(b) In der zweiten Vorlesung vom wurde die Matrix-Exponentialfunktion exp(x) =

Transkript

1 Priv-Doz G Reißig, Dipl-Math A Weber Universität der Bundeswehr München Institut für Steuer- und Regelungstechnik RT-5 AWeber@unibwde Mehrgrößenregelungssysteme, HT 22 Übung 2 - ösung Aufgabe a Man zeige, dass ähnliche Matrizen A, à Fn n, n N, dieselben Eigenwerte haben Zur Erinnerung: Zwei Matrizen A und à heißen ähnlich, falls es eine invertierbare Matrix R F n n gibt, so dass à R AR b In der zweiten Vorlesung vom 5 wurde die Matrix-Exponentialfunktion expx k Xk k! für X F n n eingeführt Unter Verwendung der Konvergenz der Reihe weise man nach, dass die Spalten der matrixwertigen Funktion Φ: R F n n, t expxt die Differentialgleichung ẋ Xx lösen, und Φ id gilt Man folgere ösung Aufgabe d expxt X expxt dt a Die Eigenwerte von à sind die Nullstellen von detx id T AT dett X id AT dett dett detx id A detx id A, also auch die Nullstellen des charaktistischen Polynoms von A b Vorlesungsskript Seite 7 bzw 8 Aufgabe 2 Gegeben seien Matrizen B, J F n n, Φt expjt, so dass Φt invertierbar ist für alle t R und At Φt BΦt für t R Man führe die Koordinatentransformation y Φtx für das System ẋ Atx durch und die leite die Differentialgleichung ẏ B + Jy für y her

2 ösung Aufgabe 2 Durch die Rechnung ẏ d dt Φtx d Φtx + Φtẋ JΦtx + BΦtx B + Jy dt folgt die Behauptung Tatsächlich ist die Voraussetzung an die Invertierbarkeit von Φt redundant Wie in der Vorlesung gezeigt, ist Φt stets invertierbar für alle t R Aufgabe 3 Bei dem unten dargestellten elektrischen Netzwerk soll die Spannung u über der unabhängigen Stromuelle als Eingang und die Spannung y über dem Widerstand R als Ausgang angesehen werden Es seien >, R >, R > und C > angenommen a Man stelle das Zustandssystem ẋ Ax + Bu y Cx + Du a b auf, und zwar mit dem Zustandssignal i x φ, T, wobei φ der Fluss der Induktivität und die adung des Kondensators sei ii x v, v C T, wobei v die Spannung über Knoten und, und v C die Spannung über C sei b Man bestimme die Transformationsmatrix R R 2 2, welche x v, v C T in den Zustandsvektor x φ, T überführt Ferner verifiziere man, dass die Zustandssysteme aus a i und a ii ähnlich sind c Man berechne die Übertragungsfunktion von d Für R C 2, R bestimme man R 2 R 2 2, so dass à : R 2 AR 2 eine Diagonalmatrix ist Ferner gebe man das durch R 2 transformierte, zu äuivalente Zustandssystem an ut v R v C C R y ösung Aufgabe 3 a i Nach den physikalischen Gesetzmäßigkeiten gilt φ i 2 C v C 3 i C 4 φ v 5 2

3 Nach den Kirchhoffschen Gesetzen gilt Ausgehend von 2 erhalten wir mit 4 i i C + v C R i C φ + Also Mit 5 folgt φ φ φ v u R i v C 2,3 u R φ C Schließlich erhalten wir φ sowie y v C /C R C x ii Differenzieren von 2 und 3 nach der Zeit liefert φ + u Es ist v R i + v C und damit Außerdem d v R dt i v + v C R + i C v C v R + v R R C v C R u v R u + R C R d dt i v 7 C v C i C 8 + v v C R C vc v + R C v C i C C i C v C v R R C v C R C v v C R C v C v C Schließlich erhalten wir v R C R R C v C R C R C v v C + R u b Es gilt φ R R C }{{} :R v v C 3

4 wegen φ i v R R Der Nachweis der Ähnlichkeit sei an dieser Stelle eingespart c Nach Vorlesung ist Hs Cs id A B /C /C s + R /s + / + /C s + R / /C / s + / d Mit den gegebenen Werten in a i eingesetzt gilt A Die Eigenwerte sind also 3 2 bzw mit den Eigenvektoren Mit R 2 2 und R bzw /2 erhalten wir à R2 AR Ferner gilt B R2 B 2 und C CR 2 /2 /2 2 Aufgabe 4 Man bestimme die Jordan-Normalform der Matrix A und eine zugehörige Transformationsmatrix, dh T R 3 3, so dass T AT die Jordan- Normalform von A ist ösung Aufgabe 4 Schritt Eigenwerte Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen von X det X 2 X 3 also ist λ 2 ein 3-facher Eigenwert Schritt 2 Potenzen Wir definieren B : A λ id A 2 id X 3 6X 2 + 2X 8 X 2 3,

5 Also gilt B und B 3 Schritt 3: Kerne der Potenzen Es ist ker B span{v } mit v,, T Wir suchen v 2 ker B 2, so dass v 2 / ker B Der Vektor v 2,, T erfüllt die Bedingungen Wir suchen v 3 ker B 3, so dass v 3 / ker B 2 Der Vektor v 3 e 3,, T erfüllt die Bedingungen Schritt 4: Transformationsmatrix Mit 2 3 T B 2 v 3 Bv 3 v folgt schließlich T AT Achtung: In diesem Beispiel vereinfacht sich Schritt 3 im Vergleich zum allgemeinen vorgehen Die Verallgemeinerung von Schritt 3 wird in der Übung behandelt Dennoch sei zur Verdeutlichung ein weiteres Beispiel an dieser Stelle gegeben Sei nun A Die Aufgabenstellung sei die gleiche wie die in Aufgabe 4 für A an Stelle von A Schritt Eigenwerte Das charakteristische Polynom von A ist X 2 4, also ist 2 ein 4-facher Eigenwert von A Schritt 2 Potenzen Wir definieren B : A λ id Es folgt B 2 Schritt 3: Kerne der Potenzen Es gilt ker B span{,,, T,,,, T } Wir suchen v 2, ker B 2, so dass v 2, / ker B Der Vektor v 2,,,, T erfüllt die Bedingungen Weiter suchen wir v 2,2 ker B 2, so dass v 2,2 / span{v 2, } ker B Der Vektor v 2,2,,, T erfüllt die Bedingungen Schritt 4: Transformationsmatrix 5

6 Mit T B v 2, v 2, B v 2,2 v 2,2 folgt schließlich T A T