- 1 - angeführt. Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes x nach der Zeit, und das Gesetz lässt sich damit als 2.

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1 - 1 - Gewöhnliche Differentialgleichungen Teil I: Überblick Ein großer Teil der Grundgesetze der Phsik ist in Form von Gleichungen formuliert, in denen Ableitungen phsikalischer Größen vorkommen. Als Beispiel sei die Newtonsche Formulierung der klassischen Mechanik Kraft = Masse Beschleunigung angeführt. Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit, und das Gesetz lässt sich damit als F mb m dt schreiben. Die Kraft F kann eine Funktion des Ortes und der Geschwindigkeit (auch der Zeit) sein und von anderen Parametern des Sstems abhängen. Gesucht ist der Ort als Funktion der Zeit: Man nennt eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer gesuchten Funktion enthält, eine Differentialgleichung. Beispiel: Die Bewegung eines frei fallenden Körpers mit der Masse m im Schwerefeld wird in räumlich eindimensionaler Formulierung approimativ durch die Differentialgleichung ; beschrieben. Gesucht ist die Funktion (t) die durch die Differentialgleichung d /dt = -g bestimmt wird. Später werden wir lernen, wie solche Aufgaben sstematisch gelöst werden. Hier geben wir nur die Lösung an. Die freien Konstanten c1, cerlauben die Festlegung der Anfangswerte c (0) und c 1 (0).

2 - - Eine Differentialgleichung enthält Ableitungen einer Funktion. Wir suchen die Funktion selbst. Eine Differentialgleichung dient also zur Berechnung einer gesuchten Funktion. Im Gegensatz dazu dient eine algebraische Gleichung, z.b = 0, zum Bestimmen der Wurzeln, also von Zahlen. Die Differentialgleichung für die Berechnung der Funktion ( kann eine oder mehrere Ableitungen der gesuchten Funktion ( enthalten, die Funktion ( selbst und auch eplizit die unabhängige Variable. Terminologie Unabhängige und abhängige Variablen In dem Beispiel die abhängige Variable. F mb m ist die Zeit t die unabhängige Variable und der Ort () t dt Gewöhnliche (ODE) und Partielle (PDE) Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen enthalten nur eine unabhängige Variable. Zum Beispiel wird die Funktion ( gesucht. Partielle Differentialgleichungen enthalten mehrere unabhängige Variablen. Zum Beispiel wird die Funktion (,,z,t) gesucht. Lineare und nichtlineare Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen enthalten die abhängige Variable und ihre Ableitungen nur linear. Nichtlineare Differentialgleichungen enthalten nichtlineare Ausdrücke in der abhängigen Variablen und/oder ihrer Ableitungen. Ordnung Die Ordnung wird durch die höchste Ableitung bestimmt. Zwei Beispiele: 3 d 5 ( ( ) ( ) sin( 1. Ordnung, nichtlinear ( ) ( ( 0 3. Ordnung, linear 3 Wir schreiben auch F(,, (1), (),, (n) )=0 für eine Differentialgleichung n-ter Ordnung.

3 - 3 - Gekoppelte Differentialgleichungen (Differentialgleichungsssteme) Das folgende Beispiel d 1 1 d 1 ist ein gekoppeltes Sstem zweier linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Homogene und inhomogene Differentialgleichungen Wir beschränken die Darstellung auf lineare Differentialgleichungen. In homogenen Differentialgleichungen enthält jeder Term die abhängige Variable. In inhomogenen Differentialgleichungen tritt mindestens ein Term ohne die abhängige Variable auf: d ( ) ( ( sin( inhomogen ( ) ( ( 0 3 homogen 3 d Aufgabe 9.1: Charakterisieren Sie die Differentialgleichungen d ( ) ( d d ( ) sin( ( ) ( ( 0 ( ) ( ( ) 0 Differentialoperatoren Oft ist es sinnvoll, Abkürzungen einzuführen, z.b. schreiben wir d ( ( ( sin( auch in der Form ˆ ˆ d d L sin( mit L Lˆ nennen wir einen (linearen) Differentialoperator.

4 - 4 - Differentialgleichungen erster Ordnung Selbst Differentialgleichungen 1. Ordnung müssen nicht direkt durch Integration analtisch lösbar sein. Es gibt aber Sonderfälle, die direkt lösbar sind. Wir behandeln einige davon: Trennung der Variablen Haben wir eine Differentialgleichung (DGL) in der Form f (, g( ) dann können die Variablen und getrennt werden. Wir können nämlich schreiben g ( ) f ( Durch unmittelbare Integration erhalten wir die Lösung g( ) f ( C cos( Aufgabe 9.: Lösen Sie die DGL Variablentransformation Manchmal gelingt die Trennung der Variablen erst nach einer Variablentransformation, z.b. bei f Wir benutzen den Ansatz =u und schreiben u du f (u) du f ( u) u du ln C f ( u) u

5 - 5 - Integrierender Faktor In Erweiterung des bisherigen Vorgehens betrachten wir eine Form der linearen, inhomogenen DGL 1. Ordnung, bei der die Trennung der Variablen nicht vorliegt, aber durch einen Trick erreicht werden kann: ( P( ( G( wobei wir nach Multiplikation mit einem Faktor ( die linke Seite als ( d ( P( ( ( ( schreiben wollen. Der Faktor muss dann d( ( P( erfüllen. Eine spezielle Lösung davon ist (=e dzp( z) Können wir diesen Faktor bestimmen, so lautet die modifizierte ursprüngliche DGL d ( ( ( G( Nach Integration folgt die Lösung (= ( z) G( z) dz C ( Aufgabe 9.3: Lösen Sie die DGL e unter der Bedingung (0)=1 0 Aufgabe 9.4: Finden Sie die integrierenden Faktoren für cos( ) und lösen Sie die beiden DGLs.

6 - 6 - Eakte Differentiale *** Dieser Abschnitt erscheint hier in der allgemeinen Form nur aus Gründen der Vollständigkeit. Das Thema wird später nochmals behandelt! *** Wenn die Trennung der Variablen nicht funktioniert, kann manchmal ein Weg über eakte Differentiale helfen. Betrachten wir die DGL ( R(, ) S(, ) die wir in die Form R(, ) S(, ) 0 umschreiben. Eistiert nun eine Funktion (, ) mit (, ) (, ) R(, ), S(, ) [Achtung: Wer mit partiellen Ableitungen noch nicht so vertraut ist (wahrscheinlich die meisten von Ihnen!), sei auf später vertröstet!] so können wir schreiben (, ) (, ) R(, ) S(, ) d 0 Somit ist (, ) const. C eine Lösung der DGL. Eine Bedingung für die Eistenz von ist (, ) (, ) (, ) (, ) oder R S 0 Beispiel: 3 3 3, (, ), C0 4 Forderung: (1) 1 C 3 Lösung: 0 3 3

7 - 7 - Lösung inhomogener DGLs durch Variation der Konstanten Betrachten wir die inhomogene DGL a( b( Zuerst lösen wir die homogene Gleichung, bei der die Variablen getrennt werden können. Für die homogene Lösung setzen wir b( = 0: a( a( a( ln a( C 1 A( C 1 a( A( Ce Ce Um die inhomogene Gleichung mit b( 0 zu lösen, machen wir einen Ansatz, in dem die Konstante C von abhängt: C( e C'( e A( A( C( A'( e A( a( C( e A( b( Wir haben A' ( a(. Deswegen gilt C'( e A( b( C'( e A( b( A ( ') ( ) ( ') ' C e b c Die Lösung A( ') A( ( e b( ') ' c e ist, z.b. für c 0, eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL. Man kann leicht nachprüfen: Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGL ergibt sich als Summe der allgemeinen Lösung der homogenen DGL plus spezieller Lösung der inhomogenen DGL (s. nächstes Kapitel) A( A( A( ') ( ) ( ') ' Ce e e b

8 - 8 - Allgemeine Schlussfolgerungen Wir haben gesehen, dass in den Lösungen frei wählbare Konstanten auftreten, die wir Integrationskonstanten nennen. Die Lösung einer Differentialgleichung, bei der die Integrationskonstanten noch nicht bestimmte, feste Werte besitzen, nennen wir allgemeine Lösung. Für die Zahl der Integrationskonstanten gilt der folgende Satz, auf dessen Beweis wir verzichten müssen. Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält n unbestimmte Integrationsvariablen. Eine anschauliche Hilfe gibt die Vorstellung, dass eine Differentialgleichung 1. Ordnung durch eine Integration gelöst wird und deshalb eine Integrationskonstante enthält. Bei einer Differentialgleichung. Ordnung müssen wir zweimal integrieren und die Lösung enthält deshalb zwei Integrationskonstanten. Eine spezielle Lösung einer Differentialgleichung erhalten wir aus der allgemeinen Lösung dadurch, dass wir einer oder mehreren Integrationskonstanten spezielle Werte geben. Die spezielle Lösung heißt auch partikuläre Lösung. Bei der partikulären Lösung ist also mindestens über eine der freien Integrationskonstanten verfügt. Wir interessieren uns vor allem für die allgemeine Lösung, in der als Spezialfälle alle anderen Lösungen enthalten sind. Das Problem, aus der allgemeinen Lösung eine spezielle Lösung zu bestimmen, ist nur lösbar, wenn zusätzliche Angaben (Nebenbedingungen) zur Verfügung stehen. Diese notwendigen Nebenbedingungen heißen Randbedingungen oder Anfangsbedingungen. (Das Problem ist ähnlich der Lösung einer Integrationsaufgabe. Auch dort gibt es die allgemeine Lösung "unbestimmtes Integral" und die spezielle Lösung "bestimmtes Integral". Das bestimmte Integral kann man nur berechnen, wenn man als zusätzliche Angaben die Integrationsgrenzen besitzt.) Die Zahl der freien Konstanten hängt mit der Zahl unabhängiger Lösungen linearer Differentialgleichungen zusammen. Im Allgemeinen gilt, dass eine DGL n-ter Ordnung n unabhängige Lösungen besitzt.

9 - 9 - Zweite Lösung mit Hilfe der Wronski Determinante bei homogenen linearen DGLs. Ordnung Nach dem eben Gesagten muss die DGL d ( ( P( Q( ( 0 zwei unabhängige Lösungen 1 und haben, und die allgemeine Lösung sollte sich in der Form ( C1 1( C ( schreiben lassen. Ein Wort zur Unabhängigkeit. Die beiden Lösungen heißen unabhängig, wenn die Wronski Determinante ( ( W 1 ( ) : 1( ) '( ) ( ) 1 '( ) 1'( '( nicht verschwindet. Aufgabe 9.5: Berechnen Sie für die beiden Lösungen cos( t), sin( t) der DGL Wronski Determinante verschwindet. k die 0 die Wronski Determinante. Zeigen Sie, dass für abhängige Lösungen 1 Für die Ableitung der Wronski Determinate W( nach gilt W ' '' '' 1 1 d ( ( Die ursprüngliche DGL P( Q( ( 0 schreiben wir für die beiden Lösungen 1 und an und multiplizieren anschließend von links mit 1 bzw. [ '' P ' Q ] 0 1 [ '' P ' Q ] Subtrahieren wir die beiden Gleichungen, so folgt nach kurzer Rechnung dw ( P( W ( 0

10 Die Variablen können getrennt werden und die Lösung der DGL für W lautet ( ) 0 W ( W0e dzp z Für W gilt: Einmal 0, immer 0, und umgekehrt! Wir nehmen nun an, dass wir nur eine Lösung 1 kennen. Wie findet man die zweite unabhängige Lösung? Mit der Quotientenregel zeigt man leicht d ( W ( 1( 1( Durch Integration gewinnt man dann die (noch) fehlende zweite Lösung W() z ( 1( dz 1 () z Aufgabe 9.6: Angenommen, Sie kennen nur die Lösung cos( t) der DGL 0. Bestimmen Sie mit der Wronski Determinante eine zweite unabhängige Lösung. Das eben geschilderte Verfahren zum Auffinden einer zweiten Lösung lässt sich auf inhomogene lineare DGLs d ( ( a( b( c( ( d( verallgemeinern (Variation der Konstanten). Wir verzichten jedoch an dieser Stelle auf eine weitere Diskussion. Aufgabe 9.7: Wie lautet die Wronski Determinante der Besselschen DGL (nullter Ordnung) '' ' 0?

11 Aufgabe 9.8: Lösen Sie die folgenden DGLs: Aufgabe 9.9: Finden Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden DGLs: