2 Die Bildsprache Der relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel 180 :

Transkript

1 Hns Wlser, [ ] Eine Visulisierung des Kosinusstzes 1 Worum es geht Es wird eine zum Pythgors-Piktogrmm nloge Figur für niht rehtwinklige Dreieke esprohen. Dei werden ähnlihe gleihshenklige Dreieke mit Bsiswinkel oder 180 ufgesetzt. 2 Die Bildsprhe Der relevnte Winkel im grünen Dreiek ist stumpf; die gleihshenkligen Dreieke hen den Bsiswinkel 180 : lu + lu + grün = rot Der relevnte Winkel im grünen Dreiek ist spitz; dies ist uh der Bsiswinkel der gleihshenkligen Dreieke: lu + lu = grün + rot

2 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 2/12 Dies erinnert n ds Piktogrmm für den Stz des Pythgors, in welhem llerdings der Fläheninhlt des Dreiekes keine Rolle spielt: lu + lu = rot 3 Stumpfer Winkel Wir reiten mit dem spitzen ußenwinkel = 180 und setzen gleihshenklige Dreieke mit dem Bsiswinkel uf. C B C B Wir reiten mit dem ußenwinkel In dieser Sitution gilt der Flähenstz: Die eiden luen Dreieke plus ds grüne Dreiek sind zusmmen flähenmäßig gleih groß wie ds rote Dreiek.

3 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 3/ Rehnerisher Beweis Es ist: CB = 2 tn ( ) 4 BC = 2 tn ( ) 4 CB= 2 4 tn ( ) Zu prüfen ist: BC = 1 sin ( 2 )= 1 sin ( ) CB + BC + BC =? CB 2 tn( )+ 4 tn ( )+ 1 sin ( 2 )=? os( )=? 2 Die letzte Zeile ist wegen os( )= os( ) der Kosinus-Stz. tn ( ) 3.2 Geometrisher Beweis 1 Beweisidee: Wolfgng Kroll, Mrurg Wir spiegeln ds Dreiek BC n B, ds Bilddreiek sei BC. Dnn gilt: Die Punkte, C, C B= CB= BB B liegen lso uf demselen Ortsogen üer B. B C B C Spiegelung und Ortsogen

4 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 4/12 Weiter gelten folgende Winkeleziehungen: BB= CB= B B = B C = Wegen BB= und B C = ist B= C (gleihe Peripheriewinkel üer gleih lngen Sehnen). D ds Dreiek CB gleihshenklig ist, folgt sogr CB = C. nlog knn C = BC gezeigt werden; ds Vierek BC C ist lso ein Prllelogrmm. C B C B C Prllelogrmm Dher ist: CB = CBC und CB = CC lso gilt: BC = BC = BC + CB + CB Dmit ist der Flähenstz ewiesen.

5 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 5/ Geometrisher Beweis 2 D die drei gleihshenkligen Dreieke ähnlih sind, hen wir ein festes Verhältnis zwishen der Shenkellänge und der Bsislänge. (Es ist = 1, wir enötigen diese Formel im folgenden er niht.) 2os( ) Nun ergänzen wir die drei Punkte B, C, zum Prllelogrmm BC C (Figur). C B C B C Dnn gilt: Ergänzung zum Prllelogrmm CB = CCB und BC = CC

6 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 6/12 Die eiden neuen Dreieke CCB und CC sind in der folgenden Figur mgent eingezeihnet. C B C B C Flähengleihe Dreieke Wir vermuten, dss BC BC. Dies knn wie folgt eingesehen werden: us Symmetrie- und Prllelitätsgründen ist CB=. Somit ist BC BC mit dem Ähnlihkeitsfktor. Dher ist CB=. nlog knn C= nhgewiesen werden. Dmit ist unsere Vermutung ewiesen. Drus folgt er der Flähenstz.

7 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 7/12 4 Spitzer Winkel Bei einem Dreiek BC mit spitzem Winkel setzen wir uf llen drei Seiten je ein gleihshenkliges Dreiek mit der etreffenden Dreiekseite ls Bsis und dem Bsiswinkel uf. C B C B Dnn gilt: ufgesetzte gleihshenklige Dreieke Die eiden luen Dreieke sind zusmmen flähenmäßig gleih groß wie ds rote Dreiek zusmmen mit dem grünen Dreiek. 4.1 Rehnerisher Beweis Es ist: Zu prüfen ist: 2 4 CB + BC =? CB + BC 2 tn( )+ 4 tn ( )=? 2 4 Die letzte Zeile ist er der Kosinus-Stz =? 2 + 2os( ) tn ( )+ 1 sin ( ) 2

8 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 8/ Geometrisher Beweis 1 Wir spiegeln die Dreieke CB und CB n den Seiten eziehungsweise. Dies liefert die Bilddreieke CB und CB. us Winkelüerlegungen nlog zum stumpfwinkligen Fll folgt, dss die fünf Punkte B, B,,, C uf einem Kreis liegen und weiter ds Vierek CBC ein Prllelogrmm ist. C B B B C Kreis und Prllelogrmm Dher ist: CB = CB = CBC und CB = CB = CC Drus folgt: CB + CB = CBC + CC = BC + BC Dies wr zu eweisen.

9 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 9/ Geometrisher Beweis 2 Zunähst vershieen wir um den Üerlik niht zu verlieren die Dreieke CB und BC um die respektiven Vektoren BC und C. Wir erhlten die Bilddreieke BC und B C, die sih llerdings üerlppen. C B C B B B Nun ergänzen wir die drei Punkte der folgenden Figur drgestellt. C Vershieung B, C, zum Prllelogrmm B C C ; dies ist in B C B B B C Mit Ergänzung zum Prllelogrmm C erhlten wir flähengleihe Dreieke: BC = C BC und B C = C C Die eiden neuen Dreieke C BC und C C sind in der Figur mgent eingezeihnet.

10 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 10/12 Wir vermuten, dss die Viereke CCB und C C B kongruent sind (Punktsymmetrie). C B C B B B C Kongruente frige Viereke? Zunähst ist ds Dreiek BC kongruent zum Dreiek BC. Weiter ist C B CB mit dem Strekfktor (in diesem Fll ist = 1 ). Dher ist 2os C B =. nlog knn C = gezeigt werden. Dmit ist die Vermutung ewiesen. 5 Link zu Pythgors Der Kosinus-Stz enthält für = 90 ls Sonderfll den Stz des Pythgors. Leider können wir in unserem Flähenstz den Winkel niht ls rehten Winkel wählen, d die gleihshenkligen Dreieke sonst zu Hlstreifen mit unendlih großem Fläheninhlt usrten würden. Zudem wäre die Frge, uf welher Seite die Dreieksflähe nun zu rehnen wäre, d = 90 ls Grenzfll sowohl eines stumpfen wie eines spitzen Winkels zu sehen wäre. llerdings knn mn sgen, dss eine endlihe Dreieksflähe im Vergleih zu den unendlihen Hlstreifen ohnehin quntité négligele ist. er sttt üer ds Unendlihe zu philosophieren, leien wir ei den Leuten und stutzen die gleihshenkligen Dreieke. Wir shneiden sie ei reltiv gleiher Höhe durh, so dss gleihshenklige Trpeze der respektiven Höhen µ, µ, µ mit frei wählrem µ ürig leien. ls Referenz n ds ülihe Pythgors-Piktogrmm wählen wir µ = 1. Die Frge ist, wie wir ds zentrle Dreiek stutzen müssen, dmit der Flähenstz wieder gilt. Ds sehen wir, wenn wir die geshnittenen Teile der gleihshenkligen Dreieke neu zusmmensetzen. Es entsteht dnn ein kleines zentrles Dreiek, ds zum ursprünglihen Dreiek ähnlih ist und von diesem geshnitten werden muss. Es leit ein (im llgemeinen niht gleihshenkliges) Trpez ürig. ( )

11 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 11/12 Trpeze ls gestutzte Dreieke. Rest neu zusmmengesetzt Wir erhlten so einen Flähenstz mit Trpezen: lu + lu + grün = rot Für einen spitzen Winkel gilt ein nloger Flähenstz: lu + lu = grün + rot In eiden Fällen werden für 90 die luen und ds rote Trpez zu Qudrten und ds grüne Trpez vershwindet. Es entsteht ds Pythgors-Piktogrmm.

12 Hns Wlser: Eine Visulisierung des Kosinus-Stzes 12/12 6 Zerlegungspuzzle Die Figur zeigt ein Zerlegungspuzzle. Es hndelt sih hier llerdings um einen Sonderfll mit : : = 3:2:4. Es ist dnn = ros( 1 4 ) Git es ndere einfhe Puzzles? Zerlegungspuzzle