8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen

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1 8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8.1 Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: lim 1 w k 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3 z z z z exp( z) : lim1 1 z... k 0 k! 2! 3!

2 Satz: 1 Die Expoetialfuktio hat die Eigeschafte E ud E : E exp( z w) exp( z) exp( w) für alle z, w, exp( z) 1 E 2 lim 1. z0 z Satz: Zu jedem c gibt es geau eie Fuktio f : mit E f ( z w) f ( z) f ( w) für alle z, w, c f( z) 1 E 2 lim c. z0 z Diese ist gegebe durch f ( z) exp( cz). Folgeruge aus dem Additiostheorem 1 a) exp( z) exp( z) ud exp( z) 0 für alle z r b) exp( r) e für komplexes r. Dabei verwede wir 1 1 e : exp(1) lim 1. k 0 k! E 1 : die Bezeichug

3 8.2 Die Expoetialfuktio für reelle Argumete Satz: a) Für x x ist e reell ud >0. b) exp : wächst streg mooto. c) exp : ist bijektiv. Satz vom Wachstum: Für jede (och so grosse) atürliche Zahl gilt: x e i) lim. x x x ii) lim xe lim 0. x Satz: e ist irratio al. e

4 8.3 Der atürliche Logarithmus Die Expoetialfuktio bildet bijektiv auf + ab. Die dazugehörige Umkehrfuktio l : heisst atürlicher Logarithmus. Defiitiosgemäß sid äquivalete Gleichuge. Satz: Der atürliche Logarithmus hat die Eigeschafte (L ) l( x y) l( x) l( y) ( x, y ) 1 l(1 x) (L 2 ) lim 1. x0 x Satz vom Wachstum: Der atürliche Logarithmus wächst für d.h., für jede atürliche Zahl gilt y also x e ud y l x x l( x) lim 0. x x schwächer als jede Wurzel;

5 8.4 Expoetialfuktio zu allgemeie Base. Allgemeie Potez. Defiitio: z zl( a) Es sei a : e für a, z. z Die Fuktio z a, z heißt Expoetialfuktio zur Basis a. Sie hat folgede charakteristische Eigeschafte: (E 1 (E ) zw z w ) a a a für alle z, w, l a 2 z a 1 lim l( a) z z Weitere Eigeschafte dieser Fuktio: a) Sie ist stetig wachsed a>1 b) Sie ist auf streg mooto, falls ist. falled a<1 c) Im Fall a 1 immt sie auf jede Wert aus geau ei- mal a. +

6 Wichtige Grezwerte: a lim x x0 x a für a 0, 0 für a 0; a 0 für a 0, a' lim x x0 für a 0; l x b lim 0 für a 0; x a x a b ' lim x l x 0 für a 0. Defiitio: a Ist a 0, so ka die Fuktio x x ach a ' stetig i de a Nullpukt fortgesetzt werde; ma defiiert daher: 0 : 0 für a 0.

7 8.5 Biomialreihe ud Logarithmusreihe Defiitioe: Die Reihe s Bs x : x, x ( 1;1); s. 0 heisst die Biomialreihe zum Parameter s. Die Reihe 1 ( 1) L x : x, x ( 1;1) 1 heisst die Logarithmusreihe.

8 Satz: Für jedes s ud x( 1;1) gilt: s 2 3 (1 x) Bs x x 1 sx x x..., ( 1) l(1 ) x x x x x L x x x s s s Isbesodere ist k 1 k 1 ( 1) l(2) 1..., k x x x x x l 2 2 x x

9 8.6 Defiitio der trigoometrische Fuktioe Für beliebiges z setze wir iz iz iz iz e e e e cos z:, si z:. 2 2i Für alle z gilt: iz i) e cos z i si z (Eulersche Formel) 2 2 ii) cos zsi z 1.

10 Additiostheoreme: Für alle zw, gilt: i) cos( z w) cos z cos w si z si w, ii) si( z w) si z cos w cos z si w. Potezreihedarstelluge: 2k k z z z z cos z ( 1) 1... (2 k)! 2! 4! 6! k 0 2k k z z z z si z ( 1) z... (2k 1)! 3! 5! 7! k 0

11 Tages ud Cotages: Außerhalb der Nullstelle des Cosius bzw. Sius defiiert ma weiter die Fuktioe Tages ud Cotages: si z cos z ta z:, cot z:. cos z si z Es gilt: ta z ta w ta( zw). 1 ta zta w

12 8.7 Nullstelle ud Periodizität. Eischließugslemma: Für x (0;2] gilt: x x x i) 1 cos x 1, x ii) x si x x. 6 Isbesodere ist si x 0 i (0; 2].

13 Folgerug: Der Cosius fällt i [0;2] streg mooto. Satz ud Defiitio der Zahl : Der Cosius hat im Itervall [0;2] geau eie Nullstelle. Diese bezeichet ma mit. Damit gilt 2 cos 0 ud si

14 Satz: Für alle z gilt: i z 2 z i) e ie, zi z ii) e e, z2i z iii) e e. Korollar: Für alle z gilt: cosz si z, cos z cos z, cos z 2 cos z, 2 si z cos z, si z si z, si z 2 si z. 2

15 Satz: Der Cosius hat auf geau die Nullstelle k mit k ; 2 der Sius geau die Nullstelle k mit k. Folgerug 1: 2 ist die kleiste positive Periode der Fuktioe Cosius ud Sius. Folgerug 2: z Geau da gilt e 1, we z ei gazes Vielfaches vo 2 i ist Korollar: Cosius ud Sius habe i reelle Nullstelle. ur die im letzte Satz agegebee

16 8.9 Polatkoordiate komplexer Zahle Satz: Jede komplexe Zahl z 0 besitzt eie Darstellug i z re mit r z ud ; dabei ist bis auf die Additio eier gaze Vielfache vo 2 bestimmt. Korollar: Die Abbildug 1 i e : S, : e e cos i si e ist surjektiv, ud e gilt geau da, we sich ud um ei gazes vielfaches vo 2 uterscheide.

17 8.9 Polatkoordiate komplexer Zahle Satz: Die Gleichug z 1,, besitzt geau die Lösuge i k k : e cos k isi k, k=1,...,. Korollar: Die Gleichug z c mit c hat eie Lösug. Mit eier Lösug w sid w,..., w ihre sämtliche Lösuge. 1

18 8.10 die Geometrie der Expoetialabbildug

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21 Diese Bilder köe wir verüftig lese. Das verdake wir de Polarkoordiate i de Potezreihe über! ud

22 Eigeschafte des Hauptzweiges: 1. w, w seie i der rechte Halbebee r 1 2 : z : Re z 0. w Da liege w w ud 1 i, ud es gilt 1 2 w l w w = l w +l w, l w w l w l w

23 Eigeschafte des Hauptzweiges: 2. Sei w 1, so gilt 1 w ud es gilt l 1 w w Lw. 3. Für w 1 gilt die Potezreihedarstellug w w l 2. 1w 21

24 Tages ud Arcustages ta z iz iz 2iz 1 e e 1 e 1 i e e i e iz iz 2iz 1 arcta 1 21 w w w w w wege arcta1 4 gilt: k k0 k

25 8.12 Die hyperbolische Fuktioe I viele Aweduge kommt die Expoetialfuktio 1 z z 1 i de Kombiatioe ud z z e e e e vor. 2 2 Ma defiiert: z z e e cosh z : (Cosius hyperbolicus), 2. z z e e sih z : (Sius hyperbolicus), 2 sih z tah z : (Tages hyperbolicus), cosh z z z cosh coth z : (Cotages hyperbolicus). sih

26 1 Es gilt: cosh z cos iz, sih z si iz. i Additiostheoreme: z w z w z w z w z w z w cosh cosh cosh sih sih, sih sih cosh cosh sih. Spezi ll ll w z : cosh z sih z 2 2 e gilt im Fa 1 Potezreihedarstelluge: 2k z cosh z, 2 k! k0 2k1 z sih z. 2k 1! k0

27 Die Beschräkug auf reelle Argumete: a) cosh wächst streg mooto auf 0, ; b) sih wächst streg mooto auf ; c) tah wächst streg mooto auf.