Technische Informatik I

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1 Vorlesung A Organisatorisches Sommersemester 22 [S 21] 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] 1 A 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] 1 1 ozent 2 Übungsbetreuung Priv.-oz. r.-ing. Franz. Hauck Teodora Guenkova-Luy guenkova@vs.informatik.uni-ulm.de Abteilung Verteilte Systeme (Prof. r. P. Schulthess) hauck@informatik.uni-ulm.de Sprechstunde: Mi Uhr, Raum O Marc Prager prager@vs.informatik.uni-ulm.de Linggang hen chen@informatik.uni-ulm.de Studentische Hilfskräfte Holger Hoffmann holger.hoffmann@informatik.uni-ulm.de Tobias Bausch tobias.bausch@wohnheim.uni-ulm.de 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] A 2 A 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] 3

2 3 Studiengänge 4 Inhalt iplomstudiengang Informatik (1. od. 2. Sem.) iplomstudiengang Informatik-Intensiv (2. Sem.) Bachelorstudiengang Informatik (1. od. 2. Sem.) iplomstudiengang Medieninformatik (1. od. 4. Sem.) Aufbau von Rechnersystemen Unter die Haube sehen Stichwörter igitale Logik igitale Schaltungen Rechnerarithmetik Mikroarchitektur Instruktionssatz Rechnerarchitektur Ein-, Ausgabegeräte Betriebsystemkonzepte 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] A 4 A 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] 5 5 Aufbau 6 Vorlesung Vorlesung und Übung im SS (4+1 SWS, 7 LP) Termine: Mi , HS linik später H22 o , H4/5 später H22 I (4+1 SWS, 7 LP) Vorlesung und Übung im WS Praktikum Technische Informatik (2 SWS, 4 LP) vorlesungsbegleitend Teil 1 im SS, Teil 2 im WS Hinweis für Studierende Medieninformatik iplom Vorlesung und Übung Techn. Informatik I plus 1. Teil Praktikum zählen als 4+2 SWS und 8 LP Skript Folien der Vorlesung werden im WWW zur Verfügung gestellt und können selbst ausgedruckt werden weitergehende Informationen zum Nachlesen findet man am Besten in der angegebenen Literatur URL zur Veranstaltung auch über Pinwand erreichbar hier findet man Termine, Folien zum Ausdrucken und Zusatzinformationen 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] A 6 A 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] 7

3 6 Vorlesung (2) Literatur A. lements: The Principles of omputer Hardware. 3rd Ed., Oxford Univ. Press, 2. Ergänzungsliteratur. arpinelli: omputer Systems, Organization & Architecture. Addison- Wesley, 21. M. Murdocca, V. Heuring: Principles of omputer Architecture. Prentice- Hall, 2. W. Oberschelp, G. Vossen: Rechneraufbau und Rechnerstrukturen. 8. Aufl., Oldenbourg, 2. A. Tanenbaum: Modern Operating Systems. 2nd Ed. Prentice Hall, Vorlesung (3) Rückmeldungen und Fragen Geben Sie mir Rückmeldungen über den Stoff. Nur so kann eine gute Vorlesung entstehen. Stellen Sie Fragen! Machen Sie mich auf Fehler aufmerksam! Nutzen Sie außerhalb der Vorlesung die Möglichkeit, elektronische Post zu versenden: hauck@informatik.uni-ulm.de! 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] A 8 A 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] 9 7 Übungen und Praktikum 8 Studien- bzw. Prüfungsleistungen Übungen Termin: i , H1 Übungsbeginn: Weitere Termine: 28.5., 11.6., 25.6., 9.7. und Besprechung von Übungsaufgaben Praktikum (Teil 1) Vorbesprechung und Einteilung am i , , H1 (Teilnahme verpflichtend) Versuch 1 (kombinatorische Logik) Versuch 2 (sequentielle Logik) Versuch 3 (Zustandsmaschinen) Informatik iplom, Informatik intensiv iplom Voraussetzung Leistungsnachweis Praktikum (Teile 1 und 2) lausur nach dem WS über Vorlesung, Übung und Praktikum und II (auer 18min) Wiederholungsklausur nach dem SS Informatik Bachelor Leistungsnachweis Praktikum (Teile 1 und 2) lausur nach dem SS über Vorlesung, Übung und Praktikum (Teil 1) (auer 9min) Wiederholungsklausur nach dem WS lausur nach dem WS über Vorlesung, Übung und Praktikum (Teil 2) I (auer 9min) Wiederholungsklausur nach dem SS 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] A 1 A 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] 11

4 8 Studien- bzw. Prüfungsleistungen Medieninformatik iplom lausur nach dem SS über Vorlesung, Übung und Praktikum (Teil 1) (auer 9min) Wiederholungsklausur nach dem WS 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-A-Org.fm, ] A 12

5 1 Zielsetzung Verständnis zum Aufbau und der Arbeitsweise von Rechnersystemen Möglichkeiten und Grenzen der Hardware Verständnis für spezifisches Systemverhalten Entwicklung hardwarenaher Programme B Einführung Ansteuerung von Ein- Ausgabegeräten (z.b. Treiber) Implementierung effizienter Programme (z.b. in Maschinensprache) 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 1 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 2 1 Zielsetzung (2) 2 Analoge und digitale Rechner Grundlage für Hauptstudiumsveranstaltungen Bereich Technische und Systemnahe Informatik Entwurf digitaler Hardware Rechnerarchitektur Betriebssysteme Rechnernetze Verteilte Systeme Analogrechner Verarbeitung kontinuierlicher Größen Länge, Spannung, Temperatur Größe Beispiele: Rechenschieber (17. ahrhundert) Feuerleitrechner (Anfang d. 2. ahrhunderts) elektromechanischer Analogrechner (um 193) nach lements Zeit 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 3 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 4

6 2 Analoge und digitale Rechner (2) 2 Analoge und digitale Rechner (3) igitale Rechner Verarbeitung diskreter Größen mechanische Rasten, Spannungsniveaus, Stromfluss Größe Beispiele: Abacus (3 v. hr.) Lochkartenwebstuhl (Anfang 19. ahrhundert) heutige Rechner nach lements Zeit Vergleich: Genauigkeit Unterscheidung Genauigkeit der arstellung von Größen Genauigkeit der Verarbeitung von Größen Analogrechner theoretisch beliebig genau arstellung unpräzise Mechanik/Elektronik des Rechners: Ungenauigkeiten selbst bei einfachen Berechnungen (z.b. durch Temperaturabhängigkeit) igitalrechner theoretisch ungenau arstellung (kann nur in Stufen rechnen) unpräzise Mechanik/Elektronik des Rechners: nur in Extremfällen Ungenauigkeiten bei der Verarbeitung 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 5 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 6 2 Analoge und digitale Rechner (4) 2 Analoge und digitale Rechner (5) Vergleich: atenspeicherung Analogrechner Analogrechner Einsatz für Spezialprobleme Speicherung von aten problematisch Beispiel: siehe z.b. alte Tonkassetten Lösen von ifferentialgleichungen igitalrechner Speicherung von aten einfach realisierbar heute nicht mehr in Gebrauch igitalrechner heute vorwiegend elektronische igitalrechner im Einsatz Vorteil insbesondere höhere Genauigkeit lässt sich kostengünstiger als bei Analogrechnern erreichen 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 7 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 8

7 3 Historische Entwicklung 3 Historische Entwicklung (2) 3 v. hr Abacus: älteste Rechenhilfe der Welt Grundlagen der Logik (Gottfried Wilhelm Leibniz) genauer Ursprung unklar verschiedene Versionen noch heute im asiatischen Raum im Einsatz 1673 mechanische Rechenmaschine, Stepped Reckoner (Leibniz) vier Grundrechenarten 1629 Wurzelziehen Rechenschieber (William Oughtred) 1642 Präzisionsprobleme bei der Herstellung Pascaline (Blaise Pascal) mechanische Rechenmaschine nur Addition 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 9 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 1 3 Historische Entwicklung (3) 3 Historische Entwicklung (4) automatischer Webstuhl (oseph acquard) ifferenzmaschine (harles Babbage) Lochkarten bestimmen Muster Präzisionsprobleme bei der Herstellung Löcher steuern Anheben und Senken der ettfäden erster Nur-Lese-Speicher (ROM, Read-Only Memory) 1834 nie vollendet Analytische Maschine (Babbage) theoretisch programmierbar erster universeller Rechenautomat Rechenwerk Mill Speicher Store Einsatz von Lochkarten erste Programmierin: Lady Augusta Ada Lovelace 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 11 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 12

8 3 Historische Entwicklung (5) 3 Historische Entwicklung (6) Boolesche Algebra (George Boole) elektromech. Analogrechner ifferential Analyzer (Vannevar Bush) binäre logische Operationen Basis für heutige igitalrechner 194 Z3 (onrad Zuse) 189 Relaistechnik (22 Stück) Tabelliermaschine (Herman Hollerith) 1 Hertz Taktfrequenz Zähl- und Sortiermaschine (Volkszählung) 22-stellige Binärzahlen (Gleitkomma-Format) Basis Lochkarten dezimale Ein-/Ausgabe Holleriths Firma wurde später zur IBM Speicher mit 64 Worten Steuereinheit mit Sequenzer Addition in 3 Takten, Multiplikation in 16 Takten 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 13 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 14 3 Historische Entwicklung (7) 3 Historische Entwicklung (8) 1945 von Neumann Architektur (ohn von Neumann) klassischer Universalrechner vier wesentliche omponenten: Leitwerk, Rechenwerk, Speicherwerk, Ein- u. Ausgabewerk Programme und aten in einem Speicher Rechenwerk mit ALU und Registern Leitwerk mit fetch-decodeexecute Instruktionszyklus E/A-Werk zur Ein- und Ausgabe binäre odierung Leitwerk E/A-Werk Rechenwerk Speicherwerk 1946 ENIA (ohn Mauchly, Presper Eckert) Röhrentechnik (19 Stück) 13 m 2, 3 Tonnen, 14 kw ca. 5 Additionen je Sek. 2 Akkumulatoren 1 Multiplizierer, 3 Funktionstabellen programmiert durch abelverbindungen E/A mittels Lochkarten gebaut für ballistische Berechnungen 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 15 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 16

9 3 Historische Entwicklung (9) 3 Historische Entwicklung (1) 1959 Integrierte Schaltung (ack ilby) 1961 PP-1 (E) Transistortechnik magnetischer ernspeicher für Bit Worte 2 khz Takt RT, 512 x 512 Pixel Grafik erster Minicomputer 1965 IBM 36 erste Rechnerfamilie mit gleichem Instruktionssatz Mehrprogrammbetrieb mikroprogrammierbar 32-Bit Worte 16 MByte Adressraum 1968 Strukturierte Programmierung (Edsger ijkstra) 1965 PP-8 Omnibus (erstes Bussystem) 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 17 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 18 3 Historische Entwicklung (11) 3 Historische Entwicklung (12) PP-11 E Alpha 2164 erster RIS-Mikroprozessor mit 64-Bit PU 16-Bit Speicherworte Entwicklungsumgebung für UNIX und 1997 Supercomputer ASI Red 1 TFlops 1976 ray-1 erster Vektorrechner 2 erster Mikroprozessor mit 1 GHz Taktfrequenz 1985 MIPS erster RIS-Mikroprozessor 1987 onnection Machine erster massiv paralleler Rechner mit Prozessoren 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 19 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 2

10 3.1 Entwicklung der Prozessoren 3.1 Entwicklung der Prozessoren (2) Beispiel: Prozessoren von Intel 1974 Intel 88 erste universelle 8-Bit PU auf einem hip 1978 Intel 886 erste 16-Bit PU auf einem hip 1981 Einführung des IBM P 1985 Intel 8386 erste 32-Bit PU) 1993 Intel Pentium zwei Pipelines 1995 Intel Pentium Pro bis zu fünf Instruktionen gleichzeitig 2 Pentium 4 bis zu 2,4 GHz Takt 21 Itanium 64 Bit PU 1989 Intel 8486 ache auf hip integriert 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 21 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] Leistungssteigerung 3.3 omplexitätssteigerung Mooresches Gesetz Verdoppelung der Transistorzahl alle 18 Monate 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 23 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 24

11 3.4 Entwicklung der Betriebssysteme 3.4 Entwicklung der Betriebssysteme (2) Stapelverarbeitung Wechselpufferbetrieb Spooling (Trennung von Ein-, Ausgabe und Berechnung) 1964 OS 36 (IBM) allgemeines Betriebssystem mit Mehrprogrammbetrieb 1969 Unix (Bell Labs) Betriebssystem für Minicomputer 1972 MVS (IBM) Virtueller Speicher 1976 PM 8 (igital Research) Betriebssystem für Mikroprozessor 1981 MS/OS (Microsoft) urchbruch als Mikroprozessor-Betriebssystem 1982 MacOS / Finder (Apple) graphische Oberfläche 1985 Netware (Novell) Vernetzung von Ps 1986 MS Windows (Microsoft) die graphische Oberfläche für P 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 25 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] Entwicklung der Betriebssysteme (3) 4 Schichtenmodell 199 Windows NT (Microsoft) echter Multiprogrammbetrieb nun auch auf dem P 1996 Linux (Linus Thorvald) Open Source Unix 21 Windows XP (Microsoft) bunter, schneller, besser (?) Abstraktionsschichten eines Rechensystems Ebene 6 Problemorientierte Sprache ompiler Ebene 5 Assemblersprache Assembler Ebene 4 Betriebssystem Teilinterpretation Ebene 3 ISA (Instruction Set Architecture) Interpretation durch Mikroprogramm Ebene 2 Mikroarchitektur Implementierung in Gattern Ebene 1 igitale Logik Implementierung in Hardware Ebene Physik 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 27 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 28

12 5 Struktur der Vorlesung 5 Struktur der Vorlesung (2) Überblick A Organisatorisches B Einführung Schaltalgebra Sequentielle Logik E Technologische Grundlagen F Programmierbare Logikbausteine G Zahlendarstellung H Rechnerarithmetik I Hypothetischer Prozessor Prozesse und Nebenläufigkeit Speicherverwaltung Einordnung der apitel Ebene 6 Problemorientierte Sprache Ebene 5 Assemblersprache Ebene 4 Betriebssystem Ebene 3 Ebene 2 Ebene 1 Ebene ISA (Instruction Set Architecture) E Mikroarchitektur igitale Logik Physik I F H A G B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] B 29 B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1-B-Intro.fm, ] 3

13 1 Einordnung Ebene 6 Problemorientierte Sprache Ebene 5 Assemblersprache Schaltalgebra Ebene 4 Ebene 3 Ebene 2 Betriebssystem ISA (Instruction Set Architecture) Mikroarchitektur Ebene 1 igitale Logik Ebene Physik 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 1 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 2 2 igitale elektrische Systeme 2.1 Einfache Schaltungen Einfaches Szenario: Lampenschaltung Einfaches Szenario: zwei Schalter in Reihe Schalter Spannungsquelle Lichquelle Strom kann bei geschlossenem Stromkreis fließen. Lampe leuchtet nur dann, wenn der erste und der zweite Schalter geschlossen sind. Zwei Zuständen: Strom fließt Lampe leuchtet Strom fließt nicht Lampe bleibt dunkel 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 3 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 4

14 2.1 Einfache Schaltungen (2) 2.2 omplexe Schaltung Einfaches Szenario: zwei parallele Schalter omplexes Szenario: viele Schalter Lampe leuchtet nur dann, wenn der erste oder der zweite Schalter geschlossen sind. Wann leuchtet die Lampe? 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 5 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 6 3 Logische Schaltungen 3 Logische Schaltungen (2) Bisher: Elementare Funktionen über die beiden Zustände Stromkreis, Schalter und Lampe realisiert mit Funktionsbausteinen (Gatter) Betrachtung aus dem Blickwinkel der Logik Eingänge und Ausgänge zwei Zustände omplexere Funktionen durch mehrere zusammengeschaltete Gatter an aus Stromfluss kein Fluss wahr falsch Logische Funktion tritt in den Vordergrund Elektronik wird weniger wichtig true false 1 Betrachtung elementarer Funktionen / Gatter Realisierung mit elektronischen Bausteinen zwei Zustände, z.b. Stromfluss kein Stromfluss 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 7 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 8

15 3.1 Und-Gatter 3.2 Oder-Gatter Implementierung der onjunktion zwei Parameter A B Y = A B Y A B Y Wahrheitstafel A B alternative Schreibweisen & Y A B Y = A B Y = AB Y = A&B Y Implementierung der isjunktion zwei Parameter A B Y = A + B Y A B Y Wahrheitstafel A B alternative Schreibweisen Y A B Y = A B Y mehrere Parameter mehrere Parameter A 1 A 2 Y A 1 A 2 Y A n A n Y = A 1 A 2 A n Y = A 1 + A A n 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 9 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Nicht-Gatter 3.4 Logische Schaltungen Implementierung der Negation ein Parameter alternative Schreibweisen A Y A Y A Y 1 1 A Y Y A Wahrheitstafel Y = A Y = A Zusammenschalten mehrere elementarer Gatter zu einer Schaltung Eingänge und Ausgänge Beispiel 1: A X B Y 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 11 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 12

16 3.4 Logische Schaltungen (2) 4 Boolesche Algebra Beispiel 2: Von George Bool 1854 entwickelte Algebra zwei Werte: und 1 A B X Y drei Operationen: + und und vier Axiome (nach Huntington, 194): 1. ommutativität A + B = B + A A B = B A 2. Neutrales Element + A = A 1 A = A Problemkreise Synthese von Schaltungen aus Wahrheitstabelle Nachweis der Äquivalenz von Schaltungen minimaler Aufbau von Schaltungen (ostenersparnis) 3. istributivität ( A + B) = ( A ) + ( B ) ( A B) + = ( A + ) ( B + ) 4. omplementäres Element A + A = 1 A A = 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 13 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Wichtige Sätze 4.1 Wichtige Sätze (2) Aus den Axiomen beweisbare Sätze Abgeschlossenheit Boolesche Operationen liefern nur boolesche Werte als Ergebnis Assoziativität A + ( B + ) = ( A + B) + A ( B ) = ( A B) Idempotenz A + A = A A A = A Absorption A + ( A B) = A A ( A + B) = A oppeltes omplement ( A) = A omplementäre Werte = 1 1 = Satz von e Morgan ( A + B) = A B ( A B) = A + B ualität Für jede aus den Axiomen ableitbare Aussage gibt es eine duale Aussage, die durch Tausch der Operationen + und sowie durch Tausch der Werte und 1 entsteht. 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 15 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 16

17 4.2 Schaltalgebra 5 Schaltfunktionen Boolesche Algebra für logische Schaltungen Operation UN ( ) Operation OER (+) Operation NIHT ( ) zwei Zustände und 1 entsprechen den Werten Gesetze der Booleschen Algebra helfen bei Synthese von Schaltungen aus Wahrheitstabellen Nachweis der Äquivalenz von Schaltungen Minimisierung von Schaltungen Zweiwertige Funktion über zweiwertige Variablen eindeutige Zuordnungsvorschrift mögliche Wertekombinationen der Eingabevariablen je ein Ergebniswert bei n Eingabevariablen ergeben sich 2 n ombinationsmöglichkeiten für mögliche Eingabewerte arstellung durch boolesche Ausdrücke Variablen und Operationen aus der booleschen Algebra Beispiel: f( a, b, c) = a b + c a b c f(a,b,c) 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 17 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Wahrheitstafeln 5.2 Einstellige Schaltfunktionen Tabellarische arstellung der Zuordnung Beispiel: a b c f(a,b,c) Vier einstellige Schaltfunktionen Name: Negation Nullfunktion Identitätsfunktion Einsfunktion x f(x) f(x) f(x) f(x) Wahrheitstafel: Ausdruck: fx ( ) = fx ( ) = x fx ( ) = x fx ( ) = 1 ( ) Es gibt 2 2n verschiedene n-stellige Schaltfunktionen 256 dreistellige Schaltfunktionen 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 19 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 2

18 5.3 Zweistellige Schaltfunktionen 5.3 Zweistellige Schaltfunktionen (2) Sechzehn zweistellige Schaltfunktionen Name: onjunktion: UN-Funktion onjunktion Sechzehn zweistellige Schaltfunktionen Name: exklusives Oder isjunktion exklusives Oder: Antivalenz, Addition-Modulo-2, fx ( ) = x y 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 21 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Zweistellige Schaltfunktionen (3) 5.3 Zweistellige Schaltfunktionen (4) Sechzehn zweistellige Schaltfunktionen Sechzehn zweistellige Schaltfunktionen Name: Nullfunktion x y f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x,y) Wahr- heits- 1 tafel: Ausdruck: fxy (, ) = fxy (, ) = x y fxy (, ) = x y fxy (, ) = x x y f(x) f(x) f(x) f(x) Wahr- heits tafel: Ausdruck: fxy (, ) = x y fxy (, ) = y fxy (, ) = x y + x y fxy (, ) = x + y Peirce- Funktion Peirce-Funktion: negiertes Oder, NOR Äquivalenz: fx ( ) = x y Implikation: fx ( ) = y x Äquivalenz Implikation Name: Implikation Sheffer-Funktion Implikation: fx ( ) = x y Sheffer-Funktion: negiertes UN, NAN x y f(x) f(x) f(x) f(x) Wahr heits- 1 tafel: Ausdruck: fxy (, ) = x y fxy (, ) = x y + x y fxy (, ) = y fxy (, ) = x + y Eins- Funktion x y f(x) f(x) f(x) f(x) Wahr heits tafel: Ausdruck: fx ( ) = x fx ( ) = x + y fx ( ) = x y fx ( ) = 1 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 23 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 24

19 5.4 Sheffer-Funktion 5.4 Sheffer-Funktion (2) Eine Funktion zur arstellung aller anderen Sheffer-Funktion / NAN NIHT-Funktion X Y = X rei grundlegenden Funktionen sind darstellbar alle Schaltfunktionen darstellbar Neben Sheffer-Funktion auch Peirce-Funktion ebenfalls alle grundlegenden Funktionen darstellbar UN-Funktion A B OER-Funktion Y = A B NAN leicht in Hardware realisierbar A B Y = A + B 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 25 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] arstellung von Schaltfunktionen 5.6 Normalformen Mögliche arstellungen Normierte Ausdrücke zur arstellung von Schaltfunktionen Wahrheitstabelle boolescher Ausdruck Schaltung mit elementaren Gattern (UN, OER, NIHT) Begriffe Produktterm einfache Variable (evtl. negiert) Problem onjunktion einfacher Variablen (jeweils evtl. negiert) boolescher Ausdruck und Schaltung sind nicht eindeutig Beispiele: x, x, x y z mehrere Ausdrücke (Schaltungen) repräsentieren die gleiche Schaltfunktion Summenterm analog zu Produktterm, jedoch isjunktion Beispiele: x, x, x + y + z 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 27 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 28

20 5.6 Normalformen (2) Weitere Begriffe Minterm Produktterm, in dem jede Variable einer Schaltfunktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert) Beispiel: x 1 x 2 x 3 x 4 ist Minterm für Funktion fx ( 1, x 2, x 3, x 4 ) Maxterm Summenterm, in dem jede Variable einer Schaltfunktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert) Beispiel: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ist Maxterm für Funktion fx ( 1, x 2, x 3, x 4 ) 5.6 Normalformen (3) Noch mehr Begriffe disjunktive Normalform (NF) isjunktion von Produkttermen Beispiel: x + x y + y z konjunktive Normalform (NF) onjunktion von Summentermen Beispiel: x ( x + y) ( y + z) 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 29 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Normalformen (4) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra Noch mehr aber besonders wichtige Begriffe kanonische disjunktive Normalform (NF, F) isjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen Beispiel: NF zur Funktion fx ( 1, x 2, x 3, x 4 ): x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 kanonische konjunktive Normalform (NF, F) onjunktion einer Menge von Maxtermen mit gleichen Variablen Beispiel: NF zur Funktion fx ( 1, x 2, x 3, x 4 ): ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) ede Schaltfunktion lässt sich als genau eine NF darstellen Für jedes fx ( ) = 1 aus der Wahrheitstafel bilde man einen Minterm für die NF. Eine Variable x i wird invertiert, wenn die Variable für diesen Eintrag in der Wahrheitstabelle ist, ansonsten einfach verwendet. Beispiel: x 1 x 2 x 3 x 4 f(x 1,x 2,x 3,x 4 ) x 1 x 2 x 3 x 4 arstellung durch NF bis auf Vertauschungen eindeutig (ommutativität) 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 31 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 32

21 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (2) ede Schaltfunktion lässt sich als genau eine NF darstellen Für jedes fx ( ) = aus der Wahrheitstafel bilde man einen Maxterm für die NF. Eine Variable x i wird invertiert, wenn die Variable für diesen Eintrag in der Wahrheitstabelle 1 ist, ansonsten einfach verwendet. Beispiel: x 1 x 2 x 3 x 4 f(x 1,x 2,x 3,x 4 ) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (3) Überführung der kanonischen Normalformen ineinander Wegen ualität gilt: NF( f( x) ) = NF( f( x) ) und NF( f( x) ) = NF( f( x) ) 1 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 arstellung durch NF bis auf Vertauschungen eindeutig (ommutativität) 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 33 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 34 6 Synthese von Schaltungen 6.1 Beispiel: Oderfunktion (2) Vorgehen Aufstellen der Wahrheitstafel Bilden der NF (oder NF) Aufbau der dazugehörigen Schaltung 6.1 Beispiel: Oderfunktion Wahrheitstafel für eine einfache zweistellige Funktion x 1 x 2 f(x 1, x 2 ) Bildung der NF Suchen der Stellen fx ( 1, x 2 ) = 1 Summieren der entsprechenden Minterme: fx ( 1, x 2 ) = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 Problem Schaltung wird in aller Regel nicht minimal sein , Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 35 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 36

22 6.2 Beispiel: Eingabemelder 6.2 Beispiel: Eingabemelder (2) Zwei dreistelliges Schaltfunktionen Uninteressante Funktionswerte eine der Eingabevariablen kann 1 sein einige Eingabewerte können nicht vorkommen / werden ausgeschlossen Ergebnis ist Nummer der Eingabevariable (als Ergebnis zweier Schaltfunktionen) don t care Ergebnisse mit d gekennzeichnet Wahrheitstafel x 3 x 2 x 1 f 2 (x 1, x 2, x 3 ) f 1 (x 1, x 2, x 3 ) Bildung der NF für beide Schaltfunktionen f 2 ( x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x f 1 ( x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x d d uninteressante Funktionsergebnisse werden nicht berücksichtigt (d.h. bei NF wie Null-Ergebnisse behandelt) 1 1 d d 1 1 d d d d 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 37 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 38 7 Äquivalenz von Schaltfunktionen 8 Minimisierung Schaltfunktionen lassen sich auf gleiche NF (bzw. NF) zurückführen Umformungen nach den Gesetzen der Boolschen Algebra Erhaltung der Schaltfunktion Suche nach einer minimalen arstellung einer Schaltfunktion Größenbegriff notwendig Menge der notwendigen Gatter Anzahl der Variablen Nutzen z.b. Minimisieren von Schaltfunktionen Anzahl der notwendigen Is Anzahl der notwendigen ontakte Größenbegriff von den osten bestimmt Größenbegriff hier Anzahl der Symbole 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 39 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 4

23 8.1 Grundlage der Minimisierung 8.2 Vorgehensweise Gesetze der Booleschen Algebra insbesondere Manuelles Minimisieren Umformen (z.b. der NF) nach den Regeln der Booleschen Algebra A B+ A B = A Beweis A B+ A B = A ( B + B) A ( B + B) = A 1 A 1 = A wg. (ommutativität u.) istributivität wg. komplementärem Element wg. neutralem Element Algorithmisches Verfahren Verfahren nach Quine/Mcluskey kann durch ein Programm angewandt werden geeignet für Schaltfunktionen mit vielen Variablen Graphische Verfahren Händlersche reisgraph arnaugh-veitch iagramme geeignet für Schaltfunktionen mit wenigen Variablen 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 41 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] arnaugh-veitch-iagramme 8.3 arnaugh-veitch-iagramme (2) Ausgangspunkt NF (oder NF) Rechteckschema je ein Feld für jeden möglichen Minterm (Maxterm) Anordnung der Felder, so dass benachbarte Felder bzw. Minterme zusammenfassbar iagramm für zweistellige Schaltfunktion Funktion: fx ( 1, x 2 ) iagramm: iagrammaufbau jede Variable x i halbiert das iagramm in zwei zusammenhängende Teile erster Teil für xi zweiter Teil für Variable x 1 x i x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 Variable x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 43 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 44

24 8.4 Beispiel: Oderfunktion 8.4 Beispiel: Oderfunktion (2) Aufstellen der NF fx ( 1, x 2 ) = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 Eintragung in das iagramm Eintragung einer 1, wenn Minterm benötigt wird Eintragung einer, wenn Minterm nicht benötigt wird Markierung möglichst weniger und möglichst großer zusammenhängender Bereiche mit 1en nur Schnittmengen von vollständigen Hälften (insbesondere einzelne Minterme) oder Gesamtdiagramm erlaubt alle 1 Felder müssen schließlich markiert sein x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x x markierten Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: Eintragung auch direkt aus Wahrheitstafel möglich fx ( 1, x 2 ) = x 1 + x 2 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 45 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Beispiel: Oderfunktion (3) 8.5 Beispiel: Eingabemelder Alternative Markierung reistellige Schaltfunktionen Markierung nicht so groß wie möglich, aber alle 1en markiert arnaugh-veitch-iagramm x 2 x 2 x 1 x x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 markierten Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 fx ( 1, x 2 ) = x 1 + x 1 x 2 Funktion korrekt, jedoch nicht minimal 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 47 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 48

25 8.6 Beispiel: Eingabemelder (2) Halbierungen des iagramms Variable x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x Beispiel: Eingabemelder (3) Halbierungen des iagramms Variable x 3 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Variable x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Wichtig: die Bereiche für gehören zusammen x 2 Vorstellung: iagramm ist an den Rändern zusammengeklebt 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 49 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Beispiel: Eingabemelder (4) 8.7 Beispiel: Eingabemelder (5) Belegen des iagramms aus der Wahrheitstafel Funktion aus Folie -37 f 2 Eintragung der don t care -Werte Markierungen für f 2 zwei Bereiche x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x 3 x 1 x 1 1 d 1 d d d don t care -Werte können mitmarkiert werden oder nicht Ziel: möglichst große Bereiche markieren markierte don t care -Werte werden später zu 1, andere zu x 3 x 3 1 d 1 d d d markierten Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: fx ( 1, x 2, x 3 ) = x 2 + x 3 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 51 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 52

26 8.8 Beispiel: unbestimmte Funktion Gegeben folgende Belegung aus der Wahrheitstafel Welche Markierungen? 8.8 Beispiel: unbestimmte Funktion (2) Gegebene Belegung aus der Wahrheitstafel Beste Markierung: x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 1 d d d x 3 1 d d d x 3 x 3 markierten Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: fx ( 1, x 2, x 3 ) = x 2 + x 3 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 53 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Vierstellige Funktionen 8.9 Vierstellige Funktionen (2) arnaugh-veitch-iagramm für vierstellige Schaltfunktion Halbierungen für vierstellige Schaltfunktion x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 3 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 55 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 56

27 8.9 Vierstellige Funktionen (3) Halbierungen für vierstellige Schaltfunktion x 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x Vierstellige Funktionen (4) Markierungen insbesonder folgende Markierung möglich X X X X X X X X Vorstellung: iagramm ist an den Seiten jeweils zusammengeklebt x x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 X X X X 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 57 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Beispiel: 2x2-Multiplizierer 8.11 Beispiel: 2x2-Multiplizierer (2) Binärer Multiplizierer für 2 mal 2 Eingänge Binärdarstellung von Zahlen von bis 3 bzw. bis 15 zwei Eingänge a 1 und a zwei Eingänge b 1 und b vier Ausgänge y 3, y 2, y 1 und y a 1 = x 1 a = x 2 b 1 = x 3 b = x 4 y 3 y 2 y 1 y x = x 1 = 1 x 2 = 1 x 3 = x = 1 1 x 1 = x 2 = x 3 = x = 1 2 x 1 = x 2 = x 3 = x = x 1 = x 2 = x 3 = , Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 59 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 6

28 8.11 Beispiel: 2x2-Multiplizierer (3) 8.11 Beispiel: 2x2-Multiplizierer (4) arnaugh-veitch-iagramm für y : arnaugh-veitch-iagramm für y 1 : x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 4 x x 4 x x x x 4 x 3 x 4 x Markierte Bereiche: Markierte Bereiche: y = x 2 x 4 y 1 = x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 4 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 61 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] Beispiel: 2x2-Multiplizierer (5) 8.11 Beispiel: 2x2-Multiplizierer (6) arnaugh-veitch-iagramm für y 2 : arnaugh-veitch-iagramm für y 3 : x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 1 x 4 1 x 4 x x 4 x 3 Markierte Bereiche: Markierte Bereiche: y 2 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 3 x 4 y 3 = x 1 x 2 x 3 x 4 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 63 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 64

29 9 Schaltnetze 9 Schaltnetze (2) Mehrere Schaltfunktionen (ombinational Networks) sind von gleichen Eingangsvariablen abhängig f 1 ( x 1, x 2,, x n ) f 2 ( x 1, x 2,, x n ) f m ( x 1, x 2,, x n ) entspricht Schaltung mit mehreren Ausgängen x 1 x 2 x n ombinatorische Logik f 1 (x) f 2 (x) f m (x) Gerichteter, azyklischer Graph Gatter, Ein- und Ausgänge sind noten Verbindungsleitungen sind anten (gerichtet von Eingang zu Ausgang) Aufbau von Schaltnetzen einstufige (nur eine Gatterebene) zweistufige (zwei Gatterebenen) mehrstufige Folgerung aus arstellung durch kanonische Normalformen edes Schaltnetz ist zweistufig realisierbar, wenn alle Signale einfach und negiert vorliegen und Gatter mit ausreichender Anzahl von Eingängen vorliegen. 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 65 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 66 9 Schaltnetze (3) 9 Schaltnetze (4) Begründung Bezug zur NF (oder NF) alle Variablen werden einfach oder negiert benutzt zunächst Minterme: ein Und-Gatter pro Minterm (erste Stufe) Summe der Minterme: ein Oder-Gatter für alle Minterme x 3 x 2 x 1 f 2 f 1 Anzahl der notwendigen Gatter bei n Eingängen max. 2 n Und-Gatter pro Schaltfunktion mit bis zu n Eingängen (NF) ein Oder-Gatter mit bis zu 2 n Eingängen Minimisierung reduziert Gatteranzahl und Eingangsanzahl pro Gatter Minimisierung parallel für mehrere Schaltfunktionen des Schaltnetzes Verwendung der selben Gatter z.b. arnaugh-veitch-iagramme für mehrere Schaltfunktionen des Netzes Beispiel: Eingabemelder 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 67 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 68

30 1 Typische Schaltnetze aus-k-Multiplexer Steuerleitungen weisen viele Eingabeleitungen einem Ausgang zu n Steuerleitungen s, s 1,, s n 1 (Eingänge) k = 2 n Eingänge x, x 1,, x k 1 ein Ausgang y es gilt: y = x i für ( s n 1,, s 1, s ) 2 = i (Zahlendarstellung im Binärsystem) aus-k-Multiplexer (2) Realisierung für n = 2 als NF y = s 1 s x + s 1 s x 1 + s 1 s x 2 + s 1 s x 3 x y x 1 x 2 x x 1 x k-1 s s 1 s n-1 y Multiplexer (MUX) s s 1 Einsatz x 3 Anzeige und Auswahl verschiedener atenquellen z.b. Auslesen von aten aus Speicherzellen 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 69 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] zu-k-emultiplexer zu-k-emultiplexer (2) Steuerleitungen weisen eine Eingabeleitung vielen Ausgängen zu n Steuerleitungen s, s 1,, s n 1 (Eingänge) ein Eingang x k = 2 n Ausgänge y, y 1,, y k 1 es gilt: y i = x für ( s n 1,, s 1, s ) 2 = i (Zahlendarstellung im Binärsystem) x s s 1 s n-1 y y 1 y k-1 emultiplexer (EMUX) Realisierung für n = 2 als NF Einsatz y = s 1 s x, y 1 = s 1 s x, y 2 = s 1 s x, y 3 = s 1 s x s s 1 x Zuordnung und Auswahl verschiedener atensenken z.b. Speichern von aten in Speicherzellen y y 1 y 2 y 3 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 71 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 72

31 1.3 k-zu-n-odierer Nummer eines Eingangs wird ausgegeben k = 2 n Eingänge x, x 1,, x k 1 immer genau eine Eingangsleitung auf 1 i mit x i = 1 und j i x j = n Ausgänge y, y 1,, y n 1 es gilt: ( y n 1,, y 1, y ) 2 = i (Zahlendarstellung im Binärsystem) 1.3 k-zu-n-odierer (2) Realisierung für n = 2, k = 4 als NF y = x 1 + x 3, y 1 = x 2 + x 3 x 3 x 2 x 1 x y x x 1 x k-1 Encoder y y 1 y n-1 odierer Einsatz y 1 z.b. Signalisierung eines Eingang 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 73 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] n-zu-k-ekodierer 1.4 n-zu-k-ekodierer (2) Eingänge selektieren genau einen von vielen Ausgängen n Eingänge x, x 1,, x n 1 k = 2 n Ausgänge y, y 1,, y k 1 es gilt: y i = 1 und j i y j i = mit ( x n 1,, x 1, x ) 2 = i (Zahlendarstellung im Binärsystem) Realisierung für n = 2, k = 4 als NF y = x x 1, y 1 = x x 1, y 2 = x x 1, y 3 = x x 1 y x x 1 x n-1 ecoder y y 1 y k-1 ekodierer y 1 y 2 x x 1 y 3 Einsatz z.b. ekodierung eines Maschinenbefehls 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 75 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Boole.fm, ] 76

32 1 Einordnung Ebene 6 Problemorientierte Sprache Ebene 5 Assemblersprache Sequentielle Logik Ebene 4 Ebene 3 Ebene 2 Betriebssystem ISA (Instruction Set Architecture) Mikroarchitektur Ebene 1 igitale Logik Ebene Physik 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 1 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 2 2 Begriff Sequentielle Logik 3 Asynchrone und synchrone Schaltwerke ombinatorische Logik Asynchrone Schaltwerke Schaltnetze mit verzögerungsfreien Gattern veränderte Eingänge sorgen für veränderte Ergebnisse sofortiges Ergebnis beim Anlegen von Werten an den Eingängen Gatterlaufzeit bestimmt Zeitdauer bis stabiles Ergebnis vorliegt keine Zyklen/Rückkoppelungen im Schaltnetz zuverlässiges esign schwierig Sequentielle Logik sehr schnelle Schaltungen möglich Gatter haben Laufzeitverhalten Synchrone Schaltwerke Annahme einer Gatterlaufzeit t Taktgeber sorgt für Weiterleitung stabiler Ergebnisse in nächste Stufe Zyklen bzw. Rückkoppelungen langsamste Teilschaltung bestimmt maximale Taktfrequenz Schaltwerke Schaltungen mit Gattern als gerichteter zyklischer Graph 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 3 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 4

33 4 RS-Flip-Flop 4.1 Analyse des Schaltwerks Betrachtung eines einfachen asynchronen Schaltwerks Wegen Rückkoppelung Betrachtung von Ein- und Ausgängen A B X Y Xt ( + t) = At () + Yt () Yt ( + t) = Bt () + Xt () Betrachtung einer onfiguration und deren Auswirkungen nach t : A B X Y X Y 1 1 X und Y sind stabil Wie verhält sich das Schaltwerk bei unterschiedlichen Eingängen? onfiguration: Zur Erinnerung: Wahrheitstafel eines NOR-Gatters A B X Y X Y x 1 x 2 x 1 + x 2 X und Y sind stabil 1 Veränderungen von A bleiben irrelevant , Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 5 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] Analyse des Schaltwerks (2) 4.1 Analyse des Schaltwerks (3) Weitere onfiguration: Weitere veränderliche onfiguration A B X Y X Y 1 1 X und Y sind stabil onfiguration: A B X Y X Y 1 1 X verändert sich onfiguration: A B X Y X Y 1 1 A B X Y X Y X und Y sind stabil danach bleiben X und Y stabil A B X Y X Y Veränderungen von B bleiben irrelevant 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 7 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 8

34 4.1 Analyse des Schaltwerks (4) 4.1 Analyse des Schaltwerks (5) Veränderliche onfiguration onfiguration: A B X Y X Y 1 1 Y verändert sich A B X Y X Y 1 1 danach bleiben X und Y stabil A B X Y X Y Tabelle der Zustandsübergänge A B X Y X Y 1 1 stabil 1 1 stabil instabil 1 1 instabil stabil instabil stabil 1 1 instabil , Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 9 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] Analyse des Schaltwerks (6) 4.1 Analyse des Schaltwerks (7) Verhalten weiterer onfigurationen onfiguration: A B X Y X Y 1 1 Verhalten weiterer onfigurationen onfiguration: A B X Y X Y X und Y verändern sich A B X Y X Y 1 1 letztlich Übergang in einen stabilen Zustand A B X Y X Y X und Y verändern sich erneut Schaltwerk schwingt! Minimale Laufzeitschwankungen werden Schwingung beenden einer der beiden stabilen Zustände wird eintreten onfiguration: A B X Y X Y letztlich Übergang in einen stabilen Zustand A B X Y X Y , Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 11 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 12

35 4.1 Analyse des Schaltwerks (8) 4.1 Analyse des Schaltwerks (9) onfigurationen mit beiden Eingängen auf 1 onfigurationen mit beiden Eingängen auf 1 onfiguration: onfiguration: A B X Y X Y 1 1 A B X Y X Y X und Y stabil instabil onfiguration: Übergang zu vorheriger stabiler onfiguration A B X Y X Y instabil Übergang zu obiger stabiler onfiguration onfiguration: A B X Y X Y instabil Übergang zu vorheriger stabiler onfiguration 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 13 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] Analyse des Schaltwerks (1) 4.2 Bedeutung Tabelle aller Zustandsübergänge Ausklammern der Eingabewerte: A = B = 1 A B X Y X Y 1 1 instabil 1 1 stabil 1 1 stabil 1 1 instabil 1 1 instabil 1 1 instabil stabil instabil 1 1 instabil stabil 1 1 instabil instabil 1 1 stabil instabil instabil instabil zwei stabile Ausgabewert-ombinationen mit X = Y Bezeichung bistabiler Speicher Flip-Flop Umbenennung der Ein- und Ausgänge R = A Reset, Löschen S = B Set, Setzen Q = X Ausgang Q = Y negierter Ausgang RS-Flip-Flop 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 15 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 16

36 4.2 Bedeutung (2) Verkürzte Wahrheitstafel eines RS-Flip-Flops R S Q Q Q bleibt unverändert Eingabekombination nicht erlaubt Blockschaltbild R Q 4.3 Einsatz Festhalten eines kurzzeitigen Wertes auch nach dessen Rücksetzung Beispiel: Warnung eines Temperatursensors in einem raftwerk Sensor liefert 1-Signal RS-Flip-Flop hält das Signal fest und lässt Warnlampe leuchten 1 R Q T S Q S Q explizites Rücksetzen des Alarms durch Schalter Latch / Auffangregister (eigentlich: Raste, linke) Wert wird aufgefangen und gehalten (rastet ein) 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 17 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] Zeitdiagramm 4.5 Getaktetes RS-Flip-Flop Reaktion des RS-Flip-Flops über die Zeit R S Q Synchrone Schaltung Übernahme der Eingänge nur während einer Taktphase R Q S Q steigende Signalflanke triggert das Umschalten des Flip-Flops Verzögerung und Einschwingzeit abhängig von der Gatterlaufzeit Blockschaltbild R S Q Q 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 19 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 2

37 4.5 Getaktetes RS-Flip-Flop (2) Realisierung mit NAN-Gattern R Q S Q Achtung wg. e Morgan sind Ausgänge invertiert 4.5 Getaktetes RS-Flip-Flop (3) Zeitverhalten des getakteten RS-Flip-Flops R S Q Veränderungen finden während der 1-Phase des Taktsignals statt mehrere Veränderungen pro Taktphase mögliche , Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 21 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] Getaktetes RS-Flip-Flop (4) 4.6 Master-Slave-RS-Flip-Flop Problem rückgekoppelte Schaltung vom Aus- zum Eingang des Flip-Flops R S Q Q Schaltnetz Veränderungen am Ausgang können Veränderungen am Eingang während einer Taktphase nach sich ziehen. selbst bei kurzen Taktphasen sind ungewollte Rückkoppelungen möglich RS-Flip-Flop reagiert auf (absteigende) Taktflanke zweistufiges Flip-Flop R S Takt auf 1 Master Flip-Flop nimmt Eingänge auf, Slave bleibt unverändert Takt auf Master R Q S Q Slave R Q Master Flip-Flop reagiert nicht mehr auf Eingänge, Slave übernimmt Zustand des Masters S Q Q Q 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 23 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 24

38 4.6 Master-Slave-RS-Flip-Flop (2) 4.6 Master-Slave-RS-Flip-Flop (3) Flip-Flop reagiert auf absteigende Taktflanke Zeitverhalten Master-Slave-RS-Flip-Flop nimmt Eingänge während 1-Phase des Taktes an R S Q M Q Flankengetriggerte Flip-Flops übernehmen Eingänge nur bei Taktflanken zusätzliche interne Schaltungen erforderlich Blockschaltbild flankengetriggerter RS-Flip-Flops R S Q Q positive Flankentriggerung R S Q Q negative Flankentriggerung Q M : Q-Ausgang des Master-Flip-Flops Rückkoppelung über Schaltnetz nun unkritisch positive Flanke = aufsteigende Flanke negative Flanke = absteigende Flanke 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 25 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] Pipelining 4.7 Pipelining (2) Mit Master-Slave-Flip-Flops sind folgende Schaltwerke denkbar Einfaches Beispiel R S Q R Q R Q MS Schaltn. MS Schaltn. MS Q S Q S Q R MS Q R MS Q R MS Q S Q S Q S Q #1 #2 #3 pro Takteinheit logische Verarbeitung in den zwischengeschalteten Schaltnetzen Weitergabe der Information an nächste Stufe der Pipeline Ausgabe am Ende der Pipeline nach drei Takten kommt die verarbeitete Information am Ende heraus Annahme alle Flip-Flops geben zu Beginn Q = aus 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 27 22, Franz. Hauck, Verteilte Systeme, Univ. Ulm [22s-TI1--Seq.fm, ] 28

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