Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
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- Lothar Schreiber
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1 Jürgen Roth Didaktik der Zahlbereichserweiterungen Modul 5: Fachdidaktische Bereiche Kapitel : Natürliche Zahlen N.
2 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen Ziele und Inhalte Natürliche Zahlen N Ganze Zahlen Z 4 Rationale Zahlen Q 5 Reelle Zahlen R 6 Komplexe Zahlen C Kapitel : Natürliche Zahlen N.
3 Didaktik der Zahlbereichserweiterungen Kapitel : Natürliche Zahlen N Kapitel : Natürliche Zahlen N.
4 Aspekte des Zahlbegriffs Radatz, Schipper (004). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Hannover: Schroedel, S. 49 Zahlaspekt Beschreibung Beispiele Addition Subtraktion Kardinalzahl Mächtigkeit von Mengen, Äpfel; 0 d. h. die Anzahl der Elemente. Mengenvereinigunbildung Restmengen- Möglichkeiten Zählzahl: Folge der beim Zählen durch- eins, zwei,..., fünf Ordinalzahl laufenen natürlichen Zahlen Studentinnen Ordnungszahl: Rangplatz eines Elements Lisa wurde beim Wettlauf Weiterzählen Rückwärtszählen in total geordneter Reihe fünfte. Maßzahl Addition / Subtraktion von Größen Natürliche Zahlen dienen als Maßzahlen für Stunden; 4 kkkk; zurückführen auf Aneinandersetzen Größen (bzgl. einer Einheit) 00 Schritte; / Abtrennen von Repräsentanten. Operator Bezeichnung der Vielfachheit einer Ich habe dir das jetzt schon Operatoren Umkehroperator Handlung / eines Vorgangs fünfmal gesagt! verketten aufsuchen Rechenzahl Algebraischer Aspekt: + 4 = 4 + (KG) (N, +) ist eine algebraische Struktur (6 + 7) + = 6 + (7 + ) (AG) Rechnen mit Ziffern im Gegensatz zum Rechen mit Zahlen beim 68 Algorithmischer Aspekt: halbschriftlichen Rechnen und + 56 Schriftl. Rechenverfahren: Ziffernrechnen Kopfrechnen. 9 Kodierung Zahlen werden zur Bezeichnung von 7689 Landau Objekten benutzt ISBN Kapitel : Natürliche Zahlen N.4
5 ISBN-Code / EAN-Code ISBN Sprachbereich des Verlags 0 bzw. : Englisch : Französisch : Deutsch Prüfziffer Verlagsinterne Buchnummer Nummer des Verlags Kapitel : Natürliche Zahlen N.5
6 Zählprinzipien Eindeutigkeitsprinzip Jedem Zählding wird genau ein Zahlwort zugeordnet. Prinzip der stabilen Ordnung Zahlworte haben eine feste Reihenfolge. Kein Zahlwort darf ausgelassen werden. Kardinalzahlprinzip Die letzte Zahl beim Abzählen gibt die Anzahl der Elemente (die Mächtigkeit) der abgezählten Menge an. Fördermaßnahmen? Abstraktionsprinzip Einen Menge von Zähldingen kann aus Elementen mit sehr unterschiedlichen Merkmalen zusammengesetzt werden, die keinen nahe liegenden Bezüge aufweisen. Prinzip der beliebigen Reihenfolge Das Zählergebnis ist unabhängig von der Anordnung der zu zählenden Objekte. Zahlwörter sind keine Eigenschaft der zu zählenden Objekte. Woran erkennt man Probleme mit einzelnen Zählprinzipien? Padberg, Benz (0). Didaktik der Arithmetik. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 9f Kapitel : Natürliche Zahlen N.6
7 Arithmetische Modelle Mengenmodell Größenmodell Kuropatwa: Didaktik der Arithmetik. Unveröffentlichtes Skript Zählmodell Kapitel : Natürliche Zahlen N.7
8 Erstes Arbeiten mit Zahlen Vielfältige Zähl- und Schätzübungen Zählen mit Dingen und Darstellungen Zählübungen mit abstrakten Mengen Rhythmisches Zählen und Zählverse Zahlen mit allen Sinnen wahrnehmen Zahlen zerlegen und vergleichen Mächtigkeitsvergleiche Quasi-simultane Zahlauffassung Zahlen zerlegen Radatz, Schipper: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Schroedel, Hannover, 98, S Fragestellungen zur Einführung der Null Wie viele Personen sind in der Klasse? Mädchen Jungen Lehrerinnen Lehrer 9 0 Wie viele Geschwister hast du? Anzahl der Geschwister Anzahl der Schüler/innen Relationen zwischen Zahlen ist kleiner als, ist gleich, ist größer als liegt zwischen Zahlen der Größe nach ordnen Ziffern richtig lesen und schreiben Aufgabenreihen zur Null Kapitel : Natürliche Zahlen N.8
9 Zahlen in der Grundschule KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4). Luchterhand, München, 005 Jahrgangsstufe Jahrgangsstufe Jahrgangsstufe Jahrgangsstufe 4 Lebenswelt im Hinblick auf Mengen und Zahlen erkunden & untersuchen Zahlen bis 0 erfassen und darstellen Zahlen bis 00 erfassen und darstellen Zahlen bis.000 erfassen darstellen Zahlen bis erfassen und darstellen Zahlen bis 0 zerlegen Zahlen und Rechenausdrücke bis 0 vergleichen und ordnen Zahlen und Rechenausdrücke bis 00 vergleichen und ordnen Zahlen und Rechenausdrücke bis.000 vergleichen und ordnen Zahlen und Rechenausdrücke bis vergleichen und ordnen Kapitel : Natürliche Zahlen N.9
10 Römische Zahlschrift eins fünf zehn fünfzig hundert fünfhundert tausend I V X L C D M alternierende Fünfer-Zweier-Bündelung Heutige Regeln (international vereinbart) Regeln der Römerzeit bis zum Mittelalter () Von links nach rechts werden zunächst ggf. die Tausender, dann ggf. die Hunderter, danach ggf. die Zehner und schließlich ggf. die Einer notiert. () Von links nach rechts werden zunächst ggf. die Tausender, dann ggf. die Hunderter, danach ggf. die Zehner und schließlich ggf. die Einer notiert. Eindeutig Mehrdeutig () Die Zahlenwerte kleinerer Zahlzeichen die rechts von einem größeren stehen, werden zum Wert des größeren addiert. () Ein Zeichen I, X oder C darf von dem jeweils Fünf- oder Zehnfachen abgezogen werden. Man notiert das abzuziehende Zeichen dann unmittelbar links vor dem zu vermindernden. (4) Unter Beachtung der ersten drei Regeln müssen möglichst wenige Zeichen geschrieben werden. () Kein Zeichen darf so oft vorkommen, dass die untereinander gleichen Zeichen in ein höherwertiges umgetauscht werden könnten. () Abweichend von Regel darf unmittelbar links vor dem ersten Zeichen der selben Sorte (höchstens) ein weniger wertiges Zeichen stehen. Der kleinere Wert ist dann von dem größeren abzuziehen. Beispiel: 99 = XCIX (heute) = LXXXXVIIII = IC Kapitel : Natürliche Zahlen N.0
11 Römische Zahlschrift Stellenwertsystem Römische Zahlschrift MMMDCCCLXXXVIII Dezimales Stellenwertsystem 888 Alternierende Fünfer-Zweier-Bündelung Jede Ziffer gibt auch die Bündelungseinheit an. Jede Ziffer hat einen festen Wert (geringfügige Ausnahme: Regel ), unabhängig von ihrer Stellung im Zahlwort. Jede Ziffer übermittelt nur eine Information, nämlich ihren Zahlenwert. Den Zahlenwert eines mehrstelligen Zahlwortes erhält man im wesentlichen durch Addition, daher ist eine Ziffer 0 in diesem Zusammenhang nicht erforderlich. Für größere (und kleinere) Zahlen werden ständig weitere Zeichen benötigt. Die Zahlwörter sind relativ lang und kompliziert zu lesen. Schriftliche Rechenverfahren (besonders die Multiplikation und die Division) sind äußerst kompliziert und langwierig. Reine Zehnerbündelung Stellung der Ziffer gibt Bündelungseinheit an. Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stellung innerhalb des Zahlwortes ab (Stellenwert). Jede Ziffer übermittelt zwei Informationen, nämlich ihren Zahlen- und ihren Stellenwert. Zahlenwert eines mehrstelligen Zahlwortes durch Kombination aus Multiplikation und Addition. Nicht besetzte Stellen innerhalb eines Zahlwortes müssen kenntlich gemacht werden. Ziffer 0 erforderlich. Für beliebig große (und kleine) Zahlen kommt man mit zehn Ziffern aus. Die Zahlwörter sind relativ kurz und einfach zu lesen. Schriftliche Rechenverfahren können rasch, elegant und weitgehend unkompliziert durchgeführt werden. Kapitel : Natürliche Zahlen N.
12 Stellenwertsysteme Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun Zehn Zentrale Begriffe: Bündelung Stellenwert Kapitel : Natürliche Zahlen N.
13 Zaubertrick Kapitel : Natürliche Zahlen N.
14 Zaubertrick Kapitel : Natürliche Zahlen N.4
15 Zaubertrick Kapitel : Natürliche Zahlen N.5
16 Zaubertrick Kapitel : Natürliche Zahlen N.6
17 Zaubertrick Kapitel : Natürliche Zahlen N.7
18 Zaubertrick Kapitel : Natürliche Zahlen N.8
19 Zahldarstellung im Dualsystem Kapitel : Natürliche Zahlen N.9
20 Zahldarstellung im Dualsystem Kapitel : Natürliche Zahlen N.0
21 Zahldarstellung im Dualsystem Kapitel : Natürliche Zahlen N.
22 Zahldarstellung im Dualsystem Kapitel : Natürliche Zahlen N.
23 Zahldarstellung im Dualsystem Kapitel : Natürliche Zahlen N.
24 Zahldarstellung im Dualsystem Kapitel : Natürliche Zahlen N.4
25 Addition im 4er-System Vierundsechziger Sechzehner Vierer Einer 4 V V V E Kapitel : Natürliche Zahlen N.5
26 Multiplikation im 4er-System = Kapitel : Natürliche Zahlen N.6
27 Typisierung von Subtraktionsverfahren Übertragstechniken Verfahren Entbündeln Erweitern Auffüllen Abziehen + + Ergänzen Früher die einzigen von der KMK zugelassenen Verfahren. Heute vielfach bevorzugtes Verfahren. (International schon sehr lange!) Kapitel : Natürliche Zahlen N.7
28 6 5 Auffüllen Subtraktion: 6 5 Umdeutung als Addition: Kurz: Kapitel : Natürliche Zahlen N.8
29 Gleichsinniges Ergänzen 6 5 Erweitern Ausführlich: Kurz: Kapitel : Natürliche Zahlen N.9
30 6 5 Entbündeln Ausführlich: Kurz: Kapitel : Natürliche Zahlen N.0
31 6 5 Entbündeln Kapitel : Natürliche Zahlen N.
32 Rechengesetze der Multiplikation Kommutativgesetz Für alle aa, bb N gilt: aa bb = bb aa Distributivgesetz Für alle aa, bb, cc N gilt: () aa bb + cc = aa bb + aa cc () aa + bb cc = aa cc + bb cc 55 = 55 (44 + ) = 44 + Assoziativgesetz Für alle aa, bb, cc N gilt: aa bb cc = aa bb cc 44 = ( 44) Kapitel : Natürliche Zahlen N.
33 Rechengesetze der Division Die Division ist weder kommutativ noch assoziativ! Distributivgesetz (Es existiert nur eines!) Für alle aa, bb N 0 und cc N gilt: (aa + bb) cc = aa cc + bb cc Die Rechengesetze für Addition und Subtraktion können analog veranschaulicht werden. Kapitel : Natürliche Zahlen N.
34 Teilerrelation, Teilbarkeitsregeln Division in N nicht immer durchführbar. Teilerrelation bb cc bb ist genau dann Teiler von cc, wenn es ein aa N gibt mit aa bb = cc. Teilbarkeitsregeln Eine Zahl ist durch Endziffern- Test teilbar, wenn die letzte Ziffer eine Null ist. 55 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist. teilbar, wenn die letzte Ziffer durch teilbar ist. Endziffern- Test Quersummen-Test 44 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. 88 teilbar, wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. teilbar, wenn die Quersumme durch teilbar ist. 99 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. 66 teilbar, wenn sie durch und durch teilbar ist. teilbar, wenn die alternierende Quersumme durch teilbar ist. Kapitel : Natürliche Zahlen N.4
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