Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17

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1 Folge, Reihe

2 Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4 Miorate, Partialsumme, 7 Reihe absolut kovergete Reihe, 7 alterierede harmoische Reihe, 9 alterierede Reihe, 7 Defiitio, 7 diverget, 7 geometrische Reihe, 8, 9 harmoische, 0 koverget, 7 Leibiz-Reihe, 9 ii

3 Ihaltsverzeichis Formel. Recheregel für Poteze Recheregel für Wurzel Biomische Formel Folge. Grezwert eier Folge Recheregel für Grezwerte Eischließugskriterium Das Reche mit Nullfolge Liste eiiger Grezwerte Grezwert eier Folge Beispiele Aufgabe Lösuge Tests Test Test, Lösuge Reihe 6. Reihe, Kovergez vo Reihe Recheregel für Reihe Geometrische Reihe Aufgabe Harmoische Reihe Reihe, Beispiele Kovergezkriterie iii

4 5.. Notwediges Kriterium für Kovergez Hauptkriterium Quotietekriterium Wurzelkriterium Leibiz-Kriterium Mioratekriterium Majoratekriterium Kovergezkriterie: Zusammefassug, Notatio Beispiele Aufgabe Kovergez eier Reihe Lösuge Geometrische Reihe Kovergezkriterie iv

5 Kapitel Formel. Recheregel für Poteze Für a, b 0 gilt:. Recheregel für Wurzel Regel : b b m = b + m. Regel : b b m = b m,. Regel : b m = b m. Regel 4: a b = a b,.4 Regel 5: a a b = b.5 Regel 6: b 0 =, b = b..6 Wurzel als Poteze mit gebrochee Expoete. Für a, b 0 gilt: a m = a m, a b = a b b 0, a b = a b.7 m a = m a = m a..8. Biomische Formel a + b = a + ab + b, a b = a ab + b,.9 a + b = a + a b + ab + b, a b = a a b + ab b,.0 a b = a ba + b, a b = a ba + ab + b..

6 Kapitel Folge. Grezwert eier Folge.. Recheregel für Grezwerte Seie a ud b kovergete Folge ud sei c eie kostate Zahl, da gilt:... Eischließugskriterium a = a, b = b, c a = c a = c a,. a ± b = a ± b = a ± b,. a b = a b = a b,. a = a = a b b b, b 0,.4 a a 0..5 a = Es seie a, b ud c reelle Zahlefolge mit folgede Eigeschafte: a = a, Da kovergiert die Folge b gege a:... Das Reche mit Nullfolge c = a, 0 : a b c. b = a..6 Falls eie Folge eie Nullfolge ud eie adere eie beschräkte Folge ist, ist das Produkt vo beide Folge eie Nullfolge a = 0, b = b, a b = 0..7

7 .. Liste eiiger Grezwerte = 0,.8 q = 0, q <.9 a =,. Grezwert eier Folge.. Beispiele B = = a R, a > 0,.0 = e c c R.. + = e, u 0 + u u = e, + c 5 = = 5 = = =. B = = = = + + = + + B = = = + 9 =. + 9 = = + 9 B4 5 9 = = = = 5 = 5 4. B = = =.

8 Ma ka de Grezwert dieser Folge auch bestimme, idem ma aus de Terme ud ausklammert ud Zähler ud Neer durch dividiert. =, =, + 7 = = = =. = + 7 = B6 a a = = = =. Die Folge a hat eie Potez mit Basis 4 im Neer ud im Zähler. Durch Divisio vo Neer ud Zähler mit 4 hat a eie Kostate im Zähler ud eie Kostate mit Nullfolge im Neer. B b b = = = = c + 4 = = = = 5. 5 I der Folge b habe wir Poteze mit im Expoete mit Base ud 5. Bei solche Aufgabe teilt ma de Ausdruck durch die Potez mit der größte Basis a = cosπ, b = si π π, c = cos. = 0. Die Folge a, b ud c sid diverget. Die Folge a hat die beide Häufugspukte ud, die Folge b ud c habe die drei Häufugspukte 0, ud. B8 a = cos + 9, 0 cos , + 9 = 0 a = 0. B9 a = cos π + cos π, a cos πk k = + cos πk, a cos πk + k+ = + cos πk +, k a k =, a k+ =. k Die Folge a ist diverget. Sie hat die beide Häufugspukte / ud. 4

9 B0 a = = + = +, + = = = + + = B = + + = + = + = =. B + a = e a a R, = e / = e a =. B B4 a = a = , + = +, = = + +, a = =. + a = Um de Grezwert dieser Folge zu bestimme, wird der gemeisame Faktor / ausgeklammert. I der Klammer steht da die Summe der atürliche Zahle vo bis. S sei die Summe der atürliche Zahle b m vo bis mit S = b =. Diese Summe S bilde eie arithmetische Folge mit der kostate Differez d =. Die m-te Partialsumme eier arithmetische Folge mit m Glieder ist S m = b + b m m/, also = Dadurch ka ma a vereifache: + = a = = = =. 5

10 .. Aufgabe Bestimme Sie die Grezwerte folgeder Folge für : A a = + 4, b = + +, c = A a = 9 7 8, b = 4 + 8, c = , d = + + +, A a = , b = + 7, c = + 6. A4 a =, b = , c = , d =. + 6 A5 a = 4, b = , c = Bestimme Sie die Grezwerte folgeder Folge für : A6 a = + +, b = 4, c = A7 a = d = 4 +, b = , c = 4 +, A8 a =, b =, c =. 6

11 A9 a a = +, b = + b a = 6 + A0 Bestimme Sie de Grezwert der Folge a, c = 7 + 4, b = 6 +, c = 6 +. a = + +. Bestimme Sie die Grezwerte folgeder Folge für :, d = , + 5 A a = 4 +, b = 9, c = 4. A a = +, b = +, c = A a = +, b = + + 5, c = , d = + 4. A4 a =, b =, c = 5 5, d = +. A5 A6 a =, b = 5, c = 4, d = 7 +. a = , b = 5 8, c = 9 + +, d = A7 a = , b = , c =

12 A8 a = , b = , c = A9 a a = cos π +, b = si π, c = cos, d = cos, b a = si, b = π + si, c = cosπ, d = cosπ, A0 a = si si, b =, + π c = cos + π π, d = si 6. A a = 5 + cos π cos π, b + si π = π 4 si. π 4 si π, c = + si Bestimme Sie folgede Grezwerte: A A +! + +!, +! + 4! +! +!, +! + +! +! +! 4,, +, A4 a +, a + +, b + 4 +, c. + 8

13 .. Lösuge L a = b = c = 0. L a = 4, b =, c =, d =, L = 4, b = + 7 =, c = + 6 = 6. L4 a = 4, b = 5, c = 6, d = 0. L5 4 = = 4 7 = 4 7. = 0., = = 0., 4 5 L6 a + = = + = 0, =, = 6. L7 a 4 = + = 4, b 4 = + = 0, c 4 = =, + d = + = 8. L8 Die drei Folge sid diverget. Die Folge a = hat zwei Häufugspukte ud. Die Teilfolge der Folge b =, b k = k ud b k+ = k +, sid ubeschräkt. Eie Teilfolge der Folge c =, c k = k, ist ubeschräkt, die adere Teilfolge c k+ = k + ist eie Nullfolge. 9

14 L9 Kovergiere alle Teilfolge eier Folge gege eie bestimmte Wert, so kovergiert auch die Folge gege diese Wert. a a = +, a k = + k k a k = k k k = k k = 0, a = 0,, a k+ = + k+, k + a + k+ k+ = k k k + b = +, b k = k = 4k, b k+ = b k = b k+ = 0, k k b = 0, k +, 0 = k k + = 0, c = 7 + 4, c k = k, c k+ = k +, d = = c = 0, = 0, b a = = =, b = = + = +. 6 Die Folge b hat zwei Häufugspukte /6 ud /6, ist also diverget. c 6 + = = + =. 6 L0 Wir schätze diese Folge ab ud beutze dabei die Formel Gl..0 auf Seite : < a = + + 4, 4 =, Die Folge a ist also zwische de Folge b = ud c = 4 eigeschlosse siehe Gl..6, die de gleiche Grezwert habe. < a 4, a =. L 4 + = 4, 9 = 6, 4 =. 0

15 L a = + = + 5 = = = = =, + + b = + = = 0, c = = = = = + =. L + = 0, = 5, = 0, + 4 =. L4 = 0, + = = 0, = = 5 5 = 5, + = = =. L5 = 0, 5 = 0, 4 = 0, 7 + = 0. L6 a = 4, b = 4, c = 4, d = 9. L =, =, c = =. + 0.

16 L8 a = 5, b = 45, c =. L9 a Die Folge a, c ud d sid diverget. Die Folge b ist eie kostate Folge, für jedes N ist siπ = 0. L0 b = siπ = 0. b Die Folge a ist das Produkt eier beschräkte Folge si si ud eier Nullfolge /. Der Grezwert eier solche Folge ist ull. Die Folge b, c ud d stelle auch Produkte eier beschräkte Folge ud eier Nullfolge dar ud sid Nullfolge. a = b = c = d = 0. a = b = 0, c = d =. L Die Folge a ud c sid diverget. b =. L +! + +! +! + + = +! +! + + = + 4! +! +! = =, +! +! + +! + +! +! +! = = + = 0, L 4 = e 4 = = + 5 e. e 4, = e / = e, + = e, +

17 L4 + a = + + = + = b = c = + d + + = + + = + + = + = = e = e, = e 4 = e 4 = e = 0, + + = e + = e.

18 . Tests.. Test A A a a + + c + 9 6, b, 7 +, d + + 7, e 4 +, f, b , c 5. 4

19 ... Test, Lösuge L a c = 0, b + = 9, d e 4 + =, f = = 8,. = 5, L a = 0, b = 0, c 5 = e 5. 5

20 Kapitel Reihe. Reihe, Kovergez vo Reihe Defiitio: Reihe Ist a eie beliebige Folge vo Zahle, so wird der formale Ausdruck a = a + a + a als eie Reihe bezeichet, die eizele a sid die Glieder dieser Reihe. Defiitio: alterierede Reihe Eie alterierede Reihe ist eie Reihe, bei der die Reiheglieder abwechseld positiv ud egativ sid, wie zum Beispiel: a wobei die a positive reelle Zahle sid. oder + a. Es ist aber umöglich, uedlich viele Glieder zu addiere. Stattdesse betrachtet ma die Folge S der edliche Partialsumme S = a k. ud utersucht das Verhalte dieser Folge. Existiert der Grezwert k= S = s, so heißt die Reihe koverget mit s als Wert ihrer Summe. Besitzt S keie Grezwert, so heißt die Reihe diverget. Defiitio: absolut kovergete Reihe Eie reelle oder komplexe Reihe a heißt absolut koverget, we die Reihe a der Beträge kovergiert. 6

21 .. Recheregel für Reihe a = a ud b = b sid kovergete Reihe. Da gelte folgede Regel:. Geometrische Reihe. Summeregel. Differezregel. Faktorregel a + a + b = a b = a c a = c b = a + b,.4 b = a b,.5 a = ca..6 Geometrische Reihe ist eie Reihe der Form: a q = a + aq + aq + aq +..., a, q R, a 0..7 =0 Die Zahl q ka positive ud egative Werte aehme, z.b.: q =, a = : = , =0 q =, a = : = , =0 q =, a = : = , Im Folgede wird gezeigt, dass die geometrische Reihe q = + q + q + q q +... =0 =0 für q < kovergiert ud für q > divergiert. S = + q + q + q q, qs = q + q + q + q q, S qs = + q + q + q q q + q + q + q q = q, S qs = S q = q, q < : =0 S = q q q q q = S = q = q, q = 0, Für q < kovergiert die Reihe.7 gege a/ q: a q = a q =0 ud für q > divergiert. Für q = ist die -te Partialsumme der geometrische Reihe S = a + a + a + a a = a..8 7

22 .. Aufgabe A Bestimme Sie das Bildugsgesetzt der folgede Reihe ud bereche Sie de Reihewert, falls die Reihe kovergiert. =0 a b c d A Schreibe Sie die erste vier Glieder der Reihe auf ud bereche Sie de Reihewert: a 4, b 7, c 5, d, e =0 =0 =0 = A Bestimme Sie ob die Reihe kovergiert oder divergiert. Falls die Reihe kovergiert, bestimme Sie de Reihewert. a =0, b 5, c, d =0 =0, e =0 =0 5. A4 A5 a a =0 =0 +, b =0 7 7, b 5 +, c =0 =0 +, c + +, d =0 = , e, d =0 = Harmoische Reihe Im Folgede wird gezeigt, dass die harmoische Reihe / divergiert. Eiige Glieder der harmoische Reihe werde durch kleiere Glieder ersetzt wie folgt: S = k= k = }{{} > = } {{ } > = 4 8 = } {{ 6 } } {{ } +... > = 8 6 = > = > = + } {{ }..9 Terme 8

23 4. Reihe, Beispiele. Die harmoische Reihe / = =..0 5 divergiert gege uedlich, wie zuerst Nikolaus vo Oresme bewies. Leohard Euler hat gezeigt, dass die Reihe / gege die Zahl π /6 kovergiert. = = π 6.. Die allgemeie harmoische Reihe a a > 0. kovergiert für a > ud divergiert für a.. Die alterierede harmoische Reihe kovergiert gege die Zahl l. + = = l.. 6. Die Leibiz-Reihe kovergiert gege die Zahl π/4. 4. Die Reihe /! kovergiert gege die Eulersche Zahl e. =0 + = = π 4..4 =0! = = e Die geometrische Reihe q ist geau da koverget, we q < : =0 =0 q = q..6 9

24 5. Kovergezkriterie 5.. Notwediges Kriterium für Kovergez Ei otwediges Kriterium für die Kovergez eier uedliche Reihe a ist die Bedigug, dass die Summade eie Nullfolge bilde a = 0..7 Diese Bedigug ist zwar otwedig, aber icht hireiched. Ist diese Bedigug icht erfüllt, ka ma mit Sicherheit sage, dass die Reihe icht kovergiert. Ist diese Bedigug erfüllt, ka ma icht mit Sicherheit sage, dass die Reihe kovergiert. Es gibt Reihe, für die das otwedige Kriterium erfüllt ist, die aber trotzdem divergiere. Beispiele: B B B B4 B5 a =, a = = Die Reihe divergiert, da das otwedige Kovergezkriterium icht erfüllt ist. a = Die Reihe divergiert. a = +,, a = + = a = Die Reihe divergiert, ad der Grezwert icht existiert. a = , a + 4 = + 9 = = 0. + / icht existiert = 0. 9 Obiges otwedige Kovergezkriterium ist bei dieser Reihe erfüllt. Demach kovergiert sie möglicherweise. Um aber zu utersuche, ob sie wirklich kovergiert, müsse wir hireichede Kovergezkriterie zur Verfügug habe. a = + 9 5, a + = 9 5 = = Die Reihe divergiert, da das otwedige Kovergezkriterium icht erfüllt ist. 0 = 9.

25 B6 a =, a = = 0. Die Reihe ist die harmoische Reihe. Das otwedige Kovergezkriterium ist für die harmoische Reihe erfüllt. Es ist aber bekat, dass die harmoische Reihe divergiert. 5.. Hauptkriterium Defiitio: Hauptkriterium Eie Reihe a mit positive Glieder ist geau da koverget, we ihre Partialsumme S beschräkt sid. Das heißt, dass es ei M gibt mit S M für alle. Beispiel: Die Reihe /. S. 9 besitzt beschräkte Partialsumme S = + + = + = = = = + < = + + ud ist deswege koverget. Euler hat als erster die Summe dieser Reihe gefude. Sie wird auch als teleskopierede Summe bezeichet. 5.. Quotietekriterium Ma utersucht de Grezwert a + /a eier Reihe a. Falls dieser Grezwert existiert, ka ma Folgedes sage: a + a <, die Reihe ist koverget, a + a =, keie Aussage über Kovergez, a + a >, die Reihe ist diverget. Beispiele: B a =, a =, a + = +, a + a = + =.

26 B B B4 a = a =, a =, a + = a + a = a = a + a = +,!, a =!, a + = + +!, + +!! = + 7, a = 7, a + = + 7 +, = a + a! +! = = 7 = =. + + = 0 <. + = 7 <. Die Reihe kovergiere, da die Grezwerte ach dem Quotietekriterium kleier als sid. I de Rechuge habe wir die Beträge weggelasse, da alle a positiv sid Wurzelkriterium Falls der Grezwert a existiert, lässt sich Folgedes sage:. ist a <, ist die Reihe absolut koverget,. ist a =, lässt sich keie Aussage über Kovergez treffe,. ist a >, ist die Reihe diverget. Beispiele: B a =, a = = <. B Der Grezwert a ist kleier als, die Reihe kovergiert ach dem Wurzelkriterium. a = Die Reihe ist koverget., a = = = 7 <.

27 B a = 4, 4 = 4 = 4 = 4 = <. B4 Mit Hilfe der Formel.0 S. für habe wir gezeigt, dass die Reihe kovergiert. a = +, + = + = + = + = + =, + = =. Eie Etscheidug über Kovergez ist icht möglich, da der Grezwert gleich ist Leibiz-Kriterium Sei a eie alterierede Reihe ud die Folge a der Beträge der Reihesummade eie Nullfolge. Da ist die Reihe koverget. Beispiele: B Die Reihe +, Eq..4 auf Seite 9, ist eie kovergete Reihe: B Die Reihe + = , a = + = 0. = , a = = 0. ist koverget, da sie die Voraussetzuge des Leibiz-Kriteriums erfüllt. B Die Reihe + + = = + + = + + = + +, a = = + = e + =. ist diverget.

28 5.6. Mioratekriterium Defiitio: Miorate Eie Reihe m ist eie Miorate für a, we eie atürliche Zahl 0 N existiert, so dass 0 m a für alle N mit 0. Eie Miorate ist also eie Reihe, dere Summade idexweise kleier oder gleich wie die Summade eier gegebee Reihe sid. Etspreched ist jede -te Partialsumme der Miorate kleier oder gleich der -te Partialsumme der ursprügliche Reihe. Deshalb ergibt sich aus der Divergez der Miorate auch die Divergez der ursprügliche Reihe. Dari liegt die Bedeutug des Mioratekriteriums. Mioratekriterium Beispiele: B B Jede Reihe, für die eie divergete Miorate existiert, ist divergiert. a = +, a = + + = =. Die Reihe / + ist diverget, da sie eie divergete Miorate, /, hat. a = Die Miorate, 7 +, a = = 7 / 7/, ist diverget, da die Reihe / divergiert ud damit auch die Reihe 7/ Majoratekriterium Defiitio: Majorate Eie Reihe M ist eie Majorate für a, we eie atürliche Zahl 0 N existiert, so dass 0 a M für alle N mit 0. Eie Majorate ist also eie Reihe, dere Summade idexweise größer oder gleich wie die Summade eier gegebee Reihe sid. Etspreched ist jede -te Partialsumme der Majorate größer oder gleich der -te Partialsumme der ursprügliche Reihe. Deshalb ergibt sich aus der Kovergez der Majorate auch die Kovergez der ursprügliche Reihe. Dari liegt die Bedeutug des Majoratekriteriums. Majoratekriterium 4

29 Jede Reihe, für die eie kovergete Majorate existiert, ist koverget. Mit Miorate- ud Majoratekriterie ka ma recht kompliziert aussehede Reihe behadel. Beispiele: B Die Reihe si / ist koverget, da für sie eie kovergete Majorate / existiert: a = si, a = si. B a = = = =, a = =. = = = = =, Die Reihe / ist eie kovergete Majorate. Die Reihe 5.8. Kovergezkriterie: Zusammefassug, Notatio Abkürzuge: NK = Notwediges Kriterium für Kovergez QK = Quotietekriterium WK = Wurzelkriterium LK = Leibiz-Kriterium MK = Majorate-, Mioratekriterium = kovergiert. 6. Beispiele I de folgede Beispiele werde wir verschiede Kovergezkriterie awede, um die Kovergez bzw. Divergez eier Reihe zu prüfe. B a = +. 5

30 WK : QK : MK : a = a = + = = + a + a = = = + koverget. + =, = =, Wurzel- ud Quotietekriterium führe hier zu keier Aussage über die Kovergez. Nach dem Majoratekriterium kovergiert die Reihe, da sie eie kovergierede Majorate hat: / = π /6 siehe., S.9. B QK : WK : a + a = + + a = MK : a =, a = = + + = = + = e = = 0 <, kovergiert = e 0 = 0 <, = Wurzel-, Quotiete- ud Majoratekriterium zeige, dass die Reihe kovergiert. Da der Term a die Form... hat, führt das Quotietekriterium schell zum eifache Ausdruck / = 0. B QK : WK : a + = a a = MK : a =, a =. + + = = kovergiert. + = = + / = <, = = <, 6

31 B4 a =. QK : WK : a + a = + + = a = = + + = = + =. =, B5 a = si π/.! Wir schreibe zuerst die erste Glieder der Folge a = si π/ auf si π/ Die erste Glieder dieser Reihe sid also si π/ =!!! + 5! 7! + 9! +... Der Term si π/ bewirkt dass ur die Glieder mit ugerade ugleich Null sid ud dass die Reihe eie alteriert ud i folgeder Form dargestellt werde ka: si π/! Sie kovergiert also ach dem Leibitz-Kriterium. 7. Aufgabe 7.. Kovergez eier Reihe = =0 +!. Bestimme Sie mit Hilfe des Wurzelkriteriums, ob die Reihe kovergiere oder divergiere: A, 9,,,

32 A A a +, b 6 4, 5 7 +,, c 6 +, , d 5 +. A4 Bestimme Sie mit Hilfe des Quotietekriteriums, ob die Reihe kovergiere oder divergiere:!, 5!,!!,!,! 4!.! A5 Bestimme Sie mit Hilfe des Leibiz-Kriteriums, ob die Reihe kovergiere oder divergiere: a d + +, b 5, e + + +, c 4, +. A6 Bestimme Sie mit Hilfe der Miorate- ud Majoratekriterie, ob die Reihe kovergiere oder divergiere: +, + si 0, +, si + cos, 5 +, + +, 5 + +, A7 Bestimme Sie, ob die Reihe kovergiere oder divergiere: a + 5, b + 5, c 5 +, = = d A8, + 5, + 5, + 8, +. A9, =0 +, =,, cos, +. 8

33 A0 + 5, A a , b 4!, c + 8, d

34 8. Lösuge 8.. Geometrische Reihe L L a b c d =0 =0 =0 4 = = = /4 = 4, a =, q = 4, =0 = =0 7 5 = 7 =0 =0 =0 = = = / = 4, a =, q =, = = 7 /5 = 5 4, a = 7, q = 5, =0 =0 = / / = 6 =, 5 e = = =0 = = =0 5 /4 + 4 /5 = = 0. 4 = = L L4 L5 8.. Kovergezkriterie L Diese Reihe kovergiere = = = = = = = <, + = + 5 = = <, = <, = = = 5 <, 0

35 L Diese Reihe kovergiere. 6 4 = 5 = = = 6, 7 7 = = 7. 6 = 4 <, 5 7 = = 7 <, L a b c + = 4 d = >, = = 4 = = e = e <, = 4 = 5 + = 5e >. = 4e = 4 e <. Die Reihe a ud d kovergiere, die Reihe b ud c divergiere. L4!, 5!,!!, a + a a + a a + a! a +,! a = + + = 0 < koverget, = = 0 < koverget, + = + + = <, koverget, 4 4! a +, =, diverget.! a + = + + = <, koverget, 4

36 L5 a b c d e + + = + + = a = = + = e + =, = + + = + = + + a = 4 = 5 = + a = 5 + = = e =, + +, + 4, a = 4 = e 4 = 0, e4 5 5 = 5 = 5 e 5 5 = e 5 5,, 5 = 0 koverget, +, a = + = e 0. Die Reihe a, b, c ud e sid diverget. Die Reihe d kovergiert.

37 L6 b + b +, + +, + a = = = = 5 +, b = = diverget, = 5 = 5 < koverget, diverget, 5, a b : + +, = + koverget, 5 + +, + si 0, si + cos, = 5 + si 0 0 = 0 diverget, 5 + 5, = 0. koverget, si + cos koverget, Die Reihe / + ud / + divergiere, da jeweils die harmoische Reihe / eie Miorate ist. Die Reihe /5 + kovergiert, da ihre Majorate kovergiert. Die Reihe / ud / sid koverget. Die Reihe / ist diverget, die Reihe / ist koverget, ihre Summe ist diverget. Die geometrische Reihe 0. kovergiert, da q = 0. <.

38 L7 a a = + 5 = 4, 4 ist eie divergierede Miorate der Reihe = = + 5, / / 5, b a = + 5 = / ist eie divergierede Miorate der Reihe / = c a = = , = 4 ist eie kovergierede Majorate der Reihe d a = = , ist eie kovergierede Majorate der Reihe Die Reihe a ud b sid diverget, die Reihe c ud d sid koverget. + 5, 5 +, L8 = + 5, + 5 = + 8, / divergiert, da allgemeie harmoische Reihe mit a <, = = LK, kovergiert, + 5/ divergiert wie allgemeie harmoische Reihe mit a =, = 0 LK, kovergiert, + 8/ / + / kovergiert wie allgemeie harmoische Reihe mit a = >. 4

39 L9 + = existiert icht, + = = 0 NK, divergiert, = 0 < WK, kovergiert, = = = < WK, kovergiert, cos = = q, q = MK, kovergiert, + = + = q + q, q = <, q = > diverget, L0 L a b c d = NK, diverget, = 0 4 NK, diverget, , = 0 NK, divergiert, 5 4!, a + a = 4 <, QK, kovergiert, + + 8, = = 9, , MK, divergiert divergiert, 5 + = 5 = 0 < WK, kovergiert. + 5

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