktion der Wellenlänge λ, der Frequenz ν und der Energie E. 12

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