Irrfahrten Alle Wege führen nach Rom

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1 Bayersche Julus Maxlas Uverstät Würzburg Erste Staatsrüfug für as Lehrat a Gruschule Schrftlche Hausarbet Thea: Irrfahrte Alle Wege führe ach Ro Egerecht vo: Stefae Eres Egerecht a: 98 Fach: Matheat Dozet: Prof Dr Jör Steug

2 Alle Wege führe ach Ro

3 Ihaltsverzechs Pólya u Irrfahrte 5 George Pólya 6 3 Rao Wals ee Rese s Uelche 3 Was s Rao Wals? 3 Veraschaulchug eer Irrfahrt 33 Syetrsche Irrfahrte 3 3 Reurrete oer trasete Irrfahrte 3 35 Irrfahrte e verscheee Desoe 35 Eesoaler Rau 35 Zweesoaler Rau 353 Dreesoaler Rau 5 35 Höheresoale Räue 5 Bewes vo Pólyas Theore über Irrfahrte -esoale Rau 6 Notwege Leas 8 Lea 9 Lea 5 3 Lea 3 7 Lea 33 Bewes vo Pólyas Theore 36 Betrachtug vo Irrfahrte eesoale Rau 37 Betrachtug vo Irrfahrte zweesoale Rau 3 Betrachtug vo Irrfahrte estes reesoale Räue 3 Beerug 5 3 Führe alle Wege ach Ro? 5 5 Varatosöglchete er Irrfahrte 53 5 Aere Gtterstrutur 53 5 Drft: Bevorzugug bestter Rchtuge 5 53 Irrfahrte, e sch selbst beeflusse Selbstazehee Irrfahrt Selbstabstoßee Irrfahrt Selbstvereee Irrfahrt 56 5 Iteratoe zwsche ehrere Irrfahrte 57 3

4 6 Aweuge - Wo trete Irrfahrte auf? 58 6 Browsche Bewegug 58 6 Ateurse 6 63 Wachstu lager Moleülette 6 7 Irrfahrt e Gruschule 63 7 Vorüberleguge 63 7 Ecehause 63 7 Der Gtteretzla Irrfahrte auf e elche Gtteretz Irrfahrte uelche Rau 69 7 Ergebsse 7 zu: Ecehause 7 zu: Der Gtteretzla 7 zu: Irrfahrte auf e elche Gtteretz 7 zu: Irrfahrte uelche Rau Ist e Theat Irrfahrte für e Gruschule svoll? Thee er Stochast Gruschullehrla Irrfahrte er Gruschule 79 8 Matheatscher Ahag 8 8 Dsreter Wahrschelchetsrau 8 8 Uabhägget 8 83 Dsrete Zufallsvarable 8 8 Marovette 8 9 Schluss 85 Lteratur 86 Dasagug 88 Erlärug 89 3 Ahag 9

5 Pólya u Irrfahrte Als er Matheater George Pólya a ee Nachttag auf e Zürchberg sazere gg, traf er real auf e gleche Beate Dese ae e uabschtlche Treffe cht gerae gelege, a er leber t seer Verlobte alle se wollte Daraufh brach Pólya see Sazergag ab u ehrte ach Hause zurüc Dort bega er sch as Eregs aus atheatscher Scht zu überlege So st aus ese Zufallseregs auf e Zürchberg ee Theore etstae, vo Velfalt u Schöhet gerägt, welche er och aches Gehes sch brgt Pólya beschreb eses Zufallseregs t e atheatsche Sachverhalt er Irrfahrte, e wr e folgee Katel äher erläuter were Als Ergebs seer Überleguge gelagte er Jahre 9 zu see berühte Theore: Be er Irrfahrt ( ) eer oer zwe Desoe ot a fast scher er weer zu Startut zurüc (obwohl häufg erst ach sehr lager Zet) 3 Dagege wr ee Irrfahrt re oer ehr Desoe t ostver Wahrschelchet cht weer zu Startut zurücehre Pólya bewes es zusae t er Tatsache, ass auch alle aere Pute es e- u zweesoale Raues fast scher assert were u er Tat also alle Wege ach Ro führe, a schleßlch alle Pute es Gtters e- u zweesoale Rau errecht were I re- u höheresoale Rau st es jeoch cht er Fall Her were wr Ro t eer ostve Wahrschelchet cht erreche Dese Asete were wr Folgee bewese Weter bewes Pólya, ass sch zwe Irrfahrte e- u zweesoale Rau fast scher er weer treffe u ass sch zwe Irrfahrte höher-esoale Räue t eer ostve Wahrschelchet cht begege Dese letzte Bewes öe wr er vorlegee Arbet leer cht abrge Aus ese Gru efehle wr alle teresserte Leser Pólyas Artel: Über ee Aufgabe er Wahrschelchetsrechug betreffe e Irrfahrt Straßeetz Zuächst wolle wr us aber t er Perso hter e zu bewesee Theore beschäftge (ua) Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 9 Eb; Fole, Z 3 3 Eb; Fole ; Z 3 Pólya, G; Über ee Aufgabe er Wahrschelchetsrechug betreffe e Irrfahrt Straßeetz 5

6 George Pólya I e achfolgee Ausführuge bezehe wr us auf The Pólya Pcture Albu: Ecouters of a Matheatca vo G Pólya u G L Alexaerso A 3887 wure George Pólya Buaest, als Soh vo Aa u Jaob Pólya gebore I see juge Jahre fühlte sch Pólya cht sehr er Matheat verbue u so bega er ach Abschluss es Gyasus as Stuu er Rechtswsseschafte a er Uverstät vo Buaest Doch see Begesterug war cht vo großer Dauer Scho ach ee Seester brach er eses Stuu ab u stuerte für ver Seester Lteratur u Srache Herurch erlagte er e Erlaubs, er Uterstufe es Gyasus Late u Ugarsch zu uterrchte, was er aber eals tat George Pólya, Berl, 95 (Pólya Pcture Albu, S 63) See Iteresse galte er Phlosohe, er Lteratur u auch er Phys Nache e Professor er Phlosohe h überzeugte, ass e Matheat- u Phys-Stuu h helfe würe, e Phlosohe zu verstehe, bega er Matheat zu stuere Aus eser Zet stat e berühtes Ztat vo Pólya, as ch auch her erwähe öchte: I thought I a ot goo eough for hyscs a I a too goo for hlosohy Matheatcs s betwee 5 (George Pólya) See Dotor achte Pólya 9 Buaest, ache er e Jahre 9 9 a er Uverstät vo We verbracht hatte See Dssertato t e Thea Soe questos of the calculus of robablty, a soe efte tegrals assocate wth t schreb er ort ohe Berater, a sch Buaest ea verteft t Wahrschelchetstheore beschäftgte Vo 9 bs 9 gg er a e Uverstät Göttge u Jahre 9 verschlug es h a e Parser Uverstät I selbe Jahr och ah er, auf ee Elaug vo Aolf Hurwtz, see erste Lehrauftrag a er Egeösssche Techsche Hochschule Zürch auf u verbleb ort bs 9 5 Pólya, G; Alexaerso, G L; The Pólya Pcture Albu: Ecouters of a Matheatca ; S, Z - 6

7 George Pólya heratete 98 e Tochter ees Phys-Professors a er Uverstät Neueburg, Stella Vera Weber Geesa lebte se er eutschsrachge Schwez, srache jeoch zu Hause Frazössch, a Stella Pólya er frazösschsrachge Schwez aufgewachse war I ese Zusaehag st zu erwähe, ass Pólya großes Iteresse a Srache hatte u ebe e Frazössche u Ugarsche zusätzlch Eglsch, Italesch u Däsch lerte See atheatsche Arbete verfasste er aufgru seer Begesterug für Srache auf Ugarsch, Frazössch, Deutsch, Italesch, Eglsch u Däsch Pólya arbetete lage Zet zusae t ee aere ugarsche Matheater, Gábor Szegö Herbe erhelt er Jahre 98 see Dotorttel vo er Uverstät We I Jahre 9 verbrachte er e Jahr Egla als er erste teratoale Rocefeller Fellow, zuächst a New College Oxfor, a a Trty College Cabrge Pólya schreb Jahre 95 t e ugarsche Matheater Szegö as Wer Probles a Theores Aalyss Des st ee er wchtgste Arbete, e lasssche Aufgabe u Lehrsätze aus er Aalyss ethält Auch ach 6 Jahre wr ese Arbet och er regeläßg ztert u st ee er wchtgste Quelle für Problee er Aalyss De Orgasato eses Weres war eu, a e Problee cht ach Thee, soer ach er Lösugsethoe zusaegetrage wure I Jahre 9 wure Euroa vo zwete Weltreg beherrscht, weshalb e Fale Pólya beschloss ach Aera auszuwaer, wo George Pólya zwe Jahre a er Brow Uverstät tätg war u auch urz a Sth College, bs er ee Platz a er Stafor Uverstät erhelt I eser Zet bega Pólya e Mausrt für se Buch How To Solve It Es wure zwsche wet über ee Mllo Mal verauft u estes 7 aere Srache übersetzt Des st t Scherhet e Reor für e oeres Matheat-Buch Nach ese große Erfolg, verfasste Pólya e zwe Were, Matheatcs a Plausble Reasog 6, welche auf ee eutlch höhere atheatsche Nveau geschrebe s Aschleße verfasste er as zwebäge Buch Matheatcal Dscovery, welches e Jahre 96 u 965 veröffetlcht wure These establshe h as the foreost avocate of roble solvg a heurstcs hs geerato 7 6 Pólya, G; Alexaerso, G L; The Pólya Pcture Albu: Ecouters of a Matheatca ; S 3, Z 7 Eb; S 3, Z

8 Zusätzlch zu e berets erwähte Bücher, schreb George Pólya och ehrere aere Bücher, Vorträge u Moograhe Trotz seer Pesoerug Jahre 953 lehrte u schreb er bs e 7er Jahre weter It was urg ths te that he was aware a uber of hoorary egrees - by the Uversty of Alberta, the Uversty of Wscos at Mlwauee, the Uversty of Waterloo, a the Swss Feeral Isttute of Techology - a ebershs several atoal acaees 8 George Pólya, Schwez, 99 (Pólyas Pcture Albu, S 3) George Pólya erhelt Jahre 963 e Pres für Dstgushe Servce to Matheatcs by the Matheatcal Assocato of Aerca I Jahre 968 bea er schleßlch e Blue Rbbo by the Eucatoal Fl Lbrary Assocato für see Fl Let Us Teach Guessg 9 Beereswert a Pólyas Karrere st see atheatsche Iteressesbrete So teresserte er sch zu Besel für reelle u olexe Aalyss, atheatsche Phys, Varatosrechug, Wahrschelchet, Kobator, Geoetre, Zahletheore u Grahetheore Pólya äußerte sch herzu folgeeraße: I was fluece by y terest scovery I looe at a few questos just to f out how you hale ths of questo Dazu erzählte Pólya ee lee Geschchte: I oce ha a ea of whch [Hary] arove But afterwars I ot wor suffcetly har to carry out that ea, a Hary sarove He ot tell e so, of course, yet t cae out whe he vste a zoologcal gare Swee wth Marcel Resz I a cage there was a bear The cage ha a gate, a o the gate there was a loc The bear sffe at the loc, ht t wth hs aw, the he growle a lttle, ture arou a wale away He s le Pólya, sa Hary He has excellet eas, but oes ot carry the out Deoch leferte Pólya beereswerte Beträge vele Zwege er Matheat 8 Pólya, G; Alexaerso, G L; The Pólya Pcture Albu: Ecouters of a Matheatca ; S, Z 5-9 Eb; S, Z 9 Eb; S 5, Z 9 Eb; S 5, Z 8

9 A 7 Seteber 985 starb George Pólya Palo Alto Alter vo 97 Jahre I Aereug seer Lestuge Fachberech Matheat, wr er Pólya-Pres set 987 vo er Loo Matheatcal Socety verlehe Schleßlch wolle wr och ee Beerug vo ee zetgeösssche Matheater über Pólya betrachte: N G e Bruj: A atheatca who ossbly ore tha ayoe else has gve recto to y ow atheatcal actvty s G Pólya All hs wor raates the cheerfuless of hs ersoalty Woerful taste, crystal clear ethoology, sle eas, owerful results If I woul be ase whether I coul ae just oe atheatca who I woul have le to be yself, I have y aswer reay at oce: Pólya I e folgee Katel wolle wr Pólyas Theore, welches er Jahre 9 bewes, urz vorstelle u aschleße atheatsch betrachte u bewese Pólya, G; Alexaerso, G L; The Pólya Pcture Albu: Ecouters of a Matheatca ; S 9, Z 36 39, S, Z 3 9

10 3 Rao Wals ee Rese s Uelche 3 Was s Rao Wals? Das Wort rao wal ot aus e Eglsche u beeutet Zufallsbewegug I Deutsche wr er rao wal häufg als Irrfahrt bezechet 3 Betrachtet a as üblche Begrffsverstäs zu Begrff Irrfahrt, so were e Meste herbe a e Uherrre ee Des st gar cht so abwegg Vorstelle a a sch ee Irrfahrt zuächst aha vo Telche, e sch zufällg Rau bewege, we as folgee Bl zegt: Herbe st wchtg zu erwähe, ass e Schrtt ee Rchtug cht e achfolgee Schrtte beeflusst Wr betrachte her e Bewegug ees Atos, ees Moleüls, ees Mesche oer ees Teres, wobe wr für ese verefacht e Begrff Telche verwee Der Rau, e sch eses Telche bewegt, se zuächst egal Er a so we er Szze zweesoal se, oer aber auch e-, re- oer höheresoal U ee Irrfahrt aber atheatsch beschrebe zu öe, st es otweg ee gewsse Strutur ee solche Rau zu brge Herfür utzt a zweesoale vor alle Gtteretze, er folgee Art: 3 htt://schuleeuhat/regy/phys//waere/teeratur/browsche_bewegught

11 Her st es sehr gut öglch ee zufällge Bewegug zu beschrebe Das Telche a a ee belebge Gtteretzut, bzw a eer Kreuzug zweer Gerae starte Es a u ee er ver, urch e Gtterstrutur vereutlchte, Rchtuge zufällg laufe Ee Zufallsbewegug beschrebt also e Schrtt vo eer Kreuzug zur ächste Herbe solle alle Schrtte voeaer uabhägg u hre Wahl (zuächst) glech wahrschelch se 3 Veraschaulchug eer Irrfahrt Da wr Folgee e Beguge betrachte were, uter ee ee Irrfahrt zu hre Ausgagsut zurücehrt, were wr u ee Irrfahrt auf e zweesoale Gtteretz betrachte Herfür lere wr zuächst usere Hauterso, e Betruee, ee: Deser öchte vo seer Staee egetlch weer ach Hause laufe Zu see Lewese hat er jeoch völlg e Oreterug verlore u rrt u quaratsche Straßeetz uher

12 A jeer Kreuzug, a er er aot, weß er cht ehr, aus welcher Rchtug er geoe st u wählt jees Mal zufällg ee er ver öglche Weg Leer st e Stat uelch groß u aus er Etferug gesehe st user Betrueer ur och e leer Put, auf ee resge Gtteretz

13 We user betrueer Ma u auf ee uelch große Gtteretz uherrrt, stellt sch e Frage, ob er weer zu seer Staee zurücfe wr, e s wr al ehrlch: Dese st och se egetlches Zuhause I folgee Katel were wr ese Theat, eer zu Ausgagsut zurücehree Irrfahrt, atheatsch behael u aschleße arauf egehe, ob alle Wege ach Ro führe Zuächst erläuter wr aber och ege wchtge Begrfflchete, e wr säter gebrauche were 33 Syetrsche Irrfahrte Betrachte wr ee zweesoale Irrfahrt aus stochastscher Scht, so habe wr e belebges Telche, as auf ee Gtteretz uherrrt Vo see Startut aus, hat es ver öglche Wege, e es zufällg wählt A jeer Kreuzug wr e Weg t er Wahrschelchet Wegwahle beeflusst gewählt, wobe ee Wegwahl weer e ächste, och aere De her beschrebee Irrfahrt heßt ee efache, bzw syetrsche Irrfahrt, be er jee Wegwahl e gleche Wahrschelchet bestzt u alle Beweguge stochastsch uabhägg voeaer s De Zufallsbeweguge s sot etsch vertelt u uabhägg voeaer 3 Reurrete u trasete Irrfahrte Ee Irrfahrt wr als reurret bezechet, we se fast scher, also t er Wahrschelchet Es, weer zu hre Ausgagsut zurücehrt Asoste heßt se traset I ese Fall ehrt e Irrfahrt t eer ostve Wahrschelchet cht weer zu hre Startut zurüc 3

14 35 Irrfahrte e verscheee Desoe U e Theat Irrfahrte atheatsch beschrebe u erläre zu öe, uss a e jewelge Rau, e e Bewegug es Telches stattfet, festlege Zur Veraschaulchug habe wr 3 u 33 berets ee bestte Rau gewählt: e zweesoales Gtteretz Dese Rauvorstellug were wr u u e e- u reesoale Rau, sowe u e allgeee ehresoale Rau erweter 35 Eesoaler Rau Betrachte wr zuächst e eesoale Rau Her a sch as Telche auf er Koorateachse ur ostve oer egatve x-rchtug fortbewege Wr habe also zu Besel e x-achse u starte Nullut Ee efache syetrsche Irrfahrt st, we berets erwäht, aurch beschrebe, ass e Wahl eer er bee Rchtuge glech wahrschelch u zufällg st Vorstelle a a sch es weer aha useres Betruee, er esal ee lage Straße etlagläuft Zufällg wr er ee Schrtt vorwärts oer ee Schrtt zurüc ache De Wahrschelchet für ee Schrtt vorwärts, bzw zurüc, legt jewels be 35 Zweesoaler Rau E zweesoaler Rau a, we berets geat, urch e Gtteretz (bzw Kooratesyste t x- u y-achse) argestellt were, auf e es jewels ver öglche Wege gbt Mt jewels glecher Wahrschelchet wr zufällg e Schrtt e ostve vertale Rchtug, e egatve vertale Rchtug, e ostve horzotale Rchtug oer e egatve horzotale Rchtug uteroe De Wahrschelchet für jee er ver Rchtuge beträgt her

15 353 Dreesoaler Rau Befe wr us re Desoe, gbt es er sechs Möglchete zu laufe u wr erhalte ee Wahrschelchet, für jee er sechs öglche Rchtuge, vo 6 35 Höheresoale Räue Wetere Desoe her arzustelle st atürlch cht öglch Wr öe aber ergäze, ass t jeer wetere Deso zwe eue Wegeöglchete hzuoe Dat gbt es also er öglche Wege, wobe e jewelge Deso bezechet, er wr us befe 5

16 Bewes vo Pólyas Theore über Irrfahrte - esoale Rau Nu were wr us er atheatsche Betrachtug es Probles zuwee u Pólyas Theore über reurrete u trasete Irrfahrte bewese Herbe soll vor alle, eser beate Satz, er 9 vo Pólya bewese wure, verstälch argestellt were I Folgee bezehe wr us grulege auf e Artel Lost Sace vo Chao, Mlls u Sth (sehe Lteraturlste) Nach Pólya ehre ur e- u zweesoale Irrfahrte fast scher weer zu hre Ausgagsut zurüc Aers ausgerüct beeutet as, ass e stochastsche Irrfahrt eer oer zwe Desoe ach elch vele Schrtte, bzw elcher Zet, fast scher weer zu hre Startut zurücehrt Betrachte wr also e Rau, esse Deso t Z efere als Z : {(,,, ) : Z, } K N bezechet wr, so öe wr Her stellt,, K, ) ee -esoale Vetor t gazzahlge Koorate ar ( Θ : (,, K,) st abe er Nullvetor vo Z Der eesoale Rau {( ) : Z, } Z besteht also ur aus er Mege er Vetore ( ) Deser Vetor verläuft, etsreche sees Vorzeches, ostve oer egatve x-rchtug u ect at e zwe öglche Rchtuge ab Se u (, P) { ω, ω ω },, Ω e Wahrschelchetsrau [sehe 8] t er Gruege Ω u ω se e Zusta E Eregs{ ω Ω : s( ω) }, we zu Besel zweesoale Rau er Schrtt ostve vertale Rchtug, wr t {s} bezechet u e Wahrschelchet P { ω Ω : s( ω) }, ass eses Eregs etrtt, t P{s} De Irrfahrt -esoale Rau wr urch ee Folge vo uabhägge [sehe 8] u etsch vertelte, also glechwahrschelche Zufallsvetore { X,,K} beschrebe u für alle Z glt, ass X : Ω Z X 6

17 De Wahrschelchet P st erlärt urch ( K, (I) P{ X e, e,, e )} wobe er - er Koorate e, e, K, e ) glech Null s u e übrge Koorate ( glech oer - Wr erhalte also Ehetsvetore Herbe glt es zu beachte, ass e Vetore {,,K} X voeaer uabhägg s, was beeutet, ass er vorherge Vetor X eerle Efluss auf e folgee Vetore hat De Schrtte, e a utert s also stochastsch uabhägg voeaer Nehe wr zur Veraschaulchug ee Irrfahrt zwe Desoe Her legt e Wahrschelchet { X e, e )} be P für ee Schrtt ee er ver öglche Rchtuge ( Wr utze her ( e, ) e statt (, ) als Bezechug für e Vetore, u zu vereutlche, ass e, ) Ehetsvetore es zweesoale Raues s Folglch ( e erhalte wr für user Besel e zweesoale Vetore (,), (, ), (,), (,) Dese Ehetsvetore stelle jewels ee Schrtt ostve oer egatve bzw vertale oer horzotale Rchtug ar Betrachte wr u e stochastsche Prozess { S S,,K} syetrsche Irrfahrt auf S S Θ S, X,, S Z arstellt Wr efere h reursv über: für, er ee efache, S beschrebt also e Posto zu Zetut, bzw ach Schrtte Das beeutet, ass S S3 X as Wegstüc aus e erste ver Zufallsvetore X, X, X 3, X behaltet Sot öe wr feststelle, ass S 3 X X X 3 st Betrachte wr zur Veraschaulchug weer e Besel zweesoale Rau 7

18 De rote Le zegt e stochastsche Prozess: S S X X X X 3 3 X We wr auf e Bl u auch urch e Rechug eree öe, st as Estüc es rote Weges vo schwarze Ausgagsut ( Θ ) t e Vetor zu erreche Nu wolle wr Pólyas Satz äher betrachte u erläre Nach Pólya st e Wahrschelchet afür, ass ee stochastsche Irrfahrt ach elcher Zet, weer zu Afagsut zweesoale Rau befe P { S Θ für } {,} Θ zurücehrt, glech Es, we wr us e- oer Befe wr us hgege ee höher esoale Rau, also 3, so st es cht er Fall: 3 P { Θ } < S U Pólyas Satz zu bewese, beötge wr zuerst aber och ege Hlfssätze (Leas), e us e Bewes erlechter were Notwege Leas I ese Katel beschäftge wr us t e Hlfssätze, e wr beötge, u Pólyas Theore zu bewese I erste Lea wr es aru gehe, zu zege, wa ee Irrfahrt fast scher weer zu hre Ausgagsut zurücführt I zwete Lea were wr urz e Strlgsche Forel vorstelle u bewese aach rtte Lea folgee Iettät : I verte Lea betrachte wr schleßlch Multoaloeffzete u were e Mu für L bereche 8

19 Lea Das erste Lea wr us zege, we wr Stuatoe etfzere öe, ee ee Irrfahrt fast scher weer zu hre Ausgagsut zurücführt Wr were zege, ass e Wahrschelchet afür, ass ee Irrfahrt fast scher weer zu hre Ausgagsut zurücführt, glech Es st, we u ur we e uelche Rehe er Rücehrwahrschelchete vergert Also: P { S Θ für } P{ Θ } S Wr üsse u also Folgees bewese: P{ S Θ für } P{ Θ } P{ S Θ für } P{ Θ } S S, bzw P{ Θ } < P{ S Θ für } < S U e vorhergehee Ilatoe zu bewese, efere wr us zuächst ee srete Zufallsvarable η [sehe 83], e e erste Rücehr zu Ausgagsut Herzu se η, { : S Θ, }, we { : S Θ, } we { : S Θ, }, Θ arstellt Dabe teressert us ur er Fall, also ass η e erste Rücehr arstellt Der Fall, t er Aussage, ass e Irrfahrt cht zurücehre wr, a her verachlässgt were, a wr bewese were, ass ee Rücehr fast scher stattfet Sot geügt es also folgee Äquvalez zu bewese: (II) P{ η } P { Θ } S 9

20 Zu Zetut er Rücehr ( S Θ ) st η Für e Bewes s u wetere Überleguge ötg Zuächst beschrebe wr e Rücehr zu Θ urch Megeverüfuge, wobe S Θ ur zutrfft, we η : { S Θ } ({ η } { S Θ }) U U ({ η } { S S Θ }) ( ) Statt { S Θ } öe wr { S Θ } S schrebe, a S S Θ, geau we η, (also S S Θ ) Wr öe feststelle, ass as Eregs A { η } vo X, X, K, X u as Eregs B { S Θ } S vo X, X, K, X abhägg st Sot s ese bee Eregsse A u B voeaer stochastsch uabhägg u es glt: P(A B) P(A) P(B) Zusae t ( ) erhalte wr: P { η } { S S Θ } P{ η } P{ S S Θ } { η } P{ Θ } P S We a sehe a, habe wr P{ Θ } urch P{ Θ } S S ass es öglch st, we a e stochastsche Prozesse äher betrachtet: S ersetzt Ma eret, S t S X j X X 3 j j ~ j Suae S X ~ X, X 3, j Suae u j ~ Wr wsse also, ass bee Sue Uabhägget er X ~ u j j Suae bestze u öe t er X folger, ass P S S Θ } P{ S Θ } { Veraschaulchug Waru es so st, lässt sch a folgee Besel veraschaulche Betrachtet a e Wahrschelchet, ass a t sechsal würfel e Sue erhält, so st es uerheblch, ob zuvor al oer al gewürfelt wure Es zähle ur e sechs htereaer aufgetretee Würfelauge, ere Sue ergbt

21 Mt usere Überleguge öe wr für e Rücehrwahrschelchet folgee Glechug aufstelle: P { S Θ } P{ } P{ S Θ } η Da wr her ee Mege ehr betrachte, soer Wahrschelchete, beutze wr u Sueforel Setze wr u j, bzw j, erhalte wr P { S Θ } P{ η } P{ S Θ } P{ η j} P{ Θ } j η ( ) Natürlch usste herbe e Izes er Sue ageasst were E Verglech er Suae zegt us jeoch schell e Glechhet j P P { η } P{ Θ } P{ } P{ S Θ } P{ η } P{ S Θ } S S j η u { η η j} P{ Θ } P{ } P{ S Θ } P{ η } P{ Θ } S j η S Wr eree also, ass e Rehefolge er Suae efach vertauscht wure, was aber chts a er Sue a sch äert Ohe e Glechhet zu beeflusse, öe wr für ( ) Folgees schrebe: r r { S Θ } P{ j} P{ S Θ } P η j j I ächste Schrtt wolle wr zege, ass e Austausch er Größeorug er Suato zu folgeer Glechug führt: r r (III) P{ S Θ } P{ η } P{ S Θ } r r Zu zege st also, ass P{ j} P{ S j Θ } j r r η P{ η } P{ S Θ } Betrachte wr herfür e ezele Suae I Grau geschrebe, eree wr as jewelge, as wr gerae esetze; j läuft jewels vo bs - urch Aus Grüe er Überscht schrebe wr für jees ee egee Zele

22 Zuächst betrachte wr e Suae er le Glechugssete: r j { j} P{ Θ } P η S j ( ): P{ η } P{ S Θ } ( ): P{ η } P{ S Θ } P{ η } P{ S Θ } ( 3): P η 3} P{ S Θ } P η } P{ S Θ } P η } P{ S Θ } { { { M ( r) P η r} P{ S Θ } P η r } P{ S Θ } P η } P{ Θ } { { { S r Beachte wr u, ass P { Θ }, was beeutet, ass alle Suae t S ugerae ugerae Iex wegfalle u ass P { S Θ }, öe wr e Sue verürzt arstelle: P { η } P { η } P { η 3} P η } P{ S Θ } { M P { η r} P η r } P{ S Θ } P η )} P{ Θ } { { S r Nu betrachte wr e rechte Sete er Glechug r r P{ η } P{ S Θ } ( ): P{ η } P{ S Θ } P{ η } P{ S Θ } P{ η r} P{ S Θ } ( ): P{ η } P{ S Θ } P{ η } P{ S Θ } P{ η r } P{ S Θ } ( ): P η } P{ S Θ } P η } P{ S Θ } P η r } P{ S Θ } { M ( r-): P{ η } P{ S r Θ } ( r): { Der letzte Sua st für r Null, a e Sue P{ } r { η für r leer st

23 Beachte wr weer, ass P { S Θ } u P Θ }, so erhalte wr P { η } P { η } P { η 3} P { η r} { S ugerae P η } P{ S Θ } P η } P{ S Θ } P η r } P{ S Θ } { M P η } P{ Θ } { S r { { Zur bessere Überscht, stelle wr bee Sue eer Tabelle ar u öe so gut eree, ass bee Sue eselbe Suae ethalte I er Tabelle s e etsche Suae t er gleche Farbe uterlegt Dat st e Glechhet gezegt Aus Glechug (III) öe wr u folger, ass wr urch ee Äerug er Izes folgee Uglechug erhalte: r P { S Θ } P{ η } P{ S Θ } r r r P r { η } P{ S Θ } r P r { η } P{ S Θ } P{ S Θ } r P r { η } P{ S Θ } Es ergbt sch sot r P { Θ } S r P r { η } P{ S Θ } 3

24 r r P { S Θ } P { S Θ } r P { η } r P{ } η r P { Θ } S A ese Put agelagt, öe wr u e bee Bewesrchtuge er achzuwesee Äquvalez P{ S Θ für } P{ Θ } S agehe Zuächst bewese wr also, we beschrebe, e erste Ilato: P { S Θ für } P{ Θ } S Wr ble zuächst e Grezwert vo P{ Θ } r S t r Da wr auf ese Wese uelch vele Wahrschelchete afür suere, ass e Irrfahrte ach r r { S Θ } l P Θ zurücehre, vergert er Grezwert gege uelch Also Nu betrachte wr e Grezwert er gesate rechte Sete: l r r P { S Θ } Da P{ } r η, erhalte wr für r, ass r P r { Θ } P{ η }, folglch st { } S r P η Deach glt P{ η }, we P { Θ } bewese st S, wot e erste Ilato

25 Nu gehe wr e zwete Bewesrchtug a: P { S Θ } < P{ S Θ für } < Wr setze Folglch st r r / r, wobe " " e Gausslaer st P / r Mt Hlfe vo (III) erhalte wr r / r / { S Θ } P{ η } r r / P{ S Θ } P{ η } P { S Θ } r / { } r / P S Θ { } r / P{ S Θ } r P η Bezeche wr t S e Grezwert für Sete P { S Θ } r, t S <, a erhalte wr für e rechte r { S Θ } P l P r l r r / r / P l P { S Θ } r r { S Θ } { S Θ } S S <, für S < S < S Dat folgt u, ass P{ η } bzw P{ S Θ für } < a, we P{ S Θ } S < a u ur Sot st auch e zwete Ilato bewese u es glt e Äquvalez: P { S Θ für } P{ Θ } S Dat st as erste Lea bewese Lea Das zwete Lea behaltet e Strlgsche Forel, e wr für e Bewes vo Pólyas Theore beötge Mt er Strlgsche Forel lasse sch Näherugswerte für große Faultäte bereche Wr betrachte für 5

26 6 (IV) e π ~ ( ~ et her cht ur, ass e bee Sete ugefähr glech groß s, soer ass as Verhälts er bee Sete gege Es overgert für ) Da er Bewes eser Forel e Rahe eser Arbet srege würe, ehe wr e Strlgsche Forel als Gegebe h Für e Betrachtug er ächste Leata, beötge wr zuächst weer ege Voretsse, auf e wr urz egehe were Wr lere zuächst as Pascalsche Dreec, t Boaloeffzete geschrebe, ee Es gbt a, we vele Möglchete es gbt, Kugel aus eer Mege t Kugel, ohe Zurüclege u ohe e Rehefolge zu beachte, zu zehe Bl : Pascalsches Dreec t Boaloeffzete argestellt Der -te Etrag er -te Zele wr urch argestellt Deser Boaloeffzet st folgeeraße efert: ) ( Für Boaloeffzete glt außere e Reursosforel:, ( ) sowe

27 7 Nu betrachte wr e verte u füfte Zele Pascalsche Dreec Mt er Forel ) ( erhalte wr: Sot eret a lecht e Syetre: Zu erwähe blebt och, ass a t er Forel ) ( e Werte er Boaloeffzete ausreche a Das allgee argestellte Pascalsche Dreec zegt, ass jee Zahl e Sue er bee über hr stehee Zahle st Bl : Pascalsches Dreec Nu öe wr as Lea 3 agehe 3 Lea 3 I rtte Lea wr er Vortel obatorscher Methoe eutlch, we wr bewese, ass Bewes: Herfür beötge wr e Vaeroesche Faltugsglechug (Vaeroesche Kovoluto): q q Dese Glechug lässt sch obatorsch erläre, we a sch ee Ure t weße Kugel u q schwarze Kugel vorstellt, aus er ohe Zurüclege -al gezoge wr

28 8 Her hat a q Möglchete ese Kugel aus eer Mege t q Kugel zu zehe Wr üsse u also zege, ass q ebefalls e Möglchete agbt, Kugel aus q Kugel zu zehe Weer habe wr ee Ure t weße u q schwarze Kugel, aus er ohe Zurüclege gezoge wr Nu s aber vo e Kugel, e ohe Zurüclege gezoge were, Kugel weß Sot hat a Möglchete, ese weße Kugel aus er Mege er weße Kugel zu zehe Nu were och Kugel gezoge, e also schwarz se üsse u afür gbt es q Möglchete Blet a as Prout eser bee Boaloeffzete q, erhält a e Azahl er Möglchete be -alge Zehe aus weße u q schwarze Kugel, geau weße Kugel u schwarze Kugel zu zehe, wobe,, Wr e Azahl er Möglchete für geau,,,, weße Kugel aert, so erhält a folgee Sue: q q q K q I Grue habe wr jetzt e Azahl er Möglchete für bs agegebe, aus q Kugel Kugel zu zehe Deach glt q q We jetzt q, also ee gleche Azahl a schwarze u weße Kugel er Ure s u wr so vele Kugel zehe, we vo eer Farbe vorhae s, erhalte wr We wr berets erwäht habe, glt ) (

29 Daraus öe wr u folger, ass Auch für as ächste Lea beötge wr wetere Voretsse u betrachte Folgee Multoaloeffzete u were herbe als ostve, gaze Zahle bezechet Der er gazzahlge Multoaloeffzet wr efert über, K L, Dabe soll gelte, ass ( ) (V) {,,, } {,,,, } u (VI) K, K K Ee obatorsche Iterretato zegt, we a t Multoaloeffzete ugeht Allgee gesroche beschrebt e Glechug ( ) e Möglchete, Kugel auf Ure zu vertele, wobe sch jeer Ure,, K oer Kugel befe solle Als Besel zur Vereutlchug wähle wr 6 u, u 3 3 Es solle also sechs Kugel auf 3 Ure vertelt were I er erste Ure solle sch ach er Vertelug Kugel, er zwete Kugel u er rtte Ure 3 3 Kugel befe Der Multoaloeffzet gbt e verscheee Möglchete a, sechs Kugel auf re Ure zu vertele Das geate Besel erfüllt e Voraussetzuge (V) u (VI), e {,,3 } {,,,3,,5,6 } u 3 6 Der Multoaloeffzet seht a folgeeraße aus: 6,, Folglch gbt es 6 Möglchete e Kugel auf e obe beschrebee Wese auf e re Ure zu vertele 9

30 3 De Multoaloeffzete habe e grulegee Egeschaft (VII),, K, wobe jewels (V) u (VI) weer erfüllt see Dese Glechug st e Sezalfall es Multoalsatzes ( ) x x x x x x L K,,, Setze wr älch jewels x glech Es, erhalte wr geau usere Glechug (VII) Bewes t vollstäger Iuto für ach : Wr wolle bewese, ass für alle N e Forel glt Iutosbeg: Se, a st Für stt folglch e Glechug Iutosvoraussetzug: Wr ehe a, ass usere Glechug für e N glt Also für e N Iutosschluss: Zu zege st u, ass e Glechug auch für t N glt, also Betrachtug er le Sete: Nach ( ) glt:

31 3 Also: 3 ach IV Dat wäre gezegt, ass e Glechug für alle N glt Nu were wr e Multoalsatz allgee bewese: Herfür were wr ttels vollstäger Iuto Folgees zege: :,,, x x N N K ( ) x x x x x K L L K Iutosbeg: Für glt: x x Da ese Fall e Suato ur aus ee Ter besteht, a, folgt x x Iutosvoraussetzug: Für e belebges N glt e Glechug ( ) x x x x x K L L K Iutosschluss: Zu zege st, ass e Glechug a auch für N glt, also:

32 3 ( ) x x x x x K L L K Wr bege t er le Sete u were ese urch Aweug er Iutosvoraussetzug auf e rechte Sete zurücführe Für e folgee Rechug efere wr t : ( ) x x x x K ( ) x x x x ) ( K IV ( ) x x x K x x x L L x x L L x x L L Dat st er Multoalsatz bewese U sot öe wr u folger, ass auch,,k glt Mt ese Vorwsse ausgerüstet, öe wr folgee Lea ee Uglechug zu Multoaloeffzete zege

33 Lea I verte Lea se q t, q N, sowe q < Isgesat beschrebt q e Dvso t Rest auf er Mege er chtegatve, gaze Zahle Da glt für alle öglche,,, K : (VIII) ( ) ( ) q q q ( ) q ( ) ( ) L ( ) (( )) (( ) ) q q ( ) ( ) q ( ) q Betrachte wr weer e Besel u wähle 7 u Esetze q lefert 7 q, wot sch 3 t e Rest q ergbt Außere se 7, also zu Besel, 3 Setze wr es u (VIII) e, erhalte wr 3 (3) () 6 Ebeso hätte wr 7 7 utze öe, wourch e Uglechug t (5 ) 7 (3) () ebeso erfüllt wäre Wr gehe u vo (VIII) aus u ble e Kehrbruch Folglch glt auch L q ( ) ( ) Multlzere wr auf bee Sete, erhalte wr L ( ) ( ) q Also (IX),, K, ( ) q ( ) 33

34 Bewes vo (VIII): Wr wolle versuche L zu ere u rüfe herfür e folgee Fälle Überscht über e re Fälle: Fall: r glt r Fall: r t r 3 Fall: r glt r u s t s I Gegesatz zu Fall, were Fall u 3 ee ale Wert vo L erzeuge Fall Wr ehe ese Fall a, ass für alle r glt, ass r We jeer Iex r e Wert vo oer at, erhalte wr as gewüschte Mu Da wr vorausgesetzt habe, ass q u ass q < st, öe wr folger, ass q eser Izes glech u ass e verblebee q Izes glech se üsse Sot wure gezegt, ass er Wert aus er Abschätzug es Leas, errecht wr, we r glt, ass r Fall Der zwete Fall beschrebt, ass es e r gbt, so ass r Dabe setze wr ohe Beschräug er Allgeehet (oba), wot e s exstert t s Aerfalls wäre K ( ) ( )( ), a ja u e restlche ( - ) Izes größer glech ( ) s Aber ( ) ( )( ) ( ) >, was aber (VI) wersreche würe OBA gehe wr weter avo aus, ass u erhalte: ( ) L ( ) 3 L ( ) 3

35 ( ) ( ) L > ( )( ) 3 L, e > u Also glt Dat st ( )( ) L 3 3 ( )( ) L 3 Wr habe also gezegt, ass er zwete Fall cht zu ee ale Wert vo L echt leer st als L führt, a ( )( ) L 3 3 Fall I usere rtte Fall soll für alle r gelte, ass r u es soll e s exstere, so ass s < OBA se < Daraus öe wr folger, ass estes q er Izes {,,, } K glech s, e sost wäre K < q( ) ( q ) Aber q q q q K < st ach Voraussetzug falsch, a es (VI) wersreche würe Nu ehe wr a, ass u erhalte, ass L ( ) ( ) 3 L > ( )( ) L 3 ( )( ) L 3 Auch rtte Fall erhalte wr also e Mu für L, a her L > ( )( ) L u at e leerer Wert exstert 3 Besel Nache wr u herausgefue habe, wa wr ee ale Wert für L erhalte, st es svoll sch herzu och e Besel azuschaue 35

36 Wr wähle herfür 7 u stelle er folgee Tabelle ee Auflstug für u für ar I er rechte Salte er Tabelle öe wr ee Syetre be er Multlato er Faultäte eree Sot zegt auch user Besel, ass e Ma vo er Mtte ageoe were Betrachte wr e zugehörge Dvso t Rest ( q) für 7, erhalte wr t 7 3, ass 3 u st Sot lege e Werte für,, e t ee ale Wert für 7 erzeuge, zwsche 3 u, e r glt r Also: 3 r Dese Werte für, fe wr geau er Mtte userer obge Aufzählug 3 Ma er 3 obge Aufzählug Bewes vo Pólyas Theore Wr wolle Folgee Pólyas erste Aussage bewese, ass ee Irrfahrt eer oer zwe Desoe fast scher weer zu hre Ausgagsut zurücehrt u ee Irrfahrt re oer ehr Desoe t eer ostve Wahrschelchet cht weer ach zurücführt Herfür were wr e geate re Fälle für, u 3 utersuche Dese re Fälle bewese, zusae t e erste Lea, ese erste wchtge Tel vo Pólyas Theore Θ 36

37 37 Betrachtug vo Irrfahrte eesoale Rau Der Aussage, ass alle Irrfahrte fast scher weer zu Ursrug zurücehre, st folgee atheatsche Aussage äquvalet: { } Θ S P Des st Folgee zu bewese Bewes Wr gehe avo aus, ass e Irrfahrt Θ, also Nullut ( Θ ) startet Durch ee lee Überlegug wr schell lar, ass a cht t eer ugerae Azahl a Schrtte ach Θ zurücehre a Aus ese Gru st e Wahrschelchet afür, ass a t eer ugerae Schrttazahl zurücehrt glech Null (X) { },,3,, K S P Ee zwete Überlegug führt us zu e Schluss, ass für ee Rücehr ach Schrtte jewels Schrtte ostve u egatve x-rchtug verlaufe Zu Besel würe a t eer Azahl vo acht Schrtte, vo ee füf Schrtte egatve Rchtug führe u ur 3 ostve Rchtug, auf e Leut - stehe, a wr e x-achse t Startut betrachte U zu Ursrug zurüczuehre, beötgt a och zwe Schrtte ostve Rchtug I Übrge st es rrelevat, welcher Rehefolge e Schrtte getätgt were Mt ese Überleguge oe wr zu folgeer Glechug: (XI) { } K,,3,, S P Wr beschrebe auf er le Glechugssete e Wahrschelchet für e erste Rücehr zu Ausgagsut ach Schrtte Für e Beschrebug er rechte Glechugssete ehe wr as rtte Lea zu Hlfe t er Aussage: Betrachte wr zur Veraschaulchug e Besel t eer Wegstrece vo ver Schrtte, also Zuächst gehe wr folgee Sue a:

38 38 We eer er ver Schrtte e ostve x-rchtug verläuft, üsse ver Schrtte e egatve x-rchtug verlaufe, u ee Wegstrece t ver Schrtte zu erhalte Es were alle Kobatosöglchete aert u a erhält 7 Möglchete, e ver Schrtte zu laufe Aufgru er Syetreegeschaft t, erhalte wr für folgee Sue e gleche Azahl a Möglchete: Her habe wr aber e Möglchete aert, e zu eer Rücehr führe We a ee Schrtt e ostve x-rchtug läuft, arf a auch ee Schrtt e aere Rchtug vorehe, usw Auch her were e Möglchete bs aert Auf er rechte Sete ultlzere wr also e Azahl er öglche Wege für Schrtte, t er Wahrschelchet für e Zufallsbewegug jewels ee er bee Rchtuge Da se glechwahrschelch s, beträgt e Wahrschelchet für as Eschlage jeer Rchtug jewels Da wr -al zufällg ee Schrtt ee er Rchtuge ache, beträgt e Wahrschelchet für ee bestte Weg Nutze wr a eser Stelle e Strlgsche Forel (IV) erhalte wr (XII) { } S P π ~, für We a auf (XII) ot, wr urch e folgee Rechug eutlch Es st beat, ass ) ( Nutze wr ese Glechug, erhalte wr ) ( ) ( ) ( ( ) Wr wee u e Strlgsche Forel a u betrachte zur bessere Überscht ege Recheschrtte getret:

39 39 e )~ ( π, e e e π π π ~ ) ( Mt ese bee Rechuge erhalte wr für ( ): ) ( ) ( ~ e e e π π π e e e e π π π π π π Deach st π ~ Daraus öe wr weeru schleße, ass { } S P π ~ für glt Nu blebt och zu zege, ass { } S P Da { } S P π ~, geügt es zu zege, ass π π vergert Es glt: π π, bzw Da e harosche Rehe st, wsse wr, ass vergert

40 Dat stellt ee vergete Morate zu er Rehe ebefalls verget st ar, wot ese Folglch glt { S } P u each ehre eesoale Irrfahrte fast scher weer zu hre Ausgagsut zurüc Betrachtug vo Irrfahrte zweesoale Rau I ese Tel er Arbet betrachte wr, also e Irrfahrt zweesoale Rau u wolle zege, ass her { Θ } P glt, also auch ese Fall jee Irrfahrt S fast scher weer zu hre Ausgagsut zurücehrt Zu zege st also: { Θ } P S Bewes We auch, a ee ugerae Azahl vo Schrtte cht zu Ausgagsut zurücführe Deach st e Wahrschelchet für ee Rücehr ach Schrtte glech Null Also { S Θ },,,3, P K Auch zwe Desoe a a ur t Schrtte zu Ausgagsut ( Θ ) zurücehre De Irrfahrt uss each aus Schrtte ostve horzotale Rchtug, Schrtte egatve horzotale Rchtug, - Schrtte e ostve vertale Rchtug u - Schrtte e egatve vertale Rchtug bestehe Zue hat jeer Schrtt e Wahrschelchet Irrfahrte, rrelevat u e Rehefolge er Schrtte st, we be eesoale Es glt also P () ( ) (( )) { S Θ },,,3, K

41 De Wahrschelchet, ass e Irrfahrt ach Schrtte zu Ausgagsut zurücehrt, a u folgeeraße ausgerüct were: De Wahrschelchet für ee Zufallsbewegug ee er her öglche ver Rchtuge st Da wr e Wahrschelchet für Zufallsbeweguge, bzw Schrtte betrachte üsse, erhalte wr Dese Wahrschelchet uss och t er Azahl er öglche Wege ultlzert were, e urch )) (( ) ( ) ( ausgerüct wr So erhalte wr { },,3,, )) (( ) ( ) ( K Θ S P Mt Hlfe es rtte Leas u er Strlgsche Forel beoe wr schleßlch: (XIII) { } S P Θ π ~ für Da (XIII) cht trval st, sutere wr ese Aussage ausführlch Dazu üsse wr Wesetlche zwe Aussage zege: )) (( ) ( ) (, π ~ zu Zuächst betrachte wr )) (( ) ( ) ( )) (( ) ( ) ( )) (( ) ( ) (

42 Da, öe wr as rtte Lea beutze, woach Folglch st Uter Verweug er Glechug ) ( ergbt sch weter ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Sot habe wr gezegt, ass e Glechug )) (( ) ( ) ( glt zu Als ächstes wolle wr zege, ass π ~ Wr versuche urch Uforug er le Sete, e rechte Sete zu erhalte Es glt ) ( ) ( Uter Verweug er Strlgsche Forel ergbt sch herfür: ) ( ) ( ~ e e e π π π e e e e π π π 6 6 π π π π

43 Folglch glt U at folgt: ~ π Θ ~ für π (XIV) { } P S Sot ehre also auch zweesoale Irrfahrte fast scher weer zu hre Ausgagsut zurüc 3 Betrachtug vo Irrfahrte estes reesoale Räue Nu betrachte wr Irrfahrte estes reesoale Räue Se also 3 Her wolle wr zege, ass ee Irrfahrt re oer ehr Desoe t eer ostve Wahrschelchet cht weer ach { Θ } P < S Also: 3 { Θ } Θ zurücführt u at also glt, ass P < S Bewes Offeschtlch st e Wahrschelchet afür, ach eer ugerae Azahl vo Schrtte, zu Ausgagsut zurüczuehre, weeru glech Null P { S Θ },,,3, K Ma beötgt also Schrtte, u ach Θ zurüczuehre, wobe jee er Rchtuge glech vele ostve u egatve Schrtte vorhae se üsse Dabe a e Rehefolge er Schrtte weer verachlässgt were De Wahrschelchet für ee Zufallsbewegug ee er Rchtuge beträgt Daher erhalte wr für e Wahrschelchet eer Rücehr er Irrfahrt ach Zufallsbeweguge, P () ( ) ( ) L( ) { S Θ },,,3, K 3

44 De Glechug baut sch äquvalet zur Glechug auf u e Sue vo ( ),,, K erfüllt auch her weer (V) u (VI) De Mege aller Izes ( ),,, K bezeche wr Folgee t ), ( Ω Beachte wr, ass ) ( ) ( ) (, erhalte wr { } Ω Θ ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( S P L We a u auf bee Sete er Glechug e Rehe vo bs uelch erhebt, äert sch chts a er Glechhet: { } Ω Θ ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( S P L, { } Θ Ω ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ), ( S P L L Betrachte wr,,,,, N a K a glt offeschtlch folgee Uglechug: { } N N N a a a a a,,, ax K Mt Hlfe eser Uglechug, sowe (VII) u (IX), erhalte wr für ) ( ) )( ( a L { } Ω Ω Θ ), ( ), ( ax S P L L Nach (VII) glt Ω ), ( L, wourch sch Folgees ergbt: { } Θ S P Ω ax ), ( L

45 Her utze wr weer zwe us vertraute Asete: (), q q L ( ) (( )) (ach Lea ) Dat glt P { Θ } S () q ax Ω (, ) ( ) (( ) ) () ax Ω q q (, ) ( ) (( )) () ax Ω, ) ( q ( ) (( ) ) q q (XVI) t, t t () ( ) (( : ax Ω(, ) q )) q Als ächstes wolle wr t abschätze u erer us ara, ass q Da e fester Wert st für, erhalte wr q u Außere were wr Folgee beutze, ass für feste x x x l e glt Betrachte wr also zuächst t : t () ( ) (( )) q q q q () ( ) (( )) 5

46 6 Nu wee wr e Strlgsche Forel für ) ( a: e e e e e e ~ ) ( π π π π Also glt t q q e )) (( ) ( ~ q q e )) (( ) ( I ächste Schrtt betrachte wr e Ter q q ) ) (( ) ( searat Es ergbt sch q q ) ) (( ) ( q q q q ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u t er Strlgsche Forel erhalte wr q ) ( ) ( q e π ) ~ ( q e ) ( ) ( π Betrachte wr weer t als Gazes, so ergbt sch zusae t e obge Überleguge t q e e ) ( ) ( ~ π q e e ) ( ) ( π q e e ) ( ) ( π Beachte wr u weter, ass < e e e e e q 3 < q q (a q < ), so öe wr e ostate Werte zur Kostate C zusaefasse, t C e q ) ( π

47 Mt 3 u C erhalte wr (π ) e e q ) ( C ( ) ( ) q C ( ) ( ) q C ( ) ( ) Nu betrachte wr ( ) ( ) ( ) ( ) searat: e ( ) C ( ) log log, für hreche große De es glt für, wobe für < glt: x : log( x) x, was für x offeschtlch wahr st Betrachte wr Dat glt x e Abletuge er bee Sete, erhalte wr ( log( x ))' (x)' e Uglechug stets Also st e log e e ( q) q e, a q < Sot öe wr ( ) ( ) zu userer Kostate hzufüge Es ergbt sch C C ( ) ( ) C 7

48 Nu beutze wr, ass q Hert erhalte wr u q q, wobe < für < ( ), a q <, für ( ) Dat öe wr folger, ass C C q C ( q ) Mt eer assee Kostate C 3 erhalte wr: C ( q) C 3 ( q) c Folglch st t, a wr q aufgru er Kleer-Glech-Relato weglasse öe / Dat beoe wr also c t / Da c ee ostve Kostate st, a a schrebe: c / c / Nach e Reasche Itegralverglechsrteru für Rehe glt: We f : [, [ R ooto falle st, so glt: f ( ) overgert f ( x) x overgert Des wee wr u auf usere obe gegebee Rehe / a 8

49 Dazu efere wr s : u f s ( x) x für x R Zuächst üsse wr zege, ass f : [, [ R ooto falle st s f st fferezerbar u bestzt e Abletug: f '( x) : s x s s x Da s > u x R, ergbt sch: s < s x Dat st e Futo f(x) streg ooto falle u as Reasche Itegralverglechsrteru für Rehe awebar Wr zege zuächst, ass f ( x) x overgert: Das Itegral x ergbt sch t er Stafuto x s F s s ( x) x zu f(x) zu x x s s x s s x Da weterh x glt, erhalte wr s s x x s x s l x s s s x 3 s s s Folglch overgert x gege e ostate Wert x s s Nach e Reasche Itegralverglechsrteru für Rehe overgert folglch auch f ( ) s, bzw / Dat st e Rehe c ee overgete Majorate zu / t overget st, was at ebefalls Deach glt: t < Dat st bewese, ass ee Irrfahrt höheresoale Räue ( 3 ) traset st 9

50 Nu habe wr also bewese, ass a ee syetrsche Irrfahrt eer bzw zwe Desoe reurret zu Startut st u ass er Startut estes re Desoe traset st Wr öe also festhalte, ass ee efache Irrfahrt eer u zwe Desoe fast t Scherhet weer zu hre Ausgagsut zurücehrt Irrfahrte höhere Desoe agege ehre t ostver Wahrschelchet cht zu hre Startut zurüc Beachte sollte a aber, ass, wer er sch auf e Irrfahrt begebe ag, geüge Zet tbrge sollte, at es eer oer zwe Desoe fast scher weer zu eer Rücehr ot Beerug We wr t Wahrschelchet Es eer u zwe Desoe zu Ausgagsut zurücehre, öe wr us atürlch auch frage, t welcher Wahrschelchet wr höhere Desoe zurücehre I folgeer Tabelle st für e jewelge Deso e zugehörge Wahrschelchet () berechet wore () Tabelle Motroll ( ) eveloe the asytotc exaso : ( ) ~ K für 3 () () () WL Chao Et Al; Lost Sace ; S 96 5 Eb; S96; Z 5 5

51 3 Führe alle Wege ach Ro? I Vorhergehee habe wr bewese, ass e e- u zweesoale Irrfahrt fast scher weer zu hre Startut zurücehrt u e estes reesoale Irrfahrt traset st Nu wolle wr och herausfe, ob e- u zweesoale Gtteretz auch alle aere Pute assert were u folglch ese Desoe glt, ass alle Wege ach Ro führe, a Ro als e bestter Put es Gtteretzes t Wahrschelchet Es errecht were würe Herfür stelle wr u ege Überleguge a: Ee syetrsche Irrfahrt st beatlch ee Marovette [sehe 8] t statoäre Übergagswahrschelchete; also e stochastscher Prozess, be e e Zufallsvetore uabhägg u etsch vertelt s 6 Der Put X auf e Gtteretz heßt reurret, falls e Wahrschelchet ass e Irrfahrt S e Put X assert, glech Es st: We glt: P( S X ), für uelch vele ; a st X reurret M se e ale Zustasege er Irrfahrt: { X : ax P( S X ) > } M 7 Zwe Zustäe X u Y eer zet-srete Marovette s ouzere, we glt: P( S Y S X ) > u ( S X S Y ) > P für, Des efert ee Äquvalezrelato ~ auf e Zustasrau Sot st e Übergag vo Gtterut X zu Put Y öglch We also e Übergag vo X zu Put Y es Gtteretzes öglch st, so a auch X vo Put Y aus t ostver Wahrschelchet errecht were Vo Startut Θ s alle Pute es Gtters t e stochastsche Prozess S t ostver Wahrschelchet errechbar, a gege uelch strebt u sot s auch e bee belebge Pute X u Y ouzere Falls alle Zustäe eer Marovette, also usere Fall, alle Pute es Gtteretzes, gegesetg errechbar s, also jeer Zusta t jee ouzert, a hat e Eleet, bzw besteht Z / ~ aus eer ezge Klasse vo Zustäe Z / ~ ur Ee solche Marovette bezechet a als rreuzbel Ee syetrsche Irrfahrt auf st each ee rreuzble Marovette Z 6 Herer, K; Beeruge zu räulch hoogee Gtterrrfahrte ; S 5; Z Herer, K; Beeruge zu räulch hoogee Gtterrrfahrte ; S 8; Z 6 5

52 De Pute es Gtteretzes ble also Bezug auf e Marovette ee ezge Klasse vo Zustäe U at st beatlch etweer jeer Put es Gtteretzes reurret oer eer, e Reurrez bzw Trasez s Klasseegeschafte bezüglch er geate Äquvalezrelato 8 Da wr Vorhergehee gezegt habe, ass er Startut e- u zweesoale Rau reurret st, öe wr aufgru er Egeschafte er Marovette t statoäre Übergäge folger, ass auch jeer aere Put er Puteege es Gtters t Wahrschelchet Es errecht wr U at öe wr schleße, ass (e- u) zweesoale Rau alle Wege ach Ro führe I estes reesoale Räue st es cht er Fall Her s alle Pute traset, a er Startut traset st 8 Eb; S 8; Z 6 5

53 5 Varatosöglchete er Irrfahrte Nache wr u efache, syetrsche Irrfahrte betrachtet habe, were wr u auf Varatosöglchete be Irrfahrte egehe Des a e Rau oer e Bewegug betreffe Zu Besel a a ee aere Gtterstrutur wähle, oer e Telche ee gewsse Vorlebe für bestte Rchtuge, oer Orte a ee es berets war oer och cht war, verlehe Außere öe sch ehrere Irrfahrte beeflusse 5 Aere Gtterstrutur Betrachte wr zuächst e Möglchet, e Gtterstrutur zu veräer Natürlch gbt es her ubegrezt vele Möglchete Ege Sezelle wolle wr her urz vorstelle: Dreece Beewabe (-esoal) 9 (-esoal) Auch ese bee Fälle a a bewese, ass as Telche er weer fast scher a see Ausgagsut zurücehrt, we er Autor es Artels De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls bezeugt Nebe ese regeläßge Struture, st es urchaus öglch, Beweguge ee Rau ohe vorgegebee Strutur zu beschrebe ee vorgegebee Strutur (belebge Desoe) 9 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 9 Eb; Fole 9 53

54 5 Drft: Bevorzugug bestter Rchtuge Ee wetere Varato wäre, we as Telche gewsse Rchtuge bevorzugt Zu Besel öte user Telche zweesoale Rau e ostve Rchtuge t eer höhere Wahrschelchet eschlage, als e egatve Des beeutet, ass as Telche ee Vorlebe für e ostve vertale (ach obe) u e ostve horzotale Rchtug (ach rechts) hat E sezeller Fall herzu wäre, we as Telche t eer Wahrschelchet vo jewels etweer ach obe, ach rechts oer ee er bee aere Rchtuge läuft De 3 Wahrschelchet für ee Schrtt ach ls, bzw ach ute beträgt her 6, falls as Telche t glecher Wahrschelchet ach ls, oer ach ute läuft Natürlch öte a auch Irrfahrte wähle, be er jee Rchtug ee aere Wahrschelchet bestzt Herbe st zu beere, ass sobal ee Rchtug auch ur al bevorzugt wr u sch at e Wahrschelchete er Zufallsbeweguge ur al vo er efache, syetrsche Irrfahrt uterschee, e Wahrschelchet eer Rücehr leer Es st Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 9 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 5

55 53 Irrfahrte, e sch selbst beeflusse Nu betrachte wr Irrfahrte, be ee e Irrfahrt sch selbst beeflusst Aers ausgerüct, heßt as, ass as Telche sch erer a, a welche Ort es berets gewese st u a welche cht Herzu lere wr re Möglchete ee E Telche a ee Vorlebe für berets besuchte Orte etwcel, oer bevorzugt eue Orte erue De rtte Möglchet st, ass es e besuchte Orte völlg eet Dese Möglchete were wr Folgee t lee Besele etwas äher erläuter 53 Selbstazehee Irrfahrt Be eer selbstazehee Irrfahrt were Orte bevorzugt, a ee a berets war Foral ausgerüct, wählt as Telche also t eer höhere Wahrschelchet e alegee Pute aus, e es berets zu ee aere Zetut besucht hat De rosa Quarate arere e Pute, ee as Telche berets war 3 So wähle beselswese ägstlche Ker leber Wege, e se berets ee Aese hgege versrühe Pherooe, u hre Weg zu ezeche Mt eser Duftsur eree se beate Orte u fe lechter weer ach Hause zurüc Bl: Duftsur eer Aese Wchtg st, ass eses Vorgehe ee aere Wegwahl, über ee ubeate Ort, cht ausschleßt Auch e ägstlches K versucht vellecht ee veretlche Abürzug zu ehe u ee Aese öte aus Iteresse auch al ee aere Weg eschlage 5 3 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole Eb; Fole 5 Eb; Fole 55

56 53 Selbstabstoßee Irrfahrt Getreu e Srchwort: Wer eue Wege gehe wll, uss alte Pfae verlasse 6, wählt as Telche her bevorzugt eue Orte Auch her a es sch also a berets besuchte Orte erer Deach were beachbarte Orte, a ee as Telche och cht war, t eer höhere Wahrschelchet ausgewählt, als solche, e es berets et E assees Besel herfür, s Kühe oer Schafe Dese bevorzuge e och cht abgegraste Fläche, also Orte a ee se och cht ware Selbstabstoßee Irrfahrt 7 Auch her glt jeoch, ass e berets besuchte Orte eshalb cht vo e öglche Wege ausgeschlosse were Machal uss a ebe auch a alte Orte zurücehre, u überhaut erst eue erreche zu öe 533 Selbstvereee Irrfahrt Ee Verstärug es vorherge Falls st, we a cht a Orte zurücehre arf, oer a, a ee a berets war Des st a ee Selbstvereee Irrfahrt I er Chee zu Besel, öe lage Moleülette olzerte reesoale Struture [ble], e sch selbstverstälch cht selbst urchrge öe 8 Deach öe ur solche Pue gewählt were, a ee as Telche och cht war Dabe a es sehr schell assere, ass sch as Telche selbst eschleßt u cht ehr weter laufe a 6 htt://wwwahorsee/slay_ahorseh?search&age3; Mafre Grau, 98 7 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 3 8 Eb; Fole 56

57 5 Iteratoe zwsche ehrere Irrfahrte Nu were wr ege Besele betrachte, we sch Irrfahrte gegesetg beeflusse öe Besel: Zwe selbstazehee Irrfahrte öe sch auch gegesetg azehe Vereutlche lässt sch as weer t er Duftsur vo Aese Ee Aese legt älch cht ur für sch, soer auch für hre Artgeosse Duftsure, ee a aere Aese, ebeso we hre egee, folge Besel: E Raubter wr auf er Suche ach ee Futterter, be er es atürlch zuächst eue Orte bevorzugt, see Weg beeflusse lasse, we es e Fährte ees Futterteres auft 3 Besel We ee Moleülette wächst, a se we gesagt, hre egee Moleüle cht urchrge Ebefalls a se a ee Orte, a ee sch scho e Moleüle eer aere Moleülette befe Her wr also ee selbstvereee Irrfahrt vo eer aere selbstvereee Irrfahrt beeflusst 9 9 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 5 57

58 6 Aweuge - Wo trete Irrfahrte auf? I er Praxs lasse sch vele Aweuge für Irrfahrte fe I Folgee were wr herzu e Browsche Bewegug, Ateurse, sowe as Wachstu lager Moleülette betrachte 6 Browsche Bewegug Als Besel aus er theoretsche Phys a a e Browsche Bewegug ee, e Beselhaft für ee, Allgeee reesoale, syetrsche Irrfahrt steht Besel für ee Browsche Bewegug 3 Dese Bewegug wure erstals 88 vo Robert Brow beobachtet Uter e Lchtroso ote er e uregeläßge zucee Bewegug vo Polle ee Wassertrofe eree Zuächst glaubte Brow, es were urch e Lebeget er Polle erlärt Nache er aber ese Effet auch be Staubörer u sogar Metalltelche beobachte ote, legte er ese Theore ab Er erate auch, ass sch e Telche uso scheller bewege, esto leer u lechter se ware 95 schlug Albert Este see Aufsatz "Über e vo er oleularetsche Theore er Wäre geforerte Bewegug vo ruhee Flüssgete suseerte Telche" ee Erlärug er Browsche Bewegug vor 3 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 58

59 Er erlärte, ass be eer solche Bewegug e Atoe u Moleüle es Wassertrofes ( ) eraet vo alle Sete [uregeläßg] gege e größere, schtbare (Polle-) telche 3 stoße, was zu eer Bewegug er schtbare (Polle-)telche führt De Zc-Zac-Bewegug etsteht weter aurch, ass sch Azahl, Stäre u Rchtug er stoßee Moleüle ( ) stäg 3 äer Moleularbewegug 33 I Jahre 9 überführte Norbert Weer eses Phäoe e Wahrschelchetstheore Er rüfte e Exstez es stochastsche Prozesses, e wr heute als Weer Prozess bezeche 3 I er Matheat bezechet e Browsche Bewegug e Weer Prozess Isgesat st e Browsche Bewegug sehr ützlch, a se ee Zufallsrozess t sehr schöe Egeschafte beschrebt Dabe hlft e Browsche Bewegug e Kluft zwsche schrttwese u otuerlch zu überwe u verbet vele verscheee Bereche er Matheat 35 I er Matheat wr e Browsche Bewegug für Zufallsee, Levy-Prozesse, Partelle Dfferetalglechuge, Przahltheore, Asytotsche Geoetre, Stochastsche Itegrale u veles ehr geutzt De Browsche Bewegug selt aebe er Naotechologe, er Quatushys u er Teleouato ee Rolle 36 Matheatsch a a e Browsche Bewegug folgeeraße urz efere: Se stellt ee Folge vo zufällge Werte ar, wobe e Folge t bezechet wr W beschrebt abe e Wert zur Zet t u es glt W t W t, t T, 3 tu-leaue/fa/flea/telate/f/hyssoer/5/searthee/6_ Browsche_Bewegugt; Fole 6 3 htt://schuleeuhat/regy/phys//waere/teeratur/browsche_bewegught 33 Eb; Bl 3 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 9 35 Eb; Fole 5 36 Eb; Fole 53, 5 59

60 Dabe uss für ee belebge Zetauer h >, u für belebge Zetute t u s (e weter als h voeaer etfert s) [Folgees] gelte 37 : () Wt h Wt u Ws h Ws beschrebe Wertzuwächse, e uabhägg voeaer s () er Wertzuwachs Wt h Wt [folgt] ee bestte Zufallsgesetz ( ), älch er Noralvertelug t Mttelwert u Varaz h (as heßt e Volatltät beträgt h ) 38 Mt eser Defto erhalte wr Bler, we eses: We wr eree ote, steht e Browsche Bewegug cht ur Beselhaft für ee, Allgeee reesoale Irrfahrt, soer et vele wetere Bereche er Matheat, Phys, Bologe u wetere Wsseschafte 37 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 5 38 Eb; Fole 5 6

61 6 Ateurse I er Welt er Ateurse were Browsche Beweguge als Moell für as Auf u Ab vo Ateurse beutzt Wr folge her er Darstellug vo D Schuhacher De Irrfahrt Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls Irrfahrte ee er ealserte Moellerug vo Ateurse We a Ateurse rchtg trasforert, eret a e Zusaehag zur Browsche Bewegug Wee wr also e Logarthus-Futo auf as obge Schea a, erhalte wr folgee Grah: Nu uss a ur och e Tre ausgleche u ot zu eser Trasforato es Ateurses, welche eer Browsche Bewegug ähelt: 6

62 Auch be Ateurse besteht ee Zufallsvarable aus e Wert er vorhergehee Zufallsvarable lus eer zufällge Veräerug De Zufallsvarable s herbe etsch vertelt u uabhägg voeaer Betrachtet a e Logarthus er Ateurve ach hrecheer Zet, so st er aäher oralvertelt Wachstu lager Moleülette I er theoretsche Chee fet a selbstvereee Irrfahrte, we beselswese as Wachstu lager Moleülette (Polyere) Aufahe ees Polyers uter e Eletroeroso De Moleülette öe sch atürlch cht selbst urchrge u öe sot cht a Pute zurücehre, a ee se berets ware Der Utersche zu aere Irrfahrte legt her abe, ass sch cht e Telche vo Ort zu Ort weterbewegt, soer sch e Polyerette vergrößert, bzw wächst Sot a a e Verlauf er Irrfahrt gut beobachte 39 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 55 htt://hoeageubacat/~c35/owloa/raof; S, S 6 Eb; Fole Eb; Fole 6

63 7 Irrfahrt e Gruschule Da ch Matheat als Uterrchtsfach für as Lehrat a Gruschule stuere, legt es atürlch ee Iteresse zu überlege, ob wr user teressates Thea verefacht er Gruschule berets behael öe u ob as auch svoll st Selbstverstälch a a er Gruschule ee Bewese abrge, weshalb wr us t er Vorstellug u Erarbetug es Probles zufree gebe üsse Auch e Vorstellug es Uelche Gtteretzes wr Schwergete berete, weswege wr für e erste Erfahruge auf ee begrezte Fläche zurücgrefe were Auf Gru Pagets exeretelle Utersuchuge, be ee er herausfa, ass Ker bs zu Lebesjahr ee Klarhet über e Begrffe Zufall u Wahrschelchet habe 3, habe ch ee Klasse für ee Uterrchtsversuch ausgewählt Des begrüe ch auch at, ass e Ker a er Gruschule, e ch ausgewählt habe, bsher ee, bzw au Erfahruge zu e bee Begrffe geacht habe 7 Vorüberleguge 7 Ecehause Als Ausgagsut et us e Vorlage vo Ecehause, aus E Hegarter, U Hrt, B Wält, Prarschultea Lusge; Lerugebuge für Recheschwache bs Hochbegabte Natürlche Dfferezerug Matheatuterrcht (sehe Ahag ) Dese Vorlage habe ch auf e großes Plaat gealt u were es e Ker als stue Iuls arbete U e sätere Arbet t e Statla zu erlechter, habe ch auf eses Plaat, a Ra er Stat, e Helsrchtuge aufgeschrebe (Maße es Plaats: ca 6c x 6c) De Schüler er Klasse ee berets e Helsrchtuge u öe sch sot ese Pla gut zurecht fe 3 Leau, V; Wahrschelchetsrechug er Prarstufe u Seuarstufe I ; S 53; Z

64 Ich habe e Helsrchtuge als Rchtugsweser gewählt, a ch es als attratver für e Schüler erachte, e Wegstüc ach Süe oer Nore zu gehe, als geraeaus oer rücwärts zu laufe Betrachtug u Beschrebug es Plaates Nu were e Ker beschrebe, was se eree Dabe gehe ch avo aus, ass e Ker sofort arauf oe, ass se ee Dorf-, bzw Statla vor sch habe Außere were se scherlch e egetragee Nae, we Eva, Ia, oer e Schule beere Weter gehe ch avo aus, ass se eree were, ass e Straße sehr georet verlaufe Ob se arauf oe, ass e vo Süe ach Nore, bzw vo Weste ach Oste verlaufee Straße arallel zueaer s u ass e Grustücsfläche Quarate s, were ch er Versuchsstue herausfe Nach eser urze Eführug were ch, falls es och cht zur Srache geoe st, arauf hwese, ass jees K a eer Kreuzug woht u erläre, ass wr vo eser Kreuzug e Wegstüc zu Besel ach Süe laufe öe u sot zur ächste Kreuzug gelage We laufe ch Straßeetz? Zusae t e Ker were ch überlege, we a sch ese Straßeetz fortbewegt (alle Aufgabe: sehe Ahag ) 6

65 Aufgabe Folgee Aufgabe bearbete wr geesa auf e Plaat, u e Ker e Arbet t e Straßeetz aschaulch zu vereutlche: Du bst Ia Zuerst gehst u e Wegstüc ach Oste, a zwe Wegstüce ach Süe Wo bst u? E K ot ach vore zu Plaat u wr, evetuell t eer Hlfe, e Weg ezeche Nu beoe e Ker ee egee Pla vo Ecehause (Pla sehe Ahag 3) Aufgabe U zu überrüfe, ob e Ker verstae habe, we a sch ese Gtter fortbewegt, were se och ee Aufgabe für sch allee ausführe: Du bst Eva Zuerst gehst u e Wegstüc ach Nore Da gehst u re Wegstüce ach Weste u aschleße e Wegstüc ach Süe Nu läufst u e Wegstüc ach Oste u weer e Wegstüc ach Süe Als Letztes läufst u e Wegstüc ach Weste Wo bst u? Der eue Staut wr a vo ee K geat u aschleße auch er Wegverlauf vo e Ker a Plaat festgehalte Aufgabe 3 Als rtte u letzte Aufgabe auf ese Statla, were wr us verscheee Wegeöglchete aschaue Herfür behael wr folgee Aufgabe: We a Leo zur Schule oe, we er ur ach Nore u Weste läuft We vele verscheee Möglchete hat er? 65

66 A Plaat zeche wr zur Vereutlchug er Aufgabe ee Weg zur Schule geesa e De Schüler solle u e verscheee Möglchete, t verscheee Farbe hre Pla ezeche Da ch avo ausgehe, ass cht alle Ker auf e sechs öglche Wege zur Schule oe were, were e Ker aschleße zu Plaat voroe u e Wege ezeche Fachlch gesehe, geht es be ese erste Übuge aru, ass sch e Ker t ee Koorategtter vertraut ache 7 Der Gtteretzla I ächste Schrtt wr es aru gehe, e Statla auf e Gtteretz zu abstrahere Herfür were ch ebe as Plaat t e Statla, e Gtteretzla aufhäge (Gtteretzla: sehe Ahag ) Zuerst solle e Schüler Verutuge astelle, we e bee Pläe zusaehäge Falls se cht arauf oe, ass e Krese e Kreuzuge arstelle u e Le zwsche e Krese e Straßestüce bs zur ächste Kreuzug, were ch Hwese gebe oer schleßlch e Zusaehag erläre Wr überlege aschleße weer geesa, we a auf ese Pla läuft, bzw fährt, a wr u t e Tax uterwegs s Wr fahre t e Tax Als Erstes solle e Schüler selbststäg folgee Aufgabe auf hre eu ausgetelte Gtteretzla (sehe Ahag 5) erlege: Marere e Feler rot, zu ee as Tax (vo Start aus), t, 3, 5, 7, Wegstüce hgelagt U Mssverstässe be eser Aufgabe auszuschleße, were ch a Gtteretzla a er Tafel urz erläre, was e Aufgabe beeutet u besoers arauf egehe, ass a er a Tax-Fel begt, ee (u)gerae Azahl vo Schrtte zu fahre Herbe were auch e aar Besele für öglche Eute rot (für ugerae) egezechet, at e Ker eree, ass er ur er Eut rot agealt wr Hegarter, Hrt, Wält, Prarschultea Lusge; Lerugebuge für Recheschwache bs Hochbegabte; S 66

67 Aschleße solle e Ker e zwete zugehörge Arbetsauftrag ausführe: Marere blau, woh as Tax t,, 6, 8, Schrtte gelagt Das Ergebs sollte folgeeraße aussehe: Nu solle e Ker auf hre Arbetsblatt otere, was se feststelle I Aschluss ara were wr geesa e Ergebsse sael u e wchtge Ergebsse hervorhebe De Schüler solle Folgees herausfe: Ke Kästche wr t bee Farbe agealt, was beeutet, ass we as Tax belebge Rchtuge fährt u auch Uwege Kauf t, a es t ugerae Azahle vo Wegstüce e auf jee Kreuzuge gelage, e es t gerae Azahle vo Wegstüce errecht 5 Das Tax st blau gefärbt, woraus a schleße a, ass a ur t eer gerae Azahl a Wegstüce zu Startfel (her as Tax-Fel) zurücehre a 5 Hegarter, Hrt, Wält, Prarschultea Lusge; Lerugebuge für Recheschwache bs Hochbegabte ; S ; Salte; Absatz; Z 8 67

68 73 Irrfahrte auf e elche Gtteretz Mt ese Wsse ausgestattet, were wr us u vo e Vorgabe Lerugebuge für Recheschwache bs Hochbegabte etfere u versuche us e Proble er reurrete Irrfahrte zu äher Ich erläre, ass Irrfahrte aurch charatersert s, ass a cht etscheet, woh a läuft, soer ass a zufällg läuft Deshalb solle e Schüler zuächst überlege, we wr ee Zufallsbewegug erhalte Ich ee, ass se arauf oe were, ass a ee Würfel beutze a, was ch auch bestätge were, aber auch auf as Proble t e 6 Fläche hwese Als Lösug were ch e Tetraeer-Würfel vorstelle De Bezechug Würfel bezeht sch herbe atürlch cht auf e geoetrsche Körer, soer auf e Tatsache, ass a t e Tetraeer würfel a, so we e Ker es aus hre Srachgebrauch gewoht s Da e Schüler aus er Schule e Körer Würfel berets ee, a ch he erläre, was ch t eer Begrffswahl ee Der ursrüglche Tetraeer-Würfel sah folgeeraße aus: Da wr für usere Übuge aber weg t e Zahle auf e Setefläche afage öe, habe ch e Zahle auf e Würfel t schwarze Peraet-Marer überalt u aschleße t ee helle Marer e Helsrchtuge, t ee e Ker berets vertraut s, auf e ver Setefläche aufgeschrebe Gewürfelt wr eser Tetraeer-Würfel t Hlfe ees Bechers, e e Ker e Würfel schüttel öe E solcher Tetraeer-Würfel rollt älch cht so gut, we e oraler Würfel, weshalb a ohe Becher as Würfelergebs lecht aulere öte Des a bewusst, aber auch ubewusst geschehe, we a e Würfel aus er Luft efach falle lässt Da es außere ee ach obe zegee Fläche, we be orale Würfel, gbt, wr e Fläche betrachtet, auf er er Würfel zu Lege ot Sel : Ecehause verlasse Nu öe e Ker t hre Gtteretz als Selfel, eer Selfgur, e as Tax arstellt u e Tetraeer-Würfel e Sel sele De Selfgur wr auf as Startfel (Tax-Fel) gestellt Jees K selt für sch alle De Ker würfel u rüce hre Ste e Wegstüc e jewelge Helsrchtug weter Zel st es Ecehause, bzw as Gtteretz zu verlasse 68

69 Wahrschelch wr es sehr lage auer, bs alle Ker aus Ecehause herausoe, weshalb as Sel ach urzer Zet, ca zwe bs re Mute abgebroche wr Es wr festgestellt, we vele Ker e Auftrag erfülle ote De Ker were evetuell t Hlfestelluge eree, ass es sehr schwer st, sch vo Startut wet zu etfere, a also est esse Nähe blebt Sel : Zu Start zurücehre Daraufh wr e zwete Selvarate geselt De Ker starte weeru a Tax-Fel, solle esal aber cht versuche, Ecehause zu verlasse, soer weer zu Startut zurüczuehre Ich ehe a, ass e este Ker relatv schell weer zurücehre were Etweer eet as Sel, we alle Ker weer auf e Tax-Fel ageoe s, oer we as Sel vo r uterbroche wr Verglech er bee Sele Wr were hoffetlch feststelle, ass e zwete Aufgabe efacher war I ee Testversuch habe ch sechs Mute u 3 Seue gebraucht, u Ecehause zu verlasse u b währeesse sebe Mal zu Startut zurücgeehrt Da wr e Sele berets ach zwe bs re Mute abbreche, erwarte ch be e Schüler ählche Ergebsse 75 Irrfahrte uelche Rau Irrfahrt auf e uelche Gtteretz Aschleße were ch versuche, e Ker e Stuato t eer uelch große Fläche zu erläre u a frage, ob se glaube, ass a be zufällger Wegwahl fast scher weer zu Ausgagsut zurücehrt De Ker were her erfahre, ass a fast scher weer zu Ausgagsut zurücehrt Irrfahrt auf er uelche Gerae Abschleße übertrage wr e Stuato auf ee uelch lage Gerae, wobe e Ker auch her Verutuge astelle solle, ob a weer zurücehrt 69

70 Her wr es efacher se, zu etschee, wel wr zweesoale berets gelärt habe, ob e Irrfahrt weer heehrt u es eesoale Räue weger Wegeöglchete gbt 7 Ergebsse Vorab öchte ch urz erwähe, ass ch e Vorherge beschrebee Doelstue t zeh Ker Alter vo u Jahre, also t Vertlässler urchführte Ees er Ker besucht zurzet ee Soerschule für lerschwache Ker De aere eu Ker besuche ee lälche Gruschule u wese uterschelche Begabugstye auf Zusätzlch blebt zu erwähe, ass e Ker hre Ergebsse währe er Aufgabe schrftlch fxere sollte zu: Ecehause Betrachtug u Beschrebug es Plaates We erwartet, elete e Ker sch sofort, als ch as Plaat aufgehägt hatte Se erwähte e Häuser, e auf e Plaat zu sehe s u e Mäche ete, ass as so e Dorfgs st E aeres Mäche half hr weter u erlärte, ass e Dorfla zu sehe st Sofort beerte e Ker auch e Helsrchtuge Als ächstes fele he e Zechuge, bzw as Geschrebee auf ache Häuser auf u erlärte, ass ee Haus Ia woht, ee aere Leo u ass be ee Haus e Esgeschäft st, Se erate auch, ass e Straße sehr gerae verlaufe u as gaze Plaat sehr georet ausseht Auch e Kreuzuge erwähte e Ker recht bal Aschleße stellte e Mäche fest, ass e Grustüce lauter Verece t er gleche For s u e Juge erwähte, ass er Dorfla ausseht we e Gtter Daraufh erlärte ch och urz, welche Kreuzug wr betrachte, we wr vo Ia aus loslaufe u was e Wegstüc st De Ker ote as weerhole u so gge wr zur erste Aufgabe über 7

71 We laufe ch Straßeetz? Aufgabe De erste Aufgabe löste wr geesa a Plaat ohe Problee De Ker erate, ass Ia u be Schwba war I Aschluss beae e Schüler hre egee Pla u zechete Ias Weg roblelos e Aufgabe De zwete Aufgabe löste e Ker Ezelarbet, auf er egee Karte De este Ker hatte be er Aufgabe ee Problee (sehe Bs ) Zwe Ker hatte jeoch Schwergete Evas Weg zu beschrebe (sehe Bs ) Auch eshalb bearbetete wr e Aufgabe ochals a Plaat Dabe a er e K ach vore u zechete as ächste Wegstüc auf as Plaat, bs wr be Ia ageoe ware So ote es alle ochals achvollzehe u evtl hr Arbetsblatt verbesser Besel Besel Aufgabe 3 Als Nächstes sollte e Ker verscheee Wege suche, we Leo zur Schule oe a, we er ur ach Nore u Weste laufe arf Ee Weg leß ch vo ee K auf as Plaat zeche, u e Aufgabe ochals zu vereutlche Nu wartete ch, bs alle Ker fertg gealt hatte u fragte, we vele Wege se gefue habe Zwe Ker hatte zwe Wege gefue, re Ker fae re Wege u füf Ker ae auf alle sechs Wege (sehe Besel 3) 7

72 Besel 3 Als Erets schrebe ege Ker, we vele Wege se gefue hatte Zu Abschluss eser Aufgabe alte acheaer er e K ee eue Weg auf as Plaat Erwäheswert st herbe, ass as lerschwache Mäche, as zuvor ur zwe Wege gefue hatte, u e sechste Weg ezeche ote Auf e Arbetsblätter (sehe Ahag 6) wure vo e este Ker e fehlee Wege ergäzt, als wr se geesa auf as Plaat zechete zu: Der Gtteretzla Als e Schüler überlege sollte, we as Gtteretz t e Pla vo Ecehause zusaehägt, fragte se, ob statt e Quarate ( Grustüce) u Krese gealt s Ege ae aber sehr schell arauf, ass e Krese statt e Kreuzuge aufgealt ware u ass e Strche e Wege, bzw e Straße arstelle U e Erfahruge aus e vorherge Übuge tehe zu öe, srache wr zusae a Gtteretz urch, was es beeutet, e Wegstüc, zu Besel ach Süe zu laufe zu: Wr fahre t e Tax Nu achte sch e Schüler a e Tax-Aufgabe Währe e Ker alte, lef ch Rau uher u beobachtete was e Ker zechete Ich war och sehr überrascht, ass ese Aufgabe sechs vo e zeh Ker vor relatv große Schwergete stellte Ier weer usste se raere, ausbesser u hatte auch 7

73 zu Schluss och ege Fehler Muster, we ese Besel zu eree st (ausgefüllte Arbetsblätter : sehe Ahag 7) Besel Nache e Ker fertg ware, erlärte r e Juge, ass rote u blaue Krese sch er abwechsel, bs auf folgee ver Krese, e seer Ascht ach t bee Farbe ausgealt were üsse: Besel 5 Daraufh fragte ch, we vele Ker ege Krese rot u zuglech blau ausgealt hatte Ver Ker hatte rote u glechzetg blaue Krese Ich erlärte he aha es Schrttusters, ass e Kres glechzetg bee Farbe habe a Aschleße telte e Ker r hre wetere Erfahruge t E Mäche erlärte, ass jeer zwete Kres rot st E aeres K erwähte, ass e blaue Krese schräg hoch verlaufe, (also e Dagoale blau gefärbt st) Ee wetere Erets war, ass e Ece alle blau s u jees zwete Kästche ee ugerae Zahl arstellt E Juge ete, ass jeer blaue Kres zwsche zwe rote legt, worauf h e Mäche ergäzte, e es ete, ass es sogar ver rote s 73

74 E Juge fügte och hzu, ass er ver rote Krese e Verec ble u e r e Blaues legt u u as Verec heru befe sch ur blaue Krese Dreht a e Gtteretz u 5 wr see Erets gut eutlch: Besel 6 De schwarze Urauge habe ch zur Vereutlchug achträglch hzugefügt Auch ote ch feststelle, ass ur e, evtl zwe Ker cht bs zu Schluss zähle usste, soer as Muster erate u e restlche Pute etsreche ausale ote Als ächstes ete e Mäche, ass alle Krese ausgealt s Da ch allergs arauf geachtet hatte, wusste ch, ass ees er Ker as Tax-Fel ausgealt hatte Ich fragte ach, ob e wrlch alle Krese ausgealt s, worauf e Ker efrg achachte Ege etecte auch sofort as Tax u überlegte, welcher Farbe a eses ausale üsse Daraufh elete sch e Mäche, u erlärte, ass as Tax-Fel blau st u fügte hzu, ass as beeutet, ass a ur t eer gerae Azahl a Schrtte zurücoe a zu: Irrfahrte auf e elche Gtteretz Herfür solle e Schüler überlege, we wr ee Zufallsbewegug erhalte E Schüler ete, a öe efach e Becher t er Selfgur übers Selfel rolle u rgewa loslasse Dort wo e Selfgur a zu lege ot, st hre eue Posto Das futoert atürlch cht, wel es erstes ee Zufallsbewegug arstellt u zwetes e Selfgur cht ur e Wegstüc weterläuft Ee aere, ählche Iee war, e Selfgur aufs Selfel falle zu lasse Nach eser Überlegug ete e Mäche a bräuchte efach ee Würfel, auf e e ver Helsrchtuge aufgeschrebe s 7

75 Ich war sehr überrascht, ass e Schüler vo selbst so schell auf ese Iee a, a solche Würfel oralerwese cht sehr gebräuchlch s Evetuell hat se aber auch a ee orale Würfel geacht u cht überlegt, ass eser ja sechs Setefläche hat Sel : Ecehause verlasse De Ker startete be Tax-Fel u würfelte t e Tetraeer-Würfel Nach urzer Zet, ca zwe Mute, als ch as Sel abbrach, ware 8 er Ker aus er Stat heraus Für e Ker ersche es also leer so, als ob es sehr lecht st, aus er Stat heraus zu oe Ich war och sehr verwuert über as Ergebs, a ch be ee Versuche er vel ehr Zet beötgte, u Ecehause zu verlasse Sel : Zu Start zurücehre Auch be eser Aufgabe ware e este Ker, esal we erwartet, ach sehr urzer Zet a Zel, her er Startut, agelagt Verglech er bee Sele Leer war es u schwer ee Verglech zu zehe, a as Sel cht as erwartete Ergebs brachte Da aber auch e Zet für och ehr Versuchsurchgäge zu a war u e Durchgag auf Gru er Glaubwürget auch cht ausgerecht hätte, habe ch ch zu ee Parallel-Sel etschlosse De SchülerIe sollte also ereut a Startut bege, aber u beobachte, ob se zuerst weer zurücehre oer e Stat verlasse Kehrte e K zuerst zu Startut zurüc, sollte es aber auch och versuche, e Stat zu verlasse u evetuell abe zähle, we oft es zurücehrt Herbe zegte sch scho eutlcher, ass a sch estes er Ugebug es Startfeles aufhält Das Ergebs war, ass zwe Ker zuerst e Stat verleße, e K war ach Abbruch es Sels och zu ee Zel gelagt u ver Ker ware zwar estes eal zurüc a Startfel, schaffte es aber cht er vorgegebee Zet, Ecehause zu verlasse De restlche re Ker ehrte ebefalls zuerst zu Ausgagsut zurüc, zwe avo auch ehrals, schaffte aber a och as Verlasse er Stat So war es us och och öglch, herauszufe, ass wr est er Nähe es Startfeles blebe u es schwerer st Ecehause zu verlasse, als zu Ausgagsut zurüczuehre 75

76 Abschleße erlärte ch e Ker och, ass eses zufällge Laufe auf ese Gtteretz ee Irrfahrt arstellt u ass ch ch eer Arbet t Irrfahrte beschäftge, e weer zu Startut zurücehre zu: Irrfahrte uelche Rau Irrfahrt auf e uelche Gtteretz Zuächst erlärte ch e Ker, ass sch ee Arbet cht t erartg lee Gtteretze, we be e Pla vo Ecehause, befasst, soer ass ee Gtteretze uelch groß s Ich erläuterte, ass a sch vorstelle üsse, ass a auf e Gtteretz ach Süe laufe öte, aber eals e Ee erreche würe, egal we lage a läuft Etsreche verhält es sch t e aere Rchtuge E Juge ete, ass ch also ee Kugel ee, wel a a ja e aufhört zu laufe Ich erlärte, ass wr be eer Kugel, auch we wr ur ee Rchtug laufe, trotze zu Startut zurücoe De uelche Gtteretze, e ch ee, habe aber ee Wölbug Be he etfert a sch er weter vo Startfel, we a ur ee Rchtug läuft Da es scherlch e Vorstellugsraft vo ege Ker übersteg, fügte ch och hzu, ass se sch efach e gaz großes Gtter vorstelle solle Nu fragte ch e Ker, wer e er Meug st, ass wr auf ee solche, also uelche Gtteretz, weer heehre (Bevor ch e Ker abste lasse ote, fragte ch e Juge, ob er e geug zu esse abe habe ) Nu ete acht Ker, ass wr auf jee Fall weer zurücehre u ur zwe ware er Ascht, ass es zwar se a, ass wr weer zu Ausgagsut gelage, aber ass es auch öglch st, ass wr cht weer zurücoe, we wr zufällg laufe Irrfahrt auf er uelche Gerae Als ächstes alte ch ee Gerae a e Tafel u zechete e -Put als Start e Aschleße zechete ch ostate Abstäe Mareruge e Nu erlärte ch e Ker, ass a auch auf eer Straße, e ach rechts u ls e Ee hat, zufällg laufe a Ich fragte e Ker also, ob se e her glaube, ass wr be eer Irrfahrt weer heehre Weer stte acht Ker für e Heehr u ur zwe agege Dabe st 76

77 zu beere, ass es cht eselbe zwe Ker ware, we erste Fall Des zegt, ass zuest ege er Ker cht verstae habe, was e Mäche och ergäzte Se erlärte, ass es och logsch st, ass a auch her zurücehrt, wel es ese Fall ja weger Möglchete gbt zu laufe, älch ur ach rechts u ls E Juge fügte och hzu, ass e Chace, ee er bee Rchtuge zu laufe halb halb st Isgesat st e Stue also och erfolgrech verlaufe De Ker habe e wchtge Zele erat: Se habe herausgefue, ass a ur t eer gerae Azahl a Schrtte weer zu Ausgagsut zurücehrt Se habe erat, ass a t eer gerae Azahl a Schrtte, ee Orte besuche a, a e a t eer ugerae Azahl a Schrtte gelagt De Ker etecte, ass a sch lage er Nähe es Startfeles aufhält Des Wetere habe se erfahre, ass a be eer Irrfahrt uelche Gtteretz oer auf er uelche Gerae fast scher weer zu Ausgagsut zurücehrt 73 Ist e Theat Irrfahrte für e Gruschule svoll? 73 Thee er Stochast Gruschullehrla Isgesat sollte berets er Gruschule efache Problee er Kobator u Wahrschelchetsrechug ( ) auf eer exeretelle, roäeutsche Stufe ohe rechersche Aufwa bewältgt were 6 I bayersche Lehrla für e Gruschule wr erstals er zwete Klasse e Thea er Stochast erwäht Leer st es ur als öglches Ergäzugsthea vorgesehe Auszug aus e bay Lehrla für e Gruschule 7 6 Leau, V; Schler, M; Wahrschelchetsrechug er Prarstufe u Seuarstufe I ; S 8; zu ; Z 3 77

78 I Klasse re fe wr ebefalls Aufgabe zur Kobator zur Ergäzug es Uterrchts I er verte Klasse wr hgege e stochastsches Thea vorgeschlage We wr eree öe, habe stochastsche Thee ur sehr gerge Efluss auf e Gruschule Auf Gru es stare Bezugs zur Welt es Kes (Würfelsele u ergl) 8 st es scherlch svoll, stochastsche Thee er Gruschule verstärt zu behael Se stelle auch ee Berecherug für e Matheatuterrcht e Gruschule ar, a se sezfsche Dewese zu schule [veröge] 9 Kobator- u Wahrschelchetsrechugsaufgabe lasse sch vo Schwergetsgra gut e Lestugssta er Schüler aasse, wourch e gestuftes Problelösugstrag 5 eröglcht wr Ma errecht auch t ese Uterrchtsstoffe ee hohe Gra a Motvato, a sch vele Aufgabe er Wahrschelchetsrechug u Kobator auf er eatve Stufe Exeret urchführe 5 lasse Nach Paget s Ker erst ab ee Alter vo Jahre azu Stae e Begrffe Zufall u Wahrschelchet zu verstehe u rchtg zu eute Varga u Dees habe aber herausgefue, ass e Blug er Begrffe Zufall u Wahrschelchet altersäßg vorverleg[t] [were] a 5 So öe Ker zwsche 7 u Jahre berets erfolgrech e bee Begrffe erlere Dat a es ebe eer frühere Erets über ese Begrffe, zu eer Verbesserug er Begrffsblug u zu eer Förerug allgeeer ogtver Fähgete führe 53 Möglcherwese stützt sch auch e Vorverlegug er stochastsche Thee e bayersche Gyase, urch e eue G8-Lehrla, auf ese Eretsse De be stochastsche Problee st es sehr gut öglch, e Aufgabe e Lestugssta er Schüler azuasse I alte Lehrla erhelt e Stochast leglch e Halbjahr Jahrgag u as er gesate Gyasalzet I G8-Lehrla agege, lere e Schüler berets er füfte Klasse t efache Bauagrae u e Zählrz uzugehe I er sechste Klasse lere se e relatve Häufget ee u er achte Klasse a Lalace-Exerete I er 7 Lehrla für e bay Gruschule; Jul ; Bay Staatssteru für Uterrcht u Kultus; S 57; Z -9 8 Leau, V; Schler, M; Wahrschelchetsrechug er Prarstufe u Seuarstufe I ; S 9; Z 9 Eb; S 9; Z 5 Eb; S 9; Z 5 Eb; S 8; zu ; 3 5 Eb; S 5; Eb; S 55; Absatz ; Z 78

79 eute u zehte Klasse were schleßlch zusaegesetzte Zufallsexerete behaelt 5 Aus ese Grüe a es ur vo Vortel se, e Ker scho er Gruschule Erfahruge t Kobator, Statst u Wahrschelchetsrechug ache zu lasse Abschleße a a also sage, ass e Behalug stochastscher Thee, eer Ascht ach, er Gruschule svoll st 73 Irrfahrte er Gruschule Zu usere sezfsche stochastsche Thea Irrfahrte wolle wr u zwe Asete getret betrachte De Beschäftgug t Ecehause wr vo Müller u Wtta () u e her verweete Buch Lerugebuge für Recheschwache bs Hochbegabte für e erste bs verte Klasse vorgeschlage De Theat st sowohl für alle Altersstufe er Gruschule, als auch für alle Lestugsgrae geeget E Hochbegabtes K wr verutlch ege Dge ehr herausfe, e schwächeres K trotze see Saß a relatv selersch behaelte Stoff cht verlere Da er Ugag t Ecehause auch e Auseaersetzug t ee Koorategtter 55 übt, st er beeute für e wetere Schullaufbah er Schüler Auf efache, selersche Wege lere e Ker e Koorategtter ee u besoers e Übertragug auf e abstrateres Gtter, we es auch erwähte Buch vorgeschlage st, st förerlch für e sätere Ugag t Kooratesystee Koe wr u zur egetlche Theat er Irrfahrte Als Grulage uss ee Eführug as Koorategtter gegebe se (we obe beschrebe), at e Ker t Gtteretze vertraut were De Ker lere auf selersche wese e Begrff Zufall ee, we se versuche Ecehause zu verlasse, oer zu Startut zurüczuehre Der Begrff wr abe atürlch erlärt u verweet Dat a, we berets geat, ee Vorverlegug u Oterug es Begrffsverstässes für as Wort Zufall errecht were 5 htt://wwwsb-gy8-lehrlae/cotetserv/3/g8e/exh?storyid6753; aufgerufe a Hegarter; Lerugebuge für Recheschwache bs Hochbegabte ; S ; Z 8 79

80 We ch auch eer Doelstue eree ote, hält ee hohe Motvato urch e selersche Charater e Freue a Matheat-Uterrcht aufrecht Wchtg st für e Ker herbe weger, ass ee Irrfahrt Gtteretz oer auf eer Gerae fast scher weer zurücehrt, soer ehr e Beschäftgug t e Koorategtter u as Kee lere vo zufällge Eregsse Isgesat gesehe, oe ch für ch also zu e Schluss, ass Irrfahrte urchaus berets er Gruschule behaelt were öe Evetuell sollte a e Theat aber etwas ausbaue u e Schüler ehr Zet zu Etece gebe Auch Varatoe er Irrfahrte öe vo Vortel se: So öte wr t ee orale Würfel würfel, wobe e für Oste, e für Süe, e 3 u e für Weste u e 5 u e 6 für Nore stehe Evetuell a a zur Erlechterug e Würfel auf obe beschrebee Wese beschrfte Daurch erfahre e Schüler, ass a her ee Irrfahrt t ee bestte Drft erhält u at e Wahrschelchet eer Rücehr gerger wr Isgesat würe ch also zu eer Beschäftgug t er Theat Irrfahrt e Gruschule rate, a es ee Berecherug für e Matheat-Uterrcht arstellt 8

81 8 Matheatscher Ahag 8 Dsreter Wahrschelchetsrau E sreter Wahrschelchetsrau st e Paar ( Ω, P) Ω st abe ee chtleere, elche oer abzählbar-uelche Mege u P ee auf e Telege vo Ω eferte, reellwertge Futo P : Ω [,], t folgee Egeschafte: Egeschafte a) Nchtegatvtät: P ( A) für alle A Ω, b) Norerthet: P ( Ω), (a Ω as schere Eregs arstellt), c) σ Atvtät: U A j j j P ( ) Deach glt für sjute Eregsse A u B P ( A B) P( A) P( B) P A j, we A, A, aarwese sjut s 8 Uabhägget Mt e Begrff er Uabhägget er Eregsse A u B ee wr, ass A u B wahrschelchetstheoretsch ee Efluss aufeaer habe Mt aere Worte ausgerüct beeutet es, ass as Etrete es Eregsses A as Etrete es Eregsses B cht beeflusst 56 I Verallgeeerug ( ) st e Uabhägget vo ( ) Eregsse we folgt efert: (, P) Ω se e W-Rau u A,, (bzgl P () ), falls glt: A Eregsse t A,, A heße uabhägg P I Aj P( Aj ) j T j T für jee relevate (h estes zweeleetge) Mege T {,, K,} 57 Für zwe uabhägge Eregsse A u B glt also P( A B) P( A) P( B) 56 Heze, N; Stochast für Esteger ; S 7; Z 6 57 Eb; S 8; letzter Absatz; S 9; Z 5 8

82 83 Dsrete Zufallsvarable Zufallsvarable Ee Zufallsvarable st ee Futo, e e Ergebsse ees Zufallsexerets Werte zuoret Dabe wr jee Eregs ω Ω ee reelle Zahl X (ω) zugeoret, wourch e Ausräguge ees qualtatve (ur verbal beschrebbare) Merals urch e quattatves (zahleäßg erfassbares) Meral beurtelt were öe Dat e Wahrschelchete auf e reelle Achse R übertragbar s, uss für jees er Vertelugsfuto F( x) P( X x) P( { X ( ω) x} ) ω berechebar se 58 x R er Wert Dsrete Zufallsvarable Ma et ee Zufallsvarable X sret, we hr Wertevorrat elch oer abzählbar uelch st 59 Aers ausgerüct glt: ( Ω, P) R X : se ee Zufallsvarable X heßt sret, we es Zahle α, α, R gbt, t { α,,3, } X ( ω ) für alle ω Ω 6 Durch ee Trasforato a a e Werte α e Zahle,,, überführe, so ass er Praxs be srete Zufallsvarable a e Werte,,, 3, gewählt were, we e Werte be e wetere Berechuge ee Rolle sele 6 Daher öe wr folger, ass jee Zufallsvarable sret st, we Ω elch oer abzählbar uelch st 6 8 Marovette Defto Marovette Ee [Marovette] st e stochastscher Prozess { Z } Zustasrau I, er e folgee arovsche Egeschaft bestzt: S, t abzählbare 58 Dr Bosch, K; Lexo er Statst, Nachschlagewer für Aweer ; S 37; Z 5 59 Eb; S 37; Z 3 6 Dr Bol, G; Wahrschelchetstheore Eführug ; S 55; Z 6 Eb; S 55; Z 5 6 Eb; S 55; Z 7 8 8

83 Für alle Z u für alle,, I t P ( S, S ) > st P S S, S ) P( S S ) 63 ( S se abe er Zusta zur Zet Für e stochastsche Prozess S glt also: De Wahrschelchet, ass a zur Zet ee belebge Zusta gelagt, st ur vo Zusta zur Zet u vo abhägg De Zustäe, e vorher errecht wure, sele ee Rolle 6 Statoäre Übergagswahrschelchete Ee Marovette heßt hooge oer Kette t statoäre Übergagswahrschelchete, we für alle vo st Dat glt: j j I (, j I) u j ( I ) 65 j I, P ( S j S ) : j uabhägg Herbe s e Übergagswahrschelchete also zu alle Zetute glech u e Zufallsvetore s uabhägg u etsch vertelt 3 Kouzeree Zustäe Zwe Zustäe u j Zustasrau eer zet-srete Marovette s ouzere, we P( S j S ) > u ( S S j) > P für je e, glt E Zusta ouzert also t ee Zusta j, we Schrtte t ostver Wahrschelchet zu Zusta j führt u we j Schrtte t ostver Wahrschelchet zu Zusta führt Außere st e Relato trastv Kouzert t j u j t, a ouzert auch t 66 Irreuzble Marovette Falls alle Zustäe er Marovette gegesetg errechbar s, wr se rreuzbel geat Herfür uss > be alle Übergäge vo ach j gelte 67 j 63 Kregel, U; Eführug e Wahrschelchetstheore u Statst ; S9; Def 5 6 Eb; S 9; Def 5, Z Eb; S97; Def Eb; S 7; Def Feller, W; A troucto to Probablty Theory a ts Alcatos ; S 3; Z

84 5 Reurrez u Trasez Ma bezechet ee Zusta als reurret, we glt: P{ S für } P{ } S Asoste heßt traset Außere glt für ee Marovette t statoäre Übergagswahrschelchete, ass alle t ee reurrete Zusta ouzeree Zustäe ebefalls reurret s Ee Marovette wr each als reurret (traset) bezechet, we jeer Zusta reurret (traset) st Kregel, U; Eführug e Wahrschelchetstheore u Statst ; S ; Absatz 69, Folgerug 6 8

85 9 Schluss I er vorlegee Arbet wure gezegt, ass ee Irrfahrt eer u zwe Desoe fast scher weer zu Startut zurücehrt We wr auch berets erwäht habe, a es aber sehr lage auer Betrachte wr herfür e Pfaläge eer u zwe Desoe, e zu eer Rücehr führe: Etwa 8,5 % er Pfae s eer Deso berets ehr als Schrtte lag Ugefähr % vo ese Pfae t eer Läge über Schrtte habe sogar ee Läge vo Schrtte u % vo ese weeru ehr als 6 Schrtte I zwe Desoe stegt e Läge er Pfae berets eor a Her s etwa 3 % er Pfae über Schrtte lag u 3 % eser Pfae über Schrtte habe ee Läge vo ehr als Schrtte Gaze 7 % eser Pfae s Schrtte lag U ugefähr % er geate Pfae über Schrtte, habe sogar ee Läge vo Schrtte 69 Stelle wr herzu ee lee Überlegug a: E atver Mesch legt 75 bs Schrtte a Tag zurüc Für e folgee Rechug ehe wr e otale Azahl vo Schrtte ro Tag Deach läuft e atver Mesch 365 Schrtte ro Jahr Er würe also über 7 Jahre brauche, u weer zu Ausgagsut zurüczuehre, we er ee Pfa t eer Läge vo Schrtte zweesoale Rau läuft E cht-atver Mesch läuft aber ur höchstes 5 Schrtte a Tag, wourch er fast Jahre für e gleche Strece brauche würe Abschleße öe wr festhalte, ass es wrlch beereswert st, ass a eer u zwe Desoe fast scher weer zu Ausgagsut zurücehrt u at auch jee Put, e a auf seer Rese besucht hat, t Wahrschelchet Es och eal erreche wr I er vorlegee Arbet wure sot gezegt, ass ( e- u zweesoale Rau) alle Wege ach Ro führe 69 Schuhacher, D; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Fole 7 85

86 Lteratur Pólya, George; Alexaerso, Geral L; The Pólya Pcture Albu: Ecouters of a Matheatca ; Brhäuser Verlag, Bosto; 987 htt://schuleeuhat/regy/phys//waere/teeratur/browsche_bewegugh t; aufgerufe a 78 (ua) Schuhacher, Doc; Isttut für Matheat; Uverstät Zürch; De Irrfahrt - Ee Etecugsrese e Welt es Zufalls ; Forschug ret; Ju ; wwwathuzhch/~bas/fles_for_owloa/rrfahrtef (cht ehr ole) Pólya, George; Über ee Aufgabe er Wahrschelchetsrechug betreffe e Irrfahrt Straßeetz ; Matheatsche Aale, Volue 8; 9 Chao, W L; Mlls, TM; Sth, So J; Lost Sace ; Math Scetst 3; Egla; 7 Herer, Karl; Beeruge zu räulch hoogee Gtterrrfahrte ; I: Matheatsche Aale 53; S ; 96 htt://wwwahorsee/slay_ahorseh?search&age3; a 78; (Mafre Grau, 98) aufgerufe Hegarter, Elar; Hrt, Uel; Wält, Beat; Prarschultea Lusge; Lerugebuge für Recheschwache bs Hochbegabte Natürlche Dfferezerug Matheatuterrcht ; Klett u Baler Verlag; Zug; 7; Auflage Bay Staatssteru für Uterrcht u Kultus; Lehrla für e bay Gruschule; Jul Bayersches Staatssteru für Uterrcht u Kultus; htt://wwwsb-gy8- lehrlae/cotetserv/3/g8e/exh?storyid6753; aufgerufe a

87 Leau, V; Schler, M; Wahrschelchetsrechug er Prarstufe u Seuarstufe I ; Verlag Julus Klhart, Ba Helbru; 977 tu-leaue/fa/flea/telate/f/hyssoer/5/ Searthee/6_Browsche_Bewegugt; aufgerufe a 68 htt://hoeageubacat/~c35/owloa/raof; aufgerufe a 78 Heze, Norbert; Stochast für Esteger ; Veweg Verlag, Brauschweg / Wesbae; 997 Dr Bosch, Karl; Lexo er Statst, Nachschlagewer für Aweer ; Olebourg Verlag, Müche; 997; Auflage Dr Bol, Georg; Wahrschelchetstheore Eführug ; Olebourg Verlag, Müche; 7; 6 Auflage Kregel, Ulrch; Eführug e Wahrschelchetstheore u Statst ; Veweg Verlag, Wesbe; 5; 8 Auflage Feller, Wlla; A troucto to Probablty Theory a ts Alcatos ; Chaa & Hall, New Yor; 95; Auflage 87

88 Dasagug A eser Stelle öchte ch ch be Herr Prof Dr Steug beae, e es sofort gelag, ch für eses teressate Thea zu begester u er Zet für ee Frage hatte 88

89 Erlärug Hert verschere ch, ass ch e Arbet alle Tele selbststäg gefertgt u ee aere als e er Arbet agegebee Hlfsttel beutzt habe De Zechuge, Tabelle u bllche Darstelluge habe ch selbst gefertgt Würzburg, e 98 Stefae Eres 89

90 3 Ahag Ahag : Pla vo Ecehause 7 7 Hegarter; Hrt; Wält; Prarschultea Lusge; Lerugebuge für Recheschwache bs Hochbegabte Natürlche Dfferezerug Matheatuterrcht ; Beglet-CD 9

91 Ahag : Arbetsaufträge Du bst Ia Zuerst gehst u e Wegstüc ach Oste, a zwe Wegstüce ach Süe Wo bst u? Du bst Eva Zuerst gehst u e Wegstüc ach Nore Da gehst u re Wegstüce ach Weste u aschleße e Wegstüc ach Süe Nu läufst u e Wegstüc ach Oste u weer e Wegstüc ach Süe Als Letztes läufst u e Wegstüc ach Weste Wo bst u? 3 We a Leo zur Schule oe, we er ur ach Nore u Weste läuft We vele Möglchete hat er? Male e verscheee Möglchete t verscheee Farbe ee Pla e Marere e Feler rot, woh as Tax vo Start aus, t, 3, 5, 7, Wegstüce hgelagt Marere blau, woh as Tax t,, 6, Schrtte hgelagt 9

92 Ahag 3: Arbetsblatt 9

93 Ahag : Gtteretzla 7 7 Hegarter; Hrt; Wält; Prarschultea Lusge; Lerugebuge für Recheschwache bs Hochbegabte Natürlche Dfferezerug Matheatuterrcht ; Beglet-CD 93

94 Ahag 5: Arbetsblatt 9

95 Ahag 6: Arbetsblätter 95

96 96

97 97

98 98

99 99

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103 3

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105 Ahag 7: Arbetsblätter 5

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113 3

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