Übungen zu Physik I für Physiker Serie 3 Musterlösungen

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1 Übungen zu Physik I für Physiker Serie 3 Musterlösungen Allgemeine Fragen 1. Coulomb- und Gravitationskraft Atome und damit die Materie bestehen aus den Z-fach positiv geladenen Atomkernen und Z negativ geladenen Elektronen der Hülle, so dass Atome und damit auch die Materie nach aussen völlig neutral abgeschirmt erscheinen. Könnte man die Gravitationskraft auf die Coulombkraft zurückführen, d.h. durch Überschussladungen erklären? Welche Tatsachen widerlegen eine solche Theorie? Das 2-Körperproblem wäre in Ordnung (z.b. Sonne positiv, Planet negativ geladen), aber schon ein 3-Körperproblem würde nicht mehr funktionieren: Sonne positiv, Erde negativ, Mond??? 2. Was ist das Gemeinsame aller Schwingungen (auch der nicht mechanischen)? Sie sind periodisch in der Zeit. 3. Gibt es Reibungskoeffizienten µ > 1? Sehr wohl gibt es Reibungskoeffizienten grösser 1. Das heisst nur, dass die Reibungskraft grösser der Normalkraft ist und es gibt keinen physikalischen Grund, warum das nicht der Fall sein sollte. Ein Beispiel für einen relativ grossen Reibungskoeffizienten ist ein Radiergummi auf einem Sandpapier. µ > 1 bedeutet z.b. auch, dass ein Körper auf einer schiefen Ebene auch bei einem Winkel > 45 nicht ins Rutschen gerät (Haftreibung) bzw. wieder zum Stehen kommt (Gleitreibung). 1

2 Aufgaben 1. Effektives Ziehen [2 Punkte] Ein Körper der Masse m = 2.5 kg ruhe auf einer horizontalen Unterlage und werde an einem masselosen Seil unter dem Winkel α von der Kraft F gezogen, wie in Abb. 1 skizziert. Die Haftreibungszahl zwischen Körper und Unterlage betrage µ H = 0.6. (a) Wie gross ist die minimale Kraft in Abhängigkeit vom Winkel α, damit sich der Körper in Bewegung setzt? (b) Berechnen Sie für die Winkel α = 0, 10, 20, 30, 40, 50 und 60 die Kraft und tragen Sie sie gegen α auf. Abb. 1: Ein Klotz wird auf einer horizontalen Ebene gezogen. (c) Berechnen Sie den Winkel, bei welchem die Kraft am effizientesten eingesetzt wird. (a) Auf den Körper wirken die in Abb. 2 skizzierten Kräfte. Deren Vektorsumme muss gleich Null sein: F + G + N + F R = 0. Betrachten wir die einzelnen Komponenten: vertikal: F sinα + N mg = 0 N = mg F sinα (1) Abb. 2: Kräftediagramm bei Zug unter einem Winkel. horizontal folgt mit (1) und (2): (b) siehe Abb. 3 maximale Reibungskraft: F R = µ H N = µ H (mg F sinα) (2) F cosα µ H (mg F sinα) = 0 µmg F(α) = cosα + µ sinα. (3) (c) Um den Winkel für die kleinste Kraft zu erhalten, leitet man Gl. (3) nach α ab und setzt die Ableitung gleich Null. Weil in Gl. (3) der Zähler konstant ist, wird die Ableitung nur dann Null, wenn die Ableitung des Nenners gleich Null ist. d (cosα + µ sinα) = sinα + µ cosα = 0 dα tanα 0 = µ. (4) 2

3 Abb. 3: Minimale Zugkraft, dass sich der Körper bewegt als Funktion des Zugwinkels α. In diesem Fall mit µ H = 0.6 ergibt sich 2. Kurvenfahrt [3 Punkte] α (a) Ein Auto fährt in einer überhöhten Kurve. Zeichnen Sie die äusseren Kräfte auf das Auto ein. Überlegen Sie welche Kräfte bzw. Kraftkomponenten die resultierende Kraft in z-richtung und in Radialrichtung (auf das Zentrum der Kreiskurve hin) bilden. Notieren Sie die Bewegungsgleichung für das Auto in vektorieller und in Komponentenform. (b) Welche Überhöhung der Kurve (Radius 100 m) würde bei einer konstanten Schnelligkeit von 90 km/h Reibung unnötig machen? Abb. 4: Fahrt in überhöhter Kurve (c) Könnte man solch eine Kurve auch ohne Überhöhung auf trockener Strasse (Haftreibungskoeffizient µ = 0.8) mit derselben Geschwindigkeit durchfahren? Wie gross ist die maximale Geschwindigkeit bei Schnee (µ = 0.1) ohne aus der Kurve zu fliegen? (a) Wie in Abb. 5 angedeutet, werden am besten Zylinderkoordinaten verwendet, wobei hier nur die z und r Komponenten von Interesse sind. In Abb. 5 ist die Situation gezeichnet, falls das Auto mit grosser Geschwindigkeit durch die Kurve fährt. Der Einfachheit halber sind alle Kräfte so gezeichnet, als ob sie am Schwerpunkt angreifen würden. Die Geschwindigkeit spielt eine Rolle, bei der Richtung der Reibungskraft. Falls das Auto mit (zu) grosser Geschwindigkeit in die Kurve fährt, genügt die Vektorsumme aus N + G nicht, das Auto auf der gewünschten Kreisbahn zu halten, das Auto drängt scheinbar nach aussen. Nur aufgrund der Reibungskraft wird es auf dieser Kreisbahn gehalten, sie muss also zum Kurvenmittelpunkt 3

4 Abb. 5: Kräfte in einer überhöhten Kurve hin zeigen. In vektorieller Form ist die Bewegungsgleichung sehr einfach anzuschreiben. Die Summe aller äusseren Kräfte ist die beschleunigende Kraft, also N + G + F R = m a. Ausgehend davon lassen sich auch die Komponenten in z und r Richtung angeben: N cosα F R sinα mg = 0 z Richtung (5) (N sinα ± F R cosα) = mv2 r }{{} Zentripetalkraft r Richtung (6) In den Gleichungen (5) und (6) steht jeweils das obere Vorzeichen für den Fall, dass die Geschwindigkeit zu hoch ist, d.h. ohne Reibung würde sich das Auto nach oben bewegen und das untere Vorzeichen für zu geringe Geschwindigkeit. (b) Die Bedingung lautet, dass F R = 0 sein muss. Damit erhält man aus Gl. (5) (7) in (6) eingesetzt: mg sinα cosα = mv2 r N cosα = mg (7) tanα = v2 rg Mit v = 90 km/h = 25 m/s, r = 100 m und g = 9.81 m/s 2 erhält man α (c) Jetzt ist α = 0. Die max. Haftreibungskraft ist F R = µmg, dann folgt aus (6), dass man die Kurve noch durchfahren kann, solange µmg mv2 r (8) gilt. Mit µ = 0.8 und den Werten aus 2b folgt , 4

5 d.h. auf trockener Strasse könnte man auch die nicht überhöhte Kurve sicher durchfahren. Bei Schneeglätte (µ = 0.1) folgt aus (8) für die max. Geschwindigkeit 3. Viskose Reibung [3 Punkte] v max µgr 9.9 m/s 35.6 km/h. Aufsteigende Kohlendioxidbläschen in Mineralwasser werden durch viskose Reibung abgebremst, so dass sie schon nach sehr kurzer Zeit mit nahezu konstanter Geschwindigkeit aufsteigen. Die Auftriebskraft ist näherungsweise gegeben durch F A = V ρ H2 Og wobei V das Volumen der Bläschen ist, ρ H2 O = 1000 kg/m 3 die Dichte des Wassers und g = 9.81 m/s 2 die Erdgeschleunigung. Die viskose Reibungskraft lässt sich darstellen als F R = 6πηrv, mit η = Ns/m 2 der Viskosität von Wasser, r dem Radius der Bläschen und v deren Geschwindigkeit. Die Dichte von CO 2 bei Raumtemperatur beträgt ρ CO2 = 1.9 kg/m 3. (a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die aufsteigenden Kohlendioxidbläschen auf. (b) Wie gross ist die Endgeschwindigkeit, d.h. für den Fall a 0? (c) Schätzen Sie aus der Aufstiegszeit die ungefähre Grösse der Kohlendioxidbläschen ab, unter der Annahme, dass die Gewschwindigkeit während der gesamten Aufstiegszeit gleich der in Aufgabenteil (b) berechneten Geschwindigkeit ist. Messen Sie dazu zu Hause die Aufstiegszeit der Bläschen in einem Glas oder einer Flasche. (a) In der nebenstehenden Skizze sind die Kräfte auf das CO 2 - Bläschen eingezeichnet. Der nach oben gerichteten Auftriebskraft wirkt die viskose Reibungskraft entgegen. Die Differenz der Beträge ist die beschleunigende Kraft, entsprechend erhält man nach Newton die folgende Bewegungsgleichung ma = V ρ H2 Og 6πηrv. Verwendet man, dass die Beschleunigung a = v, das Volumen V = 4 3 πr3 und die Masse der CO 2 -Bläschen m = V ρ CO2 ist, lässt sich die Bewegungsgleichung umschreiben in eine Differentialgleichung für v: Abb. 6: Kräfte auf das CO 2 -Bläschen v + 9 η 2 r 2 v gρ H 2 O = 0. (9) ρ CO2 ρ CO2 (b) Wenn die Endgeschwindigkeit erreicht ist gilt a = v = 0, entsprechend erhält man aus Gl. (9) direkt durch umformen nach v die Endgeschwindigkeit v = 2gρ H 2 O 9η r2. (10) 5

6 (c) Sei der zurückgelegte Weg der Bläschen s = 0.30 m und die dafür benötigte Zeit t = 1.0 s, dann folgt unter der Annahme konstanter Geschwindigkeit aus Gl. (10): 9ηs r = 2gρ H2 Ot 4. Kraftstoss [2 Punkte] 0.4 mm. Ein Körper der Masse m = 500 g, der sich auf einer horizontalen Unterlage befindet, erhält von einem Stempel einen Kraftstoss. Der zeitliche Verlauf der Kraft entspricht genau einer Halbperiode einer Sinusfunktion: F(t) = ˆF sin(ωt), (11) mit ˆF = 25 N und die Dauer des Stosses beträgt t 1 = 0.2 s. Abb. 7: Ein Körper erhält einen sinusförmigen Kraftstoss (a) Wie gross ist die Geschwindigkeit v 1 des Körpers zur Zeit t 1, wenn er anfänglich in Ruhe war und Reibung zunächst vernachlässigt wird? (b) Unmittelbar nachdem dieser Kraftstoss erteilt wurde, wirke nun eine Reibungskraft, mit dem Gleitreibungskoeffizienten µ G = 1.2. Wie weit rutscht der Körper, bis er zum Stillstand kommt? (c) Diskutieren Sie qualitativ (z.b. anhand eines Graphen) die Situation, wenn von Anfang Gleitund auch Haftreibung berücksichtigt wird. Geben Sie ebenfalls qualitativ an, wann der Körper dann wieder zur Ruhe kommt. (a) Als ersten Schritt berechnet man ω aus den gegebenen Grössen. Die Periode T der Sinusfunktion ist 2t 1 somit folgt 0 ω = 2π T = π t 1. Der Kraftstoss ist das Integral der Kraft über die Zeit und muss gleich der Impulsänderung sein: t1 ( ) π ˆF sin t dt t 1 t1 F(t)dt = 0 = ˆF t 1 π [ cos = 2 ˆF t 1 π = mv 1 v 1 = 2 ˆFt 1 πm 6.37 m/s. 6 ( π t 1 t )] t1 0

7 (b) Jetzt ist die Kraft konstant, deshalb erhält man direkt aus F R = µ G mg die Beschleunigung a = µ G g. Bei konstanter negativer Beschleunigung folgt für den Bremsweg s = v2 1 2µ G g 1.72 m. (Bremszeit: t 2 = 0.54 s) (c) Wenn Reibung berücksichtigt wird, bewegt sich der Körper zunächst überhaupt nicht, bis die Kraft des Stempels die maximale Haftreibung zum Zeitpunkt t 0 überwindet: F(t 0 ) = µ H N. Dann sinkt die Reibungskraft augenblicklich auf den Wert der Gleitreibung: F R = µ G N. Da die Reibungskräfte grundsätzlich entgegengerichtet sind, sind sie negativ. Die effektive Kraft ist die Summe aus der Kraft des Stempels und der Reibungskraft und ist in Abb. 8 rot eingezeichnet. Daran erkennt man auch, dass die Beschleunigungsphase auch nicht mehr bis t 1 = 0.2 s geht, sondern schon etwas vorher endet. Ab t 1 wird der Körper dann mit der konstanten Gleitreibungskraft abgebremst. Als Bedingung für das Ende der Bewegung, d.h. wenn der Körper wieder zur Ruhe gekommen ist, müssen der beschleunigende Kraftstoss und der abbremsende Kraftstoss exakt gleich gross sein. Grafisch bedeutet das, dass die Flächen A 1 und A 2 gleich gross sein müssen. Daraus kann man (zumindest prinzipiell) den Zeitpunkt berechnen, wann der Körper wieder zur Ruhe gekommen ist. Abb. 8: Grafische Darstellung der auf den Körper wirkenden Kräfte unter Berücksichtigung von Reibung. 5. Vertiefung: Vektorrechnung [1 Punkt] Eine Pyramide bestehe aus der Basis ABC und der Spitze S mit Ortsvektoren: OA = 4 7 OB = 5 OC = OS =

8 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P, welcher auf der über S hinaus verlängerten Pyramidenhöhe liegt und von S den Abstand 7 hat. SP steht senkrecht zur Pyramidenbasis, ist daher ein Vielfaches von AB AC und hat Betrag 7. SP = α( AB AC) = α 6. Vertiefung: Spatprodukt [1 Punkt] SP = 7 α = 1 3 SP = OP = OS + SP = = α Das gemischte Produkt (Spatprodukt) dreier Vektoren a, b, c ist ( a b) c. (a) Zeige, dass gilt: ( a b) c = a ( b c) (b) Veranschauliche anhand einer Skizze die geometrische Bedeutung des Spatprodukts a 2 b 3 a 3 b 2 c 1 (a) ( a b) c = a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 c 2 c 3 = c 1 a 2 b 3 c 1 a 3 b 2 + c 2 a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 + c 3 a 1 b 2 c 3 a 2 b 1 = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) = a ( b c) Das Spatprodukt bezeichnet das Volumen des von den Vektoren a, b, c aufgespannten Parallelepipedes (Fig 9). (b) Abb. 9: Parallelepiped von a, b, c 8