TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 3/4) Aufgabenblatt (9. Januar 4) Präsenzaufgaben Aufgabe 57. Axiomatisch richtig? Welche der folgenden Aussagen gelten in einem K-Vektorraum V? (V \{}, ) ist kommutative Gruppe. (K, ) ist kommutative Gruppe. λ, µ K, v V gilt (λµ)v µ(λv). λ, µ K, v V gilt λ(v + µ) λv + λµ. λ K, v, w V gilt λ(v + w) λv + λw. λ K, v V gilt λv vλ. λ, µ K, v V gilt (λ + µ)v λv + µv. v V gilt ( )v v. (V \{}, ) ist kommutative Gruppe. (in V gibt es keine Multiplikation) (K, ) ist kommutative Gruppe. ( besitzt in K kein inverses Element) λ, µ K, v V gilt (λµ)v µ(λv). λ, µ K, v V gilt λ(v + µ) λv + λµ. (Vektoren und Skalare kann man nicht addieren) λ K, v, w V gilt λ(v + w) λv + λw. λ K, v V gilt λv vλ. (Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar von rechts ist nicht definiert) λ, µ K, v V gilt (λ + µ)v λv + µv. v V gilt ( )v v. Aufgabe 58. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 : M v, v, v 3, v 4, v 5, v 6 Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span (v, v 3, v 5 ) span (v 3, v 5 ) span (v, v 3, v 5 ) span (v, v 3, v 5 ) span (v, v 5, v 6 ) span (v 3, v 5, v 6 ) span (v, v 5, v 6 ) span (v, v, v 3, v 4, v 5, v 6 ) span (v, v, v 4 ) span (v, v 3, v 5, v 6 ) span (v, v 3, v 5 ) span (v 3, v 5 ) span (v, v 3, v 5 ) span (v, v 3, v 5 ) span (v, v 5, v 6 ) span (v 3, v 5, v 6 ) span (v, v 5, v 6 ) span (v, v, v 3, v 4, v 5, v 6 ) span (v, v, v 4 ) span (v, v 3, v 5, v 6 ) (Siehe auch Aufgabe 6.) Aufgabe 59. Schnitt und Vereinigung von Untervektorräumen. Sei V ein K Vektorraum über dem Körper K, und seien U und U zwei Untervektorräume von V..) Zeigen Sie : Die Menge U U : {v V v U und v U } ist wieder ein Untervektorraum von V..) Ist auch die Menge U U : {v V v U oder v U } ein Untervektorraum von V?

2 .) Da der Nullvektor nach Voraussetzung sowohl in U als auch in U erhalten ist, gilt auf jeden Fall U U. Sind nun v, w U U, so sind sie auch jeweils in U bzw. U enthalten. Damit is auch v + w U und v + w U, also auch v + w U U. Ist v U U, so ist auch v U und v U. Damit ist auch für beliebiges λ K der Vektor λv ein Element von U sowie auch von U und liegt somit auch in U U..) Wir zeigen durch Angabe eines Gegenbeispiels, daß U U i.a. kein Vektorraum ist. Die beiden Teilmengen } U : {λ v R λ R } U : {λ v R λ R ( ) mit v ( ) mit v des Vektorraums R bilden jeweils einen Untervektorraum des R. Nun ist } U U {v R v U oder v U Wir nehmen z.b. v {v R λ R : v λ v oder λ R : v λ v } ( ) ( ) U und v v + v ( ) + ( λ U. Dann ist aber ) ( ) + ( ) U U, denn offenbar existiert weder ein λ R noch ein λ R, so dass ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ v λ oder λ v λ. Die Vektoraddition + ist also auf U U nicht abgeschlossen! Hausaufgaben Aufgabe 6. Der Untervektorraum der Linearkombinationen ausgewählter Vektoren. Gegeben sei die Menge M mit den 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe 58..) Schreiben Sie jeden Vektor v i M, i,,..., 6, als Linearkombination von anderen Vektoren aus M sofern dies möglich ist..) Geben Sie eine Basis des von M aufgespannten Untervektorraums des R 4 an. 3.) Betrachten Sie für λ, λ,..., λ 6 R folgende Vektorgleichung: λ v + λ v + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 + λ 5 v 5 + λ 6 v 6. Betrachten Sie die Menge K aller Vektoren λ (λ, λ,..., λ 6 ) R 6, die obige Vektorgleichung erfüllen: { K λ (λ, λ,..., λ 6 ) R } 6 λ i v i. Zeigen Sie: K ist ein Untervektorraum des R 6. i λ Gegeben ist folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 : M v, v, v 3, v 4, v 5, v 6. Der Untervektorraum U sei der Span von M.

3 .) Es gilt beispielsweise: v v + v 4, v v v 4, v 3 v v 5, v 4 v v, v 5 v 3 + v 6, v 6 v 3 + v 5..) Um eine Basis von U span(v, v,..., v 6 ) anzugeben, müssen wir eine minimale Teilfamilie B von {v, v,..., v 6 } mit span B span(v, v,..., v 6 ) angeben. Für die Vektoren v 4, v 5, v 6 gilt v 4 v v, v 5 v v 3 und v 6 v + v 3. Somit gilt span(v, v,..., v 6 ) span(v, v, v 3 ). Nun ist noch die lineare Abhängigkeit der drei Vektoren v, v und v 3 zu untersuchen. Die Vermutung liegt nahe, dass diese drei Vektoren linear unabhängig sind. Dies ist aber noch zu beweisen. Dazu betrachten wir die Gleichung λ v + λ v + λ 3 v 3 : λ +λ +λ 3 λ + λ λ + λ + λ 3 λ + λ + λ 3 λ + λ λ λ λ 3 Somit sind die drei Vektoren v, v und v 3 linear unabhängig und B (v, v, v 3 ) eine minimale Teilfamilie mit span B span(v, v,..., v 6 ). Also ist B eine Basis des Untervektorraumes U, der ein drei-dimensionaler Untervektorraum des R 4 ist. 3.) Es sei also K {λ (λ,..., λ 6 ) R 6 λ i v i }. i Um nachzuweisen, daß K ein Untervektorraum ist, weisen wir nach, daß K nicht die leere Menge ist, daß K unter der Vektor-Addition abgeschlossen ist, und daß K unter Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist. Dabei ist noch zu bemerken, daß bei dem Beweis die spezielle Gestalt der Vektoren v,..., v 6 gar nicht berücksichtigt werden muss. (Um Platz zu sparen, schreiben wir die Elemente von R 6 als 6-Tupel.) K, weil der Nullvektor (,,,,, ) in K ist. Es seien λ (λ,..., λ 6 ), µ (µ,..., µ 6 ) K. Dann ist auch λ + µ K, weil λ + µ (λ + µ,..., λ 6 + µ 6 ) und (λ i + µ i )v i λ i v i + µ i v i + gilt. i i Es sei λ (λ,..., λ 6 ) K und α R. Dann ist auch αλ K, weil αλ (αλ,..., αλ 6 ) und gilt. (αλ i )v i α i i λ i v i α i Aufgabe 6. Lehrsätze aus der ebenen Geometrie Eben! Beweisen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung folgende Lehrsätze aus der ebenen Geometrie:.) Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. (Eine Seitenhalbierende eines Dreiecks ist die Gerade durch den Mittelpunkt einer Dreiecksseite und deren gegenüberliegenden Eckpunkt.).) Die Seitenhalbierenden schneiden sich im Verhältnis :. 3.) Die Seitenmittelpunkte eines (beliebigen) Vierecks bilden die Ecken eines Parallelogramms. Hinweis: Fertigen Sie zur Unterstützung der Beweisführung Skizzen an..) Wir bezeichen die Eckpunkte des (beliebigen) Dreiecks mit A, B und C, deren zugehörige Ortsvektoren mit a, b, c. Die Mittelpunkte der Seiten AB, BC und AC des Dreiecks nennen wir S, S, S 3, deren zugehörige Ortsvektoren s, s und s 3. Den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden AS und CS bezeichnen wir mit S, dessen Ortsvektor mit s. Nun fertigen eine kleine Überlegungsskizze an:

4 C y S S3 S A S x B Nach der Vorlesung gilt für die Ortsvektoren der Seitenmittelpunkte s (a + b), s (b + c), s 3 (a + c) () Mit den Vektoren x : b a und y : c a erhält man anhand obiger Skizze folgende Gleichungen für die drei Seitenhalbierenden CS s c, AS s a und BS 3 s 3 b: s c x y, s a (x + y), s 3 b y x, () Wir stellen nun den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden AS und CS durch x und y dar und zeigen dann, daß auch die dritte Seitenhalbierende BS durch S verläuft. Für s a gilt: Es gibt λ, µ R mit s a λ (s a) y + µ (s c), also s a λ (s a) y + µ (s c). (3) Wir setzen die in () gegebenen Darstellungen für s a und s c in (3) ein, sortieren nach x und y, und erhalten ( λ ) ( ) µ x + λ + µ y, (4) wobei den Null-Vektor bezeichne. Obige Gleichung gilt für beliebige Dreiecke ABC, also auch für beliebige Vektoren x und y. Somit müssen in (4) die skalaren Faktoren vor x und y gleich sein. Diese Forderung ergibt λ µ 3. Für den Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden AS und CS gilt also gemäß (3) die Gleichung s a 3 (s a). (5) Liegt S nun auch auch der Seitenhalbierenden BS 3, muß es ein ν R geben, so daß x + ν (s 3 b) s a (5) 3 (s a). Mit () erhält man ν 3, der Satz ist somit bewiesen. Hierdurch ist gleichzeitig der Lehrsatz aus Teilaufgabe b) gezeigt worden, daß der gemeinsame Schnittpunkt der Seitenhalbierenden diese im Verhältnis : teilt. Außerdem ergibt sich nun aus (5) mit () die vektorielle Darstellung von s ausgedrückt mit den Vektoren a, b und c der Ecken des Dreiecks: s (a + b + c). 3.) Siehe Aufgabenteil.). 3.) Analog zu Aufgabenteil.) bezeichnen wir die Eckpunkte des Vierecks mit A, B, C und D, deren Ortsvektoren mit a, b, c, d. Die Seitenmittelpunkte der Seiten AB, BC, CD, AD nennen wir mit S, S, S 3, S und deren Ortsvektoren s, s, s 3, s 4. Dies alles sei nochmal in einer Skizze veranschaulicht:

5 D S3 S4 C A S S B Zu zeigen ist nun, daß das von den Seitenmittelpunkten S, S, S 3 und S 4 aufgespannte Viereck ein Parallelogramm ist. Dazu ist zu zeigen, daß die Seiten S S und S 4 S 3 sowie die Seiten S S 4 und S S 3 jeweils parallel sind. Dies wiederum läßt sich nachweisen, indem man zeigt s 3 s 4 s s und s 4 s s 3 s. Nun ist s (a + b), s (b + c), s 3 (c + d), s 4 (a + d). Man prüft leicht nach, daß gilt: s 3 s 4 c a s s und ebenso s 4 s d b s 3 s

6 Aufgabe 6. Fliegen will gelernt sein - und Interpolieren auch. Woodstock hat noch einige Mühe mit dem Fliegen. Er träumt noch von schönen Flugkurven. Schenken Sie Woodstock eine schöne Flugkurve durch die vier Stützstellen (x, y ) (, ), (x, y ) ( 4, ), (x, y ) (, 3), (x 3, y 3 ) (, 4). Hinweis: Was würde LAGRANGE dazu sagen? Zu den n 4 gegebenen Punkten (x i, y i ) (i,, 3, 4) der Ebene R mit x, x 4, x, x 3 und y, y, y 3, y 3 4 bestimmen wir deren Interpolationspolynom p 3 (x) vom Grad n 3 nach der Methode von LAGRANGE : Es ist dann 3 3 x x k p 3 (x) L i (x) y i mit L i (x) :. x i x k i Für die LAGRANGE Basis {L i (x)} i,...,3 erhält man somit L (x) x x x x x x x x k k i x x 3 x x 3 x 4 x x 4 ( 4x + ) ( x + ) ( x + ) (8x 6x + ) ( x + ) 8x 3 + 6x x + 8x 6x + 8x 3 + 4x 7x +,

7 L (x) x x x x x 4 x x x x x 4 x 4 x x 3 x x 3 (4x) ( 4x + ) ( 4 3 x ) ( 6x + 8x)( 4 3 x ) ( 64 3 x3 3 3 x 64 3 x + 3 ) 3 x 64 3 x3 3x x L (x) x x x x x x x x x x 4 x 4 x (4x ) ( x + ) (8x x) ( x + ) 6x 3 + 4x + 6x 4x 6x 3 + x 4x, x x x x 3 L 3 (x) x x x 3 x x x x 3 x x x x 3 x x x 4 x 4 ( 4 x 3 x ) (x ) 3 ( 4 3 x ) 3 x (x ) 8 3 x3 3 x 4 3 x + 3 x 8 3 x3 x + 3 x. Also ergibt sich das Interpolationspolynom p 3 (x) 3 L i (x) y i i ( 8x 3 + 4x 7x + ) ( x3 3x + 3 ) 3 x + ( 6x 3 + x 4x ) 3 ( x3 x + ) 3 x 4 8x x3 48x x3 +4x 64x + 6x 8x 7x x x x x3 + x + 3 x + welches gemäß Vorlesung jeweils p 3 (x i ) y i, i,,, 3) erfüllt! Dieses Polynom sieht wie folgt aus:

8 4 x