Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana.

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1 Lineare Algebra 5. Übungsstunde Steven Battilana November, 6

2 Vektoräume Eine Menge E zusammen mit zwei Verknüpfungen +: E E! E, (x, y) 7! x + y (Addition) : E E! E, (x, y) 7! x y (Multiplikation) heisst Körper, wenn8x, y, z E folgendes gilt: K E zusammen mit der Addition + ist eine abelsche Gruppe. (Ihr neutrales Element wird mit, das zu a E inverse Element mit a bezeichnet; vgl. Diskrete Mathematik, 5. Algebra, Definition 5.7 und 5.8: he;+i is an abelian group): (i) (Assoziativität) (x + y)+z = x +(y + z) (ii) (Neutrales Element) 9e E : x + e = e + x = x (iii) (Inverses Element) 9x E : x + x = x + x = e (iv) (Abelsch, Kommutativität) x + y = y + x K Bezeichnet E := E \{}, sogiltfürx, y E auch x y E,undE zusammen mit der so erhaltenen Multiplikation ist eine abelsche Gruppe. (Ihr neutrales Element wird mit, das zu x E inverse Element mit x oder /x bezeichnet. Man schreibt y/x = x y = yx. Vgl. Diskrete Mathematik, 5. Algebra, Definition 5.7 und 5.8: he; i is an abelian group) (vgl. Diskrete Mathematik, 5. Algebra: Definition 5.6 und Theorem 5.3) Meistens werden wir mit den Körpern R oder C arbeiten. Ein weiterer Körper der für uns Informatiker bekannt ist, ist der kleinste endliche Körper Z,dernur{, } enthält. Ein Vektorraum V über E (oder auch E-Vektorraum; VR) ist eine ist einen nichtleere Menge V zusammen mit zwei Operationen: +: V V! V, (x, y) 7! x + y (Addition) : E V! V, (, x) 7! y (Skalarmultiplikation) so dass 8x, y, z V und 8, E gilt: V V zusammen mit der Addition ist eine abelsche (kommutative) Gruppe (das neutrale Element heit Nullvektor, es wird mit, und das Negative wird mit x bezeichnet; vgl. Diskrete Mathematik, 5. Algebra: hv ; +i is an abelian group): (i) (Assoziativität) (x + y)+z = x +(y + z) (ii) (Neutrales Element) 9e V : x + e = e + x = x (iii) (Inverses Element) 9x V : x + x = x + x = e (iv) (Abelsch, Kommutativität) x + y = y + x

3 V Die Multiplikation mit Skalaren muss in folgender Weise mit den anderen Verknpfungen vertrglich sein: (i) (Distributivität I) ( + )x = x + x (ii) (Distributivität II) (x + y) = x + y (iii) (Assoziativität) ( )x = ( x) (iv) (Verträglichkeit mit ) Beispiel : x = x. n-dimensionale Vektoren bilden über E einen Vektorraum.. m n-matrizen bilden über E einen Vektorraum. 3. P n := {Polynome in einer Variablen mit Koe zienten in E von max. Grad n} bilden über E einen Vektorraum. Sei V ein Vektorraum, U V, U 6= {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum, linearer Teilraum (UVR), falls sie bezüglich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. wenn 8x, y U und 8 E gilt: U x + y U U x U. Jeder Untervektorraum U enthählt den Nullvektor, d.h. U U. Satz. Jeder Untervektorraum ist ein Vektorraum. Beispiel : 8 < Zu zeigen: W : x x x 3 Bemerkung Wir haben zwei Optionen: 9 = A R 3 x + x + x 3 = ;. Überprüfe ob V und V von der Vektorraum Definition erfüllt sind. Verwende den Satz von oben und zeige nur U und U Beweis: Wir führen den Beweis mit der zweiten Option durch. Also genügt es nach dem Satz zu zeigen, dass Wein Untervektorraum ist. x y Seien x x A,y y A W, E x 3 y 3 A W, da + + =, (U folgt trivialerweise) 3

4 x + y U x + y x + y A W, x 3 + y 3 da (x + y )+(x + y )+(x 3 + y 3 )=(x + x + x 3 ) +(y {z } + y + y 3 ) = {z } x +x +x 3 = y +y +y 3 = U x x x A W,da x + x + x 3 = (x + x + x 3 ) = {z } x 3 x +x +x 3 = Oder statt, dass ihr U und U separat zeigt könnt ihr auch die all in one Variante zeigen: x y U/U x y x y A W, x 3 y 3 da (x y )+(x y )+(x 3 y 3 )=(x + x + x 3 ) {z } (y + y + y 3 ) = {z } x +x +x 3 = y +y +y 3 = Basen, Dimensionen und lineare (Un-)Abhänigkeit Für diesen Abschnitt werden wir folgendes annehmen. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und eine Familie (Menge) (v i ) ii von Vektoren v i V. Ist I = {,...,r}, so hat man Vektoren v,...,v r. Seien v,...,v r V ausgewählte Vektoren. Ein Vektor der Form x := v,..., rv r = rx k= kv k mit,..., r E heisst Linearkombination von v,...,v r. Für allgemeines I definiert man span E (v i ) ii als die Menge all der v V die sich aus einer (von v abhängigen) endlichen Teilfamilie (Teilmenge) von (v i ) ii linear kombinieren lassen. Man nennt span E (v i ) ii den von der Familie (Menge) aufgespannten (oder erzeugten) Raum. Für eine endliche Familie (v,...,v r ) verwendet man oft die suggestivere Notation: span E (v,...,v r ):=Ev Ev n = {v V 9,..., r E mit v = v r v r }. Die folgenden Notationen sind äquivalent: span E (v,...,v r ), span E {v,...,v r },hv,...,v r i. 4

5 Die Vektoren v,...,v r in der Defintion von oben heissen Erzeugendensystem von span E (v,...,v r ), wenn 8a V als Linearkombination der Vektoren v,...,v r dargestellt werden kann. Falls klar ist, welcher Körper gemeint ist, schreibt man nur span statt span E. Sei V ein E-Vektorraum und (v i ) ii I = {,...,r}. Danngilt: (i) span(v,...,v r ) ist ein Untervektorraum (ii) Ist W V ein Untervektorraum und gilt v i span(v,...,v r ) W. Beispiel 3: span(,x,x,x 3 )=P 3 span(x 3 + x,x,x,x, ) = P 3 ) ein Erzeugendensystem ist nicht eindeutig. v,...,v r V heissen linear unabhängig, wenn: eine Familie (Menge) von Elementen aus V mit W für alle i {,...,r} so ist rx k= kv k = v r v r = ) =... = r = und sonst heissen sie linear abhängig. v,...,v r V heissen linear unabhängig genau dann, wenn kein v i sich als Linearkombination der anderen a j mit j 6= i schreiben lässt. (z.b. v ist keine Linearkombination von v,...,v r schreiben). Beispiel A ist linear abhängig 4A, A 4A A ist linear unabhängig A. 3 3 Bei komponentenweiser Multiplikation bekommt man in der ersten Koordinate niemals, wenn man und 3 behalten will. Sei B =(b i ) ii V. B heisst Basis von V,wenn V =span(b) (V wird erzeugt von B) B =(b i ) ii (alle b i sind untereinander linear unabhängig). 5

6 Satz. B ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. span(b) =V, aber span(b \{b i }) 6= V, 8b i B. Satz. B ist ein maximal linear unabhängige Teilmenge von V,d.h. (b i ) ii sind linear unabhängig aber (b i ) ii [{v} sind nicht mehr linear unabhängig, 8v V \B. Sind B und B Basen von V,sogilt B = B. Jeder Vektorraum hat eine Basis. Sei B eine Basis von V.Dannist B =dim(v )(=#Basisvektoren)dieDimensionvon V,wobei =^ Kardinalität von einer Menge ist. Falls dim(v )= n, dann gilt allgemein: Falls k<n,sindv,...,v k V nicht erzeugend Falls k>n,sindv,...,v k V linear abhängig Basisauswahlsatz. Aus jedem endlichen Erzeugendensystem eines Vektorraumes kann man eine Basis auswählen. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine endliche Basis. Basisergnzungssatz. In einem endlich erzeugten Vektorraum V seien linear unabhängige Vektoren w,...,w n gegeben. Dann kann man w n +,...,w r finden so dass eine Basis von V ist. Beispiel 5: dim(r n )=n =dim(c n ) dim(p n )=n + dim R (C) = B = {w,...,w n,w n +,...,w r } (B(P n )={,x,x,...,x {z n }) } n+ Basisvektoren (BasisvonC ü b e r d e m K ö r p e r R ist z.b. {,i}) dim C (C) = (BasisvonC ü b e r d e m K ö r p e r C ist z.b. {}) 6

7 Tricks beim Rechnen (bei Fragen betre end Dimension, Basis, lineare Abhängigkeit, etc.) Gegeben: v,...,v k V Gesucht: dim(v ), span(v,...,v k )linearunabhängig?. Schreibe v T. v T k = A in eine Matrix mit n Zeilen. C A. Führe Gauss-Elimination auf A aus bis ihr die Zeilenstufenform erreicht habt. 3. Ziehe Fazit: Rang(A) =dim(span(v,...,v k )) Rang(A) =k ) v,...,v k ist linear unabhängig Rang(A) <k ) v,...,v k ist linear abhängig Rang(A) =dim(v ) ) v,...,v k ist erzeugend Falls Rang(A) =dim(v )=k, dannbildenv,...,v k also eine Basis für R n Beispiel 6: 3 Zu A R 3 bilden eine Basis in R 3. Beweis: Wissen dim(r 3 )=3,undwirhaben3Vektoren. Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig 3 5 A (ii) l 5 A (iii) l 5 9 A = A ) Rang(A) =3 vollerrang ) Vektoren sind linear unabhängig und bilden somit eine Basis von R 3. Beispiel 7: Ist B = {,x,+x + x 3 } eine Basis von P 3? Wenn ja beweise, wenn nein, erweitere zu einer Basis. 7

8 Wissen: dim(p 3 )=4 B kann keine sein, weil dim(b) =3< 4. Behauptung: B = {,x,+x + x 3,x } ist eine Basis von P 3. Beweis: =^ x =^ e e x =^ e 3 x 3 =^ e 4 +x + x 3 =^ e + e 3 + e 4 B A B A ) linear unabhänging, also ist B eine Basis von P 3 3 Basiswechsel, Koordinatentransformation (I) Seien A =(e,...,e n )diekanonischebasisvomvektorraumvundb =(b,...,b n )eine weitere Basis von V beschrieben mit der kanonischen Basis. Dann existiert eine Transformationsmatrix mit: T B A =(b b n ) mit e i = T B A b i,i{,...,n}. V A T A B V B Es gilt die folgende Rechenregel: TB A =(T A B) Mit der obigen Definition erhalten wir somit: TB Ae i = b i,i{,...,n}. 8