Gemischte Aufgaben zur Differentialund Integralrechnung

Transkript

1 Gemischte Aufgaben zur Differentialund Integralrechnung W. Kippels 0. Mai 04 Inhaltsverzeichnis Aufgaben. Aufgabe Aufgabe Aufgabe Ergebnisse der Aufgaben. Aufgabe Aufgabe Aufgabe Durchgerechnete Lösungen 6. Aufgabe Aufgabe Aufgabe

2 Aufgaben. Aufgabe Gesucht ist ein Polynom 4. Grades. Die Funktion hat einen Wendepunkt W im Koordinantenursprung und einen weiteren W bei x w. Die Wendetangente in W lautet: f (x) 6x + 6. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!. Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!. Berechnen Sie die Fläche, die von der x-achse und dem Funktionsgraphen eingeschlossen wird!. Aufgabe Ein Polynom 4. Ordnung stellt einen zur y-achse spiegelsymmetrischen Funktionsgraphen dar. Bei W ( ) liegt ein Wendepunkt und der Graph schneidet die x-achse bei x 0.. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!. Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!. Berechnen Sie die Fläche, die von der Gerade mit der Gleichung f (x) 9x 7 und dem Funktionsgraphen der gesuchten Funktion eingeschlossen wird!. Aufgabe Gesucht ist ein Polynom. Grades. Die Funktion hat einen Wendepunkt bei W ( ) und berührt die Gerade mit der Funktionsgleichung f (x) x an der Stelle x b.. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!. Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!. Berechnen Sie die Fläche, die von der Geraden der Funktion f und dem Graphen der Funktion f ganz eingeschlossen wird!

3 Ergebnisse der Aufgaben. Aufgabe. f(x) x 4 4x. Sattelpunkt S(0 0), Tiefpunkt T ( 7). A 5, FE y 0 5 W S 4 5 x 5 0 A 5 W 0 5 T

4 . Aufgabe. f(x) x 4 6x 7. Hochpunkt H(0 7), Tiefpunkte T ( 6), T ( 6). A 45,9 FE y 5 4 x A 5 H 0 5 T T 4

5 . Aufgabe. f(x) x x + x +. Tiefpunkt: T (,865 0,0887) Hochpunkt: H(0,85,0887). A 6,75 FE y 4 H W A T 4 x 4 5 5

6 Durchgerechnete Lösungen. Aufgabe Bestimmung der Funktionsgleichung Zunächst benötigen wir die Funktionsgleichung in allgemeiner Form sowie die beiden Ableitungen. f(x) ax 4 + bx + cx + dx + e f (x) 4ax + bx + cx + d f (x) ax + 6bx + c Jetzt müssen die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umsetzen. Punkt W (0 0) f(0) 0 0a + 0b + 0c + 0d + e 0 Wendep. bei x w 0 f (0) 0 0a + 0b + c 0 Wendep. bei x w f () 0 48a + b + c 0 Punkt bei x w f() f () 6a + 8b + 4c + d + e 6 Tangente bei x w f () f () a + b + 4c + d 6 Dieses Gleichungssystem wird mit einem beliebigen Verfahren gelöst. Man erhält: a b 4 c 0 d 0 e 0 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f(x) x 4 4x Bestimmung der Extrema Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist das Null-Werden der ersten Ableitung. Zum Prüfen benötigen wir zusätzlich auch noch die zweite Ableitung. f(x) x 4 4x f (x) 4x x f (x) x 4x Damit können wir in die Berechnung der Kandidaten einsteigen. f (x E ) 0 4x E x E 0 4x ausklammern 4x E (x E ) 0 Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist. 4x E 0 x E 0 x E 0 x E Demnach gibt es zwei Kandidaten für Extrema. 6

7 Was ist bei x E 0? f (x E ) f (0) Aus diesem Ergebnis können wir nichts erkennen. Daher verwenden wir sinnvollerweise das andere Verfahren zur Überprüfung. Als Nachbarwerte nehme ich ±. { } f ( ) 4 ( ) ( ) 5 f () 4 Sattelpunkt bei x 9 s 0 Zusammengefasst: Sattelpunkt S(0 0) Was ist bei x E? y s f(x s ) x 4 s 4x s f (x E ) f () 4 6 > 0 Tiefpunkt bei x T Zusammengefasst: Tiefpunkt T ( 7) y T f(x T ) x 4 T 4x T siehe Regelheft: Vorzeichenwechseluntersuchung für f (x) 7

8 Bestimmung der Fläche Bevor die Fläche berechnet werden kann, müssen die Nullstellen der Funktion bestimmt werden, denn sie stellen die Integrationsgrenzen dar. f(x 0 ) 0 x 4 0 4x 0 0 x 0 ausklammern x 0 (x 0 4) 0 Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist. x 0 0 x x 0 0 x 0 4 Mit diesen Integrationsgrenzen können wir das Integral für die Fläche ansetzen. Da der Funktionsgraph in dem interessanten Bereich unterhalb der x-achse liegt, muss das negative Integral als Fläche angesetzt werden. A x x 4 0 f(x)dx x 4 4x dx [ ] 4 5 x5 x 4 0 ([ ] [ ]) ( ( ) ) , A 5, Die gesuchte Fläche beträgt A 5, FE 8

9 . Aufgabe Bestimmung der Funktionsgleichung Die allgemeine Form der Funktionsgleichung lautet: f(x) ax 4 + bx + cx + dx + e Wegen der Symmetrie treten nur gradzahlige Exponenten auf. Das bedeutet, die Parameter b und d sind 0. Man kann diese Teil-Terme dann auch gleich weglassen. Wir benötigen die zweite Ableitung. Das ganze sieht dann so aus: f(x) ax 4 + cx + e f (x) 4ax + cx f (x) ax + c Nun müssen wir die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umsetzen. Punkt ( ) f( ) a + c + e Wendepunkt bei x w f ( ) 0 a + c 0 Nullstelle bei x 0 f() 0 8a + 9c + e 0 Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden. Wir erhalten: a c 6 e 7 Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f(x) x 4 6x 7 Bestimmung der Extrema Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist das Null-Werden der ersten Ableitung. Zum Prüfen benötigen wir zusätzlich auch noch die zweite Ableitung. f(x) x 4 6x 7 f (x) 4x x f (x) x Damit können wir in die Berechnung der Kandidaten einsteigen. f (x E ) 0 4x E x E 0 4x E ausklammern 4x E (x E ) 0 Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist. 4x E 0 x e/ 0 x E 0 x E/ x E + x E 9

10 Demnach gibt es drei Kandidaten für Extrema. Was ist bei x E 0? f (x E ) f (0) 0 < 0 Hochpunkt bei x H 0 Zusammengefasst: Hochpunkt H(0 7) Was ist bei x E? y H f(x H ) f (x E ) f ( ) ( ) 4 > 0 Tiefpunkt bei xt y T f(x T ) ( ) 4 6 ( ) 7 6 Zusammengefasst: Tiefpunkt T ( 6) Was ist bei x E? Aus Symmetriegründen muss bei x E ebenfalls ein Tiefpunkt liegen und zwar mit dem gleichen y-wert. Da die Symmetrie bekannt ist, können wir das ausnutzen. Zusammengefasst: Tiefpunkt T ( 6) 0

11 Bestimmung der Fläche Bevor die Fläche berechnet werden kann, müssen die Schnittpunkte der Funktion f(x) mit der Geraden f (x) bestimmt werden, denn sie stellen die Integrationsgrenzen dar. f(x) f (x) x 4 6x 7 9x 7 9x + 7 x 4 6x 9x 0 x ausklammern x (x 6x 9) 0 Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Dadurch erhalten wir sofort die erste Lösung: x 0 In dem anderen Term (x 6x 9) müssen also die restlichen Nullstellen stecken. x 6x 9 0 Diese Gleichung dritten Grades können wir nicht analytisch lösen. Wir können jedoch durch planvolles Probieren eine Lösung erraten und dann den Term mit Hilfe einer Polynomdivision faktorisieren. Wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, sind sie Teiler des absoluten Gliedes. So kommt man sehr schnell auf die Lösung x. Wir führen eine Polynomdivision durch und erhalten: (x 6x 9) : (x ) x + x + Der Restterm x + x + ergibt eine Quadratische Gleichung, die wir mit Hilfe der p-q-formel lösen können. x + x + 0 x / ± 9 4 ± x / ± 4 Da der Radikand der Wurzel negativ ist, gibt es keine weiteren (reellen) Nullstellen. Die Integrationsgrenzen stehen also mit x 0 und x fest. Fertigt man eine Skizze der Funktionsgraphen an, dann kann man erkennen, dass in dem Bereich der Fläche die Funktion f (x) oberhalb der Funktion f(x) liegt. Damit können wir die gesuchte Fläche als Integral ansetzen.

12 A x x 0 0 f (x) f(x)dx (9x 7) (x 4 6x 7)dx (9x 7 x 4 + 6x + 7)dx (9x x 4 + 6x )dx 0 [ 9 x ] 5 x5 + x 0 ( 9 ) A 45,9 ( 9 0 ) x Die gesuchte Fläche beträgt A 45,9 FE

13 . Aufgabe Bestimmung der Funktionsgleichung Die allgemeine Form der Funktionsgleichung lautet: f(x) ax + bx + cx + d Wegen des Wendepunktes benötigen wir auch die erste und zweite Ableitung. f(x) ax + bx + cx + d f (x) ax + bx + c f (x) 6ax + b Bekannt ist der x-wert x b, wo sich die beiden Graphen berühren. Wir benötigen auch den zugehörigen y-wert y b. y b f (x b ) x b 0 Nun müssen wir die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umsetzen. Wendepunkt W ( ) f() a + b + c + d Wendepunkt bei x w f () 0 6a + b 0 Berührpunkt B( 0) f() 0 8a + 4b + c + d 0 Berühren bei x b f () f () a + 4b + c Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden. Wir erhalten: a b c d Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: f(x) x x + x +

14 Bestimmung der Extrema Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist das Null-Werden der ersten Ableitung. Zum Prüfen benötigen wir zusätzlich auch noch die zweite Ableitung. f(x) x x + x + f (x) x 6x + f (x) 6x 6 Damit können wir in die Berechnung der Kandidaten einsteigen. f (x E ) 0 x E 6x E + 0 : x E x E + 0 x E/ ± x E + x E x E,865 x E 0,85 Demnach gibt es zwei Kandidaten für Extrema.? Was ist bei x E + ) ( ) f (x E ) f ( , 899 > 0 Tiefpunkt bei x T + ( ) ( ) ( ) y T f(x T ) ,08866 Zusammengefasst: Tiefpunkt T (,865 0,08866)? Was ist bei x E ) ( ) f (x E ) f ( 6 6 4, 899 < 0 Hochpunkt bei x H ( ) ( ) ( ) y H f(x H ) + +,0887 Zusammengefasst: Hochpunkt H(0,85,0887) 4

15 Bestimmung der Fläche Bevor die Fläche berechnet werden kann, müssen die Schnittpunkte der Funktion f(x) mit der Geraden f (x) bestimmt werden, denn sie stellen die Integrationsgrenzen dar. f(x) f (x) x x + x + x x + x x Bekannt ist bereits der Berührpunkt bei x b und damit x. Daher muss man keine Nullstelle dieser Gleichung mehr durch planvolles Raten suchen. Wir können sofort eine Polynomdivision durchführen. Wir erhalten als Ergebnis: ( x x + 4 ) : (x ) x x Mit Hilfe der p-q-formel lassen sich nun die weiteren Nullstellen dieses Terms beestimmen. x x 0 x / ± 4 + ± ± x x Die Lösung x ist identisch mit x. Die Integrationsgrenzen sind also: x und x Fertigt man eine Skizze der beiden Funktionsgraphen in dem Bereich zwischen x und x an, so kann man feststellen, dass die Gerade f unterhalb von f liegt. Damit kann die Fläche als Integral angesetzt werden: 5

16 A f(x) f (x)dx ( x x + x + ) (x )dx ( x x + 4 ) dx [ ] 4 x4 x + 4x ( ) (,75) A 6,75 Die gesuchte Fläche beträgt A 6,75 FE ( ) 4 ( )4 ( ) + 4 ( ) 6