Unterlagen für die Lehrkraft

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Valentin Solberg
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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 0/0 Mathematik A. Mai 0 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft

2 . Aufgabe: Differentialrechnung Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit f() 0, ; R. Der Graph heißt G f. a) Untersuchen Sie den Graphen G f auf Symmetrie. Begründen Sie Ihre Entscheidung. b) Berechnen Sie die Koordinaten der Achsenschnittpunkte von G f. c) Ermitteln Sie die Koordinaten der lokalen Etrempunkte und weisen Sie die Art der Etrema nach. Beschreiben Sie das Monotonieverhalten des Graphen. G f Wählen Sie dazu geeignete Intervalle. d) Bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von G f. e) Zeichnen Sie den Graphen G f im Intervall in ein kartesisches Koordinatensystem. f) Der Graph der Funktion f verfügt an der Stelle, über eine Tangente t. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t. Aufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe Punkte 9 6 Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

3 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Vermutung: G f ist achsensymmetrisch zur y-achse zu zeigen: f ( ) f ( ) 0,( ) 0, ( ) 0, 0, w. A. Hinweis: alternativ ist auch eine Begründung über gerade Eponenten möglich b) Koordinaten der Achsenschnittpunkte des Graphen Gf 0-0, 0,( - -8) mit z 0 z z ; z 8 z N ( 0); N ( 0) S y (0 ) Resubstitution : 0 ; 0 c) Lokale Etrempunkte f () ; f () 6 0 -( E E ) ; f (-) - 0 H (,) 0; f (0) 0 T(0 ) ; f () - E ; f () - 0 H (,) Monotonieverhalten streng monoton wachsend 0 streng monoton fallend 0 streng monoton wachsend streng monoton fallend 6 d) Wendepunkte 0-6 0,8 f (-0,8) 0 w w 0,8 f (0,8) 0 W ( 0,8,8) W (0,8,8) Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

4 e) Graph G f f) Tangente t f(,),7 ; P (,,7) m t : f(,),7 ; n 9, y -,7 9, t Summe 6 Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

5 . Aufgabe: Integralrechnung Für die Arbeitsgemeinschaft Yoga sollen Yogakissen hergestellt werden. Die Sitzfläche eines Kissens besteht aus Stoff und soll 6 cm breit sowie cm lang sein. Die Grund- und Deckfläche des Kissens wird durch zwei Parabeln annähernd begrenzt. Der Rest der Kissenhülle besteht aus weichem Leder. Die Höhe des Kissens beträgt cm. y 0 8 G f G g - - a) Stellen Sie Gleichungen für die beiden begrenzenden Parabeln auf und zeigen Sie, dass die Maßzahl des Flächeninhaltes der Sitzfläche eines Yogakissens cm² beträgt. (zur Kontrolle: f ) 6 b) Berechnen Sie die Stoffmenge in m², die man für die Produktion der Sitzflächen benötigt, wenn für den Verschnitt pro Teil ein Mehrbedarf von % einkalkuliert werden muss. c) Die Kissen werden mit Bio-Buchweizenschalen gefüllt, da dieses Füllmaterial durch besondere Stabilität für eine optimale Sitzhaltung sorgt. Buchweizenschalen werden handelsüblich nur in kg Packungen angeboten. Eine Packung kostet,90 und reicht für ein Kissenvolumen von dm. Mit welchen Kosten für die Füllung der Kissen muss gerechnet werden? d) Ein Schüler vermutet, dass man durch Änderung der Form des Kissens Füllmaterial sparen könnte. Er möchte es als Rotationskörper gestalten, bei der die Sitzfläche um die Längsachse rotiert. Überprüfen Sie seine Vermutung, indem Sie die Maßzahl des Volumens des entstehenden Rotationskörpers berechnen und mit dem Ergebnis aus Aufgabe c) vergleichen. Aufgabenteil a) b) c) d) Summe Punkte 9 Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

6 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Rekonstruktion: f a b c f 60 I 6a 6b c 0 f6 0 II 6a 6b c 0 f0 III c (alternative Lösungswege möglich) f g 6 6 Flächenberechnung: A d Der Flächeninhalt der Sitzfläche des Kissens beträgt,67 cm². b) cm % 78,80 cm 00 % 0,07 m Man benötigt für Kissen 0,9 m Stoff. c) Volumen: V A h g V,67 cm 8, dm 99,8 dm 99,8 dm Verbrauch: 6, 66 dm cm 80,0 cm 8, dm Kosten: 7,90 7,0 Es müssen 7 kg Buchweizenschalen gekauft und 7,0 bezahlt werden. d) Rotationsvolumen: f 69 6 V d V 88,7 906, Das Volumen vergrößert sich durch Rotation auf 906, cm³, d.h. es würde mehr Füllmaterial benötigt. 6 6 Summe Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/

7 . Aufgabe: Wahlpflichtthema Zahlenfolgen n 0 Gegeben ist die Zahlenfolge ( a n ) mit a n ;n N *. n a) Zeigen Sie, dass auch die Bildungsvorschrift gilt: a n ; n N *. n b) Ermitteln Sie die ersten sechs Glieder der Zahlenfolge ( a n ) und stellen Sie diese in einem Koordinatensystem graphisch dar. 70 c) Prüfen Sie, ob in der Zahlenfolge ( a n ) ein Glied a n eistiert und geben Sie 8 gegebenenfalls dessen Nummer n an. d) Berechnen Sie a 00 und a 0. Stellen Sie eine Vermutung über das Monotonieverhalten der Zahlenfolge ( a n ) auf und beweisen Sie Ihre Vermutung. e) Ermitteln Sie den Grenzwert g der Folge ( a n ). Bestimmen Sie, von welchem n ab alle weiteren Glieder der Folge ( a n ) in der Umgebung von g mit liegen. 00 Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte 0 Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 6 von Schuljahr 0/

8 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Bildungsvorschrift (n ) n 0 a n n n n b) Glieder der Zahlenfolge ( a n ) a,67; a,; a,69; a,78; a,8;a 6 Darstellung in einem Koordinatensystem:,86 c) Glied der Zahlenfolge ( a n ) untersuchen 70 n 0 8 n 70(n ) 8(n 0) 700n 80 70n 80 0n 000 n 0 Das Glied eistiert in der Folge und trägt die Nummer 0. Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 7 von Schuljahr 0/

9 d) Glieder berechnen a00 ; a Monotonienachweis Vermutung: ( a n ) ist (streng) monoton steigend Nachweis z.b: a n+ > a n (n ) 0 n 0 n n 0 ; (n ) n n n 7n² n 0 7n² n 0 0 0; oder 0 0 w.a. e) Grenzwert g n 0 lim n n - Umgebung n 0 n n 00 n 0 00 n 80, Ab dem 8. Glied liegen alle weiteren Glieder in der ε Umgebung von g für. 00 Summe 0 Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 8 von Schuljahr 0/

10 . Aufgabe: Wahlpflichtthema Analytische Geometrie Gegeben ist ein Viereck ABCD im Raum durch die Punkte A( ), B(6 ), C( 9 ) und D( ). a) Zeigen Sie, dass die Vektoren AB und CD nicht parallel sind. b) Berechnen Sie den Umfang des Vierecks ABCD. c) Ermitteln Sie die Entfernung der Mittelpunkte der Seiten AB und CD. d) Berechnen Sie die Größe des Winkels DAB. e) Ein Viereck ist dann eben, wenn seine Diagonalen sich schneiden. Führen Sie rechnerisch diesen Nachweis für das Viereck ABCD durch. Berechnen Sie dazu die Koordinaten des Schnittpunktes. Aufgabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte 0 Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 9 von Schuljahr 0/

11 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) AB ; CD ; ; 0 0 Vektoren nicht parallel ; y ; Widerspruch, b) AB 9 0,6 LE BC 9 7, LE CD 6 6,8 LE DA 9,7 LE U = 0,7 LE c) M (,, ); P ( 6,, ) AB CD MP,,, LE d) AD ; AB 0 6 cos 0 0 0, 0, 69 Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 0 von Schuljahr 0/

12 Mathematik A Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von Schuljahr 0/ e) Gerade g durch A und C: 8 r Gerade h durch B und D: s 6 g = h: 8 r = s 6 ; 8 r s 0 r s 0 III 8r s II r s I s ; r,) (, S Summe 0

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