2 Koordinatentransformationen

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1 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/1 Montag 3.11 $Id: transform.tex,v 1.5 9/11/3 16:9: hk Exp $ Koordinatentransformationen. ie Transformationsformel In der letzten Sitzung hatten wir die Transformationsformel f(x) dx = f(ϕ(x)) det ϕ (x) dx ϕ() begründet und begonnen einige Beispiele zu rechnen. ies wollen wir nun fortsetzen. ls ein letztes Beispiel zur Transformation auf Polarkoordinaten wollen wir noch die sogenannte Leipnitzsche y Sektorformel herleiten. Wir betrachten den usschnitt eines Kreises zwischen zwei fixierten Winkeln π < φ < φ 1 < π. h( φ ) Für jeden Winkel φ zwischen φ und φ 1 sei eine Länge h(φ) > vorgegeben, und wir betrachten den Sektor φ x S := (r cos φ, r sin φ) φ φ φ 1, r h(φ)}. Um die Fläche des Sektors S zu bestimmen, schreiben wir S = ϕ() mit := (r, φ) φ φ φ 1, r h(φ)}, wobei ϕ wieder für die Polarkoordinaten steht. ie Fläche einer Menge ergab sich als das Integral der Funktion konstant Eins über diese Menge, und die Transformationsformel liefert φ1 h(φ) vol(s) = d(x, y) = r d(r, φ) = r dr dφ = 1 φ1 h(φ) dφ. S iese Formel ist die genannte Leipnitzsche Sektorformel. amit haben wir genügend Beispiele für Polarkoordinaten und wollen jetzt zwei Beispiele für die Integration in Zylinderkoordinaten durchrechnen. ie Formel für die Integration in Zylinderkoordinaten ist konkret f(x, y, z) d(x, y, z) = rf(r cos φ, r sin φ, z) d(r, φ, z). ϕ() 8-1 φ φ

2 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/1 Montag 3.11 ls ein Beispiel wollen wir das schon in 1.3 gerechnete Integral z d(x, y, z) mit der ntenne = K Z in Zylinderkoordinaten berechnen. abei war K die Kugel mit Radius 1 und Mittelpunkt in (,, ) und Z der Zylinder mit chse x = y =, Radius 1/ und Höhe mit unterem eckel in z =. ufgrund der Symmetrie von zur z-chse bietet es sich an dieses Integral in Zylinderkoordinaten (r, φ, z) zu rechnen. ie z-koordinaten der Punkte von gehen vom Boden in z = bis zum Nordpol der Kugel K in der Höhe z = + 1 = 5. In jeder dieser Höhen z 5 schneidet die Menge einen Kreis mit einem Radius r(z) aus. Solange die Mantelfläche des Zylinders Z nicht auf die Kugel K trifft, ist r(z) = 1/ der Radius unseres Zylinders. abei trifft die Mantelfläche von Z die Kugel K in der Höhe z gegeben durch (z ) = 1 = z = 15. Bis zu dieser Höhe ist also r(z) = 1/ und danach ist r(z) der Radius des in Höhe z aus K ausgeschnittenen Kreises, d.h. r(z) = 1 (z ). Folglich ist = ϕ() mit = 1, } 15 1 = (r, φ, z) π φ π, z, r 1, 15 = (r, φ, z) π φ π, z 5, r } 1 (z ). ie Menge 1 ist der Stiel der ntenne und der aufgesetzte Kugelkopf. ie Transformationsformel ergibt damit z d(x, y, z) = rz d(r, φ, z) = rz d(r, φ, z) + rz d(r, φ, z). 1 as erste Integral läßt sich als ein Produkt schreiben 1 rz d(r, φ, z) = 1 3 π 1 ( as zweite Integral berechnet sich zu rz d(r, φ, z) = π (z ) = π 15 ) = π ( rz dr dz = π ( 8 3 z3 z z ) = π 3 z(1 (z ) ) dz ) = π 16 ( ) ( )

3 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/1 Montag 3.11 Insgesamt haben wir damit z d(x, y, z) = rz d(r, φ, z) + rz d(r, φ, z) = π 1 16 ( ) Beachte das diese Rechnung zwar ein etwas unhandliches Ergebnis hat, aber wesentlicher war als die entsprechende Rechnung in 1.3. In jedem Schritt mussten nur Polynomfunktionen integriert während in unserer früheren Rechnung rcussinus und Wurzelfunktionen vorkamen. Wir wollen noch ein weiteres Beispiel rechnen. Gegeben sei eine beschränkte und Jordan-meßbare Menge R R in der rechten Halbebene. enken wir uns diese Halbebene als den rechten Teil der (x, z)-ebene im Raum, so können wir um die z-chse rotieren und erhalten einen Rotationskörper. ies ist etwas allgemeiner als unsere schon früher behandelten Rotationskörper R f. Wir wollen das Volumen von berechnen. In Zylinderkoordinaten ϕ ist = ϕ(q) mit Q := (r, φ, z) R [ π, π] R (r, z) } da die (r, z)-koordinaten im rechten Teil der (x, z)-ebene mit den cartesischen Koordinaten übereinstimmen. Somit erhalten wir π vol() = d(x, y, z) = r d(r, φ, z) = r dφ d(r, z) = π x d(x, y). Q π Bezeichnet nun S den Schwerpunkt von bezüglich der ichte konstant Eins, so wissen wir aus 1.5 x d(x, z) = S x vol(), und damit ergibt sich die sogenannte Guldinsche Regel vol() = πs x vol(). Üblicherweise wird diese Regel noch etwas umformuliert. er Term πs x ist gerade der Umfang des Kreises mit Radius S x, also die Länge des Weges die der Schwerpunkt von während der Rotation zurücklegt. as Volumen des Rotationskörpers ist also die rotierte Fläche mal die Länge des vom Schwerpunkt zurückgelegten Weges. Nehmen wir als ein konkretes Beispiel einen Torus T mit Innenradius r > und ußenradius R > r. ieser entsteht durch Rotation des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt in (R, ) um die z-chse. lso sind vol() = πr und S x = R und es folgt vol(t ) = π rr für das Volumen eines Torus. Wir wollen jetzt auch noch ein Beispiel in Kugelkoordinaten rechnen, also ϕ(r, φ, ψ) = (r cos φ sin ψ, r sin φ sin ψ, r cos ψ), r, φ π, ψ π. 8-3

4 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/1 Montag 3.11 ie Funktionaldeterminante hatten wir bereits als det ϕ (r, φ, ψ) = r sin ψ berechnet, und damit erhält die Transformationsformel die Gestalt f(x, y, z) d(x, y, z) = r sin ψf(r cos φ sin ψ, r sin φ sin ψ, r cos ψ) d(r, φ, ψ). ϕ() Sei B := (x, y, z) R 3 x + y + z R, z } die obere Halbkugel von Radius R > versehen mit der Massendichte ϱ(x, y, z) = x z. ann ist B = ϕ() mit := (r, φ, ψ) r R, φ π, ψ π }, und die ichte schreibt sich in Kugelkoordinaten als Für die Masse von B ergibt sich damit M := B ϱ(r, φ, ψ) = r 3 cos φ sin ψ cos ψ. ϱ(x, y, z) d(x, y, z) = r 5 cos φ sin 3 ψ cos ψ d(r, φ, ψ) ( R ) ( π ) ( ) π/ = r 5 dr cos φ dφ sin 3 ψ cos ψ dψ π ( = R6 π sin ψ π/ ) = 1 πr6. ls abschließende Beispiele wollen wir jetzt Integrale berechnen bei denen eine an das konkrete Problem angepasste Substitution verwendet wird. ie drei bisher behandelten Koordinatentransformationen, also Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten, kommen zwar in solchen Rechnungen recht häufig vor, aber sie sind keinesfalls die einzigen Möglichkeiten. Wie bei der Substitutionsregel für eindimensionale Integrale kann man auch speziell an die Form des Integranden angepasste Koordinaten verwenden. ls Neuerung im Vergleich zur Substitutionsregel muss man sich zusätzlich auch noch um die npassung der Koordinaten an den Integrationsbereich kümmern. Wie schon bei der Substitutionsregel gibt es für die Wahl einer geeigneten Koordinatentransformation zwar einige Faustregeln aber keinen allgemeinen, von Hand benutzbaren, lgorithmus. Insbesondere gibt es keinen Standardrechenweg sondern man muss sich eventuell etwas einfallen lassen. ls ein Beispiel betrachten wir die Menge M := (x, y) R > < y x + y < 1 8- x x + y < 1 },

5 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/1 Montag 3.11 die etwas weiter unten abgebildet ist, und wollen das Integral M x + y d(x, y) (x + y ) 3 berechnen. Bei der Wahl einer Koordinatentransformation orientieren wir uns hier am Integrationsbereich M, und betrachten die neuen Koordinaten u = v = x x + y, y x + y. Koordinatentransformationen sind bijektive bbildungen zwischen offenen Teilen des R n, wir müssen also schauen das unser u, v tatsächlich auf einer geeigneten Menge bijektiv ist. Rechnerisch führt man dies meist durch, indem versucht wird umgekehrt x, y in Termen von u und v auszudrücken, wir müssen also die u, v definierenden Gleichungen nach x, y auflösen. Zunächst haben wir u + v = x + y (x + y ) = 1 x + y, also weiter x = x x + y (x + y ) = u (x + y ) = u u + v, und analog können wir für y rechnen, und erhalten y = v/(u + v ). ie cartesischen Koordinaten ergeben sich also aus u, v mittels genau derselben Formeln die auch u, v definieren, nur mit x, y und u, v ausgetauscht. amit können wir die folgende Koordinatentransformation verwenden ϕ : R \} R \}; (u, v) ( ) u u + v, v. u + v Bei der Wahl von ϕ hatten wir uns an den M definierenden Bedingungen orientiert, und entsprechend nimmt die Menge M in den neuen Koordinaten u, v eine vergleichsweise einfache Form an. Es wird M = ϕ() mit := (u, v) R > < v < 1 u < 1 } 8-5

6 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/1 Montag 3.11 ie Menge M as reieck ls nächsten Schritt müssen wir die Funktionaldeterminante berechnen, und bestimmen dazu zunächst die relavanten partiellen bleitungen: x u = u v (u + v ), x v = uv (u + v ), y u = uv (u + v ), y v = u v (u + v ). ls eterminante ergibt sich (x, y) u (u, v) := v uv uv (u +v ) (u +v ) u v (u +v ) (u +v ) und die Transformationsformel ergibt wegen die Gleichung M x + y = = v ) + u v (u (u + v ) = u + u v + v 1 = (u + v ) (u + v ), u + v u + v und x + y = u + v (u + v ) = 1 u + v x + y 1/ 1 v d(x, y) = (u + v) d(u, v) = (u + v) du dv (x + y ) 3 1/ 1/ 1 v 1 1/ = u + uv 1 dv = (1 v) + v(1 v) v dv 1/ = 1/ v 1 v dv = = ie Schreibweise (x, y)/ (u, v) für die Funktionaldeterminante wird gerne verwendet da sie eine formale Ähnlichkeit mit der Substitutionsregel herstellt, wenn man die Transformationsformel als d(x, y) = (x, y) d(u, v) beziehungsweise d(x, y) = (u, v) 8-6 (x, y) (u, v) d(u, v)

7 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/1 Montag 3.11 liest. Ignorieren wir die Betragsstriche, so ist diese Formel gerade wie die dx dt Rechnerei bei der Substitutionsregel. Tatsächlich kommt der Betrag in versteckter Form auch bei der Substitutionsregel vor. Substituiert man nämlich eine Funktion x = ϕ(t) mit negativer bleitung ϕ (t) <, so ist ϕ monoton fallend und in der Substitutionsregel ϕ(b) ϕ(a) f(x) dx = b a f(ϕ(t))ϕ (t) dt stehen die Integrationsgrenzen auf der linken Seite verkehrt herum, was ja durch ein Minuszeichen beim Umtauschen der Grenzen wieder ausgeglichen wird. Ziehen wir das Minus in den Integranden, so wird ϕ (t) zu ϕ (t). ls ein letztes Beispiel wollen wir noch eine nwendung der Transformationsformel rechnen bei der man sich eher an der Form des Integranden orientiert. Wir betrachten Q := [, 1] [, 1] und xy(x + y ) cos(x y ) d(x, y). Q Hier ist der Cosinusterm im Integranden unangenehm, daher ist es naheliegend das rgument des Cosinus etwa durch u = x y zu substituieren. ann brauchen wir noch eine passende zweite Koordinate v. Nun ist (x + y ) = x + x y + y = (x y ) + x y = (x y ) + (xy) und der Faktor xy kommt noch ein weiteres mal im Integranden vor. iese Überlegung führt dazu es mit der folgenden Koordinatentransformation zu versuchen: u = x y v = xy verwenden. ies ist tatsächlich eine Koordinatentransformation R R, und um dies zu sehen müssen wir wie im vorigen Beispiel schauen das wir x und y durch u und v ausdrücken können. Es ist y = v/(x) und also u = x y = x v x = x ux v =, x = u u ± + v = u ± u + v und wegen u + v u = u ist damit u + u x = + v, y = v (u +. u + v ) amit liegt tatsächlich eine Koordinatentransformation vor, und die Funktionaldeterminante berechnet sich zu (u, v) (x, y) = x y y x = (x + y ). 8-7

8 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/1 Montag 3.11 er Integrand wird damit zu xy(x + y ) cos(x y ) = 1 v) v cos(u) (u, 8 (x, y). Erinnern wir uns an die Formulierung der Transformationsformel als so erhalten wir d(u, v) = (u, v) d(x, y), (x, y) Q xy(x + y ) cos(x y ) d(x, y) = 1 8 B v cos u d(u, v) wobei B := ϕ(q) ist. n dieser Stelle konnte man gut sehen warum die Schreibweise (u, v)/ (x, y) hilfreich ist, da man so nur die formale Rechnung xy(x + y ) cos(x y ) d(x, y) = 1 v) v cos(u) (u, 8 (x, y) d(x, y) = 1 v cos(u) d(u, v) 8 durchführen muss. Wie bei der Substitutionsregel ist dies aber eine reine Merkhilfe, und keine wirliche Rechnung. er Integrand ist jetzt vergleichsweise einfach geworden, es bleibt aber das Problem die Bildmenge B = ϕ(q) zu berechnen. Hier gehen wir etwas indirekt vor, und schauen uns anstelle dessen erst einmal an, wie die Koordinatentransformation ϕ den Rand von M abbildet. as Quadrat Q B = ϕ(q) er Rand des Quadrats Q setzt sich aus vier Teilstrecken zusammen, deren Bilder wir jeweils einzeln berechnen. ϕ(x, ) = (x, ), ϕ(1, y) = (1 y, y), ϕ(x, 1) = (x 1, x), ϕ(, y) = ( y, ). 8-8

9 Mathematik für Ingenieure III, WS 9/1 Montag 3.11 ie Punkt ϕ(x, ) und ϕ( y, ) durchlaufen zusammen das Intervall [ 1, 1] auf der u-chse. ie Bildpunkte ϕ(1, y) sind durch die Gleichung u = 1 v / gegeben und die Bildpunkt ϕ(x, 1) durch die Gleichung u = v / 1. as Bild B = ϕ(x) wird also von den Kurven v =, u = 1 v / und u = v / 1 begrenzt. Insbesondere hat B die im obigen Bild gezeigte Form, und wir können das Integral über B berechnen B v cos u d(u, v) = Insgesamt ist damit = 1 v v 1 v cos u du dv = v sin Q xy(x + y ) cos(x y ) d(x, y) = 1 8 [ ) ( )] v sin (1 v v sin 1 dv ) ) (1 v dv = cos (1 v = (1 cos(1)). B v cos u d(u, v) = 1 (1 cos(1)). 8-9