Algorithmische Geometrie: Rest Lokalisierung von Punkten; Voronoi Diagramme (1/2)
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- Siegfried Hauer
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1 Algorithmische Geometrie: Rest Lokalisierung von Punkten; Voronoi Diagramme (1/2) Nico Düvelmeyer WS 2009/2010,
2 Überblick 1 Fertigstellung Kapitel 7 2 Definition Voronoi Diagramm 3 Grundlegende Eigenschaften Voronoi Diagramm 4 Bestimmung des Voronoi Diagramms (Ausblick)
3 Überblick 1 Fertigstellung Kapitel 7 2 Definition Voronoi Diagramm 3 Grundlegende Eigenschaften Voronoi Diagramm 4 Bestimmung des Voronoi Diagramms (Ausblick)
4 Fertigstellung Kapitel 7 Weiter in Vorlesung 8 ab Seite 29
5 Überblick 1 Fertigstellung Kapitel 7 2 Definition Voronoi Diagramm 3 Grundlegende Eigenschaften Voronoi Diagramm 4 Bestimmung des Voronoi Diagramms (Ausblick)
6 Durst in der Wüste
7 Erinnerung Euklidischer Abstand zweier Punkte p, q R 2 dist(p, q) := (p x q x ) 2 + (p y q y ) 2
8 Definition 8.1 Das Voronoi Diagramm Vor(P) von P = {p 1,..., p n } R 2 ist die Aufteilung der Ebene R 2 in n Bereiche B 1,..., B n und zugehörige Kanten, wobei B i := { q R 2 : dist(q, p i ) < dist(q, p j ) j i } =: V(p i ).
9 Visualisierung Voronoi Diagramm
10 Anwendungen Post Office Problem Einzugsgebiete für Kaufhäuser Approximationsalgorithmen übernächstes Kapitel
11 Überblick 1 Fertigstellung Kapitel 7 2 Definition Voronoi Diagramm 3 Grundlegende Eigenschaften Voronoi Diagramm 4 Bestimmung des Voronoi Diagramms (Ausblick)
12 Offene Halbebene h(p, q) := { x : dist(x, p) < dist(x, q) } offene Halbebene Rand: Mittelsenkrechte von pq Seite: enthält p
13 Beobachtung 8.2 V(p i ) = h(p i, p j ) 1 j n,i j konvexes polygonales Gebiet gegebenenfalls unbeschränkt maximal n 1 Ecken und Kanten
14 Satz 8.3 Sei P eine Menge von n Punkten der Ebene. Sind alle Punkte in P kollinear, dann besteht Vor(P) aus n 1 parallelen Geraden. Andernfalls ist Vor(P) zusammenhängend, und alle Kanten sind Strecken oder Strahlen. Beweis. Kanten: Strecken, Strahlen oder Geraden Kante k := V(p i ) V(p j ) Gerade g P kollinear p l P: p i, p j, p l nicht kollinear Mittelsenkrechte von p j p l schneidet g h(p l, p j ) g nicht Rand von V(p j ) Wäre Vor(P) nicht zusammenhängend durch Bereich V(p i ) zerlegt V(p i ) hätte zwei parallelen Randgeraden
15 Satz 8.4 n 3, P = n. Vor(P) hat e 2n 5 Ecken k 3n 6 Kanten Beweis. für P kollinear: siehe Satz 8.3 Eulersche Polyederformel m e + m f m k = 2 m f = n Flächen; m e = n + 1 Knoten: P {v } m k = k Kanten: ggf. zu v verbogen (e + 1) + n k = 2 doppeltes Abzählen Kanten-Knoten-Inzidenzen: 2k 3(e + 1) = 3(2 + k n) = 3k 3n + 6 k 3n 6, e = 1 + k n 2n 5
16 Notation C P (q) q R 2, P R 2 C P (q) := Kreis mit Mittelpunkt q maximaler Radius im Inneren keine Punkt aus P
17 Satz 8.5 Sei P eine Menge von Punkten der Ebene. Dann gelten folgende Aussagen. 1. Ein Punkt q ist Ecke von Vor(P) genau dann, wenn der Rand von C P (q) mindestens drei der Punkte von P enthält. 2. Die Mittelsenkrechte von p i und p j bestimmt genau dann eine Kante von Vor(P), wenn es einen Punkt q auf dieser Mittelsenkrechten gibt, so dass der Rand von C P (q) von den Punkten in P genau p i und p j enthält.
18 Beweis Satz 8.5 Punkt 1. q Ecke C P (q) enthält mindestens drei Punkte von P: p i, p j, p k C P (q) Inneres von C P (q) leer q V(p i ), q V(p j ), q V(p k ) damit q Ecke von Vor(P) q Ecke C P (q) enthält mindestens drei Punkte von P: q Ecke von Vor(P) q ist zu mindestens drei Kanten inzident q gehört zum Rand von V(p i ), V(p j ) und V(p k ) p i, p j, p k C P (q)
19 Beweis Satz 8.5 Punkt 2. V(pi ) V(p j ) > 1 q V(pi ) V(p j ) : C P (q) P = {p i, p j } : dist(q, p i ) = dist(q, p j ) dist(q, p k ) für alle 1 k n q liegt auf einer Kante oder Ecke von Vor(P) wegen Punkt 1. ist q keine Ecke von Vor(P) q liegt auf der Mittelsenkrechten von p i und p j : q sei beliebig im Inneren einer Kante von Vor(P), die p i und p j trennt C P (q) enthält sowohl p i als auch p j, aber keinen anderen Punkt aus P
20 Überblick 1 Fertigstellung Kapitel 7 2 Definition Voronoi Diagramm 3 Grundlegende Eigenschaften Voronoi Diagramm 4 Bestimmung des Voronoi Diagramms (Ausblick)
21 Folgerung Beobachtung 8.2 Folgerung Der gemeinsame Durchschnitt einer Menge von n Halbebenen des R 2 kann innerhalb einer Zeit in O(n log n) und mit linearem Speicherplatzbedarf berechnet werden. Algorithmus mit Laufzeit in O(n 2 log n) zur Bestimmung aller Voronoi-Bereiche
22 Bestimmung des Voronoi Diagramms: Fortune s Algorithmus Zeit in O(n log n) asymptotisch optimal
Das Voronoi Diagramm. 1. Definition. 2. Eigenschaften. 3. Größe und Speicherung. 4. Konstruktion. 5. Verwendung
Das Voronoi Diagramm 1. Definition 2. Eigenschaften 3. Größe und Speicherung 4. Konstruktion 5. Verwendung Das Voronoi- Diagramm Voronoi Regionen Euklidische Distanz: d(p,q) = (px-qx)^2+(py-qy)^2 Das Voronoi-Diagramm
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