Grundkurs Wirtschaftsmathematik

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1 Grundkurs Wirtschaftsmathematik

2 Benjamin Auer Franz Seitz Grundkurs Wirtschaftsmathematik Prüfungsrelevantes Wissen Praxisnahe Aufgaben Komplette Lösungswege 4., überarbeitete Auflage

3 Dr. Benjamin Auer Universität Leipzig Leipzig, Deutschland Prof. Dr. Franz Seitz Hochschule Amberg-Weiden Weiden, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Gabler Springer Fachmedien Wiesbaden 2006, 2010, 2011, 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Irene Buttkus, Renate Schilling Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Gabler ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

4 Vorwort Vorwort zur 4. Auflage Liebe Leserinnen und Leser, erneut dürren wir Ihnen eine neue Auflage von "Grundkurs Wirtschaftsmathematik" präsentieren. In der nun schon 4. Auflage haben wir die bewährte Konzeption beibehalten, kleinere Fehler korrigiert und einige wirtschaftsmathematische Anwendungen (z. B. zur Optionsbewertung und Einkommensteuerberechnung) ergänzt. Auch der Online-Service zum Buch wurde erweitert. So wurden z. B. die dort angebotenen Excel-Tools ausgebaut. Zudem bieten wir Dozenten mit LaTex Errahrung nun auch eine auf das Buch abgestimmte Vorlesungspräsentation. Wir wünschen Ihnen weiterhin viel Errolg bei der Arbeit mit dem Lehrbuch und den online unter zur Verfügung stehenden Materialien und danken Herrn Robert Vinzelberg für ein abschließendes Korrekturlesen. Weiden i. d. OPf. und Leipzig, Mai 2013 Prof. Dr. Franz Seitz Dr. Benjamin R. Auer Vorwort zur 3. Auflage Liebe Leserinnen und Leser, wir freuen uns, Ihnen hiennit die 3. Auflage von "Grundkurs Wirtschaftsmathematik" präsentieren zu dürren. Aufgrund zahlreicher Rücktneldungen aus der leserschaft, in denen betont wird, dass die einfache und verständliche Darstellung des Themengebietes der Wirtschaftsmathematik und die vielen Beispiele und Übungsaufgaben mit kompletten Lösungen (im Buch und im Online-Service) wesentliche Stärken des Buches darstellen, haben wir bei der Neuauflage die Grundkonzeption beibehalten und uns im Wesentlichen auf eine Korrektur der Fehler und kleine Ergänzungen inhaltlicher Art beschränkt. Wir wünschen Ihnen weiterhin viel Errolg bei der Arbeit mit dem Lehrbuch und den online unter zur Verfügung stehenden Materialien und danken an dieser Stelle Dipl.-Wirtsch.-Math. Martin Schuster und Steffen Burkhart für ein abschließendes Korrekturlesen und -rechnen sowie wertvolle Hinweise und Verbesserungsvorschläge. Weiden i. d. OPf. und Leipzig, Juli 2011 Prof. Dr. Franz Seitz Dipl.-Betriebsw. (FH) Benjamin R. Auer

5 VI Vorwort zur 2. Auflage Uebe Leserinnen und Leser, mit dieser 2. Auflage erscheint "Grundkurs Wirtschaftsmathematik" in vollständig neuer Optik und inhaltlich komplett überarbeitet. Konkrete Rechenbeispiele wurden in leserfreundlicher Form vom theoretischen Text abgehoben und Gleichungen zur besseren Referenz nummeriert. Die Fehler, die sich in die 1. Auflage eingeschlichen hatten, wurden korrigiert und die Inhalte um weitere Themenbereiche erweitert. So werden nun z. B. auch Abschreibungen, das N ewton-verfahren zur Nullstellenbestimmung, die Regel von I' Hospital, numerische Integrationsverfahren, elementare Differenzialgleichungen, Matrizengleichungen und die lineare Optimierung thematisiert. Auch der Online-Service zum Buch unter wurde überarbeitet und erweitert. Wie bisher finden sich dort die Grafiken des Buches zum Einsatz in der Vorlesung, eine auf das Buch abgestimmte Formelsammlung und zahlreiche übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen. Darüber hinaus bieten wir nun auch eine Vielzahl von MS-Excel-Tools, mit denen Rechenbeispiele und Verfahren einfach nachvollzogen und praktisch umgesetzt werden können. Sie sind in der Praxis insbesondere für finanzmathematische Fragestellungen, numerische Verfahren und das Lösen von Gleichungssystemen relevant. Immer dann, wenn zu einem Thema oder Beispiel ein entsprechendes Tool im Online-Service zur Verfügung steht, wurde dies durch das Symbol Q. am Seitenrand kenntlich gemacht. Benutzernamen und Passwort für den Zugang zum Online-Service können Sie über das Kontaktrnenu auf anfordern. Wir wünschen an dieser Stelle allen Leserinnen und Lesern viel Erfolg bei der Arbeit mit dem Lehrbuch und den neuen Materialien. Wir danken Gisela Becker, Prof. Dr. Hans Benker, Prof. Dr. Martin Biewen, Prof. Dr. Frank Brand, Prof. Dr. Claudia Cottin, Prof. Dr. Regina Fischer, Prof. Dr. Gert-Harald Fröhlich, Prof. Dr. Andreas Gadatsch, Dr. Andreas Hilpert, Björn Jensen, Anastasia Luja, Prof. Dr. Volker Nollau, Stefan Riebl, Prof. Dr. Albert Ruff, Prof. Dr. Ulrich Sax, Prof. Dr. Rainer Schwabe, Prof. Stephan Dempe, Prof. Dr. JÜfgen Strobel und Prof. Dr. Rudolf Voller für wertvolle Hinweise und Verbesserungsvorschläge. Besonderer Dank gilt Herrn Steffen Burkhardt für ein abschließendes Korrekturlesen. Weiden i. d. OPf. und Leipzig, August 2009 Prof. Dr. Franz Seitz Dipl.-Betriebsw. (FH) Benjamin R. Auer Vorwort zur 1. Auflage Liebe Leserinnen und Leser, mit diesem Buch liegt Ihnen ein Werk vor, das Ihnen die wesentlichen Themenbereiche der Wirtschaftsmathematik verständlich, anschaulich und doch knapp näherbringen soll. Vergessen Sie Mathematikbücher, bei denen Sie bereits nach den ersten Seiten an sich zu zweifeln beginnen, da Sie kein Wort verstehen.

6 VII Dieses wirtschaftsmathematische Grundlagenbuch soll Ihnen als Lehrendem helfen, das heikle Thema Mathematik verständlich und studentengerecht für Ihren Unterricht aufzubereiten. Ihnen als Studierenden soll es dazu dienen, alle relevanten Themen für Ihre Klausur noch einmal ZU wiederholen und mit Hilfe zahlreicher Übungsaufgaben zu festigen. Bei der Lösung dieser Aufgaben werden Sie nicht alleine gelassen. Anders als in anderen Lehrbüchern wird Ihnen nicht einfach ein Ergebnis ohne Rechenweg und Erläuterung präsentiert. Stattdessen wird nachvollziehbar und anschaulich jeder einzelne Rechenschritt und die allgemeine Vorgehensweise erklärt. Bei der Darstellung der Themenbereiche achten wir besonders auf Klarheit. Auf komplizierte Herleitungen und Beweise verzichteten wir bewusst, wo Sie unseres Erachtens nur das Verständnis behindern und für Sie nur von nachgeordneter Bedeutung sind. Es werden die traditionellen Bereiche Analysis, lineare Algebra und Finanzmathematik besprochen. Das Buch unterscheidet sich allerdings von anderen einschlägigen Lehrbüchern in der speziellen Darstellungsweise und Schwerpunktbildung. So wird im Kapitel zur linearen Algebra ausdrücklich auf die besondere Rolle der Detenninanten zur Lösung einer Vielzahl von Problemstellungen hingewiesen. Des Weiteren bietet dieses Werk ein eigenes Kapitel zu den in der Praxis bedeutenden Wachstumsraten und deren unterschiedliche Berechnungsweisen, die Sie nahezu in keinem anderen Lehrbuch finden. Und schließlich ninunt auch die Behandlung von Elastizitäten eine herausgehobene Stellung ein. Was dieses Buch besonders auszeichnet, ist die Tatsache, dass es als Co-Produktion von Professor und Student entstanden ist. So ist zum einen die sachliche Richtigkeit und zum anderen auch die studentengerechte Darstellung der Themen gewährleistet. Didaktik und anwendungsorientierte Wissenschaft konnten dadurch auf anschauliche Weise kombiniert werden. Zur Unterstützung von Lehrenden und Lernenden wurde eigens die Internetseite eingerichtet. Hier finden Sie als Dozent alle Grafiken des Buches und weiteres Material zum Einsatz in der Vorlesung. Als Student bieten wir Ihnen zusätzliche übungsaufgaben inklusive der ausführlichen Lösungen und eine auf das Buch abgestimmte Fonnelsammlung. Allen Lesern wünschen wir auf diesem Weg, dass sie zum einen durch dieses Buch Ihre Klausuren erfolgreich meistem und außerdem einen Zugang zu den interessanten Fragestellungen finden, die sich mit Hilfe der Mathematik lösen lassen. Bei Fragen, Anregungen und Kritik würden wir uns über eine kurze via freuen. Weiden i. d. OPf., November 2005 Prof. Dr. Franz Seitz Benjamin R. Auer

7 Inhaltsverzeichnis Vorwort... V Abbildungsverzeichnis... xv Symbolverzeichnis... XIX I Allgemeine Grundlagen Aussagenlogik Einführung Logische Verknüpfungen Logische Folgerungen Mengenlehre Grundlegendes Mengenoperationen Mengenalgebra Grundlagen der Arithmetik Grundregeln des Rechnens Grundgesetze Vorzeichenregeln Binomische Formeln Bruchrechnung Umformung linearer Gleichungen Summen-, Produkt und Fakultätszeichen Summenzeichen Produktzeichen... 3D Fakultätszeichen und Binomialkoeffizienten Ungleichungen und Absolutbeträge Ungleichungen Absolutbeträge Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Potenzen mit natürlichen Exponenten Potenzen mit ganzzahhgen Exponenten Potenzen mit gebrochenen Exponenten (Wurzeln) Logarithmen... 45

8 x Inhaltsverzeichnis 3.5 Weitere Gleichungstypen Weitere äquivalente Umformungen Quadratische Gleichungen Wurzelgleichungen Logarithmusgleichungen Produkt- und Quotientengleichungen Aufgaben D Finanzmathematik nmmmmmmmmnm.mmmmmmnmmmmmmmmmmmmm61 1. Folgen und Reihen Folgen Grundlagen Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Reihen Grundlagen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen Einige spezielle Reihen Unendliche geometrische Reihe Die Euler' sehe Zahl e Finanzmathematische Anwendung Allgemeines Zinsen Einfache Verzinsung Zinseszins Unterjährige und stetige Verzinsung Raten und Renten Raten Renten Kombinationen aus Raten und Renten Unterjährige Raten und Renten Tilgungen Abschreibungen Aufgaben... 97

9 Inhaltsverzeichnis XI m Funktionen einer variablen Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften Definition Darstellungsformen Verschiedene Funktionstypen... l Funktionseigenschaften Elementare Funktionen Elementare Funktionen Ganz rationale Funktionen Gebrochen rationale Funktionen Algebraische Funktionen Transzendente Funktionen Exponenzialfunktion Logarithmusfunktion Spezielle Funktionen Absolutfunktion Minimum- und Maximumfunktion Vorzeichenfunktion Ökonomische Funktionen Angebots- und Nachfragefunktionen Umsatzfunktion Kostenfunktion Gewinnfunktion Differenzialrechnung Einführung Der Differenzialquotient Technik des Differenzierens Das Differenzial Das Newton-Verfahren Kurvendiskussion allgemeiner Funktionen Diskussion ökonomischer Funktionen Kostenfunktion Umsatzfunktion Gewinnfunktion Elastizitäten Wachstumsraten

10 XII Inhaltsverzeichnis Stetige Wachstumsraten Diskrete Wachstumsraten Zusammenhänge Exkurs: Die Regel von L' Hopital Aufgaben IV Funktionen mehrerer Variablen Begriff, Darstellung, Eigenschaften Begriff Darstellungsformen Funktionseigenschaften Differenzialrechnung Allgemeines Partielle Ableitungen erster Ordnung Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielles und totales Differenzial Ökonomische Anwendungen Extremwertbestinunung Extremwerte ohne Nebenbedingungen Einbeziehen von Nebenbedingungen Aufgaben V Integralrechnung Begriff und Integrationstechnik Allgemeines Unbestimmtes Integral Technik des Integrierens Bestimmtes Integral Uneigentliches Integral Ökonomische Anwendungen Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktion Konsumenten- und Produzentenrente Investitionen und Kapitalstock Einkommensteuer Die Standardnormalverteilung Numerische Integrationsverfahren Exkurs: Elementare Differenzialgleichungen

11 Inhaltsverzeichnis XIII Einführung Lösung von Differenzialgleichungen durch Variablentrennung Ökonomische Anwendungen separabier Differenzialgleichungen Aufgaben VI Uneare Algebra Vektoren Begriff Ordnungsrelationen und Vektoroperationen Grafische Darstellung und Vektorraum Vektoreigenschaften Linearkombination von Vektoren Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Einheitsvektoren Interpretation des Skalarprodukts Matrizen Begriff Spezielle Matrizen Ordnungsrelationen und Matrizenoperationen Rang einer Matrix Lineare Gleichungssysteme Einführung Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Der Gauß' sehe Lösungsalgorithmus Detenninanten Begriff, Berechnung und Eigenschaften Detenninanten und der Rang von Matrizen Detenninanten und die Berechnung von Inversen Detenninanten und lineare Gleichungssysteme Exkurs: Matrizengleichungen Lineare Optimierung Grundlagen Das Simplexverfahren Aufgaben

12 XIV Inhaltsverzeichnis vn Lösungen Allgemeine Grundlagen Finanzmathematik Funktionen einer Variablen Funktionen mehrerer Variablen Integralrechnung Lineare Algebra Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis

13 Abbildungsverzeichnis Abbildung II 1: Zeitstrahl Abbildung II 2: Einfache Verzinsung Abbildung II 3: Zinseszins Abbildung II 4: Endkapital bei vorschüssigen Ratenverträgen Abbildung II 5: Endkapital bei nachschüssigen Ratenverträgen Abbildung II 6: Barwert nachschüssiger Renten Abbildung II 7: Barwert vorschüssiger Renten Abbildung II 8: Kombinationen aus Raten und Renten Abbildung II 9: Allgemeiner Tilgungsplan bei annuitätischer Tilgung Abbildung III 1: Abbildungen Abbildung III 2: Kartesisches Koordinatensystem Abbildung III 3: Stetige und diskrete Funktionen Abbildung III 4: Eindeutige und eineindeutige Funktionen Abbildung III 5: Nullstellen Abbildung III 6: Relative Extrema Abbildung III 7: Absolute Extrema Abbildung III 8: Steigung Abbildung III 9: Steigende und fallende Funktion Abbildung III 10: Beschränktheit Abbildung III 11: Konkave Funktionen Abbildung III 12: Konvexe Funktionen Abbildung III 13: Krümmungsbeispielfunktionen Abbildung III 14: Grenzwerte Abbildung III 15: Stetige und unstetige Funktionen Abbildung III 16: Elementare mathematische Funktionen Abbildung III 17: Lineare Funktionen Abbildung III 18: Geradensteigung aus zwei Punkten Abbildung III 19: Nach oben/unten geöffnete Parabeln Abbildung III 20: Gestauchte und gestreckte Parabeln Abbildung III 21: Nullstellen bei Parabeln Abbildung III 22: Polstellen bei gebrochen rationalen Funktionen

14 XVI Abbildungsverzeichnis Abbildung III 23: Gerade (links) und ungerade (rechts) Polstellen Abbildung III 24: Wurzelfunktionen Abbildung III 25: Verlauf von Exponenzialfunktionen Abbildung III 26: Exponenzial- und Logarithmusfunktionen Abbildung III 27: Verlauf von Logarithmusfunktionen Abbildung III 28: Vorzeichenfunktion Abbildung III 29: Angebots- und Nachfragefunktion Abbildung III 30: Umsatzfunktionen bei linearer Preis-Absatz-Funktion Abbildung III 31: Fixkostendegression Abbildung III 32: Lineare Kostenfunktion Abbildung III 33: Progressive Kostenfunktion Abbildung III 34: Degressive Kostenfunktion Abbildung III 35: Ertragsgesetzliche Kostenfunktion Abbildung III 36: Lineare Gewinnfunktion Abbildung III 37: Differenzenquotient Abbildung III 38: Herleitung Differenzialquotient Abbildung III 39: Nicht differenzierbare, aber stetige Funktionen Abbildung III 40: Herleitung Differenzial Abbildung III 41: Newton-Verfahren Abbildung III 42: Funktionsbeispiel zur Kurvendiskussion Abbildung III 43: Zusammenhang zwischen Steigung und Krümmung Abbildung III 44: Extrema und Sattelpunkte Abbildung III 45: Eigenschaften ertragsgesetzlicher Kostenfunktionen Abbildung III 46: Langfristiges Angebot Abbildung III 47: Kurzfristiges Angebot Abbildung III 48: Coumot-Punkt bei linearem Kostenverlauf Abbildung III 49: Coumot-Punkt bei ertragsgesetzlichem Kostenverlauf Abbildung III 50: Preiselastizität der Nachfrage Abbildung III 51: Umsatz und Elastizität Abbildung III 52: Differenz stetiger und diskteter Wachstumsraten Abbildung N 1: Punktkonstruktion itn dreidimensionalen Raum Abbildung N 2: Ebene itn dreiditnensionalen Raum Abbildung N 3: Gralen nichtlinearer Funktionen Abbildung N 4: ceteris-paribus-bedingung bei quadratischer Funktion Abbildung N 5: Isolinien bei quadratischer Funktion Abbildung N 6: Maximum und Minitnum quadratischer Funktionen

15 Abbildungsverzeichnis XVII Abbildung N 7: Steigung und Krümmung einer Fläche Abbildung N 8: Extremwerte mit horizontalen Tangenten Abbildung N 9: Sattelpunkt und parabolischer Punkt Abbildung V 1: Fläche unter einer Kurve Abbildung V 2: Rechtecksapproximation Abbildung V 3: Flächeninhalt bei variabler Integrationsgrenze Abbildung V 4: Bestimmte Integrale und Flächen Abbildung V 5: Flächen zwischen Funktionen Abbildung V 6: Konsumentenrente Abbildung V 7: Produzentenrente Abbildung V 8: Dichtefunktion Abbildung V 9: Standardnormalverteilung Abbildung V 10: Trapezapproximation Abbildung VI 1: Vektordarstellung im zweidimensionalen Raum Abbildung VI 2: Linearkombination von Vektoren Abbildung VI 3: Positive und konvexe Linearkombination von Vektoren Abbildung VI 4: Linear unabhängige Vektoren im dreidimensionalen Raum Abbildung VI 5: Einheitsvektoren im dreidimensionalen Raum Abbildung VI 6: Vektoren mit Skalarprodukt von Null Abbildung VI 7: Ablaufschema des Simplexverfahrens

16 Symbolverzeich n is Analysis (allgemein) a, b, C x, y, z, ~, ~,... IX,~, V 3 > < n! X Konstanten, Parameter Variablen Variablenwerte Allquantor (für alle) Existenzquantor (existiert ein) unendlich imaginäre Zahl = ~ Summenzeichen Produktzeichen Gleichheitszeichen Größer-Zeichen Kleiner-Zeichen Größer-Gleich-Zeichen Kleiner-Gleich-Zeichen Ungleichheitszeichen annähernd gleich identisch n-fakultät Absoluter Wert von a Binomialkoeffizient ("rn über n") Aussagenlogik A,B,C w f A v Aussagen, Mengen wahr falsch Negation ("nicht...") Konjunktion ("sowohl... als auch...") Disjunktion ("... oder...") Implikation Äquivalenz

17 XX Abkürzungs- und Symbolverzeichnis Mengenlehre { } E Cl 0 N Z Q IR n(a)!: u n A [ } }[ [ [, }} Mengenklammer Element von Universalmenge Leere Menge Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Mächtigkeit der Menge A Teihnenge von Vereinigung (oder) Durchschnitt (und) Komplement von A abgeschlossenes Intervall offenes Intervall halboffene Intervalle Funktionen, Differenziale und Integrale f: X ---> Y Abbildung (Funktion) D(!) W(!) fex) f'(x) X' a' e' log, x log x Inx maxi } mini } sign( ) [a.l lim,->a Definitionsbereich von f Wertebereich von f Funktion einer Veränderlichen (x) Umkehrfunktion Potenzfunktion Exponenzialfunktion zur Basis a Exponenzialfunktion zur Basis e (e-funktion) Logarithmusfunktion zur Basis a dekadische Logarithmusfunktion natürliche Logarithmusfunktion Maximumfunktion Minimumfunktion Vorzeichenfunktion Zahlenfolge mit dem allgemeinen Glied a. Grenzwert für x gegen IX

18 Abkürzungs- und Symbolvarzaichnis XXI lim :1:-+"-!im X-+CH Ay Ay Ax dy d y ['(x) dx' d'~, f'(x) dx d n y f'n) (x) dx n ' f(x"x,) f(x" x"..., x,) Cly f' ":'l. 'Xl (1 x, df., df J f(x)dx F(x) b J f(x)dx Grenzwert für x gegen (l von links Grenzwert für x gegen a von rechts Differenz zweier y-werte Differenzenquotient Differenzial von y Differenzialquotient erster Ordnung, erste Ableitung der Funktion y = fex) nach x Differenzialquotient zweiter Ordnung, zweite Ableitung der Funktion y = fex) nach x Differenzialquotient n-ter Ordnung, n-te Ableitung der Funktion y = fex) nach x Elastizität von x bezüglich der Größe y Funktion zweier Veränderlicher (x"x,) Funktion mit n Veränderlichen partieller Differenzialquotient erster Ordnung, erste partielle Ableitung der Funktion y = f(x"x"...) nach Xl partieller Differenzialquotient zweiter Ordnung, zweite partielle Ableitung der Funktion y = f(x"x"...) nach Xl partieller gemischter Differenzialquotient zweiter Ordnung, zweite gemischte partielle Ableitung der Funktion f(x"x,) nach x, und X, partielles Differenzial der Funktion f(x"x"...) nach X, totales Differenzial der Funktion f(x"x"...) Integralzeichen unbestimmtes Integral der Funktion fex) Stanunfunktion zur Funktion fex) bestimmtes Integral der Funktion fex) von abis b

19 XXII AbkOrzungs- und Symbolvarzaichnis Uneare Algebra a,b,...,x A,B,...,X a ql b~,... E A' A-' deta rg(a) adica) Vektoren Matrizen Matrizenkoeffizienten Einheitsmatrix Transponierte der Matrix A Inverse der Matrix A Determinante der Matrix A Rang der Matrix A Adjungierte der Matrix A Griechisches Alphabet A a Alpha B ~ Beta r 'Y Gamma Delta E E Epsilon Z ~ Zeta H 11 Eta 9 9 Theta I l Iota P K K Kappa E A Ä Lambda T M 11 My T N v Ny 4> :;: ~ Xi X 0 0 Omikron 'P TI 1t Pi n p Roh (J Sigma 1: Tau u Ypsilon <P Phi :x: Chi 'I' Psi (j) Omega

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