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Johann Michael Brodbeck
vor 6 Jahren
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1 Abiturprüfung Mathematik 200 Baden-Württemberg (ohne CAS) Wahlteil Aufgaben Analytische Geometrie II, 2 Gegeben sind der Punkt A(,/6/,) sowie die Gerade g: x = 0 + t. a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden g mit der x x 2 Ebene. Zeichnen Sie die Gerade g in ein Koordinatensystem. Unter welchem Winkel schneidet g die x x 2 Ebene? Welcher Punkt F auf der Geraden g hat vom Punkt A den kleinsten Abstand? Die Gerade h entsteht durch Spiegelung von g an A. Bestimmen Sie eine Gleichung von h. (Teilergebnis: F(//)) (7 VP) b) Begründen Sie, dass bei Rotation der Geraden g um die Gerade durch A und F eine Ebene entsteht. Zeigen Sie, dass x + x 2 + x = 0 eine Gleichung dieser Ebene ist. Untersuchen Sie, ob die Punkte P(8/-9/) und Q(-2//-9) auf verschiedenen Seiten dieser Ebene liegen. ( VP) Aufgabe II 2.2 Hinweis: ab der Abiturprüfung 202 nicht mehr prüfungsrelevant Das Quadrat ABCD hat den Mittelpunkt M. Die Punkte P und Q werden so gewählt, dass MP = MC und MQ = MD gilt. Die Strecken CD und PQ schneiden sich im Punkt S. In welchem Verhältnis teilt der Punkt S die Strecke CD? A B M S D Q P C ( VP)

Abiturprüfung Mathematik 200 Baden-Württemberg (ohne CAS) Lösungen Wahlteil Analytische Geometrie II, 2 a) Schnittpunkt S 2 von g mit der x x 2 Ebene: Setze in der Geradengleichung x = 0 : + t = 0 t

2 Abiturprüfung Mathematik 200 Baden-Württemberg (ohne CAS) Lösungen Wahlteil Analytische Geometrie II, 2 a) Schnittpunkt S 2 von g mit der x x 2 Ebene: Setze in der Geradengleichung x = 0 : + t = 0 t = Einsetzen von t = - in die Geradengleichung ergibt (2 / 6 / 0) Zeichnung: S 2 Schnittwinkel der Gerade mit der x x 2 Ebene: Die 0 x x 2 Ebene besitzt den Normalenvektor n = Berechnung des Schnittwinkels: sinα = = α = 2,

3 Berechnung des Punktes F: A F g Der Punkt F entspricht dem Fußpunkt des Lotes von A auf die Gerade g. (Dieser Punkt muss auch bestimmt werden, um den Abstand des Punktes A von der Geraden g zu ermitteln) Aufstellen einer Hilfsebene H, die A enthält und orthogonal zu g verläuft: H: x 2x 2 + x = d (Richtungsvektor von g entspricht einem Normalenvektor von H) Einsetzen von A:, 2 6 +, = d d = Koordinatengleichung von H: 2x + x = x 2 Der Schnittpunkt von g mit H entspricht dem Punkt F: ( + t) 2( 2t) + ( + t) = 8 + 6t = t = 2 Einsetzen von t = -2 in die Gerade ergibt Schnittpunkt F(//). Berechnung der Geradengleichung von h: F* h A F g Die Gerade h ist parallel zur Geraden g, somit hat die denselben Richtungsvektor. Nun müssen noch die Koordinaten von F* ermittelt werden., 6 Es gilt OF * = OF + 2 FA = = 8 2, 6 Die Koordinaten von F* lauten F*(6/8/6). 6 Geradengleichung von h lautet: h: x = 8 + t 6

4 b) Anhand der Skizze aus a) ergibt sich, dass der Punkt F auf der Geraden g liegt und die Gerade durch A und F orthogonal zur Geraden g ist. Daher entsteht bei Rotation der Gerade g um die Gerade durch A und F eine Ebene., Die Ebene, die dabei entsteht, besitzt einen Normalenvektor n = FA = 2. 2, Die gegebene Ebene besitzt einen vielfachen Normalenvektor n =. Nun muss noch geprüft werden, ob der Punkt F auf der gegebenen Ebene liegt: Einsetzen von F(//) in die Ebene: + + = 0 liefert eine wahre Aussage. Damit ist x + x + x 0 eine Gleichung der Ebene. 2 = Lage von P und Q bzgl. der Ebene E:. Aufstellen einer Hilfsgerade k durch P und Q: 8 20 k: x = OP + s PQ = 9 + s 0 0 Berechung des Schnittpunktes von k mit E: (8 20s) + ( 9 + 0s) + ( 0s) = 0 60s 6 + 0s + 0s = 2 70s = 0 s = 0, 0 Für den Schnittpunkt S gilt nun: OS = OP 0, PQ Aufgrund des negativen Wertes von s liegt der Punkt S gemäß der Skizze nicht zwischen den Punkten P und Q. S P Q Somit liegen P und Q nicht auf verschiedenen Seiten von E.

5 A B M S D Q P.Schritt: Festlegung zweier linear unabhängiger Vektoren C a = MC und b = MD 2.Schritt: Festlegung eines geschlossenen Vektorzuges: PC + CS + SP = 0.Schritt: Umschreiben des Vektorzuges mit den Vektoren a und b : PC = MC = a ( a b) CS = r CD = r + SP = t QP = t b + a a + r a + b + t + Zusammengefasst in einem Vektorzug: ( ) b a 0.Schritt: Umsortieren nach a und b r + t a + r t b = 0 Da die Vektoren a und b linear unabhängig sind, folgt daraus: r + t = 0 und r t = 0 Die Lösung des Gleichungssystems ergibt r = und 8 t = 2 Da CS = CD gilt, folgt daraus, dass der Punkt S die Strecke CD im Verhältnis 8 : teilt. =

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